Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemk3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemk3 40543
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 3-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk.l = (le‘𝐾)
cdlemk.j = (join‘𝐾)
cdlemk.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk.m = (meet‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cdlemk3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → (((𝐹𝑃) (𝑅𝐹)) ((𝐹𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))) = (𝐹𝑃))

Proof of Theorem cdlemk3
StepHypRef Expression
1 simp1l 1194 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp1 1133 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3 simp2l 1196 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → 𝐹𝑇)
4 simp32l 1295 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
5 cdlemk.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 cdlemk.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7 cdlemk.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8 cdlemk.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
9 cdlemk.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
105, 6, 7, 8, 9trlnidat 39883 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴)
112, 3, 4, 10syl3anc 1368 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴)
12 simp2r 1197 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → 𝐺𝑇)
13 simp31 1206 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹))
146, 7, 8, 9trlcocnvat 40434 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝐹𝑇) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹)) → (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐴)
152, 12, 3, 13, 14syl121anc 1372 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐴)
16 simp33l 1297 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → 𝑃𝐴)
17 cdlemk.l . . . 4 = (le‘𝐾)
1817, 6, 7, 8ltrnat 39850 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐴) → (𝐹𝑃) ∈ 𝐴)
192, 3, 16, 18syl3anc 1368 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → (𝐹𝑃) ∈ 𝐴)
207, 8ltrncnv 39856 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹𝑇)
212, 3, 20syl2anc 582 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → 𝐹𝑇)
227, 8, 9trlcnv 39875 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐹))
232, 3, 22syl2anc 582 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐹))
2413necomd 2986 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))
2523, 24eqnetrd 2998 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))
26 simp32r 1296 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))
275, 7, 8, 9trlcone 40438 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅𝐹) ≠ (𝑅‘(𝐹𝐺)))
282, 21, 12, 25, 26, 27syl122anc 1376 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → (𝑅𝐹) ≠ (𝑅‘(𝐹𝐺)))
297, 8ltrncom 40448 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝐹𝐺) = (𝐺𝐹))
302, 21, 12, 29syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → (𝐹𝐺) = (𝐺𝐹))
3130fveq2d 6895 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) = (𝑅‘(𝐺𝐹)))
3228, 23, 313netr3d 3007 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → (𝑅𝐹) ≠ (𝑅‘(𝐺𝐹)))
33 simp33 1208 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
3417, 6, 7, 8ltrnel 39849 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊))
3534simprd 494 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ¬ (𝐹𝑃) 𝑊)
362, 3, 33, 35syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → ¬ (𝐹𝑃) 𝑊)
3717, 7, 8, 9trlle 39894 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) 𝑊)
382, 3, 37syl2anc 582 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → (𝑅𝐹) 𝑊)
397, 8ltrnco 40429 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝐹𝑇) → (𝐺𝐹) ∈ 𝑇)
402, 12, 21, 39syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → (𝐺𝐹) ∈ 𝑇)
4117, 7, 8, 9trlle 39894 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝐺𝐹)) 𝑊)
422, 40, 41syl2anc 582 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → (𝑅‘(𝐺𝐹)) 𝑊)
431hllatd 39073 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → 𝐾 ∈ Lat)
445, 6atbase 38998 . . . . . . 7 ((𝑅𝐹) ∈ 𝐴 → (𝑅𝐹) ∈ 𝐵)
4511, 44syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐵)
465, 6atbase 38998 . . . . . . 7 ((𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐴 → (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐵)
4715, 46syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐵)
48 simp1r 1195 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → 𝑊𝐻)
495, 7lhpbase 39708 . . . . . . 7 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
5048, 49syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → 𝑊𝐵)
51 cdlemk.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
525, 17, 51latjle12 18468 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑅𝐹) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐵𝑊𝐵)) → (((𝑅𝐹) 𝑊 ∧ (𝑅‘(𝐺𝐹)) 𝑊) ↔ ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐺𝐹))) 𝑊))
5343, 45, 47, 50, 52syl13anc 1369 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → (((𝑅𝐹) 𝑊 ∧ (𝑅‘(𝐺𝐹)) 𝑊) ↔ ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐺𝐹))) 𝑊))
5438, 42, 53mpbi2and 710 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐺𝐹))) 𝑊)
555, 6atbase 38998 . . . . . 6 ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 → (𝐹𝑃) ∈ 𝐵)
5619, 55syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → (𝐹𝑃) ∈ 𝐵)
575, 51, 6hlatjcl 39076 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐹) ∈ 𝐴 ∧ (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐴) → ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐺𝐹))) ∈ 𝐵)
581, 11, 15, 57syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐺𝐹))) ∈ 𝐵)
595, 17lattr 18462 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝐹𝑃) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐺𝐹))) ∈ 𝐵𝑊𝐵)) → (((𝐹𝑃) ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐺𝐹))) ∧ ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐺𝐹))) 𝑊) → (𝐹𝑃) 𝑊))
6043, 56, 58, 50, 59syl13anc 1369 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → (((𝐹𝑃) ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐺𝐹))) ∧ ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐺𝐹))) 𝑊) → (𝐹𝑃) 𝑊))
6154, 60mpan2d 692 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → ((𝐹𝑃) ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐺𝐹))) → (𝐹𝑃) 𝑊))
6236, 61mtod 197 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → ¬ (𝐹𝑃) ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐺𝐹))))
63 cdlemk.m . . 3 = (meet‘𝐾)
6417, 51, 63, 62llnma2 39499 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑅𝐹) ∈ 𝐴 ∧ (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∧ ¬ (𝐹𝑃) ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐺𝐹))))) → (((𝐹𝑃) (𝑅𝐹)) ((𝐹𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))) = (𝐹𝑃))
651, 11, 15, 19, 32, 62, 64syl132anc 1385 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → (((𝐹𝑃) (𝑅𝐹)) ((𝐹𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))) = (𝐹𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930   class class class wbr 5144   I cid 5570  ccnv 5672  cres 5675  ccom 5677  cfv 6544  (class class class)co 7414  Basecbs 17206  lecple 17266  joincjn 18329  meetcmee 18330  Latclat 18449  Atomscatm 38972  HLchlt 39059  LHypclh 39694  LTrncltrn 39811  trLctrl 39868
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-riotaBAD 38662
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4907  df-iun 4996  df-iin 4997  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-id 5571  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-undef 8278  df-map 8847  df-proset 18313  df-poset 18331  df-plt 18348  df-lub 18364  df-glb 18365  df-join 18366  df-meet 18367  df-p0 18443  df-p1 18444  df-lat 18450  df-clat 18517  df-oposet 38885  df-ol 38887  df-oml 38888  df-covers 38975  df-ats 38976  df-atl 39007  df-cvlat 39031  df-hlat 39060  df-llines 39208  df-lplanes 39209  df-lvols 39210  df-lines 39211  df-psubsp 39213  df-pmap 39214  df-padd 39506  df-lhyp 39698  df-laut 39699  df-ldil 39814  df-ltrn 39815  df-trl 39869
This theorem is referenced by:  cdlemk5a  40545
  Copyright terms: Public domain W3C validator