Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dia2dimlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dia2dimlem1 39923
Description: Lemma for dia2dim 39936. Show properties of the auxiliary atom 𝑄. Part of proof of Lemma M in [Crawley] p. 121 line 3. (Contributed by NM, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dia2dimlem1.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dia2dimlem1.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
dia2dimlem1.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
dia2dimlem1.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
dia2dimlem1.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dia2dimlem1.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dia2dimlem1.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dia2dimlem1.q 𝑄 = ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉))
dia2dimlem1.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
dia2dimlem1.u (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š))
dia2dimlem1.v (πœ‘ β†’ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))
dia2dimlem1.p (πœ‘ β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
dia2dimlem1.f (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃))
dia2dimlem1.rf (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑉))
dia2dimlem1.uv (πœ‘ β†’ π‘ˆ β‰  𝑉)
dia2dimlem1.ru (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
dia2dimlem1 (πœ‘ β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))

Proof of Theorem dia2dimlem1
StepHypRef Expression
1 dia2dimlem1.q . . 3 𝑄 = ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉))
2 dia2dimlem1.k . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
32simpld 495 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ HL)
4 dia2dimlem1.p . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
54simpld 495 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
6 dia2dimlem1.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃))
7 dia2dimlem1.l . . . . . 6 ≀ = (leβ€˜πΎ)
8 dia2dimlem1.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
9 dia2dimlem1.h . . . . . 6 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
10 dia2dimlem1.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
11 dia2dimlem1.r . . . . . 6 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
127, 8, 9, 10, 11trlat 39028 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴)
132, 4, 6, 12syl3anc 1371 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴)
14 dia2dimlem1.u . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š))
1514simpld 495 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
166simpld 495 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
177, 8, 9, 10ltrnel 38998 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))
182, 16, 4, 17syl3anc 1371 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))
1918simpld 495 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
20 dia2dimlem1.v . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))
2120simpld 495 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ 𝐴)
224simprd 496 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)
237, 9, 10, 11trlle 39043 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ≀ π‘Š)
242, 16, 23syl2anc 584 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΉ) ≀ π‘Š)
2514simprd 496 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ≀ π‘Š)
263hllatd 38222 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Lat)
27 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
2827, 8atbase 38147 . . . . . . . . . 10 ((π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴 β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2913, 28syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3027, 8atbase 38147 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ ∈ 𝐴 β†’ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3115, 30syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
322simprd 496 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
3327, 9lhpbase 38857 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3432, 33syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
35 dia2dimlem1.j . . . . . . . . . 10 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
3627, 7, 35latjle12 18399 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((π‘…β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (((π‘…β€˜πΉ) ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ↔ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ π‘ˆ) ≀ π‘Š))
3726, 29, 31, 34, 36syl13anc 1372 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((π‘…β€˜πΉ) ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ↔ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ π‘ˆ) ≀ π‘Š))
3824, 25, 37mpbi2and 710 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ π‘ˆ) ≀ π‘Š)
3927, 8atbase 38147 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
405, 39syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4127, 35, 8hlatjcl 38225 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
423, 13, 15, 41syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4327, 7lattr 18393 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑃 ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ π‘ˆ) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ π‘ˆ) ≀ π‘Š) β†’ 𝑃 ≀ π‘Š))
4426, 40, 42, 34, 43syl13anc 1372 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ π‘ˆ) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ π‘ˆ) ≀ π‘Š) β†’ 𝑃 ≀ π‘Š))
4538, 44mpan2d 692 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑃 ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ π‘ˆ) β†’ 𝑃 ≀ π‘Š))
