Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg27a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemg27a 36846
Description: For use with case when (𝑃 𝑣) (𝑄 (𝑅𝐹)) or (𝑃 𝑣) (𝑄 (𝑅𝐹)) is zero, letting us establish ¬ 𝑧 𝑊𝑧 (𝑃 𝑣) via 4atex 36230. TODO: Fix comment. (Contributed by NM, 28-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg12.l = (le‘𝐾)
cdlemg12.j = (join‘𝐾)
cdlemg12.m = (meet‘𝐾)
cdlemg12.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg12.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg12.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg12b.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemg27a ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → ¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑧))

Proof of Theorem cdlemg27a
StepHypRef Expression
1 simp11 1217 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp12 1218 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
3 simp31 1223 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑣 ≠ (𝑅𝐹))
4 simp13 1219 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑣𝐴𝑣 𝑊))
5 simp2r 1214 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝐹𝑇)
6 simp33 1225 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)
7 cdlemg12.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
8 cdlemg12.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9 cdlemg12.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
10 cdlemg12.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
11 cdlemg12b.r . . . . 5 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
127, 8, 9, 10, 11trlat 36323 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴)
131, 2, 5, 6, 12syl112anc 1442 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴)
147, 9, 10, 11trlle 36338 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) 𝑊)
151, 5, 14syl2anc 579 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅𝐹) 𝑊)
16 cdlemg12.j . . . 4 = (join‘𝐾)
177, 16, 8, 9lhp2atnle 36187 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) ∈ 𝐴 ∧ (𝑅𝐹) 𝑊)) → ¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑣))
181, 2, 3, 4, 13, 15, 17syl312anc 1459 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → ¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑣))
19 simp11l 1340 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝐾 ∈ HL)
20 simp12l 1342 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑃𝐴)
21 simp13l 1344 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑣𝐴)
227, 16, 8hlatlej1 35529 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑣𝐴) → 𝑃 (𝑃 𝑣))
2319, 20, 21, 22syl3anc 1439 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑃 (𝑃 𝑣))
24 simp32 1224 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑧 (𝑃 𝑣))
2519hllatd 35518 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝐾 ∈ Lat)
26 eqid 2778 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2726, 8atbase 35443 . . . . . 6 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
2820, 27syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
29 simp2l 1213 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑧𝐴)
3026, 8atbase 35443 . . . . . 6 (𝑧𝐴𝑧 ∈ (Base‘𝐾))
3129, 30syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐾))
3226, 16, 8hlatjcl 35521 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑣𝐴) → (𝑃 𝑣) ∈ (Base‘𝐾))
3319, 20, 21, 32syl3anc 1439 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑃 𝑣) ∈ (Base‘𝐾))
3426, 7, 16latjle12 17448 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑣) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑃 (𝑃 𝑣) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣)) ↔ (𝑃 𝑧) (𝑃 𝑣)))
3525, 28, 31, 33, 34syl13anc 1440 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → ((𝑃 (𝑃 𝑣) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣)) ↔ (𝑃 𝑧) (𝑃 𝑣)))
3623, 24, 35mpbi2and 702 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑃 𝑧) (𝑃 𝑣))
3726, 8atbase 35443 . . . . 5 ((𝑅𝐹) ∈ 𝐴 → (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾))
3813, 37syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾))
3926, 16, 8hlatjcl 35521 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑧𝐴) → (𝑃 𝑧) ∈ (Base‘𝐾))
4019, 20, 29, 39syl3anc 1439 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑃 𝑧) ∈ (Base‘𝐾))
4126, 7lattr 17442 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑧) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑣) ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑅𝐹) (𝑃 𝑧) ∧ (𝑃 𝑧) (𝑃 𝑣)) → (𝑅𝐹) (𝑃 𝑣)))
4225, 38, 40, 33, 41syl13anc 1440 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (((𝑅𝐹) (𝑃 𝑧) ∧ (𝑃 𝑧) (𝑃 𝑣)) → (𝑅𝐹) (𝑃 𝑣)))
4336, 42mpan2d 684 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → ((𝑅𝐹) (𝑃 𝑧) → (𝑅𝐹) (𝑃 𝑣)))
4418, 43mtod 190 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → ¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑧))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107  wne 2969   class class class wbr 4886  cfv 6135  (class class class)co 6922  Basecbs 16255  lecple 16345  joincjn 17330  meetcmee 17331  Latclat 17431  Atomscatm 35417  HLchlt 35504  LHypclh 36138  LTrncltrn 36255  trLctrl 36312
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-map 8142  df-proset 17314  df-poset 17332  df-plt 17344  df-lub 17360  df-glb 17361  df-join 17362  df-meet 17363  df-p0 17425  df-p1 17426  df-lat 17432  df-clat 17494  df-oposet 35330  df-ol 35332  df-oml 35333  df-covers 35420  df-ats 35421  df-atl 35452  df-cvlat 35476  df-hlat 35505  df-psubsp 35657  df-pmap 35658  df-padd 35950  df-lhyp 36142  df-laut 36143  df-ldil 36258  df-ltrn 36259  df-trl 36313
This theorem is referenced by:  cdlemg28a  36847
  Copyright terms: Public domain W3C validator