Theorem cdlemg33a 40067

Description: TODO: Fix comment. (Contributed by NM, 29-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemg12.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemg12.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemg12.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdlemg12.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg12.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg12.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg12b.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg31.n	⊢ 𝑁 = ((𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝑄 ∨ (𝑅‘𝐹)))
cdlemg33.o	⊢ 𝑂 = ((𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝑄 ∨ (𝑅‘𝐺)))

Assertion

Ref	Expression
cdlemg33a	⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ∧ (𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐺,𝑟   ∨ ,𝑟   ≤ ,𝑟   𝑃,𝑟   𝑄,𝑟   𝑊,𝑟   𝐹,𝑟   𝑧,𝐴   𝑧,𝐹,𝑟   𝐻,𝑟,𝑧   𝑧, ∨   𝐾,𝑟,𝑧   𝑧, ≤   𝑁,𝑟,𝑧   𝑧,𝑃   𝑧,𝑄   𝑧,𝑅   𝑧,𝑇   𝑧,𝑊   𝑧,𝑣,𝑟   𝑧,𝐺   𝑧,𝑂,𝑟

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑣)   𝑃(𝑣)   𝑄(𝑣)   𝑅(𝑣,𝑟)   𝑇(𝑣,𝑟)   𝐹(𝑣)   𝐺(𝑣)   𝐻(𝑣)   ∨ (𝑣)   𝐾(𝑣)   ≤ (𝑣)   ∧ (𝑧,𝑣,𝑟)   𝑁(𝑣)   𝑂(𝑣)   𝑊(𝑣)

