Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpl1 1192 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΌβπ) β (πΌβπ)) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
2 | | simpl3 1194 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΌβπ) β (πΌβπ)) β (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) |
3 | | dihord5apre.b |
. . . 4
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
4 | | dihord5apre.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
5 | | dihord5apre.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
6 | | dihord5apre.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
7 | | dihord5apre.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
8 | | dihord5apre.h |
. . . 4
β’ π» = (LHypβπΎ) |
9 | 3, 4, 5, 6, 7, 8 | lhpmcvr2 38537 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) |
10 | 1, 2, 9 | syl2anc 585 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΌβπ) β (πΌβπ)) β βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) |
11 | | simp11l 1285 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΌβπ) β (πΌβπ) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β πΎ β HL) |
12 | 11 | hllatd 37876 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΌβπ) β (πΌβπ) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β πΎ β Lat) |
13 | | simp12l 1287 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΌβπ) β (πΌβπ) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β π β π΅) |
14 | | simp3ll 1245 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΌβπ) β (πΌβπ) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β π β π΄) |
15 | 3, 7 | atbase 37801 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β π΄ β π β π΅) |
16 | 14, 15 | syl 17 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΌβπ) β (πΌβπ) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β π β π΅) |
17 | 3, 5 | latjcl 18336 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π β¨ π) β π΅) |
18 | 12, 16, 13, 17 | syl3anc 1372 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΌβπ) β (πΌβπ) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (π β¨ π) β π΅) |
19 | | simp13l 1289 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΌβπ) β (πΌβπ) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β π β π΅) |
20 | 3, 4, 5 | latlej2 18346 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β π β€ (π β¨ π)) |
21 | 12, 16, 13, 20 | syl3anc 1372 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΌβπ) β (πΌβπ) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β π β€ (π β¨ π)) |
22 | | simp11 1204 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΌβπ) β (πΌβπ) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
23 | | simp3lr 1246 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΌβπ) β (πΌβπ) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β Β¬ π β€ π) |
24 | 3, 4, 5 | latlej1 18345 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β π β€ (π β¨ π)) |
25 | 12, 16, 13, 24 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΌβπ) β (πΌβπ) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β π β€ (π β¨ π)) |
26 | | simp11r 1286 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΌβπ) β (πΌβπ) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β π β π») |
27 | 3, 8 | lhpbase 38511 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β π» β π β π΅) |
28 | 26, 27 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΌβπ) β (πΌβπ) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β π β π΅) |
29 | 3, 4 | lattr 18341 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β π΅ β§ (π β¨ π) β π΅ β§ π β π΅)) β ((π β€ (π β¨ π) β§ (π β¨ π) β€ π) β π β€ π)) |
30 | 12, 16, 18, 28, 29 | syl13anc 1373 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΌβπ) β (πΌβπ) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β ((π β€ (π β¨ π) β§ (π β¨ π) β€ π) β π β€ π)) |
31 | 25, 30 | mpand 694 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΌβπ) β (πΌβπ) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β ((π β¨ π) β€ π β π β€ π)) |
32 | 23, 31 | mtod 197 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΌβπ) β (πΌβπ) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β Β¬ (π β¨ π) β€ π) |
33 | | simp3l 1202 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΌβπ) β (πΌβπ) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
34 | | simp12 1205 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΌβπ) β (πΌβπ) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (π β π΅ β§ π β€ π)) |
35 | 3, 4, 5, 6, 7, 8 | lhple 38555 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β ((π β¨ π) β§ π) = π) |
36 | 22, 33, 34, 35 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΌβπ) β (πΌβπ) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β ((π β¨ π) β§ π) = π) |
