Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg7fvbwN Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdlemg7fvbwN 39478
Description: Properties of a translation of an element not under π‘Š. TODO: Fix comment. Can this be simplified? Perhaps derived from cdleme48bw 39373? Done with a *ltrn* theorem? (Contributed by NM, 28-Apr-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg4.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemg4.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemg4.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemg4.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemg4.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cdlemg7fvbwN (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘‹) ≀ π‘Š))
Proof of Theorem cdlemg7fvbwN
Dummy variable π‘Ÿ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cdlemg4.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 cdlemg4.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 eqid 2733 . . . 4 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
4 eqid 2733 . . . 4 (meetβ€˜πΎ) = (meetβ€˜πΎ)
5 cdlemg4.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
6 cdlemg4.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
71, 2, 3, 4, 5, 6lhpmcvr2 38895 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋))
873adant3 1133 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋))
9 simp11 1204 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
10 simp2 1138 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐴)
11 simp3l 1202 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š)
1210, 11jca 513 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š))
13 simp12 1205 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š))
14 simp13 1206 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
15 simp3r 1203 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)
16 cdlemg4.t . . . . . . 7 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
176, 16, 2, 3, 5, 4, 1cdlemg2fv 39470 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = ((πΉβ€˜π‘Ÿ)(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))
189, 12, 13, 14, 15, 17syl122anc 1380 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = ((πΉβ€˜π‘Ÿ)(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))
19 simp11l 1285 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2019hllatd 38234 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
212, 5, 6, 16ltrnel 39010 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ÿ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘Ÿ) ≀ π‘Š))
2221simpld 496 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜π‘Ÿ) ∈ 𝐴)
239, 14, 12, 22syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘Ÿ) ∈ 𝐴)
241, 5atbase 38159 . . . . . . 7 ((πΉβ€˜π‘Ÿ) ∈ 𝐴 β†’ (πΉβ€˜π‘Ÿ) ∈ 𝐡)
2523, 24syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘Ÿ) ∈ 𝐡)
26 simp12l 1287 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
27 simp11r 1286 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
281, 6lhpbase 38869 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
2927, 28syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
301, 4latmcl 18393 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ 𝐡)
3120, 26, 29, 30syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ 𝐡)
321, 3latjcl 18392 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (πΉβ€˜π‘Ÿ) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ÿ)(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∈ 𝐡)
3320, 25, 31, 32syl3anc 1372 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ÿ)(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∈ 𝐡)
3418, 33eqeltrd 2834 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
3521simprd 497 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š)) β†’ Β¬ (πΉβ€˜π‘Ÿ) ≀ π‘Š)
369, 14, 12, 35syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ Β¬ (πΉβ€˜π‘Ÿ) ≀ π‘Š)
371, 2, 3latlej1 18401 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (πΉβ€˜π‘Ÿ) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘Ÿ) ≀ ((πΉβ€˜π‘Ÿ)(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))
3820, 25, 31, 37syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘Ÿ) ≀ ((πΉβ€˜π‘Ÿ)(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))
391, 2lattr 18397 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((πΉβ€˜π‘Ÿ) ∈ 𝐡 ∧ ((πΉβ€˜π‘Ÿ)(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ (((πΉβ€˜π‘Ÿ) ≀ ((πΉβ€˜π‘Ÿ)(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∧ ((πΉβ€˜π‘Ÿ)(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ≀ π‘Š) β†’ (πΉβ€˜π‘Ÿ) ≀ π‘Š))
4020, 25, 33, 29, 39syl13anc 1373 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (((πΉβ€˜π‘Ÿ) ≀ ((πΉβ€˜π‘Ÿ)(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∧ ((πΉβ€˜π‘Ÿ)(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ≀ π‘Š) β†’ (πΉβ€˜π‘Ÿ) ≀ π‘Š))
4138, 40mpand 694 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (((πΉβ€˜π‘Ÿ)(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ≀ π‘Š β†’ (πΉβ€˜π‘Ÿ) ≀ π‘Š))
4236, 41mtod 197 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ Β¬ ((πΉβ€˜π‘Ÿ)(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ≀ π‘Š)
4318breq1d 5159 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) ≀ π‘Š ↔ ((πΉβ€˜π‘Ÿ)(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ≀ π‘Š))
4442, 43mtbird 325 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ Β¬ (πΉβ€˜π‘‹) ≀ π‘Š)
4534, 44jca 513 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘‹) ≀ π‘Š))
4645rexlimdv3a 3160 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘‹) ≀ π‘Š)))
478, 46mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘‹) ≀ π‘Š))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3071   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  lecple 17204  joincjn 18264  meetcmee 18265  Latclat 18384  Atomscatm 38133  HLchlt 38220  LHypclh 38855  LTrncltrn 38972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-riotaBAD 37823
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-undef 8258  df-map 8822  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-p1 18379  df-lat 18385  df-clat 18452  df-oposet 38046  df-ol 38048  df-oml 38049  df-covers 38136  df-ats 38137  df-atl 38168  df-cvlat 38192  df-hlat 38221  df-llines 38369  df-lplanes 38370  df-lvols 38371  df-lines 38372  df-psubsp 38374  df-pmap 38375  df-padd 38667  df-lhyp 38859  df-laut 38860  df-ldil 38975  df-ltrn 38976  df-trl 39030
This theorem is referenced by:  cdlemg7fvN  39495
  Copyright terms: Public domain W3C validator