Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | dia2dimlem1.q |
. . 3
β’ π = ((π β¨ π) β§ ((πΉβπ) β¨ π)) |
2 | | dia2dimlem1.k |
. . . . 5
β’ (π β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
3 | 2 | simpld 496 |
. . . 4
β’ (π β πΎ β HL) |
4 | | dia2dimlem1.p |
. . . . 5
β’ (π β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
5 | 4 | simpld 496 |
. . . 4
β’ (π β π β π΄) |
6 | | dia2dimlem1.f |
. . . . 5
β’ (π β (πΉ β π β§ (πΉβπ) β π)) |
7 | | dia2dimlem1.l |
. . . . . 6
β’ β€ =
(leβπΎ) |
8 | | dia2dimlem1.a |
. . . . . 6
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
9 | | dia2dimlem1.h |
. . . . . 6
β’ π» = (LHypβπΎ) |
10 | | dia2dimlem1.t |
. . . . . 6
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
11 | | dia2dimlem1.r |
. . . . . 6
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
12 | 7, 8, 9, 10, 11 | trlat 38635 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉ β π β§ (πΉβπ) β π)) β (π
βπΉ) β π΄) |
13 | 2, 4, 6, 12 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (π β (π
βπΉ) β π΄) |
14 | | dia2dimlem1.u |
. . . . 5
β’ (π β (π β π΄ β§ π β€ π)) |
15 | 14 | simpld 496 |
. . . 4
β’ (π β π β π΄) |
16 | 6 | simpld 496 |
. . . . . 6
β’ (π β πΉ β π) |
17 | 7, 8, 9, 10 | ltrnel 38605 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β ((πΉβπ) β π΄ β§ Β¬ (πΉβπ) β€ π)) |
18 | 2, 16, 4, 17 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (π β ((πΉβπ) β π΄ β§ Β¬ (πΉβπ) β€ π)) |
19 | 18 | simpld 496 |
. . . 4
β’ (π β (πΉβπ) β π΄) |
20 | | dia2dimlem1.v |
. . . . 5
β’ (π β (π β π΄ β§ π β€ π)) |
21 | 20 | simpld 496 |
. . . 4
β’ (π β π β π΄) |
22 | 4 | simprd 497 |
. . . . . 6
β’ (π β Β¬ π β€ π) |
23 | 7, 9, 10, 11 | trlle 38650 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π) β (π
βπΉ) β€ π) |
24 | 2, 16, 23 | syl2anc 585 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (π
βπΉ) β€ π) |
25 | 14 | simprd 497 |
. . . . . . . 8
β’ (π β π β€ π) |
26 | 3 | hllatd 37829 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β πΎ β Lat) |
27 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
28 | 27, 8 | atbase 37754 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π
βπΉ) β π΄ β (π
βπΉ) β (BaseβπΎ)) |
29 | 13, 28 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β (π
βπΉ) β (BaseβπΎ)) |
30 | 27, 8 | atbase 37754 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
31 | 15, 30 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β π β (BaseβπΎ)) |
32 | 2 | simprd 497 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β π β π») |
33 | 27, 9 | lhpbase 38464 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β π» β π β (BaseβπΎ)) |
34 | 32, 33 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β π β (BaseβπΎ)) |
35 | | dia2dimlem1.j |
. . . . . . . . . 10
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
36 | 27, 7, 35 | latjle12 18340 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πΎ β Lat β§ ((π
βπΉ) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ))) β (((π
βπΉ) β€ π β§ π β€ π) β ((π
βπΉ) β¨ π) β€ π)) |
37 | 26, 29, 31, 34, 36 | syl13anc 1373 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (((π
βπΉ) β€ π β§ π β€ π) β ((π
βπΉ) β¨ π) β€ π)) |
38 | 24, 25, 37 | mpbi2and 711 |
. . . . . . 7
β’ (π β ((π
βπΉ) β¨ π) β€ π) |
39 | 27, 8 | atbase 37754 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
40 | 5, 39 | syl 17 |
. . . . . . . 8
β’ (π β π β (BaseβπΎ)) |
41 | 27, 35, 8 | hlatjcl 37832 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πΎ β HL β§ (π
βπΉ) β π΄ β§ π β π΄) β ((π
βπΉ) β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
42 | 3, 13, 15, 41 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . 8
β’ (π β ((π
βπΉ) β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
43 | 27, 7 | lattr 18334 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β (BaseβπΎ) β§ ((π