37 | 36 | oveq2d 7377 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΌβπ) β (πΌβπ) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (π β¨ ((π β¨ π) β§ π)) = (π β¨ π)) |
38 | | dihord5apre.i |
. . . . . . . . . . 11
β’ πΌ = ((DIsoHβπΎ)βπ) |
39 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . . 11
β’
((DIsoBβπΎ)βπ) = ((DIsoBβπΎ)βπ) |
40 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . . 11
β’
((DIsoCβπΎ)βπ) = ((DIsoCβπΎ)βπ) |
41 | | dihord5apre.u |
. . . . . . . . . . 11
β’ π = ((DVecHβπΎ)βπ) |
42 | | dihord5apre.s |
. . . . . . . . . . 11
β’ β =
(LSSumβπ) |
43 | 3, 4, 5, 6, 7, 8, 38, 39, 40, 41, 42 | dihvalcq 39749 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β¨ π) β π΅ β§ Β¬ (π β¨ π) β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π)) = (π β¨ π))) β (πΌβ(π β¨ π)) = ((((DIsoCβπΎ)βπ)βπ) β
(((DIsoBβπΎ)βπ)β((π β¨ π) β§ π)))) |
44 | 22, 18, 32, 33, 37, 43 | syl122anc 1380 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΌβπ) β (πΌβπ) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (πΌβ(π β¨ π)) = ((((DIsoCβπΎ)βπ)βπ) β
(((DIsoBβπΎ)βπ)β((π β¨ π) β§ π)))) |
45 | 8, 41, 22 | dvhlmod 39623 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΌβπ) β (πΌβπ) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β π β LMod) |
46 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’
(LSubSpβπ) =
(LSubSpβπ) |
47 | 46 | lsssssubg 20463 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β LMod β
(LSubSpβπ) β
(SubGrpβπ)) |
48 | 45, 47 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΌβπ) β (πΌβπ) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (LSubSpβπ) β (SubGrpβπ)) |
49 | 4, 7, 8, 41, 40, 46 | diclss 39706 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (((DIsoCβπΎ)βπ)βπ) β (LSubSpβπ)) |
50 | 22, 33, 49 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΌβπ) β (πΌβπ) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (((DIsoCβπΎ)βπ)βπ) β (LSubSpβπ)) |
51 | 48, 50 | sseldd 3949 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΌβπ) β (πΌβπ) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (((DIsoCβπΎ)βπ)βπ) β (SubGrpβπ)) |
52 | 3, 6 | latmcl 18337 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π β§ π) β π΅) |
53 | 12, 19, 28, 52 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΌβπ) β (πΌβπ) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (π β§ π) β π΅) |
54 | 3, 4, 6 | latmle2 18362 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π β§ π) β€ π) |
55 | 12, 19, 28, 54 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΌβπ) β (πΌβπ) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (π β§ π) β€ π) |
56 | 3, 4, 8, 41, 39, 46 | diblss 39683 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β§ π) β π΅ β§ (π β§ π) β€ π)) β (((DIsoBβπΎ)βπ)β(π β§ π)) β (LSubSpβπ)) |
57 | 22, 53, 55, 56 | syl12anc 836 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΌβπ) β (πΌβπ) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (((DIsoBβπΎ)βπ)β(π β§ π)) β (LSubSpβπ)) |
58 | 48, 57 | sseldd 3949 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΌβπ) β (πΌβπ) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (((DIsoBβπΎ)βπ)β(π β§ π)) β (SubGrpβπ)) |
59 | 42 | lsmub1 19447 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
(((((DIsoCβπΎ)βπ)βπ) β (SubGrpβπ) β§ (((DIsoBβπΎ)βπ)β(π β§ π)) β (SubGrpβπ)) β (((DIsoCβπΎ)βπ)βπ) β ((((DIsoCβπΎ)βπ)βπ) β
(((DIsoBβπΎ)βπ)β(π β§ π)))) |
60 | 51, 58, 59 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΌβπ) β (πΌβπ) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (((DIsoCβπΎ)βπ)βπ) β ((((DIsoCβπΎ)βπ)βπ) β
(((DIsoBβπΎ)βπ)β(π β§ π)))) |
61 | | simp13 1206 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΌβπ) β (πΌβπ) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) |
62 | | simp3r 1203 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΌβπ) β (πΌβπ) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (π β¨ (π β§ π)) = π) |
63 | 3, 4, 5, 6, 7, 8, 38, 39, 40, 41, 42 | dihvalcq 39749 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (πΌβπ) = ((((DIsoCβπΎ)βπ)βπ) β
(((DIsoBβπΎ)βπ)β(π β§ π)))) |
64 | 22, 61, 33, 62, 63 | syl112anc 1375 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΌβπ) β (πΌβπ) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (πΌβπ) = ((((DIsoCβπΎ)βπ)βπ) β
(((DIsoBβπΎ)βπ)β(π β§ π)))) |
65 | 60, 64 | sseqtrrd 3989 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΌβπ) β (πΌβπ) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (((DIsoCβπΎ)βπ)βπ) β (πΌβπ)) |
66 | 36 | fveq2d 6850 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΌβπ) β (πΌβπ) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (((DIsoBβπΎ)βπ)β((π β¨ π) β§ π)) = (((DIsoBβπΎ)βπ)βπ)) |
67 | 3, 4, 8, 38, 39 | dihvalb 39750 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β (πΌβπ) = (((DIsoBβπΎ)βπ)βπ)) |
