Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpmcvr4N Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lhpmcvr4N 39200
Description: Specialization of lhpmcvr2 39198. (Contributed by NM, 6-Apr-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpmcvr2.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
lhpmcvr2.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
lhpmcvr2.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
lhpmcvr2.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
lhpmcvr2.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
lhpmcvr2.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lhpmcvr4N (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š ∧ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Œ)
Proof of Theorem lhpmcvr4N
StepHypRef Expression
1 simp2rr 1241 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š ∧ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)
2 simp33 1209 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š ∧ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ 𝑃 ≀ 𝑋)
3 simp1l 1195 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š ∧ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
43hllatd 38537 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š ∧ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
5 simp2rl 1240 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š ∧ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
6 lhpmcvr2.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
7 lhpmcvr2.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
86, 7atbase 38462 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
95, 8syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š ∧ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
10 simp2ll 1238 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š ∧ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
11 simp31 1207 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š ∧ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
12 lhpmcvr2.l . . . . . . 7 ≀ = (leβ€˜πΎ)
13 lhpmcvr2.m . . . . . . 7 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
146, 12, 13latlem12 18423 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑃 ≀ π‘Œ) ↔ 𝑃 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ)))
154, 9, 10, 11, 14syl13anc 1370 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š ∧ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ ((𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑃 ≀ π‘Œ) ↔ 𝑃 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ)))
1615biimpd 228 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š ∧ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ ((𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑃 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑃 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ)))
172, 16mpand 691 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š ∧ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ (𝑃 ≀ π‘Œ β†’ 𝑃 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ)))
18 simp32 1208 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š ∧ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š)
196, 13latmcl 18397 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
204, 10, 11, 19syl3anc 1369 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š ∧ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
21 simp1r 1196 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š ∧ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
22 lhpmcvr2.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
236, 22lhpbase 39172 . . . . . 6 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
2421, 23syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š ∧ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
256, 12lattr 18401 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑃 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š) β†’ 𝑃 ≀ π‘Š))
264, 9, 20, 24, 25syl13anc 1370 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š ∧ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ ((𝑃 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š) β†’ 𝑃 ≀ π‘Š))
2718, 26mpan2d 690 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š ∧ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ (𝑃 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ) β†’ 𝑃 ≀ π‘Š))
2817, 27syld 47 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š ∧ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ (𝑃 ≀ π‘Œ β†’ 𝑃 ≀ π‘Š))
291, 28mtod 197 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š ∧ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Œ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  lecple 17208  joincjn 18268  meetcmee 18269  Latclat 18388  Atomscatm 38436  HLchlt 38523  LHypclh 39158
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-poset 18270  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-lat 18389  df-ats 38440  df-atl 38471  df-cvlat 38495  df-hlat 38524  df-lhyp 39162
This theorem is referenced by:  lhpmcvr5N  39201  dihmeetlem17N  40497
  Copyright terms: Public domain W3C validator