βπΉ) β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ))) β ((π β€ ((π
βπΉ) β¨ π) β§ ((π
βπΉ) β¨ π) β€ π) β π β€ π)) |
44 | 26, 40, 42, 34, 43 | syl13anc 1373 |
. . . . . . 7
β’ (π β ((π β€ ((π
βπΉ) β¨ π) β§ ((π
βπΉ) β¨ π) β€ π) β π β€ π)) |
45 | 38, 44 | mpan2d 693 |
. . . . . 6
β’ (π β (π β€ ((π
βπΉ) β¨ π) β π β€ π)) |
46 | 22, 45 | mtod 197 |
. . . . 5
β’ (π β Β¬ π β€ ((π
βπΉ) β¨ π)) |
47 | 20 | simprd 497 |
. . . . . . 7
β’ (π β π β€ π) |
48 | 18 | simprd 497 |
. . . . . . 7
β’ (π β Β¬ (πΉβπ) β€ π) |
49 | | nbrne2 5126 |
. . . . . . 7
β’ ((π β€ π β§ Β¬ (πΉβπ) β€ π) β π β (πΉβπ)) |
50 | 47, 48, 49 | syl2anc 585 |
. . . . . 6
β’ (π β π β (πΉβπ)) |
51 | 50 | necomd 3000 |
. . . . 5
β’ (π β (πΉβπ) β π) |
52 | 46, 51 | jca 513 |
. . . 4
β’ (π β (Β¬ π β€ ((π
βπΉ) β¨ π) β§ (πΉβπ) β π)) |
53 | 26 | adantr 482 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ (π β¨ π) = ((πΉβπ) β¨ π)) β πΎ β Lat) |
54 | 40 | adantr 482 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ (π β¨ π) = ((πΉβπ) β¨ π)) β π β (BaseβπΎ)) |
55 | 27, 35, 8 | hlatjcl 37832 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
56 | 3, 21, 15, 55 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
57 | 56 | adantr 482 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ (π β¨ π) = ((πΉβπ) β¨ π)) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
58 | 34 | adantr 482 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ (π β¨ π) = ((πΉβπ) β¨ π)) β π β (BaseβπΎ)) |
59 | 7, 35, 8 | hlatlej2 37841 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((πΎ β HL β§ (πΉβπ) β π΄ β§ π β π΄) β π β€ ((πΉβπ) β¨ π)) |
60 | 3, 19, 21, 59 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β π β€ ((πΉβπ) β¨ π)) |
61 | 60 | adantr 482 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ (π β¨ π) = ((πΉβπ) β¨ π)) β π β€ ((πΉβπ) β¨ π)) |
62 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ (π β¨ π) = ((πΉβπ) β¨ π)) β (π β¨ π) = ((πΉβπ) β¨ π)) |
63 | 61, 62 | breqtrrd 5134 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ (π β¨ π) = ((πΉβπ) β¨ π)) β π β€ (π β¨ π)) |
64 | | dia2dimlem1.uv |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β π β π) |
65 | 64 | necomd 3000 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β π β π) |
66 | 7, 35, 8 | hlatexch2 37862 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ π β π) β (π β€ (π β¨ π) β π β€ (π β¨ π))) |
67 | 3, 21, 5, 15, 65, 66 | syl131anc 1384 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β (π β€ (π β¨ π) β π β€ (π β¨ π))) |
68 | 67 | adantr 482 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ (π β¨ π) = ((πΉβπ) β¨ π)) β (π β€ (π β¨ π) β π β€ (π β¨ π))) |
69 | 63, 68 | mpd 15 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ (π β¨ π) = ((πΉβπ) β¨ π)) β π β€ (π β¨ π)) |
70 | 27, 8 | atbase 37754 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
71 | 21, 70 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β π β (BaseβπΎ)) |
72 | 27, 7, 35 | latjle12 18340 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ))) β ((π β€ π β§ π β€ π) β (π β¨ π) β€ π)) |
73 | 26, 71, 31, 34, 72 | syl13anc 1373 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β ((π β€ π β§ π β€ π) β (π β¨ π) β€ π)) |
74 | 47, 25, 73 | mpbi2and 711 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β (π β¨ π) β€ π) |
75 | 74 | adantr 482 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ (π β¨ π) = ((πΉβπ) β¨ π)) β (π β¨ π) β€ π) |
76 | 27, 7, 53, 54, 57, 58, 69, 75 | lattrd 18336 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ (π β¨ π) = ((πΉβπ) β¨ π)) β π β€ π) |
77 | 76 | ex 414 |
. . . . . 6
β’ (π β ((π β¨ π) = ((πΉβπ) β¨ π) β π β€ π)) |
78 | 77 | necon3bd 2958 |
. . . . 5
β’ (π β (Β¬ π β€ π β (π β¨ π) β ((πΉβπ) β¨ π))) |
79 | 22, 78 | mpd 15 |
. . . 4
β’ (π β (π β¨ π) β ((πΉβπ) β¨ π)) |