4622, 45mtod 197 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ π‘ˆ))
4720simprd 496 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑉 ≀ π‘Š)
4818simprd 496 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Β¬ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š)
49 nbrne2 5167 . . . . . . 7 ((𝑉 ≀ π‘Š ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š) β†’ 𝑉 β‰  (πΉβ€˜π‘ƒ))
5047, 48, 49syl2anc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑉 β‰  (πΉβ€˜π‘ƒ))
5150necomd 2996 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑉)
5246, 51jca 512 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ π‘ˆ) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑉))
5326adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∨ π‘ˆ) = ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
5440adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∨ π‘ˆ) = ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5527, 35, 8hlatjcl 38225 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) β†’ (𝑉 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
563, 21, 15, 55syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑉 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5756adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∨ π‘ˆ) = ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) β†’ (𝑉 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5834adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∨ π‘ˆ) = ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
597, 35, 8hlatlej2 38234 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴) β†’ 𝑉 ≀ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉))
603, 19, 21, 59syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑉 ≀ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉))
6160adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∨ π‘ˆ) = ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) β†’ 𝑉 ≀ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉))
62 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∨ π‘ˆ) = ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) β†’ (𝑃 ∨ π‘ˆ) = ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉))
6361, 62breqtrrd 5175 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∨ π‘ˆ) = ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) β†’ 𝑉 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))
64 dia2dimlem1.uv . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘ˆ β‰  𝑉)
6564necomd 2996 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑉 β‰  π‘ˆ)
667, 35, 8hlatexch2 38255 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 β‰  π‘ˆ) β†’ (𝑉 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ) β†’ 𝑃 ≀ (𝑉 ∨ π‘ˆ)))
673, 21, 5, 15, 65, 66syl131anc 1383 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑉 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ) β†’ 𝑃 ≀ (𝑉 ∨ π‘ˆ)))
6867adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∨ π‘ˆ) = ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) β†’ (𝑉 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ) β†’ 𝑃 ≀ (𝑉 ∨ π‘ˆ)))
6963, 68mpd 15 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∨ π‘ˆ) = ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) β†’ 𝑃 ≀ (𝑉 ∨ π‘ˆ))
7027, 8atbase 38147 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉 ∈ 𝐴 β†’ 𝑉 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
7121, 70syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
7227, 7, 35latjle12 18399 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑉 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑉 ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ↔ (𝑉 ∨ π‘ˆ) ≀ π‘Š))
7326, 71, 31, 34, 72syl13anc 1372 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑉 ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ↔ (𝑉 ∨ π‘ˆ) ≀ π‘Š))
7447, 25, 73mpbi2and 710 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑉 ∨ π‘ˆ) ≀ π‘Š)
7574adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∨ π‘ˆ) = ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) β†’ (𝑉 ∨ π‘ˆ) ≀ π‘Š)
7627, 7, 53, 54, 57, 58, 69, 75lattrd 18395 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∨ π‘ˆ) = ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) β†’ 𝑃 ≀ π‘Š)
7776ex 413 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) = ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉) β†’ 𝑃 ≀ π‘Š))
7877necon3bd 2954 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š β†’ (𝑃 ∨ π‘ˆ) β‰  ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)))
7922, 78mpd 15 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∨ π‘ˆ) β‰  ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉))
807, 35, 8hlatlej2 38234 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
813, 5, 19, 80syl3anc 1371 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
82 dia2dimlem1.m . . . . . . . . . 10 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
837, 35, 82, 8, 9, 10, 11trlval2 39022 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š))
842, 16, 4, 83syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΉ) = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š))
8584oveq2d 7421 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) = (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š)))
8627, 35, 8hlatjcl 38225 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
873, 5, 19, 86syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
887, 35, 8hlatlej1 38233 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴) β†’ 𝑃 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
893, 5, 19, 88syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑃 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
