Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dia2dimlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dia2dimlem1 39530
Description: Lemma for dia2dim 39543. Show properties of the auxiliary atom 𝑄. Part of proof of Lemma M in [Crawley] p. 121 line 3. (Contributed by NM, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dia2dimlem1.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dia2dimlem1.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
dia2dimlem1.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
dia2dimlem1.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
dia2dimlem1.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dia2dimlem1.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dia2dimlem1.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dia2dimlem1.q 𝑄 = ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉))
dia2dimlem1.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
dia2dimlem1.u (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š))
dia2dimlem1.v (πœ‘ β†’ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))
dia2dimlem1.p (πœ‘ β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
dia2dimlem1.f (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃))
dia2dimlem1.rf (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑉))
dia2dimlem1.uv (πœ‘ β†’ π‘ˆ β‰  𝑉)
dia2dimlem1.ru (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
dia2dimlem1 (πœ‘ β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))

Proof of Theorem dia2dimlem1
StepHypRef Expression
1 dia2dimlem1.q . . 3 𝑄 = ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉))
2 dia2dimlem1.k . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
32simpld 496 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ HL)
4 dia2dimlem1.p . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
54simpld 496 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
6 dia2dimlem1.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃))
7 dia2dimlem1.l . . . . . 6 ≀ = (leβ€˜πΎ)
8 dia2dimlem1.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
9 dia2dimlem1.h . . . . . 6 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
10 dia2dimlem1.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
11 dia2dimlem1.r . . . . . 6 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
127, 8, 9, 10, 11trlat 38635 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴)
132, 4, 6, 12syl3anc 1372 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴)
14 dia2dimlem1.u . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š))
1514simpld 496 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
166simpld 496 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
177, 8, 9, 10ltrnel 38605 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))
182, 16, 4, 17syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))
1918simpld 496 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
20 dia2dimlem1.v . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))
2120simpld 496 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ 𝐴)
224simprd 497 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)
237, 9, 10, 11trlle 38650 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ≀ π‘Š)
242, 16, 23syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΉ) ≀ π‘Š)
2514simprd 497 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ≀ π‘Š)
263hllatd 37829 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Lat)
27 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
2827, 8atbase 37754 . . . . . . . . . 10 ((π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴 β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2913, 28syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3027, 8atbase 37754 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ ∈ 𝐴 β†’ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3115, 30syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
322simprd 497 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
3327, 9lhpbase 38464 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3432, 33syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
35 dia2dimlem1.j . . . . . . . . . 10 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
3627, 7, 35latjle12 18340 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((π‘…β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (((π‘…β€˜πΉ) ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ↔ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ π‘ˆ) ≀ π‘Š))
3726, 29, 31, 34, 36syl13anc 1373 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((π‘…β€˜πΉ) ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ↔ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ π‘ˆ) ≀ π‘Š))
3824, 25, 37mpbi2and 711 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ π‘ˆ) ≀ π‘Š)
3927, 8atbase 37754 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
405, 39syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4127, 35, 8hlatjcl 37832 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
423, 13, 15, 41syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4327, 7lattr 18334 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑃 ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ π‘ˆ) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ π‘ˆ) ≀ π‘Š) β†’ 𝑃 ≀ π‘Š))
4426, 40, 42, 34, 43syl13anc 1373 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ π‘ˆ) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ π‘ˆ) ≀ π‘Š) β†’ 𝑃 ≀ π‘Š))
4538, 44mpan2d 693 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑃 ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ π‘ˆ) β†’ 𝑃 ≀ π‘Š))
4622, 45mtod 197 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ π‘ˆ))
