Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp33 1212 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β Β¬ π β€ (π β¨ π)) |
2 | | simp1l 1198 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β πΎ β HL) |
3 | | simp31 1210 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π
β π΄) |
4 | | simp32 1211 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
5 | | simp21l 1291 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
6 | | simp233 1320 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π
β π) |
7 | | cdlemd3.l |
. . . . 5
β’ β€ =
(leβπΎ) |
8 | | cdlemd3.j |
. . . . 5
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
9 | | cdlemd3.a |
. . . . 5
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
10 | 7, 8, 9 | hlatexch1 37861 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ π
β π) β (π
β€ (π β¨ π) β π β€ (π β¨ π
))) |
11 | 2, 3, 4, 5, 6, 10 | syl131anc 1384 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (π
β€ (π β¨ π) β π β€ (π β¨ π
))) |
12 | | simp22l 1293 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
13 | 7, 8, 9 | hlatlej1 37840 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β π β€ (π β¨ π)) |
14 | 2, 5, 12, 13 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β€ (π β¨ π)) |
15 | | simp232 1319 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π
β€ (π β¨ π)) |
16 | 2 | hllatd 37829 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β πΎ β Lat) |
17 | | eqid 2737 |
. . . . . . . 8
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
18 | 17, 9 | atbase 37754 |
. . . . . . 7
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
19 | 5, 18 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
20 | 17, 9 | atbase 37754 |
. . . . . . 7
β’ (π
β π΄ β π
β (BaseβπΎ)) |
21 | 3, 20 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π
β (BaseβπΎ)) |
22 | 17, 9 | atbase 37754 |
. . . . . . . 8
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
23 | 12, 22 | syl 17 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
24 | 17, 8 | latjcl 18329 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β Lat β§ π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
25 | 16, 19, 23, 24 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
26 | 17, 7, 8 | latjle12 18340 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β (BaseβπΎ) β§ π
β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ))) β ((π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)) β (π β¨ π
) β€ (π β¨ π))) |
27 | 16, 19, 21, 25, 26 | syl13anc 1373 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β ((π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)) β (π β¨ π
) β€ (π β¨ π))) |
28 | 14, 15, 27 | mpbi2and 711 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (π β¨ π
) β€ (π β¨ π)) |
29 | 17, 9 | atbase 37754 |
. . . . . 6
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
30 | 4, 29 | syl 17 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
31 | 17, 8 | latjcl 18329 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ π β (BaseβπΎ) β§ π
β (BaseβπΎ)) β (π β¨ π
) β (BaseβπΎ)) |
32 | 16, 19, 21, 31 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (π β¨ π
) β (BaseβπΎ)) |
33 | 17, 7 | lattr 18334 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π
) β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ))) β ((π β€ (π β¨ π
) β§ (π β¨ π
) β€ (π β¨ π)) β π β€ (π β¨ π))) |
34 | 16, 30, 32, 25, 33 | syl13anc 1373 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β ((π β€ (π β¨ π
) β§ (π β¨ π
) β€ (π β¨ π)) β π β€ (π β¨ π))) |
35 | 28, 34 | mpan2d 693 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (π β€ (π β¨ π
) β π β€ (π β¨ π))) |
36 | 11, 35 | syld 47 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (π
β€ (π β¨ π) β π β€ (π β¨ π))) |
37 | 1, 36 | mtod 197 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β Β¬ π
β€ (π β¨ π)) |