9027, 7, 35, 82, 8atmod3i1 38723 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑃 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š)) = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑃 ∨ π‘Š)))
913, 5, 87, 34, 89, 90syl131anc 1383 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š)) = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑃 ∨ π‘Š)))
92 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (1.β€˜πΎ) = (1.β€˜πΎ)
937, 35, 92, 8, 9lhpjat2 38880 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∨ π‘Š) = (1.β€˜πΎ))
942, 4, 93syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∨ π‘Š) = (1.β€˜πΎ))
9594oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑃 ∨ π‘Š)) = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (1.β€˜πΎ)))
96 hlol 38219 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OL)
973, 96syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ OL)
9827, 82, 92olm11 38085 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (1.β€˜πΎ)) = (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
9997, 87, 98syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (1.β€˜πΎ)) = (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
10095, 99eqtrd 2772 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑃 ∨ π‘Š)) = (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
10191, 100eqtrd 2772 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š)) = (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
10285, 101eqtrd 2772 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) = (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
10381, 102breqtrrd 5175 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ)))
104 dia2dimlem1.rf . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑉))
10535, 8hlatjcom 38226 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴) β†’ (π‘ˆ ∨ 𝑉) = (𝑉 ∨ π‘ˆ))
1063, 15, 21, 105syl3anc 1371 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∨ 𝑉) = (𝑉 ∨ π‘ˆ))
107104, 106breqtrd 5173 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑉 ∨ π‘ˆ))
108 dia2dimlem1.ru . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  π‘ˆ)
1097, 35, 8hlatexch2 38255 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  π‘ˆ) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑉 ∨ π‘ˆ) β†’ 𝑉 ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ π‘ˆ)))
1103, 13, 21, 15, 108, 109syl131anc 1383 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑉 ∨ π‘ˆ) β†’ 𝑉 ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ π‘ˆ)))
111107, 110mpd 15 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑉 ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ π‘ˆ))
112103, 111jca 512 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∧ 𝑉 ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ π‘ˆ)))
1137, 35, 82, 8ps-2c 38387 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ π‘ˆ) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑉) ∧ (𝑃 ∨ π‘ˆ) β‰  ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∧ 𝑉 ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ π‘ˆ)))) β†’ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∈ 𝐴)
1143, 5, 13, 15, 19, 21, 52, 79, 112, 113syl333anc 1402 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ∈ 𝐴)
1151, 114eqeltrid 2837 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
11627, 35, 8hlatjcl 38225 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1173, 5, 15, 116syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
11827, 35, 8hlatjcl 38225 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1193, 19, 21, 118syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
12027, 7, 82latmle1 18413 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))
12126, 117, 119, 120syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))
1221, 121eqbrtrid 5182 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))
12327, 8atbase 38147 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑄 ∈ 𝐴 β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
124115, 123syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
12527, 7, 82latlem12 18415 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ 𝑄 ≀ π‘Š) ↔ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ π‘Š)))
12626, 124, 117, 34, 125syl13anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ 𝑄 ≀ π‘Š) ↔ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ π‘Š)))
127126biimpd 228 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ 𝑄 ≀ π‘Š) β†’ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ π‘Š)))
128122, 127mpand 693 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑄 ≀ π‘Š β†’ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ π‘Š)))
129128imp 407 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑄 ≀ π‘Š) β†’ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ π‘Š))
130 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
1317, 82, 130, 8, 9lhpmat 38889 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∧ π‘Š) = (0.β€˜πΎ))
1322, 4, 131syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∧ π‘Š) = (0.β€˜πΎ))
133132oveq1d 7420 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ∧ π‘Š) ∨ π‘ˆ) = ((0.β€˜πΎ) ∨ π‘ˆ))
13427, 7, 35, 82, 8atmod4i1 38725 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) β†’ ((𝑃 ∧ π‘Š) ∨ π‘ˆ) = ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ π‘Š))
1353, 15, 40, 34, 25, 134syl131anc 1383 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ∧ π‘Š) ∨ π‘ˆ) = ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ π‘Š))
13627, 35, 130olj02 38084 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ OL ∧ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((0.β€˜πΎ) ∨ π‘ˆ) = π‘ˆ)
