Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp23 1209 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β Β¬ π β€ (π β¨ π)) |
2 | | simp11l 1285 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β πΎ β HL) |
3 | | hlcvl 37867 |
. . . . . . 7
β’ (πΎ β HL β πΎ β CvLat) |
4 | 2, 3 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β πΎ β CvLat) |
5 | | simp12l 1287 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β π β π΄) |
6 | | simp21 1207 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β π β π΄) |
7 | | simp3l 1202 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β π§ β π΄) |
8 | | simp13 1206 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β π β π΄) |
9 | | cdleme21.l |
. . . . . . . . 9
β’ β€ =
(leβπΎ) |
10 | | cdleme21.j |
. . . . . . . . 9
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
11 | | cdleme21.a |
. . . . . . . . 9
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
12 | 9, 10, 11 | atnlej1 37888 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β π β π) |
13 | 12 | necomd 2996 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β π β π) |
14 | 2, 6, 5, 8, 1, 13 | syl131anc 1384 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β π β π) |
15 | | simp3r 1203 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β (π β¨ π§) = (π β¨ π§)) |
16 | 11, 10 | cvlsupr7 37856 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β CvLat β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π§ β π΄) β§ (π β π β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β (π β¨ π) = (π§ β¨ π)) |
17 | 4, 5, 6, 7, 14, 15, 16 | syl132anc 1389 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β (π β¨ π) = (π§ β¨ π)) |
18 | 10, 11 | hlatjcom 37876 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ π§ β π΄ β§ π β π΄) β (π§ β¨ π) = (π β¨ π§)) |
19 | 2, 7, 6, 18 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β (π§ β¨ π) = (π β¨ π§)) |
20 | 17, 19 | eqtrd 2773 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β (π β¨ π) = (π β¨ π§)) |
21 | 20 | breq2d 5118 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β (π β€ (π β¨ π) β π β€ (π β¨ π§))) |
22 | | simp11r 1286 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β π β π») |
23 | | simp12r 1288 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β Β¬ π β€ π) |
24 | | simp22 1208 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β π β π) |
25 | | cdleme21.m |
. . . . . . 7
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
26 | | cdleme21.h |
. . . . . . 7
β’ π» = (LHypβπΎ) |
27 | | cdleme21.u |
. . . . . . 7
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
28 | 9, 10, 25, 11, 26, 27 | cdleme0a 38720 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π)) β π β π΄) |
29 | 2, 22, 5, 23, 8, 24, 28 | syl222anc 1387 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β π β π΄) |
30 | 2 | hllatd 37872 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β πΎ β Lat) |
31 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . 10
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
32 | 31, 10, 11 | hlatjcl 37875 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
33 | 2, 5, 8, 32 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
34 | 31, 26 | lhpbase 38507 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β π» β π β (BaseβπΎ)) |
35 | 22, 34 | syl 17 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β π β (BaseβπΎ)) |
36 | 31, 9, 25 | latmle2 18359 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π) β§ π) β€ π) |
37 | 30, 33, 35, 36 | syl3anc 1372 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β ((π β¨ π) β§ π) β€ π) |
38 | 27, 37 | eqbrtrid 5141 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β π β€ π) |
39 | | nbrne2 5126 |
. . . . . 6
β’ ((π β€ π β§ Β¬ π β€ π) β π β π) |
40 | 38, 23, 39 | syl2anc 585 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β π β π) |
41 | 9, 10, 11 | cvlatexch1 37844 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β CvLat β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ π β π) β (π β€ (π β¨ π) β π β€ (π β¨ π))) |
42 | 4, 29, 6, 5, 40, 41 | syl131anc 1384 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β (π β€ (π β¨ π) β π β€ (π β¨ π))) |
43 | 9, 10, 11 | hlatlej1 37883 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β π β€ (π β¨ π)) |
44 | 2, 5, 8, 43 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β π β€ (π β¨ π)) |
45 | 9, 10, 25, 11, 26, 27 | cdlemeulpq 38729 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β π β€ (π β¨ π)) |
46 | 2, 22, 5, 8, 45 | syl22anc 838 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β π β€ (π β¨ π)) |
47 | 31, 11 | atbase 37797 |
. . . . . . . 8
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
48 | 5, 47 | syl 17 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β π β (BaseβπΎ)) |
49 | 31, 11 | atbase 37797 |
. . . . . . . 8
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
50 | 29, 49 | syl 17 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β π β (BaseβπΎ)) |
51 | 31, 9, 10 | latjle12 18344 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ))) β ((π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)) β (π β¨ π) β€ (π β¨ π))) |
52 | 30, 48, 50, 33, 51 | syl13anc 1373 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β ((π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)) β (π β¨ π) β€ (π β¨ π))) |
53 | 44, 46, 52 | mpbi2and 711 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β (π β¨ π) β€ (π β¨ π)) |
54 | 31, 11 | atbase 37797 |
. . . . . . 7
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
55 | 6, 54 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β π β (BaseβπΎ)) |
56 | 31, 10, 11 | hlatjcl 37875 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
57 | 2, 5, 29, 56 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
58 | 31, 9 | lattr 18338 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ))) β ((π β€ (π β¨ π) β§ (π β¨ π) β€ (π β¨ π)) β π β€ (π β¨ π))) |
59 | 30, 55, 57, 33, 58 | syl13anc 1373 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β ((π β€ (π β¨ π) β§ (π β¨ π) β€ (π β¨ π)) β π β€ (π β¨ π))) |
60 | 53, 59 | mpan2d 693 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β (π β€ (π β¨ π) β π β€ (π β¨ π))) |
61 | 42, 60 | syld 47 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β (π β€ (π β¨ π) β π β€ (π β¨ π))) |
62 | 21, 61 | sylbird 260 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β (π β€ (π β¨ π§) β π β€ (π β¨ π))) |
63 | 1, 62 | mtod 197 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β Β¬ π β€ (π β¨ π§)) |