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Theorem cdleme7d 39643
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Lemma leading to cdleme7ga 39645 and cdleme7 39646. (Contributed by NM, 8-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme4.l = (le‘𝐾)
cdleme4.j = (join‘𝐾)
cdleme4.m = (meet‘𝐾)
cdleme4.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme4.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme4.u 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
cdleme4.f 𝐹 = ((𝑆 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑆) 𝑊)))
cdleme4.g 𝐺 = ((𝑃 𝑄) (𝐹 ((𝑅 𝑆) 𝑊)))
cdleme7.v 𝑉 = ((𝑅 𝑆) 𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdleme7d ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝐺𝑈)

Proof of Theorem cdleme7d
StepHypRef Expression
1 cdleme4.l . . . 4 = (le‘𝐾)
2 cdleme4.j . . . 4 = (join‘𝐾)
3 cdleme4.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
4 cdleme4.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 cdleme4.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6 cdleme4.u . . . 4 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
7 cdleme4.f . . . 4 𝐹 = ((𝑆 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑆) 𝑊)))
8 cdleme4.g . . . 4 𝐺 = ((𝑃 𝑄) (𝐹 ((𝑅 𝑆) 𝑊)))
9 cdleme7.v . . . 4 𝑉 = ((𝑅 𝑆) 𝑊)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9cdleme7a 39640 . . 3 𝐺 = ((𝑃 𝑄) (𝐹 𝑉))
11 simp11l 1282 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝐾 ∈ HL)
1211hllatd 38760 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝐾 ∈ Lat)
13 simp12l 1284 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑃𝐴)
14 simp13l 1286 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑄𝐴)
15 eqid 2727 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1615, 2, 4hlatjcl 38763 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
1711, 13, 14, 16syl3anc 1369 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
18 simp11 1201 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
19 simp12 1202 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
20 simp13 1203 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))
21 simp2r 1198 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊))
22 simp31 1207 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑃𝑄)
23 simp33 1209 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))
241, 2, 3, 4, 5, 6, 7cdleme3fa 39633 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝐹𝐴)
2518, 19, 20, 21, 22, 23, 24syl132anc 1386 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝐹𝐴)
26 simp2l 1197 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))
27 simp2rl 1240 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑆𝐴)
28 simp32 1208 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑅 (𝑃 𝑄))
291, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9cdleme7b 39641 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → 𝑉𝐴)
3018, 26, 27, 23, 28, 29syl113anc 1380 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑉𝐴)
3115, 2, 4hlatjcl 38763 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹𝐴𝑉𝐴) → (𝐹 𝑉) ∈ (Base‘𝐾))
3211, 25, 30, 31syl3anc 1369 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → (𝐹 𝑉) ∈ (Base‘𝐾))
3315, 1, 3latmle2 18442 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐹 𝑉) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑄) (𝐹 𝑉)) (𝐹 𝑉))
3412, 17, 32, 33syl3anc 1369 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → ((𝑃 𝑄) (𝐹 𝑉)) (𝐹 𝑉))
3510, 34eqbrtrid 5177 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝐺 (𝐹 𝑉))
361, 2, 3, 4, 5, 6, 7cdleme3 39634 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → ¬ 𝐹 𝑊)
3718, 19, 20, 21, 22, 23, 36syl132anc 1386 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → ¬ 𝐹 𝑊)
381, 2, 3, 4, 5, 6lhpat2 39442 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) → 𝑈𝐴)
3918, 19, 14, 22, 38syl112anc 1372 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑈𝐴)
40 simp2 1135 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)))
41 simp3 1136 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)))
421, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9cdleme7c 39642 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑈𝑉)
4318, 19, 14, 40, 41, 42syl311anc 1382 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑈𝑉)
441, 2, 4hlatexch2 38793 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑈𝐴𝐹𝐴𝑉𝐴) ∧ 𝑈𝑉) → (𝑈 (𝐹 𝑉) → 𝐹 (𝑈 𝑉)))
4511, 39, 25, 30, 43, 44syl131anc 1381 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → (𝑈 (𝐹 𝑉) → 𝐹 (𝑈 𝑉)))
46 simp11r 1283 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑊𝐻)
4715, 5lhpbase 39395 . . . . . . . . 9 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
4846, 47syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
4915, 1, 3latmle2 18442 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) 𝑊)
5012, 17, 48, 49syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) 𝑊)
516, 50eqbrtrid 5177 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑈 𝑊)
52 simp2ll 1238 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑅𝐴)
5315, 2, 4hlatjcl 38763 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑆𝐴) → (𝑅 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
5411, 52, 27, 53syl3anc 1369 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → (𝑅 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
5515, 1, 3latmle2 18442 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑅 𝑆) 𝑊) 𝑊)
5612, 54, 48, 55syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → ((𝑅 𝑆) 𝑊) 𝑊)
579, 56eqbrtrid 5177 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑉 𝑊)
5815, 4atbase 38685 . . . . . . . 8 (𝑈𝐴𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
5939, 58syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
6015, 4atbase 38685 . . . . . . . 8 (𝑉𝐴𝑉 ∈ (Base‘𝐾))
6130, 60syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑉 ∈ (Base‘𝐾))
6215, 1, 2latjle12 18427 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑉 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑈 𝑊𝑉 𝑊) ↔ (𝑈 𝑉) 𝑊))
6312, 59, 61, 48, 62syl13anc 1370 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → ((𝑈 𝑊𝑉 𝑊) ↔ (𝑈 𝑉) 𝑊))
6451, 57, 63mpbi2and 711 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → (𝑈 𝑉) 𝑊)
6515, 4atbase 38685 . . . . . . 7 (𝐹𝐴𝐹 ∈ (Base‘𝐾))
6625, 65syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝐹 ∈ (Base‘𝐾))
6715, 2, 4hlatjcl 38763 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑈𝐴𝑉𝐴) → (𝑈 𝑉) ∈ (Base‘𝐾))
6811, 39, 30, 67syl3anc 1369 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → (𝑈 𝑉) ∈ (Base‘𝐾))
6915, 1lattr 18421 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑈 𝑉) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝐹 (𝑈 𝑉) ∧ (𝑈 𝑉) 𝑊) → 𝐹 𝑊))
7012, 66, 68, 48, 69syl13anc 1370 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → ((𝐹 (𝑈 𝑉) ∧ (𝑈 𝑉) 𝑊) → 𝐹 𝑊))
7164, 70mpan2d 693 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → (𝐹 (𝑈 𝑉) → 𝐹 𝑊))
7245, 71syld 47 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → (𝑈 (𝐹 𝑉) → 𝐹 𝑊))
7337, 72mtod 197 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → ¬ 𝑈 (𝐹 𝑉))
74 nbrne2 5162 . 2 ((𝐺 (𝐹 𝑉) ∧ ¬ 𝑈 (𝐹 𝑉)) → 𝐺𝑈)
7535, 73, 74syl2anc 583 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝐺𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2935   class class class wbr 5142  cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17165  lecple 17225  joincjn 18288  meetcmee 18289  Latclat 18408  Atomscatm 38659  HLchlt 38746  LHypclh 39381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-proset 18272  df-poset 18290  df-plt 18307  df-lub 18323  df-glb 18324  df-join 18325  df-meet 18326  df-p0 18402  df-p1 18403  df-lat 18409  df-clat 18476  df-oposet 38572  df-ol 38574  df-oml 38575  df-covers 38662  df-ats 38663  df-atl 38694  df-cvlat 38718  df-hlat 38747  df-lines 38898  df-psubsp 38900  df-pmap 38901  df-padd 39193  df-lhyp 39385
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