Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg33a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemg33a 40090
Description: TODO: Fix comment. (Contributed by NM, 29-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg12.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemg12.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemg12.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemg12.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemg12.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemg12.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemg12b.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemg31.n 𝑁 = ((𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)))
cdlemg33.o 𝑂 = ((𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΊ)))
Assertion
Ref Expression
cdlemg33a ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑁 β‰  𝑂) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ (𝑧 β‰  𝑁 ∧ 𝑧 β‰  𝑂 ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣))))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘Ÿ   𝐺,π‘Ÿ   ∨ ,π‘Ÿ   ≀ ,π‘Ÿ   𝑃,π‘Ÿ   𝑄,π‘Ÿ   π‘Š,π‘Ÿ   𝐹,π‘Ÿ   𝑧,𝐴   𝑧,𝐹,π‘Ÿ   𝐻,π‘Ÿ,𝑧   𝑧, ∨   𝐾,π‘Ÿ,𝑧   𝑧, ≀   𝑁,π‘Ÿ,𝑧   𝑧,𝑃   𝑧,𝑄   𝑧,𝑅   𝑧,𝑇   𝑧,π‘Š   𝑧,𝑣,π‘Ÿ   𝑧,𝐺   𝑧,𝑂,π‘Ÿ
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑣)   𝑃(𝑣)   𝑄(𝑣)   𝑅(𝑣,π‘Ÿ)   𝑇(𝑣,π‘Ÿ)   𝐹(𝑣)   𝐺(𝑣)   𝐻(𝑣)   ∨ (𝑣)   𝐾(𝑣)   ≀ (𝑣)   ∧ (𝑧,𝑣,π‘Ÿ)   𝑁(𝑣)   𝑂(𝑣)   π‘Š(𝑣)

Proof of Theorem cdlemg33a
StepHypRef Expression
1 simp11 1200 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑁 β‰  𝑂) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 simp12 1201 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑁 β‰  𝑂) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
3 simp13 1202 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑁 β‰  𝑂) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
4 simp22l 1289 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑁 β‰  𝑂) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) β†’ 𝑁 ∈ 𝐴)
5 simp21 1203 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑁 β‰  𝑂) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) β†’ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š))
6 simp23l 1291 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑁 β‰  𝑂) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
7 simp32 1207 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑁 β‰  𝑂) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) β†’ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ))
8 cdlemg12.l . . . . . 6 ≀ = (leβ€˜πΎ)
9 cdlemg12.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
10 cdlemg12.m . . . . . 6 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
11 cdlemg12.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
12 cdlemg12.h . . . . . 6 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
13 cdlemg12.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
14 cdlemg12b.r . . . . . 6 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
15 cdlemg31.n . . . . . 6 𝑁 = ((𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)))
168, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15cdlemg31d 40084 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴)) β†’ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)
171, 2, 3, 5, 6, 7, 4, 16syl133anc 1390 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑁 β‰  𝑂) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) β†’ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)
184, 17jca 511 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑁 β‰  𝑂) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) β†’ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š))
19 simp31l 1293 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑁 β‰  𝑂) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
20 simp22r 1290 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑁 β‰  𝑂) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) β†’ 𝑂 ∈ 𝐴)
21 simp31r 1294 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑁 β‰  𝑂) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) β†’ 𝑁 β‰  𝑂)
2220, 21jca 511 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑁 β‰  𝑂) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) β†’ (𝑂 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 β‰  𝑂))
23 simp33 1208 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑁 β‰  𝑂) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))
248, 9, 11, 124atex3 39465 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑂 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 β‰  𝑂) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ (𝑧 β‰  𝑁 ∧ 𝑧 β‰  𝑂 ∧ 𝑧 ≀ (𝑁 ∨ 𝑂))))
251, 2, 3, 18, 19, 22, 23, 24syl133anc 1390 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑁 β‰  𝑂) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ (𝑧 β‰  𝑁 ∧ 𝑧 β‰  𝑂 ∧ 𝑧 ≀ (𝑁 ∨ 𝑂))))
26 idd 24 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑁 β‰  𝑂) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (𝑧 β‰  𝑁 β†’ 𝑧 β‰  𝑁))
27 idd 24 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑁 β‰  𝑂) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (𝑧 β‰  𝑂 β†’ 𝑧 β‰  𝑂))
28 simp12l 1283 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑁 β‰  𝑂) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
29 simp13l 1285 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑁 β‰  𝑂) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
30 simp21l 1287 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑁 β‰  𝑂) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) β†’ 𝑣 ∈ 𝐴)
318, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15cdlemg31a 40081 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇)) β†’ 𝑁 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣))
321, 28, 29, 30, 6, 31syl122anc 1376 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑁 β‰  𝑂) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) β†’ 𝑁 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣))
33 simp23r 1292 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑁 β‰  𝑂) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
34 cdlemg33.o . . . . . . . . . . 11 𝑂 = ((𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΊ)))
358, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 34cdlemg31a 40081 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) β†’ 𝑂 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣))
