Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2llnm3N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2llnm3N 36827
Description: Two lattice lines in a lattice plane always meet. (Contributed by NM, 5-Jul-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
2llnm3.l = (le‘𝐾)
2llnm3.m = (meet‘𝐾)
2llnm3.z 0 = (0.‘𝐾)
2llnm3.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
2llnm3.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
2llnm3N ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊)) → (𝑋 𝑌) ≠ 0 )

Proof of Theorem 2llnm3N
StepHypRef Expression
1 oveq1 7147 . . 3 (𝑋 = 𝑌 → (𝑋 𝑌) = (𝑌 𝑌))
21neeq1d 3070 . 2 (𝑋 = 𝑌 → ((𝑋 𝑌) ≠ 0 ↔ (𝑌 𝑌) ≠ 0 ))
3 simpl1 1188 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌) → 𝐾 ∈ HL)
4 hlatl 36618 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
53, 4syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌) → 𝐾 ∈ AtLat)
6 simpl2 1189 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌) → (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃))
7 simpl3l 1225 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌) → 𝑋 𝑊)
8 simpl3r 1226 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌) → 𝑌 𝑊)
9 simpr 488 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌) → 𝑋𝑌)
10 2llnm3.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
11 2llnm3.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
12 eqid 2822 . . . . 5 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
13 2llnm3.n . . . . 5 𝑁 = (LLines‘𝐾)
14 2llnm3.p . . . . 5 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
1510, 11, 12, 13, 142llnm2N 36826 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑋𝑌)) → (𝑋 𝑌) ∈ (Atoms‘𝐾))
163, 6, 7, 8, 9, 15syl113anc 1379 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌) → (𝑋 𝑌) ∈ (Atoms‘𝐾))
17 2llnm3.z . . . 4 0 = (0.‘𝐾)
1817, 12atn0 36566 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑋 𝑌) ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝑋 𝑌) ≠ 0 )
195, 16, 18syl2anc 587 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌) → (𝑋 𝑌) ≠ 0 )
20 hllat 36621 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
21203ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊)) → 𝐾 ∈ Lat)
22 simp22 1204 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊)) → 𝑌𝑁)
23 eqid 2822 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2423, 13llnbase 36767 . . . . 5 (𝑌𝑁𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
2522, 24syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
2623, 11latmidm 17687 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑌 𝑌) = 𝑌)
2721, 25, 26syl2anc 587 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊)) → (𝑌 𝑌) = 𝑌)
28 simp1 1133 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
2917, 13llnn0 36774 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝑁) → 𝑌0 )
3028, 22, 29syl2anc 587 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊)) → 𝑌0 )
3127, 30eqnetrd 3078 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊)) → (𝑌 𝑌) ≠ 0 )
322, 19, 31pm2.61ne 3096 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊)) → (𝑋 𝑌) ≠ 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2114  wne 3011   class class class wbr 5042  cfv 6334  (class class class)co 7140  Basecbs 16474  lecple 16563  meetcmee 17546  0.cp0 17638  Latclat 17646  Atomscatm 36521  AtLatcal 36522  HLchlt 36608  LLinesclln 36749  LPlanesclpl 36750
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-proset 17529  df-poset 17547  df-plt 17559  df-lub 17575  df-glb 17576  df-join 17577  df-meet 17578  df-p0 17640  df-p1 17641  df-lat 17647  df-clat 17709  df-oposet 36434  df-ol 36436  df-oml 36437  df-covers 36524  df-ats 36525  df-atl 36556  df-cvlat 36580  df-hlat 36609  df-llines 36756  df-lplanes 36757
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator