Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihord5apre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihord5apre 38555
Description: Part of proof that isomorphism H is order-preserving . (Contributed by NM, 7-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihord5apre.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihord5apre.l = (le‘𝐾)
dihord5apre.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihord5apre.j = (join‘𝐾)
dihord5apre.m = (meet‘𝐾)
dihord5apre.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dihord5apre.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihord5apre.s = (LSSum‘𝑈)
dihord5apre.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
dihord5apre ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌)) → 𝑋 𝑌)

Proof of Theorem dihord5apre
Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1188 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simpl3 1190 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌)) → (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊))
3 dihord5apre.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
4 dihord5apre.l . . . 4 = (le‘𝐾)
5 dihord5apre.j . . . 4 = (join‘𝐾)
6 dihord5apre.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
7 dihord5apre.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8 dihord5apre.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
93, 4, 5, 6, 7, 8lhpmcvr2 37317 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) → ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌))
101, 2, 9syl2anc 587 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌)) → ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌))
11 simp11l 1281 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
1211hllatd 36657 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → 𝐾 ∈ Lat)
13 simp12l 1283 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → 𝑋𝐵)
14 simp3ll 1241 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → 𝑟𝐴)
153, 7atbase 36582 . . . . . . . . 9 (𝑟𝐴𝑟𝐵)
1614, 15syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → 𝑟𝐵)
173, 5latjcl 17653 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑟𝐵𝑋𝐵) → (𝑟 𝑋) ∈ 𝐵)
1812, 16, 13, 17syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → (𝑟 𝑋) ∈ 𝐵)
19 simp13l 1285 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → 𝑌𝐵)
203, 4, 5latlej2 17663 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑟𝐵𝑋𝐵) → 𝑋 (𝑟 𝑋))
2112, 16, 13, 20syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → 𝑋 (𝑟 𝑋))
22 simp11 1200 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
23 simp3lr 1242 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → ¬ 𝑟 𝑊)
243, 4, 5latlej1 17662 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑟𝐵𝑋𝐵) → 𝑟 (𝑟 𝑋))
2512, 16, 13, 24syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → 𝑟 (𝑟 𝑋))
26 simp11r 1282 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → 𝑊𝐻)
273, 8lhpbase 37291 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → 𝑊𝐵)
293, 4lattr 17658 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑟𝐵 ∧ (𝑟 𝑋) ∈ 𝐵𝑊𝐵)) → ((𝑟 (𝑟 𝑋) ∧ (𝑟 𝑋) 𝑊) → 𝑟 𝑊))
3012, 16, 18, 28, 29syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → ((𝑟 (𝑟 𝑋) ∧ (𝑟 𝑋) 𝑊) → 𝑟 𝑊))
3125, 30mpand 694 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → ((𝑟 𝑋) 𝑊𝑟 𝑊))
3223, 31mtod 201 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → ¬ (𝑟 𝑋) 𝑊)
33 simp3l 1198 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → (𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊))
34 simp12 1201 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → (𝑋𝐵𝑋 𝑊))
353, 4, 5, 6, 7, 8lhple 37335 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → ((𝑟 𝑋) 𝑊) = 𝑋)
3622, 33, 34, 35syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → ((𝑟 𝑋) 𝑊) = 𝑋)
3736oveq2d 7151 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → (𝑟 ((𝑟 𝑋) 𝑊)) = (𝑟 𝑋))
38 dihord5apre.i . . . . . . . . . . 11 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
39 eqid 2798 . . . . . . . . . . 11 ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
40 eqid 2798 . . . . . . . . . . 11 ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)
41 dihord5apre.u . . . . . . . . . . 11 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
42 dihord5apre.s . . . . . . . . . . 11 = (LSSum‘𝑈)
433, 4, 5, 6, 7, 8, 38, 39, 40, 41, 42dihvalcq 38529 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑟 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑟 𝑋) 𝑊) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 ((𝑟 𝑋) 𝑊)) = (𝑟 𝑋))) → (𝐼‘(𝑟 𝑋)) = ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑟) (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑟 𝑋) 𝑊))))
4422, 18, 32, 33, 37, 43syl122anc 1376 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → (𝐼‘(𝑟 𝑋)) = ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑟) (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑟 𝑋) 𝑊))))
458, 41, 22dvhlmod 38403 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → 𝑈 ∈ LMod)
46 eqid 2798 . . . . . . . . . . . . . . 15 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
4746lsssssubg 19723 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑈 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑈) ⊆ (SubGrp‘𝑈))
4845, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → (LSubSp‘𝑈) ⊆ (SubGrp‘𝑈))
494, 7, 8, 41, 40, 46diclss 38486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊)) → (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑟) ∈ (LSubSp‘𝑈))
5022, 33, 49syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑟) ∈ (LSubSp‘𝑈))
5148, 50sseldd 3916 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑟) ∈ (SubGrp‘𝑈))
523, 6latmcl 17654 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐵𝑊𝐵) → (𝑌 𝑊) ∈ 𝐵)
5312, 19, 28, 52syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → (𝑌 𝑊) ∈ 𝐵)
543, 4, 6latmle2 17679 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐵𝑊𝐵) → (𝑌 𝑊) 𝑊)
5512, 19, 28, 54syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → (𝑌 𝑊) 𝑊)
563, 4, 8, 41, 39, 46diblss 38463 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑌 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 𝑊) 𝑊)) → (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑌 𝑊)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
5722, 53, 55, 56syl12anc 835 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑌 𝑊)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
5848, 57sseldd 3916 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑌 𝑊)) ∈ (SubGrp‘𝑈))
5942lsmub1 18774 . . . . . . . . . . . 12 (((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑟) ∈ (SubGrp‘𝑈) ∧ (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑌 𝑊)) ∈ (SubGrp‘𝑈)) → (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑟) ⊆ ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑟) (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑌 𝑊))))
6051, 58, 59syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑟) ⊆ ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑟) (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑌 𝑊))))
61 simp13 1202 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊))
62 simp3r 1199 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)
633, 4, 5, 6, 7, 8, 38, 39, 40, 41, 42dihvalcq 38529 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → (𝐼𝑌) = ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑟) (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑌 𝑊))))
6422, 61, 33, 62, 63syl112anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → (𝐼𝑌) = ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑟) (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑌 𝑊))))
6560, 64sseqtrrd 3956 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑟) ⊆ (𝐼𝑌))
6636fveq2d 6649 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑟 𝑋) 𝑊)) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋))
673, 4, 8, 38, 39dihvalb 38530 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → (𝐼𝑋) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋))
6822, 34, 67syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → (𝐼𝑋) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋))
6966, 68eqtr4d 2836 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑟 𝑋) 𝑊)) = (𝐼𝑋))
70 simp2 1134 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌))
7169, 70eqsstrd 3953 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑟 𝑋) 𝑊)) ⊆ (𝐼𝑌))
723, 6latmcl 17654 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑟 𝑋) ∈ 𝐵𝑊𝐵) → ((𝑟 𝑋) 𝑊) ∈ 𝐵)
7312, 18, 28, 72syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → ((𝑟 𝑋) 𝑊) ∈ 𝐵)
743, 4, 6latmle2 17679 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑟 𝑋) ∈ 𝐵𝑊𝐵) → ((𝑟 𝑋) 𝑊) 𝑊)
7512, 18, 28, 74syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → ((𝑟 𝑋) 𝑊) 𝑊)
763, 4, 8, 41, 39, 46diblss 38463 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (((𝑟 𝑋) 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑟 𝑋) 𝑊) 𝑊)) → (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑟 𝑋) 𝑊)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
7722, 73, 75, 76syl12anc 835 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑟 𝑋) 𝑊)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
7848, 77sseldd 3916 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑟 𝑋) 𝑊)) ∈ (SubGrp‘𝑈))
793, 8, 38, 41, 46dihlss 38543 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑌𝐵) → (𝐼𝑌) ∈ (LSubSp‘𝑈))
8022, 19, 79syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → (𝐼𝑌) ∈ (LSubSp‘𝑈))
8148, 80sseldd 3916 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → (𝐼𝑌) ∈ (SubGrp‘𝑈))
8242lsmlub 18782 . . . . . . . . . . 11 (((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑟) ∈ (SubGrp‘𝑈) ∧ (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑟 𝑋) 𝑊)) ∈ (SubGrp‘𝑈) ∧ (𝐼𝑌) ∈ (SubGrp‘𝑈)) → (((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑟) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑟 𝑋) 𝑊)) ⊆ (𝐼𝑌)) ↔ ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑟) (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑟 𝑋) 𝑊))) ⊆ (𝐼𝑌)))
8351, 78, 81, 82syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → (((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑟) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑟 𝑋) 𝑊)) ⊆ (𝐼𝑌)) ↔ ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑟) (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑟 𝑋) 𝑊))) ⊆ (𝐼𝑌)))
8465, 71, 83mpbi2and 711 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑟) (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑟 𝑋) 𝑊))) ⊆ (𝐼𝑌))
8544, 84eqsstrd 3953 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → (𝐼‘(𝑟 𝑋)) ⊆ (𝐼𝑌))
863, 4, 8, 38dihord4 38551 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑟 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑟 𝑋) 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) → ((𝐼‘(𝑟 𝑋)) ⊆ (𝐼𝑌) ↔ (𝑟 𝑋) 𝑌))
8722, 18, 32, 61, 86syl121anc 1372 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → ((𝐼‘(𝑟 𝑋)) ⊆ (𝐼𝑌) ↔ (𝑟 𝑋) 𝑌))
8885, 87mpbid 235 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → (𝑟 𝑋) 𝑌)
893, 4, 12, 13, 18, 19, 21, 88lattrd 17660 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → 𝑋 𝑌)
90893expia 1118 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌)) → (((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌) → 𝑋 𝑌))
9190exp4c 436 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌)) → (𝑟𝐴 → (¬ 𝑟 𝑊 → ((𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌𝑋 𝑌))))
9291imp4a 426 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌)) → (𝑟𝐴 → ((¬ 𝑟 𝑊 ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌) → 𝑋 𝑌)))
9392rexlimdv 3242 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌)) → (∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌) → 𝑋 𝑌))
9410, 93mpd 15 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌)) → 𝑋 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2111  wrex 3107  wss 3881   class class class wbr 5030  cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475  lecple 16564  joincjn 17546  meetcmee 17547  Latclat 17647  SubGrpcsubg 18265  LSSumclsm 18751  LModclmod 19627  LSubSpclss 19696  Atomscatm 36556  HLchlt 36643  LHypclh 37277  DVecHcdvh 38371  DIsoBcdib 38431  DIsoCcdic 38465  DIsoHcdih 38521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-riotaBAD 36246
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-tpos 7875  df-undef 7922  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-0g 16707  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-p1 17642  df-lat 17648  df-clat 17710  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-subg 18268  df-cntz 18439  df-lsm 18753  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-oppr 19369  df-dvdsr 19387  df-unit 19388  df-invr 19418  df-dvr 19429  df-drng 19497  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-lsp 19737  df-lvec 19868  df-oposet 36469  df-ol 36471  df-oml 36472  df-covers 36559  df-ats 36560  df-atl 36591  df-cvlat 36615  df-hlat 36644  df-llines 36791  df-lplanes 36792  df-lvols 36793  df-lines 36794  df-psubsp 36796  df-pmap 36797  df-padd 37089  df-lhyp 37281  df-laut 37282  df-ldil 37397  df-ltrn 37398  df-trl 37452  df-tendo 38048  df-edring 38050  df-disoa 38322  df-dvech 38372  df-dib 38432  df-dic 38466  df-dih 38522
This theorem is referenced by:  dihord5a  38556
  Copyright terms: Public domain W3C validator