13797, 31, 136syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((0.β€˜πΎ) ∨ π‘ˆ) = π‘ˆ)
138133, 135, 1373eqtr3d 2780 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ π‘Š) = π‘ˆ)
139138adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑄 ≀ π‘Š) β†’ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ π‘Š) = π‘ˆ)
140129, 139breqtrd 5173 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑄 ≀ π‘Š) β†’ 𝑄 ≀ π‘ˆ)
141 hlatl 38218 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
1423, 141syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
143142adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑄 ≀ π‘Š) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
144115adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑄 ≀ π‘Š) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
14515adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑄 ≀ π‘Š) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
1467, 8atcmp 38169 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) β†’ (𝑄 ≀ π‘ˆ ↔ 𝑄 = π‘ˆ))
147143, 144, 145, 146syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑄 ≀ π‘Š) β†’ (𝑄 ≀ π‘ˆ ↔ 𝑄 = π‘ˆ))
148140, 147mpbid 231 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑄 ≀ π‘Š) β†’ 𝑄 = π‘ˆ)
14927, 7, 82latmle2 18414 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ≀ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉))
15026, 117, 119, 149syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉)) ≀ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉))
1511, 150eqbrtrid 5182 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑄 ≀ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉))
15227, 7, 82latlem12 18415 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑄 ≀ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉) ∧ 𝑄 ≀ π‘Š) ↔ 𝑄 ≀ (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉) ∧ π‘Š)))
15326, 124, 119, 34, 152syl13anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝑄 ≀ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉) ∧ 𝑄 ≀ π‘Š) ↔ 𝑄 ≀ (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉) ∧ π‘Š)))
154153biimpd 228 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑄 ≀ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉) ∧ 𝑄 ≀ π‘Š) β†’ 𝑄 ≀ (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉) ∧ π‘Š)))
155151, 154mpand 693 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑄 ≀ π‘Š β†’ 𝑄 ≀ (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉) ∧ π‘Š)))
156155imp 407 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑄 ≀ π‘Š) β†’ 𝑄 ≀ (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉) ∧ π‘Š))
1577, 82, 130, 8, 9lhpmat 38889 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∧ π‘Š) = (0.β€˜πΎ))
1582, 18, 157syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∧ π‘Š) = (0.β€˜πΎ))
159158oveq1d 7420 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∧ π‘Š) ∨ 𝑉) = ((0.β€˜πΎ) ∨ 𝑉))
16027, 8atbase 38147 . . . . . . . . . . . 12 ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
16119, 160syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
16227, 7, 35, 82, 8atmod4i1 38725 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑉 ≀ π‘Š) β†’ (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∧ π‘Š) ∨ 𝑉) = (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉) ∧ π‘Š))
1633, 21, 161, 34, 47, 162syl131anc 1383 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∧ π‘Š) ∨ 𝑉) = (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉) ∧ π‘Š))
16427, 35, 130olj02 38084 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑉 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((0.β€˜πΎ) ∨ 𝑉) = 𝑉)
16597, 71, 164syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((0.β€˜πΎ) ∨ 𝑉) = 𝑉)
166159, 163, 1653eqtr3d 2780 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉) ∧ π‘Š) = 𝑉)
167166adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑄 ≀ π‘Š) β†’ (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉) ∧ π‘Š) = 𝑉)
168156, 167breqtrd 5173 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑄 ≀ π‘Š) β†’ 𝑄 ≀ 𝑉)
16921adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑄 ≀ π‘Š) β†’ 𝑉 ∈ 𝐴)
1707, 8atcmp 38169 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴) β†’ (𝑄 ≀ 𝑉 ↔ 𝑄 = 𝑉))
171143, 144, 169, 170syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑄 ≀ π‘Š) β†’ (𝑄 ≀ 𝑉 ↔ 𝑄 = 𝑉))
172168, 171mpbid 231 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑄 ≀ π‘Š) β†’ 𝑄 = 𝑉)
173148, 172eqtr3d 2774 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑄 ≀ π‘Š) β†’ π‘ˆ = 𝑉)
174173ex 413 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑄 ≀ π‘Š β†’ π‘ˆ = 𝑉))
175174necon3ad 2953 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β‰  𝑉 β†’ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
17664, 175mpd 15 . 2 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)
177115, 176jca 512 1 (πœ‘ β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  lecple 17200  joincjn 18260  meetcmee 18261  0.cp0 18372  1.cp1 18373  Latclat 18380  OLcol 38032  Atomscatm 38121  AtLatcal 38122  HLchlt 38208  LHypclh 38843  LTrncltrn 38960  trLctrl 39017
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-map 8818  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-p1 18375  df-lat 18381  df-clat 18448  df-oposet 38034  df-ol 38036  df-oml 38037  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209  df-llines 38357  df-psubsp 38362  df-pmap 38363  df-padd 38655  df-lhyp 38847  df-laut 38848  df-ldil 38963  df-ltrn 38964  df-trl 39018
This theorem is referenced by:  dia2dimlem3  39925  dia2dimlem6  39928
  Copyright terms: Public domain W3C validator