Proof of Theorem cdlemg33a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp11 1200	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		simp12 1201	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
3		simp13 1202	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) → (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊))
4		simp22l 1289	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) → 𝑁 ∈ 𝐴)
5		simp21 1203	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) → (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊))
6		simp23l 1291	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) → 𝐹 ∈ 𝑇)
7		simp32 1207	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) → 𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹))
8		cdlemg12.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
9		cdlemg12.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
10		cdlemg12.m	. . . . . 6 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
11		cdlemg12.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
12		cdlemg12.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
13		cdlemg12.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
14		cdlemg12b.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
15		cdlemg31.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = ((𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝑄 ∨ (𝑅‘𝐹)))
16	8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	cdlemg31d 40061	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴)) → ¬ 𝑁 ≤ 𝑊)
17	1, 2, 3, 5, 6, 7, 4, 16	syl133anc 1390	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) → ¬ 𝑁 ≤ 𝑊)
18	4, 17	jca 511	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) → (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝑊))
19		simp31l 1293	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) → 𝑃 ≠ 𝑄)
20		simp22r 1290	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) → 𝑂 ∈ 𝐴)
21		simp31r 1294	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) → 𝑁 ≠ 𝑂)
22	20, 21	jca 511	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) → (𝑂 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂))
23		simp33 1208	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))
24	8, 9, 11, 12	4atex3 39442	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ (𝑂 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ∧ (𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ∧ 𝑧 ≤ (𝑁 ∨ 𝑂))))
25	1, 2, 3, 18, 19, 22, 23, 24	syl133anc 1390	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ∧ (𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ∧ 𝑧 ≤ (𝑁 ∨ 𝑂))))
26		idd 24	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑧 ≠ 𝑁 → 𝑧 ≠ 𝑁))
27		idd 24	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑧 ≠ 𝑂 → 𝑧 ≠ 𝑂))
28		simp12l 1283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) → 𝑃 ∈ 𝐴)
29		simp13l 1285	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) → 𝑄 ∈ 𝐴)
30		simp21l 1287	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) → 𝑣 ∈ 𝐴)
31	8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	cdlemg31a 40058	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇)) → 𝑁 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣))
32	1, 28, 29, 30, 6, 31	syl122anc 1376	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) → 𝑁 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣))
33		simp23r 1292	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) → 𝐺 ∈ 𝑇)
34		cdlemg33.o	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑂 = ((𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝑄 ∨ (𝑅‘𝐺)))
35	8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 34	cdlemg31a 40058	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → 𝑂 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣))
36	1, 28, 29, 30, 33, 35	syl122anc 1376	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) → 𝑂 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣))
37		simp11l 1281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) → 𝐾 ∈ HL)
38	37	hllatd 38724	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) → 𝐾 ∈ Lat)
39		eqid 2724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
40	39, 11	atbase 38649	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ 𝐴 → 𝑁 ∈ (Base‘𝐾))
41	4, 40	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) → 𝑁 ∈ (Base‘𝐾))
42	39, 9, 11	hlatjcl 38727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑣) ∈ (Base‘𝐾))
43	37, 28, 30, 42	syl3anc 1368	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) → (𝑃 ∨ 𝑣) ∈ (Base‘𝐾))
44	39, 11	atbase 38649	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑂 ∈ 𝐴 → 𝑂 ∈ (Base‘𝐾))
45	20, 44	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) → 𝑂 ∈ (Base‘𝐾))
46	39, 8, 9	latjlej12 18410	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑁 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑣) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑂 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑣) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑁 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ 𝑂 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣)) → (𝑁 ∨ 𝑂) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑣) ∨ (𝑃 ∨ 𝑣))))
47	38, 41, 43, 45, 43, 46	syl122anc 1376	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) → ((𝑁 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ 𝑂 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣)) → (𝑁 ∨ 𝑂) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑣) ∨ (𝑃 ∨ 𝑣))))
48	32, 36, 47	mp2and 696	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) → (𝑁 ∨ 𝑂) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑣) ∨ (𝑃 ∨ 𝑣)))
49	39, 9	latjidm 18417	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑣) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 ∨ 𝑣) ∨ (𝑃 ∨ 𝑣)) = (𝑃 ∨ 𝑣))
50	38, 43, 49	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) → ((𝑃 ∨ 𝑣) ∨ (𝑃 ∨ 𝑣)) = (𝑃 ∨ 𝑣))
51	48, 50	breqtrd 5164	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) → (𝑁 ∨ 𝑂) ≤ (𝑃 ∨ 𝑣))
52	51	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑁 ∨ 𝑂) ≤ (𝑃 ∨ 𝑣))
53	38	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
54	39, 11	atbase 38649	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ (Base‘𝐾))
55	54	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐾))
56	39, 9, 11	hlatjcl 38727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) → (𝑁 ∨ 𝑂) ∈ (Base‘𝐾))
57	37, 4, 20, 56	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) → (𝑁 ∨ 𝑂) ∈ (Base‘𝐾))
58	57	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑁 ∨ 𝑂) ∈ (Base‘𝐾))
59	43	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑣) ∈ (Base‘𝐾))
60	39, 8	lattr 18399	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑁 ∨ 𝑂) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑣) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑧 ≤ (𝑁 ∨ 𝑂) ∧ (𝑁 ∨ 𝑂) ≤ (𝑃 ∨ 𝑣)) → 𝑧 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣)))
61	53, 55, 58, 59, 60	syl13anc 1369	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑧 ≤ (𝑁 ∨ 𝑂) ∧ (𝑁 ∨ 𝑂) ≤ (𝑃 ∨ 𝑣)) → 𝑧 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣)))
62	52, 61	mpan2d 691	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑧 ≤ (𝑁 ∨ 𝑂) → 𝑧 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣)))
63	26, 27, 62	3anim123d 1439	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ∧ 𝑧 ≤ (𝑁 ∨ 𝑂)) → (𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣))))
64	63	anim2d 611	. . 3 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ∧ (𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ∧ 𝑧 ≤ (𝑁 ∨ 𝑂))) → (¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ∧ (𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣)))))
65	64	reximdva 3160	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ∧ (𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ∧ 𝑧 ≤ (𝑁 ∨ 𝑂))) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ∧ (𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣)))))
66	25, 65	mpd 15	1 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ∧ (𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  ∃wrex 3062   class class class wbr 5138  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  Basecbs 17143  lecple 17203  joincjn 18266  meetcmee 18267  Latclat 18386  Atomscatm 38623  HLchlt 38710  LHypclh 39345  LTrncltrn 39462  trLctrl 39519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-map 8818  df-proset 18250  df-poset 18268  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-p1 18381  df-lat 18387  df-clat 18454  df-oposet 38536  df-ol 38538  df-oml 38539  df-covers 38626  df-ats 38627  df-atl 38658  df-cvlat 38682  df-hlat 38711  df-llines 38859  df-lplanes 38860  df-psubsp 38864  df-pmap 38865  df-padd 39157  df-lhyp 39349  df-laut 39350  df-ldil 39465  df-ltrn 39466  df-trl 39520

This theorem is referenced by:  cdlemg33b  40068