Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme21c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme21c 38836
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 115. (Contributed by NM, 28-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme21.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdleme21.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdleme21.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdleme21.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdleme21.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdleme21.u π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cdleme21c ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) β†’ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑧))

Proof of Theorem cdleme21c
StepHypRef Expression
1 simp23 1209 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) β†’ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
2 simp11l 1285 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
3 hlcvl 37867 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ CvLat)
42, 3syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) β†’ 𝐾 ∈ CvLat)
5 simp12l 1287 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
6 simp21 1207 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
7 simp3l 1202 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
8 simp13 1206 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
9 cdleme21.l . . . . . . . . 9 ≀ = (leβ€˜πΎ)
10 cdleme21.j . . . . . . . . 9 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
11 cdleme21.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
129, 10, 11atnlej1 37888 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑆 β‰  𝑃)
1312necomd 2996 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑃 β‰  𝑆)
142, 6, 5, 8, 1, 13syl131anc 1384 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑃 β‰  𝑆)
15 simp3r 1203 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) β†’ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))
1611, 10cvlsupr7 37856 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑆 ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) β†’ (𝑃 ∨ 𝑆) = (𝑧 ∨ 𝑆))
174, 5, 6, 7, 14, 15, 16syl132anc 1389 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) β†’ (𝑃 ∨ 𝑆) = (𝑧 ∨ 𝑆))
1810, 11hlatjcom 37876 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) β†’ (𝑧 ∨ 𝑆) = (𝑆 ∨ 𝑧))
192, 7, 6, 18syl3anc 1372 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) β†’ (𝑧 ∨ 𝑆) = (𝑆 ∨ 𝑧))
2017, 19eqtrd 2773 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) β†’ (𝑃 ∨ 𝑆) = (𝑆 ∨ 𝑧))
2120breq2d 5118 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) β†’ (π‘ˆ ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ↔ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑧)))
22 simp11r 1286 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
23 simp12r 1288 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)
24 simp22 1208 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
25 cdleme21.m . . . . . . 7 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
26 cdleme21.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
27 cdleme21.u . . . . . . 7 π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
289, 10, 25, 11, 26, 27cdleme0a 38720 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
292, 22, 5, 23, 8, 24, 28syl222anc 1387 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
302hllatd 37872 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
31 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
3231, 10, 11hlatjcl 37875 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
332, 5, 8, 32syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3431, 26lhpbase 38507 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3522, 34syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3631, 9, 25latmle2 18359 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š) ≀ π‘Š)
3730, 33, 35, 36syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š) ≀ π‘Š)
3827, 37eqbrtrid 5141 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) β†’ π‘ˆ ≀ π‘Š)
39 nbrne2 5126 . . . . . 6 ((π‘ˆ ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) β†’ π‘ˆ β‰  𝑃)
4038, 23, 39syl2anc 585 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) β†’ π‘ˆ β‰  𝑃)
419, 10, 11cvlatexch1 37844 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ˆ β‰  𝑃) β†’ (π‘ˆ ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) β†’ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)))
424, 29, 6, 5, 40, 41syl131anc 1384 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) β†’ (π‘ˆ ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) β†’ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)))
439, 10, 11hlatlej1 37883 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ 𝑃 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
442, 5, 8, 43syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑃 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
459, 10, 25, 11, 26, 27cdlemeulpq 38729 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) β†’ π‘ˆ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
462, 22, 5, 8, 45syl22anc 838 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) β†’ π‘ˆ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
4731, 11atbase 37797 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
485, 47syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4931, 11atbase 37797 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ 𝐴 β†’ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5029, 49syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) β†’ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5131, 9, 10latjle12 18344 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑃 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑃 ∨ π‘ˆ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
5230, 48, 50, 33, 51syl13anc 1373 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) β†’ ((𝑃 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑃 ∨ π‘ˆ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
5344, 46, 52mpbi2and 711 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) β†’ (𝑃 ∨ π‘ˆ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
5431, 11atbase 37797 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ 𝐴 β†’ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
556, 54syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5631, 10, 11hlatjcl 37875 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
572, 5, 29, 56syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) β†’ (𝑃 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5831, 9lattr 18338 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑆 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑃 ∨ π‘ˆ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
5930, 55, 57, 33, 58syl13anc 1373 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) β†’ ((𝑆 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑃 ∨ π‘ˆ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
6053, 59mpan2d 693 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) β†’ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ) β†’ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
6142, 60syld 47 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) β†’ (π‘ˆ ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) β†’ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
6221, 61sylbird 260 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) β†’ (π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑧) β†’ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
631, 62mtod 197 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) β†’ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑧))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  lecple 17145  joincjn 18205  meetcmee 18206  Latclat 18325  Atomscatm 37771  CvLatclc 37773  HLchlt 37858  LHypclh 38493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-proset 18189  df-poset 18207  df-plt 18224  df-lub 18240  df-glb 18241  df-join 18242  df-meet 18243  df-p0 18319  df-p1 18320  df-lat 18326  df-clat 18393  df-oposet 37684  df-ol 37686  df-oml 37687  df-covers 37774  df-ats 37775  df-atl 37806  df-cvlat 37830  df-hlat 37859  df-lhyp 38497
This theorem is referenced by:  cdleme21at  38837  cdleme21ct  38838  cdleme21d  38839
  Copyright terms: Public domain W3C validator