68 | 22, 34, 67 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΌβπ) β (πΌβπ) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (πΌβπ) = (((DIsoBβπΎ)βπ)βπ)) |
69 | 66, 68 | eqtr4d 2776 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΌβπ) β (πΌβπ) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (((DIsoBβπΎ)βπ)β((π β¨ π) β§ π)) = (πΌβπ)) |
70 | | simp2 1138 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΌβπ) β (πΌβπ) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (πΌβπ) β (πΌβπ)) |
71 | 69, 70 | eqsstrd 3986 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΌβπ) β (πΌβπ) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (((DIsoBβπΎ)βπ)β((π β¨ π) β§ π)) β (πΌβπ)) |
72 | 3, 6 | latmcl 18337 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β π΅ β§ π β π΅) β ((π β¨ π) β§ π) β π΅) |
73 | 12, 18, 28, 72 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΌβπ) β (πΌβπ) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β ((π β¨ π) β§ π) β π΅) |
74 | 3, 4, 6 | latmle2 18362 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β π΅ β§ π β π΅) β ((π β¨ π) β§ π) β€ π) |
75 | 12, 18, 28, 74 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΌβπ) β (πΌβπ) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β ((π β¨ π) β§ π) β€ π) |
76 | 3, 4, 8, 41, 39, 46 | diblss 39683 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (((π β¨ π) β§ π) β π΅ β§ ((π β¨ π) β§ π) β€ π)) β (((DIsoBβπΎ)βπ)β((π β¨ π) β§ π)) β (LSubSpβπ)) |
77 | 22, 73, 75, 76 | syl12anc 836 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΌβπ) β (πΌβπ) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (((DIsoBβπΎ)βπ)β((π β¨ π) β§ π)) β (LSubSpβπ)) |
78 | 48, 77 | sseldd 3949 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΌβπ) β (πΌβπ) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (((DIsoBβπΎ)βπ)β((π β¨ π) β§ π)) β (SubGrpβπ)) |
79 | 3, 8, 38, 41, 46 | dihlss 39763 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅) β (πΌβπ) β (LSubSpβπ)) |
80 | 22, 19, 79 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΌβπ) β (πΌβπ) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (πΌβπ) β (LSubSpβπ)) |
81 | 48, 80 | sseldd 3949 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΌβπ) β (πΌβπ) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (πΌβπ) β (SubGrpβπ)) |
82 | 42 | lsmlub 19454 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(((((DIsoCβπΎ)βπ)βπ) β (SubGrpβπ) β§ (((DIsoBβπΎ)βπ)β((π β¨ π) β§ π)) β (SubGrpβπ) β§ (πΌβπ) β (SubGrpβπ)) β (((((DIsoCβπΎ)βπ)βπ) β (πΌβπ) β§ (((DIsoBβπΎ)βπ)β((π β¨ π) β§ π)) β (πΌβπ)) β ((((DIsoCβπΎ)βπ)βπ) β
(((DIsoBβπΎ)βπ)β((π β¨ π) β§ π))) β (πΌβπ))) |
83 | 51, 78, 81, 82 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΌβπ) β (πΌβπ) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (((((DIsoCβπΎ)βπ)βπ) β (πΌβπ) β§ (((DIsoBβπΎ)βπ)β((π β¨ π) β§ π)) β (πΌβπ)) β ((((DIsoCβπΎ)βπ)βπ) β
(((DIsoBβπΎ)βπ)β((π β¨ π) β§ π))) β (πΌβπ))) |
84 | 65, 71, 83 | mpbi2and 711 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΌβπ) β (πΌβπ) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β ((((DIsoCβπΎ)βπ)βπ) β
(((DIsoBβπΎ)βπ)β((π β¨ π) β§ π))) β (πΌβπ)) |
85 | 44, 84 | eqsstrd 3986 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΌβπ) β (πΌβπ) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (πΌβ(π β¨ π)) β (πΌβπ)) |
86 | 3, 4, 8, 38 | dihord4 39771 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β¨ π) β π΅ β§ Β¬ (π β¨ π) β€ π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β ((πΌβ(π β¨ π)) β (πΌβπ) β (π β¨ π) β€ π)) |
87 | 22, 18, 32, 61, 86 | syl121anc 1376 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΌβπ) β (πΌβπ) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β ((πΌβ(π β¨ π)) β (πΌβπ) β (π β¨ π) β€ π)) |
88 | 85, 87 | mpbid 231 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΌβπ) β (πΌβπ) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (π β¨ π) β€ π) |
89 | 3, 4, 12, 13, 18, 19, 21, 88 | lattrd 18343 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΌβπ) β (πΌβπ) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β π β€ π) |
90 | 89 | 3expia 1122 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΌβπ) β (πΌβπ)) β (((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π) β π β€ π)) |
91 | 90 | exp4c 434 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΌβπ) β (πΌβπ)) β (π β π΄ β (Β¬ π β€ π β ((π β¨ (π β§ π)) = π β π β€ π)))) |
92 | 91 | imp4a 424 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΌβπ) β (πΌβπ)) β (π β π΄ β ((Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π) β π β€ π))) |
93 | 92 | rexlimdv 3147 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΌβπ) β (πΌβπ)) β (βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π) β π β€ π)) |
94 | 10, 93 | mpd 15 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΌβπ) β (πΌβπ)) β π β€ π) |