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Theorem cdlemg33b0 40658
Description: TODO: Fix comment. (Contributed by NM, 30-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg12.l = (le‘𝐾)
cdlemg12.j = (join‘𝐾)
cdlemg12.m = (meet‘𝐾)
cdlemg12.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg12.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg12.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg12b.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg31.n 𝑁 = ((𝑃 𝑣) (𝑄 (𝑅𝐹)))
Assertion
Ref Expression
cdlemg33b0 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → ∃𝑧𝐴𝑧 𝑊 ∧ (𝑧𝑁𝑧 (𝑃 𝑣))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   ,𝑟   ,𝑟   𝑃,𝑟   𝑄,𝑟   𝑊,𝑟   𝐹,𝑟   𝑧,𝐴   𝑧,𝐹,𝑟   𝐻,𝑟,𝑧   𝑧,   𝐾,𝑟,𝑧   𝑧,   𝑁,𝑟,𝑧   𝑧,𝑃   𝑧,𝑄   𝑧,𝑅   𝑧,𝑇   𝑧,𝑊   𝑧,𝑣,𝑟
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑣)   𝑃(𝑣)   𝑄(𝑣)   𝑅(𝑣,𝑟)   𝑇(𝑣,𝑟)   𝐹(𝑣)   𝐻(𝑣)   (𝑣)   𝐾(𝑣)   (𝑣)   (𝑧,𝑣,𝑟)   𝑁(𝑣)   𝑊(𝑣)

Proof of Theorem cdlemg33b0
StepHypRef Expression
1 simp11 1203 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp12 1204 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
3 simp13 1205 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))
4 simp22 1207 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝑁𝐴)
5 simp21l 1290 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝑣𝐴)
6 simp21r 1291 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝑣 𝑊)
75, 6jca 511 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝑣𝐴𝑣 𝑊))
8 simp23 1208 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝐹𝑇)
9 simp32 1210 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝑣 ≠ (𝑅𝐹))
10 cdlemg12.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
11 cdlemg12.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
12 cdlemg12.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
13 cdlemg12.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
14 cdlemg12.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
15 cdlemg12.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
16 cdlemg12b.r . . . . . 6 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
17 cdlemg31.n . . . . . 6 𝑁 = ((𝑃 𝑣) (𝑄 (𝑅𝐹)))
1810, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17cdlemg31d 40657 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) → ¬ 𝑁 𝑊)
191, 2, 3, 7, 8, 9, 4, 18syl133anc 1393 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → ¬ 𝑁 𝑊)
204, 19jca 511 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁 𝑊))
21 simp31 1209 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝑃𝑄)
22 nbrne2 5186 . . . . . 6 ((𝑣 𝑊 ∧ ¬ 𝑁 𝑊) → 𝑣𝑁)
2322necomd 3002 . . . . 5 ((𝑣 𝑊 ∧ ¬ 𝑁 𝑊) → 𝑁𝑣)
246, 19, 23syl2anc 583 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝑁𝑣)
255, 24jca 511 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝑣𝐴𝑁𝑣))
26 simp33 1211 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))
2710, 11, 13, 144atex3 40038 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑣𝐴𝑁𝑣) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → ∃𝑧𝐴𝑧 𝑊 ∧ (𝑧𝑁𝑧𝑣𝑧 (𝑁 𝑣))))
281, 2, 3, 20, 21, 25, 26, 27syl133anc 1393 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → ∃𝑧𝐴𝑧 𝑊 ∧ (𝑧𝑁𝑧𝑣𝑧 (𝑁 𝑣))))
29 df-3an 1089 . . . . 5 ((𝑧𝑁𝑧𝑣𝑧 (𝑁 𝑣)) ↔ ((𝑧𝑁𝑧𝑣) ∧ 𝑧 (𝑁 𝑣)))
30 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝑧𝑁𝑧𝑣) → 𝑧𝑁)
3130a1i 11 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑧𝑁𝑧𝑣) → 𝑧𝑁))
32 simp12l 1286 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝑃𝐴)
33 simp13l 1288 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝑄𝐴)
3410, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17cdlemg31a 40654 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑣𝐴𝐹𝑇)) → 𝑁 (𝑃 𝑣))
351, 32, 33, 5, 8, 34syl122anc 1379 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝑁 (𝑃 𝑣))
36 simp11l 1284 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝐾 ∈ HL)
3710, 11, 13hlatlej2 39332 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑣𝐴) → 𝑣 (𝑃 𝑣))
3836, 32, 5, 37syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝑣 (𝑃 𝑣))
3936hllatd 39320 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝐾 ∈ Lat)
40 eqid 2740 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4140, 13atbase 39245 . . . . . . . . . . 11 (𝑁𝐴𝑁 ∈ (Base‘𝐾))
424, 41syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝑁 ∈ (Base‘𝐾))
4340, 13atbase 39245 . . . . . . . . . . 11 (𝑣𝐴𝑣 ∈ (Base‘𝐾))
445, 43syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝑣 ∈ (Base‘𝐾))
4540, 11, 13hlatjcl 39323 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑣𝐴) → (𝑃 𝑣) ∈ (Base‘𝐾))
4636, 32, 5, 45syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝑃 𝑣) ∈ (Base‘𝐾))
4740, 10, 11latjle12 18520 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑁 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑣) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑁 (𝑃 𝑣) ∧ 𝑣 (𝑃 𝑣)) ↔ (𝑁 𝑣) (𝑃 𝑣)))
4839, 42, 44, 46, 47syl13anc 1372 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → ((𝑁 (𝑃 𝑣) ∧ 𝑣 (𝑃 𝑣)) ↔ (𝑁 𝑣) (𝑃 𝑣)))
4935, 38, 48mpbi2and 711 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝑁 𝑣) (𝑃 𝑣))
5049adantr 480 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑁 𝑣) (𝑃 𝑣))
5139adantr 480 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
5240, 13atbase 39245 . . . . . . . . 9 (𝑧𝐴𝑧 ∈ (Base‘𝐾))
5352adantl 481 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐾))
5440, 11, 13hlatjcl 39323 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑁𝐴𝑣𝐴) → (𝑁 𝑣) ∈ (Base‘𝐾))
5536, 4, 5, 54syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝑁 𝑣) ∈ (Base‘𝐾))
5655adantr 480 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑁 𝑣) ∈ (Base‘𝐾))
5746adantr 480 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑃 𝑣) ∈ (Base‘𝐾))
5840, 10lattr 18514 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑁 𝑣) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑣) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑧 (𝑁 𝑣) ∧ (𝑁 𝑣) (𝑃 𝑣)) → 𝑧 (𝑃 𝑣)))
5951, 53, 56, 57, 58syl13anc 1372 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑧 (𝑁 𝑣) ∧ (𝑁 𝑣) (𝑃 𝑣)) → 𝑧 (𝑃 𝑣)))
6050, 59mpan2d 693 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑧 (𝑁 𝑣) → 𝑧 (𝑃 𝑣)))
6131, 60anim12d 608 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) ∧ 𝑧𝐴) → (((𝑧𝑁𝑧𝑣) ∧ 𝑧 (𝑁 𝑣)) → (𝑧𝑁𝑧 (𝑃 𝑣))))
6229, 61biimtrid 242 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑧𝑁𝑧𝑣𝑧 (𝑁 𝑣)) → (𝑧𝑁𝑧 (𝑃 𝑣))))
6362anim2d 611 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) ∧ 𝑧𝐴) → ((¬ 𝑧 𝑊 ∧ (𝑧𝑁𝑧𝑣𝑧 (𝑁 𝑣))) → (¬ 𝑧 𝑊 ∧ (𝑧𝑁𝑧 (𝑃 𝑣)))))
6463reximdva 3174 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (∃𝑧𝐴𝑧 𝑊 ∧ (𝑧𝑁𝑧𝑣𝑧 (𝑁 𝑣))) → ∃𝑧𝐴𝑧 𝑊 ∧ (𝑧𝑁𝑧 (𝑃 𝑣)))))
6528, 64mpd 15 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → ∃𝑧𝐴𝑧 𝑊 ∧ (𝑧𝑁𝑧 (𝑃 𝑣))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1537  wcel 2108  wne 2946  wrex 3076   class class class wbr 5166  cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  lecple 17318  joincjn 18381  meetcmee 18382  Latclat 18501  Atomscatm 39219  HLchlt 39306  LHypclh 39941  LTrncltrn 40058  trLctrl 40115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-map 8886  df-proset 18365  df-poset 18383  df-plt 18400  df-lub 18416  df-glb 18417  df-join 18418  df-meet 18419  df-p0 18495  df-p1 18496  df-lat 18502  df-clat 18569  df-oposet 39132  df-ol 39134  df-oml 39135  df-covers 39222  df-ats 39223  df-atl 39254  df-cvlat 39278  df-hlat 39307  df-llines 39455  df-lplanes 39456  df-psubsp 39460  df-pmap 39461  df-padd 39753  df-lhyp 39945  df-laut 39946  df-ldil 40061  df-ltrn 40062  df-trl 40116
This theorem is referenced by:  cdlemg33b  40664  cdlemg33c  40665
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