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Theorem cdlemg33a 40689
Description: TODO: Fix comment. (Contributed by NM, 29-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg12.l = (le‘𝐾)
cdlemg12.j = (join‘𝐾)
cdlemg12.m = (meet‘𝐾)
cdlemg12.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg12.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg12.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg12b.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg31.n 𝑁 = ((𝑃 𝑣) (𝑄 (𝑅𝐹)))
cdlemg33.o 𝑂 = ((𝑃 𝑣) (𝑄 (𝑅𝐺)))
Assertion
Ref Expression
cdlemg33a ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → ∃𝑧𝐴𝑧 𝑊 ∧ (𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 (𝑃 𝑣))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐺,𝑟   ,𝑟   ,𝑟   𝑃,𝑟   𝑄,𝑟   𝑊,𝑟   𝐹,𝑟   𝑧,𝐴   𝑧,𝐹,𝑟   𝐻,𝑟,𝑧   𝑧,   𝐾,𝑟,𝑧   𝑧,   𝑁,𝑟,𝑧   𝑧,𝑃   𝑧,𝑄   𝑧,𝑅   𝑧,𝑇   𝑧,𝑊   𝑧,𝑣,𝑟   𝑧,𝐺   𝑧,𝑂,𝑟
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑣)   𝑃(𝑣)   𝑄(𝑣)   𝑅(𝑣,𝑟)   𝑇(𝑣,𝑟)   𝐹(𝑣)   𝐺(𝑣)   𝐻(𝑣)   (𝑣)   𝐾(𝑣)   (𝑣)   (𝑧,𝑣,𝑟)   𝑁(𝑣)   𝑂(𝑣)   𝑊(𝑣)

Proof of Theorem cdlemg33a
StepHypRef Expression
1 simp11 1202 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp12 1203 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
3 simp13 1204 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))
4 simp22l 1291 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝑁𝐴)
5 simp21 1205 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝑣𝐴𝑣 𝑊))
6 simp23l 1293 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝐹𝑇)
7 simp32 1209 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝑣 ≠ (𝑅𝐹))
8 cdlemg12.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
9 cdlemg12.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
10 cdlemg12.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
11 cdlemg12.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
12 cdlemg12.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
13 cdlemg12.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
14 cdlemg12b.r . . . . . 6 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
15 cdlemg31.n . . . . . 6 𝑁 = ((𝑃 𝑣) (𝑄 (𝑅𝐹)))
168, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15cdlemg31d 40683 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) → ¬ 𝑁 𝑊)
171, 2, 3, 5, 6, 7, 4, 16syl133anc 1392 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → ¬ 𝑁 𝑊)
184, 17jca 511 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁 𝑊))
19 simp31l 1295 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝑃𝑄)
20 simp22r 1292 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝑂𝐴)
21 simp31r 1296 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝑁𝑂)
2220, 21jca 511 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝑂𝐴𝑁𝑂))
23 simp33 1210 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))
248, 9, 11, 124atex3 40064 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑂𝐴𝑁𝑂) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → ∃𝑧𝐴𝑧 𝑊 ∧ (𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 (𝑁 𝑂))))
251, 2, 3, 18, 19, 22, 23, 24syl133anc 1392 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → ∃𝑧𝐴𝑧 𝑊 ∧ (𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 (𝑁 𝑂))))
26 idd 24 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑧𝑁𝑧𝑁))
27 idd 24 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑧𝑂𝑧𝑂))
28 simp12l 1285 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝑃𝐴)
29 simp13l 1287 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝑄𝐴)
30 simp21l 1289 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝑣𝐴)
318, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15cdlemg31a 40680 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑣𝐴𝐹𝑇)) → 𝑁 (𝑃 𝑣))
321, 28, 29, 30, 6, 31syl122anc 1378 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝑁 (𝑃 𝑣))
33 simp23r 1294 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝐺𝑇)
34 cdlemg33.o . . . . . . . . . . 11 𝑂 = ((𝑃 𝑣) (𝑄 (𝑅𝐺)))
358, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 34cdlemg31a 40680 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑣𝐴𝐺𝑇)) → 𝑂 (𝑃 𝑣))
361, 28, 29, 30, 33, 35syl122anc 1378 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝑂 (𝑃 𝑣))
