Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp1l 1198 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπΉ) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β πΎ β HL) |
2 | | simp1 1137 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπΉ) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
3 | | simp2l 1200 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπΉ) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β πΉ β π) |
4 | | simp32l 1299 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπΉ) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β πΉ β ( I βΎ π΅)) |
5 | | cdlemk.b |
. . . 4
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
6 | | cdlemk.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
7 | | cdlemk.h |
. . . 4
β’ π» = (LHypβπΎ) |
8 | | cdlemk.t |
. . . 4
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
9 | | cdlemk.r |
. . . 4
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
10 | 5, 6, 7, 8, 9 | trlnidat 38639 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β (π
βπΉ) β π΄) |
11 | 2, 3, 4, 10 | syl3anc 1372 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπΉ) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (π
βπΉ) β π΄) |
12 | | simp2r 1201 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπΉ) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β πΊ β π) |
13 | | simp31 1210 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπΉ) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (π
βπΊ) β (π
βπΉ)) |
14 | 6, 7, 8, 9 | trlcocnvat 39190 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΊ β π β§ πΉ β π) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΉ)) β (π
β(πΊ β β‘πΉ)) β π΄) |
15 | 2, 12, 3, 13, 14 | syl121anc 1376 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπΉ) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (π
β(πΊ β β‘πΉ)) β π΄) |
16 | | simp33l 1301 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπΉ) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β π β π΄) |
17 | | cdlemk.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
18 | 17, 6, 7, 8 | ltrnat 38606 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π β π΄) β (πΉβπ) β π΄) |
19 | 2, 3, 16, 18 | syl3anc 1372 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπΉ) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (πΉβπ) β π΄) |
20 | 7, 8 | ltrncnv 38612 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π) β β‘πΉ β π) |
21 | 2, 3, 20 | syl2anc 585 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπΉ) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β β‘πΉ β π) |
22 | 7, 8, 9 | trlcnv 38631 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π) β (π
ββ‘πΉ) = (π
βπΉ)) |
23 | 2, 3, 22 | syl2anc 585 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπΉ) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (π
ββ‘πΉ) = (π
βπΉ)) |
24 | 13 | necomd 3000 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπΉ) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (π
βπΉ) β (π
βπΊ)) |
25 | 23, 24 | eqnetrd 3012 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπΉ) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (π
ββ‘πΉ) β (π
βπΊ)) |
26 | | simp32r 1300 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπΉ) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β πΊ β ( I βΎ π΅)) |
27 | 5, 7, 8, 9 | trlcone 39194 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (β‘πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
ββ‘πΉ) β (π
βπΊ) β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β (π
ββ‘πΉ) β (π
β(β‘πΉ β πΊ))) |
28 | 2, 21, 12, 25, 26, 27 | syl122anc 1380 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπΉ) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (π
ββ‘πΉ) β (π
β(β‘πΉ β πΊ))) |
29 | 7, 8 | ltrncom 39204 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ β‘πΉ β π β§ πΊ β π) β (β‘πΉ β πΊ) = (πΊ β β‘πΉ)) |
30 | 2, 21, 12, 29 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπΉ) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (β‘πΉ β πΊ) = (πΊ β β‘πΉ)) |
31 | 30 | fveq2d 6847 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπΉ) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (π
β(β‘πΉ β πΊ)) = (π
β(πΊ β β‘πΉ))) |
32 | 28, 23, 31 | 3netr3d 3021 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπΉ) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (π
βπΉ) β (π
β(πΊ β β‘πΉ))) |
33 | | simp33 1212 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπΉ) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
34 | 17, 6, 7, 8 | ltrnel 38605 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β ((πΉβπ) β π΄ β§ Β¬ (πΉβπ) β€ π)) |
35 | 34 | simprd 497 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β Β¬ (πΉβπ) β€ π) |
36 | 2, 3, 33, 35 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπΉ) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β Β¬ (πΉβπ) β€ π) |
37 | 17, 7, 8, 9 | trlle 38650 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π) β (π
βπΉ) β€ π) |
38 | 2, 3, 37 | syl2anc 585 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπΉ) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (π
βπΉ) β€ π) |
39 | 7, 8 | ltrnco 39185 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΊ β π β§ β‘πΉ β π) β (πΊ β β‘πΉ) β π) |
40 | 2, 12, 21, 39 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπΉ) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (πΊ β β‘πΉ) β π) |
41 | 17, 7, 8, 9 | trlle 38650 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΊ β β‘πΉ) β π) β (π
β(πΊ β β‘πΉ)) β€ π) |
42 | 2, 40, 41 | syl2anc 585 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπΉ) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (π
β(πΊ β β‘πΉ)) β€ π) |
43 | 1 | hllatd 37829 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπΉ) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β πΎ β Lat) |
44 | 5, 6 | atbase 37754 |
. . . . . . 7
β’ ((π
βπΉ) β π΄ β (π
βπΉ) β π΅) |
45 | 11, 44 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπΉ) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (π
βπΉ) β π΅) |
46 | 5, 6 | atbase 37754 |
. . . . . . 7
β’ ((π
β(πΊ β β‘πΉ)) β π΄ β (π
β(πΊ β β‘πΉ)) β π΅) |
47 | 15, 46 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπΉ) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (π
β(πΊ β β‘πΉ)) β π΅) |
48 | | simp1r 1199 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπΉ) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β π β π») |
49 | 5, 7 | lhpbase 38464 |
. . . . . . 7
β’ (π β π» β π β π΅) |
50 | 48, 49 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπΉ) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β π β π΅) |
51 | | cdlemk.j |
. . . . . . 7
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
52 | 5, 17, 51 | latjle12 18340 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ ((π
βπΉ) β π΅ β§ (π
β(πΊ β β‘πΉ)) β π΅ β§ π β π΅)) β (((π
βπΉ) β€ π β§ (π
β(πΊ β β‘πΉ)) β€ π) β ((π
βπΉ) β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ))) β€ π)) |
53 | 43, 45, 47, 50, 52 | syl13anc 1373 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπΉ) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (((π
βπΉ) β€ π β§ (π
β(πΊ β β‘πΉ)) β€ π) β ((π
βπΉ) β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ))) β€ π)) |
54 | 38, 42, 53 | mpbi2and 711 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπΉ) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β ((π
βπΉ) β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ))) β€ π) |
55 | 5, 6 | atbase 37754 |
. . . . . 6
β’ ((πΉβπ) β π΄ β (πΉβπ) β π΅) |
56 | 19, 55 | syl 17 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπΉ) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (πΉβπ) β π΅) |
57 | 5, 51, 6 | hlatjcl 37832 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ (π
βπΉ) β π΄ β§ (π
β(πΊ β β‘πΉ)) β π΄) β ((π
βπΉ) β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ))) β π΅) |
58 | 1, 11, 15, 57 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπΉ) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β ((π
βπΉ) β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ))) β π΅) |
59 | 5, 17 | lattr 18334 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ ((πΉβπ) β π΅ β§ ((π
βπΉ) β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ))) β π΅ β§ π β π΅)) β (((πΉβπ) β€ ((π
βπΉ) β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ))) β§ ((π
βπΉ) β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ))) β€ π) β (πΉβπ) β€ π)) |
60 | 43, 56, 58, 50, 59 | syl13anc 1373 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπΉ) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (((πΉβπ) β€ ((π
βπΉ) β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ))) β§ ((π
βπΉ) β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ))) β€ π) β (πΉβπ) β€ π)) |
61 | 54, 60 | mpan2d 693 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπΉ) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β ((πΉβπ) β€ ((π
βπΉ) β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ))) β (πΉβπ) β€ π)) |
62 | 36, 61 | mtod 197 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπΉ) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β Β¬ (πΉβπ) β€ ((π
βπΉ) β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ)))) |
63 | | cdlemk.m |
. . 3
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
64 | 17, 51, 63, 6 | 2llnma2 38255 |
. 2
β’ ((πΎ β HL β§ ((π
βπΉ) β π΄ β§ (π
β(πΊ β β‘πΉ)) β π΄ β§ (πΉβπ) β π΄) β§ ((π
βπΉ) β (π
β(πΊ β β‘πΉ)) β§ Β¬ (πΉβπ) β€ ((π
βπΉ) β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ))))) β (((πΉβπ) β¨ (π
βπΉ)) β§ ((πΉβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ)))) = (πΉβπ)) |
65 | 1, 11, 15, 19, 32, 62, 64 | syl132anc 1389 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπΉ) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (((πΉβπ) β¨ (π
βπΉ)) β§ ((πΉβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ)))) = (πΉβπ)) |