Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg7fvbwN Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdlemg7fvbwN 39570
Description: Properties of a translation of an element not under π‘Š. TODO: Fix comment. Can this be simplified? Perhaps derived from cdleme48bw 39465? Done with a *ltrn* theorem? (Contributed by NM, 28-Apr-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg4.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemg4.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemg4.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemg4.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemg4.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cdlemg7fvbwN (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘‹) ≀ π‘Š))
Proof of Theorem cdlemg7fvbwN
Dummy variable π‘Ÿ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cdlemg4.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 cdlemg4.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 eqid 2732 . . . 4 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
4 eqid 2732 . . . 4 (meetβ€˜πΎ) = (meetβ€˜πΎ)
5 cdlemg4.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
6 cdlemg4.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
71, 2, 3, 4, 5, 6lhpmcvr2 38987 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋))
873adant3 1132 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋))
9 simp11 1203 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
10 simp2 1137 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐴)
11 simp3l 1201 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š)
1210, 11jca 512 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š))
13 simp12 1204 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š))
14 simp13 1205 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
15 simp3r 1202 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)
16 cdlemg4.t . . . . . . 7 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
176, 16, 2, 3, 5, 4, 1cdlemg2fv 39562 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = ((πΉβ€˜π‘Ÿ)(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))
189, 12, 13, 14, 15, 17syl122anc 1379 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = ((πΉβ€˜π‘Ÿ)(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))
19 simp11l 1284 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2019hllatd 38326 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
212, 5, 6, 16ltrnel 39102 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ÿ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘Ÿ) ≀ π‘Š))
2221simpld 495 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜π‘Ÿ) ∈ 𝐴)
239, 14, 12, 22syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘Ÿ) ∈ 𝐴)
241, 5atbase 38251 . . . . . . 7 ((πΉβ€˜π‘Ÿ) ∈ 𝐴 β†’ (πΉβ€˜π‘Ÿ) ∈ 𝐡)
2523, 24syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘Ÿ) ∈ 𝐡)
26 simp12l 1286 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
27 simp11r 1285 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
281, 6lhpbase 38961 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
2927, 28syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
301, 4latmcl 18395 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ 𝐡)
3120, 26, 29, 30syl3anc 1371 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ 𝐡)
321, 3latjcl 18394 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (πΉβ€˜π‘Ÿ) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ÿ)(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∈ 𝐡)
3320, 25, 31, 32syl3anc 1371 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ÿ)(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∈ 𝐡)
3418, 33eqeltrd 2833 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
3521simprd 496 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š)) β†’ Β¬ (πΉβ€˜π‘Ÿ) ≀ π‘Š)
369, 14, 12, 35syl3anc 1371 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ Β¬ (πΉβ€˜π‘Ÿ) ≀ π‘Š)
371, 2, 3latlej1 18403 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (πΉβ€˜π‘Ÿ) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘Ÿ) ≀ ((πΉβ€˜π‘Ÿ)(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))
3820, 25, 31, 37syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘Ÿ) ≀ ((πΉβ€˜π‘Ÿ)(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))
391, 2lattr 18399 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((πΉβ€˜π‘Ÿ) ∈ 𝐡 ∧ ((πΉβ€˜π‘Ÿ)(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ (((πΉβ€˜π‘Ÿ) ≀ ((πΉβ€˜π‘Ÿ)(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∧ ((πΉβ€˜π‘Ÿ)(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ≀ π‘Š) β†’ (πΉβ€˜π‘Ÿ) ≀ π‘Š))
4020, 25, 33, 29, 39syl13anc 1372 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (((πΉβ€˜π‘Ÿ) ≀ ((πΉβ€˜π‘Ÿ)(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∧ ((πΉβ€˜π‘Ÿ)(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ≀ π‘Š) β†’ (πΉβ€˜π‘Ÿ) ≀ π‘Š))
4138, 40mpand 693 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (((πΉβ€˜π‘Ÿ)(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ≀ π‘Š β†’ (πΉβ€˜π‘Ÿ) ≀ π‘Š))
4236, 41mtod 197 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ Β¬ ((πΉβ€˜π‘Ÿ)(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ≀ π‘Š)
4318breq1d 5158 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) ≀ π‘Š ↔ ((πΉβ€˜π‘Ÿ)(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ≀ π‘Š))
4442, 43mtbird 324 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ Β¬ (πΉβ€˜π‘‹) ≀ π‘Š)
4534, 44jca 512 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘‹) ≀ π‘Š))
4645rexlimdv3a 3159 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘‹) ≀ π‘Š)))
478, 46mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘‹) ≀ π‘Š))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17146  lecple 17206  joincjn 18266  meetcmee 18267  Latclat 18386  Atomscatm 38225  HLchlt 38312  LHypclh 38947  LTrncltrn 39064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-riotaBAD 37915
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-undef 8260  df-map 8824  df-proset 18250  df-poset 18268  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-p1 18381  df-lat 18387  df-clat 18454  df-oposet 38138  df-ol 38140  df-oml 38141  df-covers 38228  df-ats 38229  df-atl 38260  df-cvlat 38284  df-hlat 38313  df-llines 38461  df-lplanes 38462  df-lvols 38463  df-lines 38464  df-psubsp 38466  df-pmap 38467  df-padd 38759  df-lhyp 38951  df-laut 38952  df-ldil 39067  df-ltrn 39068  df-trl 39122
This theorem is referenced by:  cdlemg7fvN  39587
  Copyright terms: Public domain W3C validator