80 | 7, 35, 8 | hlatlej2 37841 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ (πΉβπ) β π΄) β (πΉβπ) β€ (π β¨ (πΉβπ))) |
81 | 3, 5, 19, 80 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
β’ (π β (πΉβπ) β€ (π β¨ (πΉβπ))) |
82 | | dia2dimlem1.m |
. . . . . . . . . 10
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
83 | 7, 35, 82, 8, 9, 10, 11 | trlval2 38629 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (π
βπΉ) = ((π β¨ (πΉβπ)) β§ π)) |
84 | 2, 16, 4, 83 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (π
βπΉ) = ((π β¨ (πΉβπ)) β§ π)) |
85 | 84 | oveq2d 7374 |
. . . . . . 7
β’ (π β (π β¨ (π
βπΉ)) = (π β¨ ((π β¨ (πΉβπ)) β§ π))) |
86 | 27, 35, 8 | hlatjcl 37832 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ (πΉβπ) β π΄) β (π β¨ (πΉβπ)) β (BaseβπΎ)) |
87 | 3, 5, 19, 86 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β (π β¨ (πΉβπ)) β (BaseβπΎ)) |
88 | 7, 35, 8 | hlatlej1 37840 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ (πΉβπ) β π΄) β π β€ (π β¨ (πΉβπ))) |
89 | 3, 5, 19, 88 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β π β€ (π β¨ (πΉβπ))) |
90 | 27, 7, 35, 82, 8 | atmod3i1 38330 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ (π β¨ (πΉβπ)) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β§ π β€ (π β¨ (πΉβπ))) β (π β¨ ((π β¨ (πΉβπ)) β§ π)) = ((π β¨ (πΉβπ)) β§ (π β¨ π))) |
91 | 3, 5, 87, 34, 89, 90 | syl131anc 1384 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (π β¨ ((π β¨ (πΉβπ)) β§ π)) = ((π β¨ (πΉβπ)) β§ (π β¨ π))) |
92 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
(1.βπΎ) =
(1.βπΎ) |
93 | 7, 35, 92, 8, 9 | lhpjat2 38487 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (π β¨ π) = (1.βπΎ)) |
94 | 2, 4, 93 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β (π β¨ π) = (1.βπΎ)) |
95 | 94 | oveq2d 7374 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β ((π β¨ (πΉβπ)) β§ (π β¨ π)) = ((π β¨ (πΉβπ)) β§ (1.βπΎ))) |
96 | | hlol 37826 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (πΎ β HL β πΎ β OL) |
97 | 3, 96 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β πΎ β OL) |
98 | 27, 82, 92 | olm11 37692 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((πΎ β OL β§ (π β¨ (πΉβπ)) β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ (πΉβπ)) β§ (1.βπΎ)) = (π β¨ (πΉβπ))) |
99 | 97, 87, 98 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β ((π β¨ (πΉβπ)) β§ (1.βπΎ)) = (π β¨ (πΉβπ))) |
100 | 95, 99 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . 8
β’ (π β ((π β¨ (πΉβπ)) β§ (π β¨ π)) = (π β¨ (πΉβπ))) |
101 | 91, 100 | eqtrd 2777 |
. . . . . . 7
β’ (π β (π β¨ ((π β¨ (πΉβπ)) β§ π)) = (π β¨ (πΉβπ))) |
102 | 85, 101 | eqtrd 2777 |
. . . . . 6
β’ (π β (π β¨ (π
βπΉ)) = (π β¨ (πΉβπ))) |
103 | 81, 102 | breqtrrd 5134 |
. . . . 5
β’ (π β (πΉβπ) β€ (π β¨ (π
βπΉ))) |
104 | | dia2dimlem1.rf |
. . . . . . 7
β’ (π β (π
βπΉ) β€ (π β¨ π)) |
105 | 35, 8 | hlatjcom 37833 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
106 | 3, 15, 21, 105 | syl3anc 1372 |
. . . . . . 7
β’ (π β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
107 | 104, 106 | breqtrd 5132 |
. . . . . 6
β’ (π β (π
βπΉ) β€ (π β¨ π)) |
108 | | dia2dimlem1.ru |
. . . . . . 7
β’ (π β (π
βπΉ) β π) |
109 | 7, 35, 8 | hlatexch2 37862 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β HL β§ ((π
βπΉ) β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
βπΉ) β π) β ((π
βπΉ) β€ (π β¨ π) β π β€ ((π
βπΉ) β¨ π))) |
110 | 3, 13, 21, 15, 108, 109 | syl131anc 1384 |
. . . . . 6
β’ (π β ((π
βπΉ) β€ (π β¨ π) β π β€ ((π
βπΉ) β¨ π))) |
111 | 107, 110 | mpd 15 |
. . . . 5
β’ (π β π β€ ((π
βπΉ) β¨ π)) |
112 | 103, 111 | jca 513 |
. . . 4
β’ (π β ((πΉβπ) β€ (π β¨ (π
βπΉ)) β§ π β€ ((π
βπΉ) β¨ π))) |
113 | 7, 35, 82, 8 | ps-2c 37994 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ (π
βπΉ) β π΄) β§ (π β π΄ β§ (πΉβπ) β π΄ β§ π β π΄) β§ ((Β¬ π β€ ((π