361, 28, 29, 30, 33, 35syl122anc 1376 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑁 β‰  𝑂) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) β†’ 𝑂 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣))
37 simp11l 1281 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑁 β‰  𝑂) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
3837hllatd 38747 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑁 β‰  𝑂) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
39 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
4039, 11atbase 38672 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ 𝐴 β†’ 𝑁 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
414, 40syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑁 β‰  𝑂) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) β†’ 𝑁 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4239, 9, 11hlatjcl 38750 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑣) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4337, 28, 30, 42syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑁 β‰  𝑂) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) β†’ (𝑃 ∨ 𝑣) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4439, 11atbase 38672 . . . . . . . . . . 11 (𝑂 ∈ 𝐴 β†’ 𝑂 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4520, 44syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑁 β‰  𝑂) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) β†’ 𝑂 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4639, 8, 9latjlej12 18420 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑁 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑣) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑂 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑣) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑁 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ 𝑂 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣)) β†’ (𝑁 ∨ 𝑂) ≀ ((𝑃 ∨ 𝑣) ∨ (𝑃 ∨ 𝑣))))
4738, 41, 43, 45, 43, 46syl122anc 1376 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑁 β‰  𝑂) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) β†’ ((𝑁 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ 𝑂 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣)) β†’ (𝑁 ∨ 𝑂) ≀ ((𝑃 ∨ 𝑣) ∨ (𝑃 ∨ 𝑣))))
4832, 36, 47mp2and 696 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑁 β‰  𝑂) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) β†’ (𝑁 ∨ 𝑂) ≀ ((𝑃 ∨ 𝑣) ∨ (𝑃 ∨ 𝑣)))
4939, 9latjidm 18427 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑣) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑣) ∨ (𝑃 ∨ 𝑣)) = (𝑃 ∨ 𝑣))
5038, 43, 49syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑁 β‰  𝑂) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑣) ∨ (𝑃 ∨ 𝑣)) = (𝑃 ∨ 𝑣))
5148, 50breqtrd 5167 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑁 β‰  𝑂) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) β†’ (𝑁 ∨ 𝑂) ≀ (𝑃 ∨ 𝑣))
5251adantr 480 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑁 β‰  𝑂) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (𝑁 ∨ 𝑂) ≀ (𝑃 ∨ 𝑣))
5338adantr 480 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑁 β‰  𝑂) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
5439, 11atbase 38672 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ 𝐴 β†’ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5554adantl 481 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑁 β‰  𝑂) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5639, 9, 11hlatjcl 38750 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) β†’ (𝑁 ∨ 𝑂) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5737, 4, 20, 56syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑁 β‰  𝑂) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) β†’ (𝑁 ∨ 𝑂) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5857adantr 480 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑁 β‰  𝑂) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (𝑁 ∨ 𝑂) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5943adantr 480 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑁 β‰  𝑂) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑣) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
6039, 8lattr 18409 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑁 ∨ 𝑂) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑣) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑧 ≀ (𝑁 ∨ 𝑂) ∧ (𝑁 ∨ 𝑂) ≀ (𝑃 ∨ 𝑣)) β†’ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣)))
6153, 55, 58, 59, 60syl13anc 1369 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑁 β‰  𝑂) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑧 ≀ (𝑁 ∨ 𝑂) ∧ (𝑁 ∨ 𝑂) ≀ (𝑃 ∨ 𝑣)) β†’ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣)))
6252, 61mpan2d 691 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑁 β‰  𝑂) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (𝑧 ≀ (𝑁 ∨ 𝑂) β†’ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣)))
6326, 27, 623anim123d 1439 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑁 β‰  𝑂) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑧 β‰  𝑁 ∧ 𝑧 β‰  𝑂 ∧ 𝑧 ≀ (𝑁 ∨ 𝑂)) β†’ (𝑧 β‰  𝑁 ∧ 𝑧 β‰  𝑂 ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣))))
6463anim2d 611 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑁 β‰  𝑂) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ (𝑧 β‰  𝑁 ∧ 𝑧 β‰  𝑂 ∧ 𝑧 ≀ (𝑁 ∨ 𝑂))) β†’ (Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ (𝑧 β‰  𝑁 ∧ 𝑧 β‰  𝑂 ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣)))))
6564reximdva 3162 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑁 β‰  𝑂) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ (𝑧 β‰  𝑁 ∧ 𝑧 β‰  𝑂 ∧ 𝑧 ≀ (𝑁 ∨ 𝑂))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ (𝑧 β‰  𝑁 ∧ 𝑧 β‰  𝑂 ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣)))))
6625, 65mpd 15 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑁 β‰  𝑂) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ (𝑧 β‰  𝑁 ∧ 𝑧 β‰  𝑂 ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆƒwrex 3064   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  lecple 17213  joincjn 18276  meetcmee 18277  Latclat 18396  Atomscatm 38646  HLchlt 38733  LHypclh 39368  LTrncltrn 39485  trLctrl 39542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-map 8824  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-p1 18391  df-lat 18397  df-clat 18464  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-llines 38882  df-lplanes 38883  df-psubsp 38887  df-pmap 38888  df-padd 39180  df-lhyp 39372  df-laut 39373  df-ldil 39488  df-ltrn 39489  df-trl 39543
This theorem is referenced by:  cdlemg33b  40091
  Copyright terms: Public domain W3C validator