Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg27a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemg27a 37864
Description: For use with case when (𝑃 𝑣) (𝑄 (𝑅𝐹)) or (𝑃 𝑣) (𝑄 (𝑅𝐹)) is zero, letting us establish ¬ 𝑧 𝑊𝑧 (𝑃 𝑣) via 4atex 37248. TODO: Fix comment. (Contributed by NM, 28-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg12.l = (le‘𝐾)
cdlemg12.j = (join‘𝐾)
cdlemg12.m = (meet‘𝐾)
cdlemg12.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg12.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg12.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg12b.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemg27a ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → ¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑧))

Proof of Theorem cdlemg27a
StepHypRef Expression
1 simp11 1199 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp12 1200 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
3 simp31 1205 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑣 ≠ (𝑅𝐹))
4 simp13 1201 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑣𝐴𝑣 𝑊))
5 simp2r 1196 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝐹𝑇)
6 simp33 1207 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)
7 cdlemg12.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
8 cdlemg12.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9 cdlemg12.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
10 cdlemg12.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
11 cdlemg12b.r . . . . 5 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
127, 8, 9, 10, 11trlat 37341 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴)
131, 2, 5, 6, 12syl112anc 1370 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴)
147, 9, 10, 11trlle 37356 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) 𝑊)
151, 5, 14syl2anc 586 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅𝐹) 𝑊)
16 cdlemg12.j . . . 4 = (join‘𝐾)
177, 16, 8, 9lhp2atnle 37205 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) ∈ 𝐴 ∧ (𝑅𝐹) 𝑊)) → ¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑣))
181, 2, 3, 4, 13, 15, 17syl312anc 1387 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → ¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑣))
19 simp11l 1280 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝐾 ∈ HL)
20 simp12l 1282 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑃𝐴)
21 simp13l 1284 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑣𝐴)
227, 16, 8hlatlej1 36547 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑣𝐴) → 𝑃 (𝑃 𝑣))
2319, 20, 21, 22syl3anc 1367 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑃 (𝑃 𝑣))
24 simp32 1206 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑧 (𝑃 𝑣))
2519hllatd 36536 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝐾 ∈ Lat)
26 eqid 2820 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2726, 8atbase 36461 . . . . . 6 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
2820, 27syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
29 simp2l 1195 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑧𝐴)
3026, 8atbase 36461 . . . . . 6 (𝑧𝐴𝑧 ∈ (Base‘𝐾))
3129, 30syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐾))
3226, 16, 8hlatjcl 36539 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑣𝐴) → (𝑃 𝑣) ∈ (Base‘𝐾))
3319, 20, 21, 32syl3anc 1367 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑃 𝑣) ∈ (Base‘𝐾))
3426, 7, 16latjle12 17651 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑣) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑃 (𝑃 𝑣) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣)) ↔ (𝑃 𝑧) (𝑃 𝑣)))
3525, 28, 31, 33, 34syl13anc 1368 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → ((𝑃 (𝑃 𝑣) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣)) ↔ (𝑃 𝑧) (𝑃 𝑣)))
3623, 24, 35mpbi2and 710 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑃 𝑧) (𝑃 𝑣))
3726, 8atbase 36461 . . . . 5 ((𝑅𝐹) ∈ 𝐴 → (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾))
3813, 37syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾))
3926, 16, 8hlatjcl 36539 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑧𝐴) → (𝑃 𝑧) ∈ (Base‘𝐾))
4019, 20, 29, 39syl3anc 1367 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑃 𝑧) ∈ (Base‘𝐾))
4126, 7lattr 17645 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑧) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑣) ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑅𝐹) (𝑃 𝑧) ∧ (𝑃 𝑧) (𝑃 𝑣)) → (𝑅𝐹) (𝑃 𝑣)))
4225, 38, 40, 33, 41syl13anc 1368 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (((𝑅𝐹) (𝑃 𝑧) ∧ (𝑃 𝑧) (𝑃 𝑣)) → (𝑅𝐹) (𝑃 𝑣)))
4336, 42mpan2d 692 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → ((𝑅𝐹) (𝑃 𝑧) → (𝑅𝐹) (𝑃 𝑣)))
4418, 43mtod 200 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → ¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑧))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1083   = wceq 1537  wcel 2114  wne 3006   class class class wbr 5042  cfv 6331  (class class class)co 7133  Basecbs 16462  lecple 16551  joincjn 17533  meetcmee 17534  Latclat 17634  Atomscatm 36435  HLchlt 36522  LHypclh 37156  LTrncltrn 37273  trLctrl 37330
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-op 4550  df-uni 4815  df-iun 4897  df-iin 4898  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5436  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-map 8386  df-proset 17517  df-poset 17535  df-plt 17547  df-lub 17563  df-glb 17564  df-join 17565  df-meet 17566  df-p0 17628  df-p1 17629  df-lat 17635  df-clat 17697  df-oposet 36348  df-ol 36350  df-oml 36351  df-covers 36438  df-ats 36439  df-atl 36470  df-cvlat 36494  df-hlat 36523  df-psubsp 36675  df-pmap 36676  df-padd 36968  df-lhyp 37160  df-laut 37161  df-ldil 37276  df-ltrn 37277  df-trl 37331
This theorem is referenced by:  cdlemg28a  37865
  Copyright terms: Public domain W3C validator