Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg27a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemg27a 36494
Description: For use with case when (𝑃 𝑣) (𝑄 (𝑅𝐹)) or (𝑃 𝑣) (𝑄 (𝑅𝐹)) is zero, letting us establish ¬ 𝑧 𝑊𝑧 (𝑃 𝑣) via 4atex 35877. TODO: Fix comment. (Contributed by NM, 28-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg12.l = (le‘𝐾)
cdlemg12.j = (join‘𝐾)
cdlemg12.m = (meet‘𝐾)
cdlemg12.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg12.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg12.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg12b.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemg27a ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → ¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑧))

Proof of Theorem cdlemg27a
StepHypRef Expression
1 simp11 1245 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp12 1246 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
3 simp31 1251 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑣 ≠ (𝑅𝐹))
4 simp13 1247 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑣𝐴𝑣 𝑊))
5 simp2r 1242 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝐹𝑇)
6 simp33 1253 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)
7 cdlemg12.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
8 cdlemg12.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9 cdlemg12.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
10 cdlemg12.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
11 cdlemg12b.r . . . . 5 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
127, 8, 9, 10, 11trlat 35971 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴)
131, 2, 5, 6, 12syl112anc 1480 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴)
147, 9, 10, 11trlle 35986 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) 𝑊)
151, 5, 14syl2anc 573 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅𝐹) 𝑊)
16 cdlemg12.j . . . 4 = (join‘𝐾)
177, 16, 8, 9lhp2atnle 35834 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) ∈ 𝐴 ∧ (𝑅𝐹) 𝑊)) → ¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑣))
181, 2, 3, 4, 13, 15, 17syl312anc 1497 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → ¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑣))
19 simp11l 1368 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝐾 ∈ HL)
20 simp12l 1370 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑃𝐴)
21 simp13l 1372 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑣𝐴)
227, 16, 8hlatlej1 35176 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑣𝐴) → 𝑃 (𝑃 𝑣))
2319, 20, 21, 22syl3anc 1476 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑃 (𝑃 𝑣))
24 simp32 1252 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑧 (𝑃 𝑣))
25 hllat 35165 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2619, 25syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝐾 ∈ Lat)
27 eqid 2771 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2827, 8atbase 35091 . . . . . 6 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
2920, 28syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
30 simp2l 1241 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑧𝐴)
3127, 8atbase 35091 . . . . . 6 (𝑧𝐴𝑧 ∈ (Base‘𝐾))
3230, 31syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐾))
3327, 16, 8hlatjcl 35168 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑣𝐴) → (𝑃 𝑣) ∈ (Base‘𝐾))
3419, 20, 21, 33syl3anc 1476 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑃 𝑣) ∈ (Base‘𝐾))
3527, 7, 16latjle12 17263 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑣) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑃 (𝑃 𝑣) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣)) ↔ (𝑃 𝑧) (𝑃 𝑣)))
3626, 29, 32, 34, 35syl13anc 1478 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → ((𝑃 (𝑃 𝑣) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣)) ↔ (𝑃 𝑧) (𝑃 𝑣)))
3723, 24, 36mpbi2and 691 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑃 𝑧) (𝑃 𝑣))
3827, 8atbase 35091 . . . . 5 ((𝑅𝐹) ∈ 𝐴 → (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾))
3913, 38syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾))
4027, 16, 8hlatjcl 35168 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑧𝐴) → (𝑃 𝑧) ∈ (Base‘𝐾))
4119, 20, 30, 40syl3anc 1476 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑃 𝑧) ∈ (Base‘𝐾))
4227, 7lattr 17257 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑧) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑣) ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑅𝐹) (𝑃 𝑧) ∧ (𝑃 𝑧) (𝑃 𝑣)) → (𝑅𝐹) (𝑃 𝑣)))
4326, 39, 41, 34, 42syl13anc 1478 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (((𝑅𝐹) (𝑃 𝑧) ∧ (𝑃 𝑧) (𝑃 𝑣)) → (𝑅𝐹) (𝑃 𝑣)))
4437, 43mpan2d 674 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → ((𝑅𝐹) (𝑃 𝑧) → (𝑅𝐹) (𝑃 𝑣)))
4518, 44mtod 189 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → ¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑧))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943   class class class wbr 4786  cfv 6029  (class class class)co 6791  Basecbs 16057  lecple 16149  joincjn 17145  meetcmee 17146  Latclat 17246  Atomscatm 35065  HLchlt 35152  LHypclh 35785  LTrncltrn 35902  trLctrl 35960
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-map 8009  df-preset 17129  df-poset 17147  df-plt 17159  df-lub 17175  df-glb 17176  df-join 17177  df-meet 17178  df-p0 17240  df-p1 17241  df-lat 17247  df-clat 17309  df-oposet 34978  df-ol 34980  df-oml 34981  df-covers 35068  df-ats 35069  df-atl 35100  df-cvlat 35124  df-hlat 35153  df-psubsp 35304  df-pmap 35305  df-padd 35597  df-lhyp 35789  df-laut 35790  df-ldil 35905  df-ltrn 35906  df-trl 35961
This theorem is referenced by:  cdlemg28a  36495
  Copyright terms: Public domain W3C validator