4720simprd 497 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑉 ≀ π‘Š)
4818simprd 497 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Β¬ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š)
49 nbrne2 5126 . . . . . . 7 ((𝑉 ≀ π‘Š ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š) β†’ 𝑉 β‰  (πΉβ€˜π‘ƒ))
5047, 48, 49syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑉 β‰  (πΉβ€˜π‘ƒ))
5150necomd 3000 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑉)
5246, 51jca 513 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ π‘ˆ) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑉))
5326adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∨ π‘ˆ) = ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
5440adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∨ π‘ˆ) = ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5527, 35, 8hlatjcl 37832 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) β†’ (𝑉 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
563, 21, 15, 55syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑉 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5756adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∨ π‘ˆ) = ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) β†’ (𝑉 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5834adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∨ π‘ˆ) = ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
597, 35, 8hlatlej2 37841 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴) β†’ 𝑉 ≀ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉))
603, 19, 21, 59syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑉 ≀ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉))
6160adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∨ π‘ˆ) = ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) β†’ 𝑉 ≀ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉))
62 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∨ π‘ˆ) = ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) β†’ (𝑃 ∨ π‘ˆ) = ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉))
6361, 62breqtrrd 5134 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∨ π‘ˆ) = ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) β†’ 𝑉 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))
64 dia2dimlem1.uv . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘ˆ β‰  𝑉)
6564necomd 3000 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑉 β‰  π‘ˆ)
667, 35, 8hlatexch2 37862 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 β‰  π‘ˆ) β†’ (𝑉 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ) β†’ 𝑃 ≀ (𝑉 ∨ π‘ˆ)))
673, 21, 5, 15, 65, 66syl131anc 1384 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑉 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ) β†’ 𝑃 ≀ (𝑉 ∨ π‘ˆ)))
6867adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∨ π‘ˆ) = ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) β†’ (𝑉 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ) β†’ 𝑃 ≀ (𝑉 ∨ π‘ˆ)))
6963, 68mpd 15 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∨ π‘ˆ) = ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) β†’ 𝑃 ≀ (𝑉 ∨ π‘ˆ))
7027, 8atbase 37754 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉 ∈ 𝐴 β†’ 𝑉 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
7121, 70syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
7227, 7, 35latjle12 18340 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑉 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑉 ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ↔ (𝑉 ∨ π‘ˆ) ≀ π‘Š))
7326, 71, 31, 34, 72syl13anc 1373 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑉 ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ↔ (𝑉 ∨ π‘ˆ) ≀ π‘Š))
7447, 25, 73mpbi2and 711 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑉 ∨ π‘ˆ) ≀ π‘Š)
7574adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∨ π‘ˆ) = ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) β†’ (𝑉 ∨ π‘ˆ) ≀ π‘Š)
7627, 7, 53, 54, 57, 58, 69, 75lattrd 18336 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∨ π‘ˆ) = ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) β†’ 𝑃 ≀ π‘Š)
7776ex 414 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) = ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉) β†’ 𝑃 ≀ π‘Š))
7877necon3bd 2958 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š β†’ (𝑃 ∨ π‘ˆ) β‰  ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)))
7922, 78mpd 15 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∨ π‘ˆ) β‰  ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉))
807, 35, 8hlatlej2 37841 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
813, 5, 19, 80syl3anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
82 dia2dimlem1.m . . . . . . . . . 10 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
837, 35, 82, 8, 9, 10, 11trlval2 38629 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š))
842, 16, 4, 83syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΉ) = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š))
8584oveq2d 7374 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) = (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š)))
8627, 35, 8hlatjcl 37832 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
873, 5, 19, 86syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
887, 35, 8hlatlej1 37840 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴) β†’ 𝑃 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
893, 5, 19, 88syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑃 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
