MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lbreu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lbreu 12113
Description: If a set of reals contains a lower bound, it contains a unique lower bound. (Contributed by NM, 9-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
lbreu ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) → ∃!𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑆

Proof of Theorem lbreu
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 5113 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑤 → (𝑥𝑦𝑥𝑤))
21rspcv 3579 . . . . . . 7 (𝑤𝑆 → (∀𝑦𝑆 𝑥𝑦𝑥𝑤))
3 breq2 5113 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (𝑤𝑦𝑤𝑥))
43rspcv 3579 . . . . . . 7 (𝑥𝑆 → (∀𝑦𝑆 𝑤𝑦𝑤𝑥))
52, 4im2anan9r 622 . . . . . 6 ((𝑥𝑆𝑤𝑆) → ((∀𝑦𝑆 𝑥𝑦 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑤𝑦) → (𝑥𝑤𝑤𝑥)))
6 ssel 3941 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ⊆ ℝ → (𝑥𝑆𝑥 ∈ ℝ))
7 ssel 3941 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ⊆ ℝ → (𝑤𝑆𝑤 ∈ ℝ))
86, 7anim12d 610 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ⊆ ℝ → ((𝑥𝑆𝑤𝑆) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)))
98impcom 409 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝑆𝑤𝑆) ∧ 𝑆 ⊆ ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ))
10 letri3 11248 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑥 = 𝑤 ↔ (𝑥𝑤𝑤𝑥)))
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑥𝑆𝑤𝑆) ∧ 𝑆 ⊆ ℝ) → (𝑥 = 𝑤 ↔ (𝑥𝑤𝑤𝑥)))
1211exbiri 810 . . . . . . 7 ((𝑥𝑆𝑤𝑆) → (𝑆 ⊆ ℝ → ((𝑥𝑤𝑤𝑥) → 𝑥 = 𝑤)))
1312com23 86 . . . . . 6 ((𝑥𝑆𝑤𝑆) → ((𝑥𝑤𝑤𝑥) → (𝑆 ⊆ ℝ → 𝑥 = 𝑤)))
145, 13syld 47 . . . . 5 ((𝑥𝑆𝑤𝑆) → ((∀𝑦𝑆 𝑥𝑦 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑤𝑦) → (𝑆 ⊆ ℝ → 𝑥 = 𝑤)))
1514com3r 87 . . . 4 (𝑆 ⊆ ℝ → ((𝑥𝑆𝑤𝑆) → ((∀𝑦𝑆 𝑥𝑦 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑤𝑦) → 𝑥 = 𝑤)))
1615ralrimivv 3192 . . 3 (𝑆 ⊆ ℝ → ∀𝑥𝑆𝑤𝑆 ((∀𝑦𝑆 𝑥𝑦 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑤𝑦) → 𝑥 = 𝑤))
1716anim1ci 617 . 2 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) → (∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦 ∧ ∀𝑥𝑆𝑤𝑆 ((∀𝑦𝑆 𝑥𝑦 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑤𝑦) → 𝑥 = 𝑤)))
18 breq1 5112 . . . 4 (𝑥 = 𝑤 → (𝑥𝑦𝑤𝑦))
1918ralbidv 3171 . . 3 (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑦𝑆 𝑥𝑦 ↔ ∀𝑦𝑆 𝑤𝑦))
2019reu4 3693 . 2 (∃!𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦 ↔ (∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦 