Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg33a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemg33a 37399
Description: TODO: Fix comment. (Contributed by NM, 29-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg12.l = (le‘𝐾)
cdlemg12.j = (join‘𝐾)
cdlemg12.m = (meet‘𝐾)
cdlemg12.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg12.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg12.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg12b.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg31.n 𝑁 = ((𝑃 𝑣) (𝑄 (𝑅𝐹)))
cdlemg33.o 𝑂 = ((𝑃 𝑣) (𝑄 (𝑅𝐺)))
Assertion
Ref Expression
cdlemg33a ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → ∃𝑧𝐴𝑧 𝑊 ∧ (𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 (𝑃 𝑣))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐺,𝑟   ,𝑟   ,𝑟   𝑃,𝑟   𝑄,𝑟   𝑊,𝑟   𝐹,𝑟   𝑧,𝐴   𝑧,𝐹,𝑟   𝐻,𝑟,𝑧   𝑧,   𝐾,𝑟,𝑧   𝑧,   𝑁,𝑟,𝑧   𝑧,𝑃   𝑧,𝑄   𝑧,𝑅   𝑧,𝑇   𝑧,𝑊   𝑧,𝑣,𝑟   𝑧,𝐺   𝑧,𝑂,𝑟
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑣)   𝑃(𝑣)   𝑄(𝑣)   𝑅(𝑣,𝑟)   𝑇(𝑣,𝑟)   𝐹(𝑣)   𝐺(𝑣)   𝐻(𝑣)   (𝑣)   𝐾(𝑣)   (𝑣)   (𝑧,𝑣,𝑟)   𝑁(𝑣)   𝑂(𝑣)   𝑊(𝑣)

Proof of Theorem cdlemg33a
StepHypRef Expression
1 simp11 1196 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp12 1197 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
3 simp13 1198 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))
4 simp22l 1285 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝑁𝐴)
5 simp21 1199 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝑣𝐴𝑣 𝑊))
6 simp23l 1287 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝐹𝑇)
7 simp32 1203 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝑣 ≠ (𝑅𝐹))
8 cdlemg12.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
9 cdlemg12.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
10 cdlemg12.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
11 cdlemg12.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
12 cdlemg12.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
13 cdlemg12.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
14 cdlemg12b.r . . . . . 6 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
15 cdlemg31.n . . . . . 6 𝑁 = ((𝑃 𝑣) (𝑄 (𝑅𝐹)))
168, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15cdlemg31d 37393 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) → ¬ 𝑁 𝑊)
171, 2, 3, 5, 6, 7, 4, 16syl133anc 1386 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → ¬ 𝑁 𝑊)
184, 17jca 512 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁 𝑊))
19 simp31l 1289 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝑃𝑄)
20 simp22r 1286 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝑂𝐴)
21 simp31r 1290 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝑁𝑂)
2220, 21jca 512 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝑂𝐴𝑁𝑂))
23 simp33 1204 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))
248, 9, 11, 124atex3 36774 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑂𝐴𝑁𝑂) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → ∃𝑧𝐴𝑧 𝑊 ∧ (𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 (𝑁 𝑂))))
251, 2, 3, 18, 19, 22, 23, 24syl133anc 1386 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → ∃𝑧𝐴𝑧 𝑊 ∧ (𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 (𝑁 𝑂))))
26 idd 24 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑧𝑁𝑧𝑁))
27 idd 24 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑧𝑂𝑧𝑂))
28 simp12l 1279 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝑃𝐴)
29 simp13l 1281 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝑄𝐴)
30 simp21l 1283 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝑣𝐴)
318, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15cdlemg31a 37390 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑣𝐴𝐹𝑇)) → 𝑁 (𝑃 𝑣))
321, 28, 29, 30, 6, 31syl122anc 1372 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝑁 (𝑃 𝑣))
33 simp23r 1288 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝐺𝑇)
34 cdlemg33.o . . . . . . . . . . 11 𝑂 = ((𝑃 𝑣) (𝑄 (𝑅𝐺)))
358, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 34cdlemg31a 37390 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑣𝐴𝐺𝑇)) → 𝑂 (𝑃 𝑣))
361, 28, 29, 30, 33, 35syl122anc 1372 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝑂 (𝑃 𝑣))
37 simp11l 1277 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝐾 ∈ HL)
3837hllatd 36057 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝐾 ∈ Lat)
39 eqid 2795 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4039, 11atbase 35982 . . . . . . . . . . 11 (𝑁𝐴𝑁 ∈ (Base‘𝐾))