βπΉ) β¨ π) β§ (πΉβπ) β π) β§ (π β¨ π) β ((πΉβπ) β¨ π) β§ ((πΉβπ) β€ (π β¨ (π
βπΉ)) β§ π β€ ((π
βπΉ) β¨ π)))) β ((π β¨ π) β§ ((πΉβπ) β¨ π)) β π΄) |
114 | 3, 5, 13, 15, 19, 21, 52, 79, 112, 113 | syl333anc 1403 |
. . 3
β’ (π β ((π β¨ π) β§ ((πΉβπ) β¨ π)) β π΄) |
115 | 1, 114 | eqeltrid 2842 |
. 2
β’ (π β π β π΄) |
116 | 27, 35, 8 | hlatjcl 37832 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
117 | 3, 5, 15, 116 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
118 | 27, 35, 8 | hlatjcl 37832 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((πΎ β HL β§ (πΉβπ) β π΄ β§ π β π΄) β ((πΉβπ) β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
119 | 3, 19, 21, 118 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β ((πΉβπ) β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
120 | 27, 7, 82 | latmle1 18354 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ ((πΉβπ) β¨ π) β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π) β§ ((πΉβπ) β¨ π)) β€ (π β¨ π)) |
121 | 26, 117, 119, 120 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β ((π β¨ π) β§ ((πΉβπ) β¨ π)) β€ (π β¨ π)) |
122 | 1, 121 | eqbrtrid 5141 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β π β€ (π β¨ π)) |
123 | 27, 8 | atbase 37754 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
124 | 115, 123 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β π β (BaseβπΎ)) |
125 | 27, 7, 82 | latlem12 18356 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ))) β ((π β€ (π β¨ π) β§ π β€ π) β π β€ ((π β¨ π) β§ π))) |
126 | 26, 124, 117, 34, 125 | syl13anc 1373 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β ((π β€ (π β¨ π) β§ π β€ π) β π β€ ((π β¨ π) β§ π))) |
127 | 126 | biimpd 228 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β ((π β€ (π β¨ π) β§ π β€ π) β π β€ ((π β¨ π) β§ π))) |
128 | 122, 127 | mpand 694 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β (π β€ π β π β€ ((π β¨ π) β§ π))) |
129 | 128 | imp 408 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β€ π) β π β€ ((π β¨ π) β§ π)) |
130 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
(0.βπΎ) =
(0.βπΎ) |
131 | 7, 82, 130, 8, 9 | lhpmat 38496 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (π β§ π) = (0.βπΎ)) |
132 | 2, 4, 131 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β (π β§ π) = (0.βπΎ)) |
133 | 132 | oveq1d 7373 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β ((π β§ π) β¨ π) = ((0.βπΎ) β¨ π)) |
134 | 27, 7, 35, 82, 8 | atmod4i1 38332 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β§ π β€ π) β ((π β§ π) β¨ π) = ((π β¨ π) β§ π)) |
135 | 3, 15, 40, 34, 25, 134 | syl131anc 1384 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β ((π β§ π) β¨ π) = ((π β¨ π) β§ π)) |
136 | 27, 35, 130 | olj02 37691 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((πΎ β OL β§ π β (BaseβπΎ)) β ((0.βπΎ) β¨ π) = π) |
137 | 97, 31, 136 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β ((0.βπΎ) β¨ π) = π) |
138 | 133, 135,
137 | 3eqtr3d 2785 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β ((π β¨ π) β§ π) = π) |
139 | 138 | adantr 482 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β€ π) β ((π β¨ π) β§ π) = π) |
140 | 129, 139 | breqtrd 5132 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β€ π) β π β€ π) |
141 | | hlatl 37825 |
. . . . . . . . . 10
β’ (πΎ β HL β πΎ β AtLat) |
142 | 3, 141 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β πΎ β AtLat) |
143 | 142 | adantr 482 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β€ π) β πΎ β AtLat) |
144 | 115 | adantr 482 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β€ π) β π β π΄) |
145 | 15 | adantr 482 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β€ π) β π β π΄) |
146 | 7, 8 | atcmp 37776 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β AtLat β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β€ π β π = π)) |