9027, 7, 35, 82, 8atmod3i1 38330 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑃 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š)) = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑃 ∨ π‘Š)))
913, 5, 87, 34, 89, 90syl131anc 1384 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š)) = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑃 ∨ π‘Š)))
92 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (1.β€˜πΎ) = (1.β€˜πΎ)
937, 35, 92, 8, 9lhpjat2 38487 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∨ π‘Š) = (1.β€˜πΎ))
942, 4, 93syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∨ π‘Š) = (1.β€˜πΎ))
9594oveq2d 7374 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑃 ∨ π‘Š)) = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (1.β€˜πΎ)))
96 hlol 37826 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OL)
973, 96syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ OL)
9827, 82, 92olm11 37692 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (1.β€˜πΎ)) = (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
9997, 87, 98syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (1.β€˜πΎ)) = (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
10095, 99eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑃 ∨ π‘Š)) = (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
10191, 100eqtrd 2777 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š)) = (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
10285, 101eqtrd 2777 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) = (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
10381, 102breqtrrd 5134 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ)))
104 dia2dimlem1.rf . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑉))
10535, 8hlatjcom 37833 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴) β†’ (π‘ˆ ∨ 𝑉) = (𝑉 ∨ π‘ˆ))
1063, 15, 21, 105syl3anc 1372 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∨ 𝑉) = (𝑉 ∨ π‘ˆ))
107104, 106breqtrd 5132 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑉 ∨ π‘ˆ))
108 dia2dimlem1.ru . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  π‘ˆ)
1097, 35, 8hlatexch2 37862 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  π‘ˆ) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑉 ∨ π‘ˆ) β†’ 𝑉 ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ π‘ˆ)))
1103, 13, 21, 15, 108, 109syl131anc 1384 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑉 ∨ π‘ˆ) β†’ 𝑉 ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ π‘ˆ)))
111107, 110mpd 15 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑉 ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ π‘ˆ))
112103, 111jca 513 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∧ 𝑉 ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ π‘ˆ)))
1137, 35, 82, 8ps-2c 37994 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ π‘ˆ) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑉) ∧ (𝑃 ∨ π‘ˆ) β‰  ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∧ 𝑉 ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ π‘ˆ)))) β†’ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∈ 𝐴)
1143, 5, 13, 15, 19, 21, 52, 79, 112, 113syl333anc 1403 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∈ 𝐴)
1151, 114eqeltrid 2842 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
11627, 35, 8hlatjcl 37832 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1173, 5, 15, 116syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
11827, 35, 8hlatjcl 37832 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1193, 19, 21, 118syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
12027, 7, 82latmle1 18354 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))
12126, 117, 119, 120syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))
1221, 121eqbrtrid 5141 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))
12327, 8atbase 37754 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑄 ∈ 𝐴 β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
124115, 123syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
12527, 7, 82latlem12 18356 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ 𝑄 ≀ π‘Š) ↔ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ π‘Š)))
12626, 124, 117, 34, 125syl13anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ 𝑄 ≀ π‘Š) ↔ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ π‘Š)))
127126biimpd 228 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ 𝑄 ≀ π‘Š) β†’ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ π‘Š)))
128122, 127mpand 694 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑄 ≀ π‘Š β†’ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ π‘Š)))
129128imp 408 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑄 ≀ π‘Š) β†’ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ π‘Š))
130 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
1317, 82, 130, 8, 9lhpmat 38496 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∧ π‘Š) = (0.β€˜πΎ))
1322, 4, 131syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∧ π‘Š) = (0.β€˜πΎ))
133132oveq1d 7373 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ∧ π‘Š) ∨ π‘ˆ) = ((0.β€˜πΎ) ∨ π‘ˆ))
13427, 7, 35, 82, 8atmod4i1 38332 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) β†’ ((𝑃 ∧ π‘Š) ∨ π‘ˆ) = ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ π‘Š))
1353, 15, 40, 34, 25, 134syl131anc 1384 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ∧ π‘Š) ∨ π‘ˆ) = ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ π‘Š))
13627, 35, 130olj02 37691 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ OL ∧ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((0.β€˜πΎ) ∨ π‘ˆ) = π‘ˆ)
13797, 31, 136syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((0.β€˜πΎ) ∨ π‘ˆ) = π‘ˆ)