37 simp11l 1283 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝐾 ∈ HL)
3837hllatd 39346 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝐾 ∈ Lat)
39 eqid 2735 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4039, 11atbase 39271 . . . . . . . . . . 11 (𝑁𝐴𝑁 ∈ (Base‘𝐾))
414, 40syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝑁 ∈ (Base‘𝐾))
4239, 9, 11hlatjcl 39349 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑣𝐴) → (𝑃 𝑣) ∈ (Base‘𝐾))
4337, 28, 30, 42syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝑃 𝑣) ∈ (Base‘𝐾))
4439, 11atbase 39271 . . . . . . . . . . 11 (𝑂𝐴𝑂 ∈ (Base‘𝐾))
4520, 44syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝑂 ∈ (Base‘𝐾))
4639, 8, 9latjlej12 18513 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑁 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑣) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑂 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑣) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑁 (𝑃 𝑣) ∧ 𝑂 (𝑃 𝑣)) → (𝑁 𝑂) ((𝑃 𝑣) (𝑃 𝑣))))
4738, 41, 43, 45, 43, 46syl122anc 1378 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → ((𝑁 (𝑃 𝑣) ∧ 𝑂 (𝑃 𝑣)) → (𝑁 𝑂) ((𝑃 𝑣) (𝑃 𝑣))))
4832, 36, 47mp2and 699 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝑁 𝑂) ((𝑃 𝑣) (𝑃 𝑣)))
4939, 9latjidm 18520 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑣) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑣) (𝑃 𝑣)) = (𝑃 𝑣))
5038, 43, 49syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → ((𝑃 𝑣) (𝑃 𝑣)) = (𝑃 𝑣))
5148, 50breqtrd 5174 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝑁 𝑂) (𝑃 𝑣))
5251adantr 480 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑁 𝑂) (𝑃 𝑣))
5338adantr 480 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
5439, 11atbase 39271 . . . . . . . 8 (𝑧𝐴𝑧 ∈ (Base‘𝐾))
5554adantl 481 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐾))
5639, 9, 11hlatjcl 39349 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑁𝐴𝑂𝐴) → (𝑁 𝑂) ∈ (Base‘𝐾))
5737, 4, 20, 56syl3anc 1370 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝑁 𝑂) ∈ (Base‘𝐾))
5857adantr 480 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑁 𝑂) ∈ (Base‘𝐾))
5943adantr 480 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑃 𝑣) ∈ (Base‘𝐾))
6039, 8lattr 18502 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑁 𝑂) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑣) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑧 (𝑁 𝑂) ∧ (𝑁 𝑂) (𝑃 𝑣)) → 𝑧 (𝑃 𝑣)))
6153, 55, 58, 59, 60syl13anc 1371 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑧 (𝑁 𝑂) ∧ (𝑁 𝑂) (𝑃 𝑣)) → 𝑧 (𝑃 𝑣)))
6252, 61mpan2d 694 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑧 (𝑁 𝑂) → 𝑧 (𝑃 𝑣)))
6326, 27, 623anim123d 1442 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 (𝑁 𝑂)) → (𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 (𝑃 𝑣))))
6463anim2d 612 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) ∧ 𝑧𝐴) → ((¬ 𝑧 𝑊 ∧ (𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 (𝑁 𝑂))) → (¬ 𝑧 𝑊 ∧ (𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 (𝑃 𝑣)))))
6564reximdva 3166 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (∃𝑧𝐴𝑧 𝑊 ∧ (𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 (𝑁 𝑂))) → ∃𝑧𝐴𝑧 𝑊 ∧ (𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 (𝑃 𝑣)))))
6625, 65mpd 15 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → ∃𝑧𝐴𝑧 𝑊 ∧ (𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 (𝑃 𝑣))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  lecple 17305  joincjn 18369  meetcmee 18370  Latclat 18489  Atomscatm 39245  HLchlt 39332  LHypclh 39967  LTrncltrn 40084  trLctrl 40141
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-map 8867  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-p1 18484  df-lat 18490  df-clat 18557  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-llines 39481  df-lplanes 39482  df-psubsp 39486  df-pmap 39487  df-padd 39779  df-lhyp 39971  df-laut 39972  df-ldil 40087  df-ltrn 40088  df-trl 40142
This theorem is referenced by:  cdlemg33b  40690
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