Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp11l 1281 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β πΎ β HL) |
2 | | simp12l 1283 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β π β π΄) |
3 | | simp2rl 1239 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β π
β π΄) |
4 | | cdleme35.j |
. . . . 5
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
5 | | cdleme35.a |
. . . . 5
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
6 | 4, 5 | hlatjcom 38751 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β (π β¨ π
) = (π
β¨ π)) |
7 | 1, 2, 3, 6 | syl3anc 1368 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β (π β¨ π
) = (π
β¨ π)) |
8 | 7 | oveq2d 7421 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π
)) = ((π
β¨ π) β§ (π
β¨ π))) |
9 | | simp11 1200 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
10 | | simp12 1201 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
11 | | simp13l 1285 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β π β π΄) |
12 | | simp2l 1196 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β π β π) |
13 | | cdleme35.l |
. . . . 5
β’ β€ =
(leβπΎ) |
14 | | cdleme35.m |
. . . . 5
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
15 | | cdleme35.h |
. . . . 5
β’ π» = (LHypβπΎ) |
16 | | cdleme35.u |
. . . . 5
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
17 | 13, 4, 14, 5, 15, 16 | cdleme0a 39595 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π)) β π β π΄) |
18 | 9, 10, 11, 12, 17 | syl112anc 1371 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β π β π΄) |
19 | | simp12r 1284 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β Β¬ π β€ π) |
20 | 1 | hllatd 38747 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β πΎ β Lat) |
21 | | eqid 2726 |
. . . . . . . . . 10
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
22 | 21, 4, 5 | hlatjcl 38750 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
23 | 1, 2, 11, 22 | syl3anc 1368 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
24 | | simp11r 1282 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β π β π») |
25 | 21, 15 | lhpbase 39382 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β π» β π β (BaseβπΎ)) |
26 | 24, 25 | syl 17 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β π β (BaseβπΎ)) |
27 | 21, 13, 14 | latmle2 18430 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π) β§ π) β€ π) |
28 | 20, 23, 26, 27 | syl3anc 1368 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β ((π β¨ π) β§ π) β€ π) |
29 | 16, 28 | eqbrtrid 5176 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β π β€ π) |
30 | | breq1 5144 |
. . . . . 6
β’ (π = π β (π β€ π β π β€ π)) |
31 | 29, 30 | syl5ibcom 244 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β (π = π β π β€ π)) |
32 | 31 | necon3bd 2948 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β (Β¬ π β€ π β π β π)) |
33 | 19, 32 | mpd 15 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β π β π) |
34 | | simp3 1135 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β Β¬ π
β€ (π β¨ π)) |
35 | 21, 13, 14 | latmle1 18429 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π) β§ π) β€ (π β¨ π)) |
36 | 20, 23, 26, 35 | syl3anc 1368 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β ((π β¨ π) β§ π) β€ (π β¨ π)) |
37 | 16, 36 | eqbrtrid 5176 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β π β€ (π β¨ π)) |
38 | 13, 4, 5 | hlatlej1 38758 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β π β€ (π β¨ π)) |
39 | 1, 2, 11, 38 | syl3anc 1368 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β π β€ (π β¨ π)) |
40 | 21, 5 | atbase 38672 |
. . . . . . . 8
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
41 | 18, 40 | syl 17 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β π β (BaseβπΎ)) |
42 | 21, 5 | atbase 38672 |
. . . . . . . 8
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
43 | 2, 42 | syl 17 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β π β (BaseβπΎ)) |
44 | 21, 13, 4 | latjle12 18415 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ))) β ((π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)) β (π β¨ π) β€ (π β¨ π))) |
45 | 20, 41, 43, 23, 44 | syl13anc 1369 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β ((π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)) β (π β¨ π) β€ (π β¨ π))) |
46 | 37, 39, 45 | mpbi2and 709 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β (π β¨ π) β€ (π β¨ π)) |
47 | 21, 5 | atbase 38672 |
. . . . . . 7
β’ (π
β π΄ β π
β (BaseβπΎ)) |
48 | 3, 47 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β π
β (BaseβπΎ)) |
49 | 21, 4, 5 | hlatjcl 38750 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
50 | 1, 18, 2, 49 | syl3anc 1368 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
51 | 21, 13 | lattr 18409 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ (π
β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ))) β ((π
β€ (π β¨ π) β§ (π β¨ π) β€ (π β¨ π)) β π
β€ (π β¨ π))) |
52 | 20, 48, 50, 23, 51 | syl13anc 1369 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β ((π
β€ (π β¨ π) β§ (π β¨ π) β€ (π β¨ π)) β π
β€ (π β¨ π))) |
53 | 46, 52 | mpan2d 691 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β (π
β€ (π β¨ π) β π
β€ (π β¨ π))) |
54 | 34, 53 | mtod 197 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β Β¬ π
β€ (π β¨ π)) |
55 | 13, 4, 14, 5 | 2llnma2 39173 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β ((π
β¨ π) β§ (π
β¨ π)) = π
) |
56 | 1, 18, 2, 3, 33, 54, 55 | syl132anc 1385 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β ((π
β¨ π) β§ (π
β¨ π)) = π
) |
57 | 8, 56 | eqtrd 2766 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π
)) = π
) |