147 | 143, 144,
145, 146 | syl3anc 1372 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β€ π) β (π β€ π β π = π)) |
148 | 140, 147 | mpbid 231 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β€ π) β π = π) |
149 | 27, 7, 82 | latmle2 18355 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ ((πΉβπ) β¨ π) β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π) β§ ((πΉβπ) β¨ π)) β€ ((πΉβπ) β¨ π)) |
150 | 26, 117, 119, 149 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β ((π β¨ π) β§ ((πΉβπ) β¨ π)) β€ ((πΉβπ) β¨ π)) |
151 | 1, 150 | eqbrtrid 5141 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β π β€ ((πΉβπ) β¨ π)) |
152 | 27, 7, 82 | latlem12 18356 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β (BaseβπΎ) β§ ((πΉβπ) β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ))) β ((π β€ ((πΉβπ) β¨ π) β§ π β€ π) β π β€ (((πΉβπ) β¨ π) β§ π))) |
153 | 26, 124, 119, 34, 152 | syl13anc 1373 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β ((π β€ ((πΉβπ) β¨ π) β§ π β€ π) β π β€ (((πΉβπ) β¨ π) β§ π))) |
154 | 153 | biimpd 228 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β ((π β€ ((πΉβπ) β¨ π) β§ π β€ π) β π β€ (((πΉβπ) β¨ π) β§ π))) |
155 | 151, 154 | mpand 694 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β (π β€ π β π β€ (((πΉβπ) β¨ π) β§ π))) |
156 | 155 | imp 408 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β€ π) β π β€ (((πΉβπ) β¨ π) β§ π)) |
157 | 7, 82, 130, 8, 9 | lhpmat 38496 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((πΉβπ) β π΄ β§ Β¬ (πΉβπ) β€ π)) β ((πΉβπ) β§ π) = (0.βπΎ)) |
158 | 2, 18, 157 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β ((πΉβπ) β§ π) = (0.βπΎ)) |
159 | 158 | oveq1d 7373 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β (((πΉβπ) β§ π) β¨ π) = ((0.βπΎ) β¨ π)) |
160 | 27, 8 | atbase 37754 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((πΉβπ) β π΄ β (πΉβπ) β (BaseβπΎ)) |
161 | 19, 160 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β (πΉβπ) β (BaseβπΎ)) |
162 | 27, 7, 35, 82, 8 | atmod4i1 38332 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ (πΉβπ) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β§ π β€ π) β (((πΉβπ) β§ π) β¨ π) = (((πΉβπ) β¨ π) β§ π)) |
163 | 3, 21, 161, 34, 47, 162 | syl131anc 1384 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β (((πΉβπ) β§ π) β¨ π) = (((πΉβπ) β¨ π) β§ π)) |
164 | 27, 35, 130 | olj02 37691 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((πΎ β OL β§ π β (BaseβπΎ)) β ((0.βπΎ) β¨ π) = π) |
165 | 97, 71, 164 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β ((0.βπΎ) β¨ π) = π) |
166 | 159, 163,
165 | 3eqtr3d 2785 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β (((πΉβπ) β¨ π) β§ π) = π) |
167 | 166 | adantr 482 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β€ π) β (((πΉβπ) β¨ π) β§ π) = π) |
168 | 156, 167 | breqtrd 5132 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β€ π) β π β€ π) |
169 | 21 | adantr 482 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β€ π) β π β π΄) |
170 | 7, 8 | atcmp 37776 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β AtLat β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β€ π β π = π)) |
171 | 143, 144,
169, 170 | syl3anc 1372 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β€ π) β (π β€ π β π = π)) |
172 | 168, 171 | mpbid 231 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β€ π) β π = π) |
173 | 148, 172 | eqtr3d 2779 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β€ π) β π = π) |
174 | 173 | ex 414 |
. . . 4
β’ (π β (π β€ π β π = π)) |
175 | 174 | necon3ad 2957 |
. . 3
β’ (π β (π β π β Β¬ π β€ π)) |
176 | 64, 175 | mpd 15 |
. 2
β’ (π β Β¬ π β€ π) |
177 | 115, 176 | jca 513 |
1
β’ (π β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |