Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp1 1135 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ πΉ β π) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
2 | | simp23 1207 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ πΉ β π) β (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) |
3 | | simp1l 1196 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ πΉ β π) β πΎ β HL) |
4 | 3 | hllatd 38538 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ πΉ β π) β πΎ β Lat) |
5 | | simp23l 1293 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ πΉ β π) β π
β π΄) |
6 | | eqid 2731 |
. . . . . . 7
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
7 | | cdlemg2j.a |
. . . . . . 7
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
8 | 6, 7 | atbase 38463 |
. . . . . 6
β’ (π
β π΄ β π
β (BaseβπΎ)) |
9 | 5, 8 | syl 17 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ πΉ β π) β π
β (BaseβπΎ)) |
10 | | simp1r 1197 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ πΉ β π) β π β π») |
11 | | simp21l 1289 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ πΉ β π) β π β π΄) |
12 | | simp22l 1291 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ πΉ β π) β π β π΄) |
13 | | cdlemg2j.l |
. . . . . . 7
β’ β€ =
(leβπΎ) |
14 | | cdlemg2j.j |
. . . . . . 7
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
15 | | cdlemg2j.m |
. . . . . . 7
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
16 | | cdlemg2inv.h |
. . . . . . 7
β’ π» = (LHypβπΎ) |
17 | | cdlemg2j.u |
. . . . . . 7
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
18 | 13, 14, 15, 7, 16, 17, 6 | cdleme0aa 39385 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΄ β§ π β π΄) β π β (BaseβπΎ)) |
19 | 3, 10, 11, 12, 18 | syl211anc 1375 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ πΉ β π) β π β (BaseβπΎ)) |
20 | 6, 14 | latjcl 18397 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ π
β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β (π
β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
21 | 4, 9, 19, 20 | syl3anc 1370 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ πΉ β π) β (π
β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
22 | | simp23r 1294 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ πΉ β π) β Β¬ π
β€ π) |
23 | 6, 13, 14 | latlej1 18406 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β Lat β§ π
β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β π
β€ (π
β¨ π)) |
24 | 4, 9, 19, 23 | syl3anc 1370 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ πΉ β π) β π
β€ (π
β¨ π)) |
25 | 6, 16 | lhpbase 39173 |
. . . . . . . 8
β’ (π β π» β π β (BaseβπΎ)) |
26 | 10, 25 | syl 17 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ πΉ β π) β π β (BaseβπΎ)) |
27 | 6, 13 | lattr 18402 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β Lat β§ (π
β (BaseβπΎ) β§ (π
β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ))) β ((π
β€ (π
β¨ π) β§ (π
β¨ π) β€ π) β π
β€ π)) |
28 | 4, 9, 21, 26, 27 | syl13anc 1371 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ πΉ β π) β ((π
β€ (π
β¨ π) β§ (π
β¨ π) β€ π) β π
β€ π)) |
29 | 24, 28 | mpand 692 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ πΉ β π) β ((π
β¨ π) β€ π β π
β€ π)) |
30 | 22, 29 | mtod 197 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ πΉ β π) β Β¬ (π
β¨ π) β€ π) |
31 | 21, 30 | jca 511 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ πΉ β π) β ((π
β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ Β¬ (π
β¨ π) β€ π)) |
32 | | simp3 1137 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ πΉ β π) β πΉ β π) |
33 | | eqid 2731 |
. . . . . . . 8
β’
(0.βπΎ) =
(0.βπΎ) |
34 | 13, 15, 33, 7, 16 | lhpmat 39205 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β (π
β§ π) = (0.βπΎ)) |
35 | 1, 2, 34 | syl2anc 583 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ πΉ β π) β (π
β§ π) = (0.βπΎ)) |
36 | 35 | oveq1d 7427 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ πΉ β π) β ((π
β§ π) β¨ π) = ((0.βπΎ) β¨ π)) |
37 | 6, 14, 7 | hlatjcl 38541 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
38 | 3, 11, 12, 37 | syl3anc 1370 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ πΉ β π) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
39 | 6, 13, 15 | latmle2 18423 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π) β§ π) β€ π) |
40 | 4, 38, 26, 39 | syl3anc 1370 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ πΉ β π) β ((π β¨ π) β§ π) β€ π) |
41 | 17, 40 | eqbrtrid 5183 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ πΉ β π) β π β€ π) |
42 | 6, 13, 14, 15, 7 | atmod4i2 39042 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ (π
β π΄ β§ π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β§ π β€ π) β ((π
β§ π) β¨ π) = ((π
β¨ π) β§ π)) |
43 | 3, 5, 19, 26, 41, 42 | syl131anc 1382 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ πΉ β π) β ((π
β§ π) β¨ π) = ((π
β¨ π) β§ π)) |
44 | | hlol 38535 |
. . . . . . 7
β’ (πΎ β HL β πΎ β OL) |
45 | 3, 44 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ πΉ β π) β πΎ β OL) |
46 | 6, 14, 33 | olj02 38400 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β OL β§ π β (BaseβπΎ)) β ((0.βπΎ) β¨ π) = π) |
47 | 45, 19, 46 | syl2anc 583 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ πΉ β π) β ((0.βπΎ) β¨ π) = π) |
48 | 36, 43, 47 | 3eqtr3d 2779 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ πΉ β π) β ((π
β¨ π) β§ π) = π) |
49 | 48 | oveq2d 7428 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ πΉ β π) β (π
β¨ ((π
β¨ π) β§ π)) = (π
β¨ π)) |
50 | | cdlemg2inv.t |
. . . 4
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
51 | 16, 50, 13, 14, 7, 15, 6 | cdlemg2fv 39774 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ ((π
β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ Β¬ (π
β¨ π) β€ π)) β§ (πΉ β π β§ (π
β¨ ((π
β¨ π) β§ π)) = (π
β¨ π))) β (πΉβ(π
β¨ π)) = ((πΉβπ
) β¨ ((π
β¨ π) β§ π))) |
52 | 1, 2, 31, 32, 49, 51 | syl122anc 1378 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ πΉ β π) β (πΉβ(π
β¨ π)) = ((πΉβπ
) β¨ ((π
β¨ π) β§ π))) |
53 | 48 | oveq2d 7428 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ πΉ β π) β ((πΉβπ
) β¨ ((π
β¨ π) β§ π)) = ((πΉβπ
) β¨ π)) |
54 | 52, 53 | eqtrd 2771 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ πΉ β π) β (πΉβ(π
β¨ π)) = ((πΉβπ
) β¨ π)) |