138133, 135, 1373eqtr3d 2785 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ π‘Š) = π‘ˆ)
139138adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑄 ≀ π‘Š) β†’ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ π‘Š) = π‘ˆ)
140129, 139breqtrd 5132 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑄 ≀ π‘Š) β†’ 𝑄 ≀ π‘ˆ)
141 hlatl 37825 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
1423, 141syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
143142adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑄 ≀ π‘Š) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
144115adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑄 ≀ π‘Š) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
14515adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑄 ≀ π‘Š) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
1467, 8atcmp 37776 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) β†’ (𝑄 ≀ π‘ˆ ↔ 𝑄 = π‘ˆ))
147143, 144, 145, 146syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑄 ≀ π‘Š) β†’ (𝑄 ≀ π‘ˆ ↔ 𝑄 = π‘ˆ))
148140, 147mpbid 231 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑄 ≀ π‘Š) β†’ 𝑄 = π‘ˆ)
14927, 7, 82latmle2 18355 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ≀ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉))
15026, 117, 119, 149syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ≀ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉))
1511, 150eqbrtrid 5141 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑄 ≀ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉))
15227, 7, 82latlem12 18356 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑄 ≀ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉) ∧ 𝑄 ≀ π‘Š) ↔ 𝑄 ≀ (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉) ∧ π‘Š)))
15326, 124, 119, 34, 152syl13anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝑄 ≀ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉) ∧ 𝑄 ≀ π‘Š) ↔ 𝑄 ≀ (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉) ∧ π‘Š)))
154153biimpd 228 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑄 ≀ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉) ∧ 𝑄 ≀ π‘Š) β†’ 𝑄 ≀ (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉) ∧ π‘Š)))
155151, 154mpand 694 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑄 ≀ π‘Š β†’ 𝑄 ≀ (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉) ∧ π‘Š)))
156155imp 408 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑄 ≀ π‘Š) β†’ 𝑄 ≀ (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉) ∧ π‘Š))
1577, 82, 130, 8, 9lhpmat 38496 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∧ π‘Š) = (0.β€˜πΎ))
1582, 18, 157syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∧ π‘Š) = (0.β€˜πΎ))
159158oveq1d 7373 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∧ π‘Š) ∨ 𝑉) = ((0.β€˜πΎ) ∨ 𝑉))
16027, 8atbase 37754 . . . . . . . . . . . 12 ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
16119, 160syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
16227, 7, 35, 82, 8atmod4i1 38332 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑉 ≀ π‘Š) β†’ (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∧ π‘Š) ∨ 𝑉) = (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉) ∧ π‘Š))
1633, 21, 161, 34, 47, 162syl131anc 1384 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∧ π‘Š) ∨ 𝑉) = (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉) ∧ π‘Š))
16427, 35, 130olj02 37691 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑉 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((0.β€˜πΎ) ∨ 𝑉) = 𝑉)
16597, 71, 164syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((0.β€˜πΎ) ∨ 𝑉) = 𝑉)
166159, 163, 1653eqtr3d 2785 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉) ∧ π‘Š) = 𝑉)
167166adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑄 ≀ π‘Š) β†’ (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉) ∧ π‘Š) = 𝑉)
168156, 167breqtrd 5132 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑄 ≀ π‘Š) β†’ 𝑄 ≀ 𝑉)
16921adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑄 ≀ π‘Š) β†’ 𝑉 ∈ 𝐴)
1707, 8atcmp 37776 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴) β†’ (𝑄 ≀ 𝑉 ↔ 𝑄 = 𝑉))
171143, 144, 169, 170syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑄 ≀ π‘Š) β†’ (𝑄 ≀ 𝑉 ↔ 𝑄 = 𝑉))
172168, 171mpbid 231 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑄 ≀ π‘Š) β†’ 𝑄 = 𝑉)
173148, 172eqtr3d 2779 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑄 ≀ π‘Š) β†’ π‘ˆ = 𝑉)
174173ex 414 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑄 ≀ π‘Š β†’ π‘ˆ = 𝑉))
175174necon3ad 2957 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β‰  𝑉 β†’ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
17664, 175mpd 15 . 2 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)
177115, 176jca 513 1 (πœ‘ β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17084  lecple 17141  joincjn 18201  meetcmee 18202  0.cp0 18313  1.cp1 18314  Latclat 18321  OLcol 37639  Atomscatm 37728  AtLatcal 37729  HLchlt 37815  LHypclh 38450  LTrncltrn 38567  trLctrl 38624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-map 8768  df-proset 18185  df-poset 18203  df-plt 18220  df-lub 18236  df-glb 18237  df-join 18238  df-meet 18239  df-p0 18315  df-p1 18316  df-lat 18322  df-clat 18389  df-oposet 37641  df-ol 37643  df-oml 37644  df-covers 37731  df-ats 37732  df-atl 37763  df-cvlat 37787  df-hlat 37816  df-llines 37964  df-psubsp 37969  df-pmap 37970  df-padd 38262  df-lhyp 38454  df-laut 38455  df-ldil 38570  df-ltrn 38571  df-trl 38625
This theorem is referenced by:  dia2dimlem3  39532  dia2dimlem6  39535
  Copyright terms: Public domain W3C validator