414, 40syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝑁 ∈ (Base‘𝐾))
4239, 9, 11hlatjcl 36060 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑣𝐴) → (𝑃 𝑣) ∈ (Base‘𝐾))
4337, 28, 30, 42syl3anc 1364 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝑃 𝑣) ∈ (Base‘𝐾))
4439, 11atbase 35982 . . . . . . . . . . 11 (𝑂𝐴𝑂 ∈ (Base‘𝐾))
4520, 44syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝑂 ∈ (Base‘𝐾))
4639, 8, 9latjlej12 17511 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑁 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑣) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑂 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑣) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑁 (𝑃 𝑣) ∧ 𝑂 (𝑃 𝑣)) → (𝑁 𝑂) ((𝑃 𝑣) (𝑃 𝑣))))
4738, 41, 43, 45, 43, 46syl122anc 1372 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → ((𝑁 (𝑃 𝑣) ∧ 𝑂 (𝑃 𝑣)) → (𝑁 𝑂) ((𝑃 𝑣) (𝑃 𝑣))))
4832, 36, 47mp2and 695 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝑁 𝑂) ((𝑃 𝑣) (𝑃 𝑣)))
4939, 9latjidm 17518 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑣) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑣) (𝑃 𝑣)) = (𝑃 𝑣))
5038, 43, 49syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → ((𝑃 𝑣) (𝑃 𝑣)) = (𝑃 𝑣))
5148, 50breqtrd 4992 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝑁 𝑂) (𝑃 𝑣))
5251adantr 481 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑁 𝑂) (𝑃 𝑣))
5338adantr 481 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
5439, 11atbase 35982 . . . . . . . 8 (𝑧𝐴𝑧 ∈ (Base‘𝐾))
5554adantl 482 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐾))
5639, 9, 11hlatjcl 36060 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑁𝐴𝑂𝐴) → (𝑁 𝑂) ∈ (Base‘𝐾))
5737, 4, 20, 56syl3anc 1364 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝑁 𝑂) ∈ (Base‘𝐾))
5857adantr 481 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑁 𝑂) ∈ (Base‘𝐾))
5943adantr 481 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑃 𝑣) ∈ (Base‘𝐾))
6039, 8lattr 17500 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑁 𝑂) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑣) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑧 (𝑁 𝑂) ∧ (𝑁 𝑂) (𝑃 𝑣)) → 𝑧 (𝑃 𝑣)))
6153, 55, 58, 59, 60syl13anc 1365 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑧 (𝑁 𝑂) ∧ (𝑁 𝑂) (𝑃 𝑣)) → 𝑧 (𝑃 𝑣)))
6252, 61mpan2d 690 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑧 (𝑁 𝑂) → 𝑧 (𝑃 𝑣)))
6326, 27, 623anim123d 1435 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 (𝑁 𝑂)) → (𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 (𝑃 𝑣))))
6463anim2d 611 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) ∧ 𝑧𝐴) → ((¬ 𝑧 𝑊 ∧ (𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 (𝑁 𝑂))) → (¬ 𝑧 𝑊 ∧ (𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 (𝑃 𝑣)))))
6564reximdva 3237 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (∃𝑧𝐴𝑧 𝑊 ∧ (𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 (𝑁 𝑂))) → ∃𝑧𝐴𝑧 𝑊 ∧ (𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 (𝑃 𝑣)))))
6625, 65mpd 15 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑁𝐴𝑂𝐴) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑃𝑄𝑁𝑂) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → ∃𝑧𝐴𝑧 𝑊 ∧ (𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 (𝑃 𝑣))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1080   = wceq 1522  wcel 2081  wne 2984  wrex 3106   class class class wbr 4966  cfv 6230  (class class class)co 7021  Basecbs 16317  lecple 16406  joincjn 17388  meetcmee 17389  Latclat 17489  Atomscatm 35956  HLchlt 36043  LHypclh 36677  LTrncltrn 36794  trLctrl 36851
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5086  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-op 4483  df-uni 4750  df-iun 4831  df-iin 4832  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-id 5353  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-1st 7550  df-2nd 7551  df-map 8263  df-proset 17372  df-poset 17390  df-plt 17402  df-lub 17418  df-glb 17419  df-join 17420  df-meet 17421  df-p0 17483  df-p1 17484  df-lat 17490  df-clat 17552  df-oposet 35869  df-ol 35871  df-oml 35872  df-covers 35959  df-ats 35960  df-atl 35991  df-cvlat 36015  df-hlat 36044  df-llines 36191  df-lplanes 36192  df-psubsp 36196  df-pmap 36197  df-padd 36489  df-lhyp 36681  df-laut 36682  df-ldil 36797  df-ltrn 36798  df-trl 36852
This theorem is referenced by:  cdlemg33b  37400
  Copyright terms: Public domain W3C validator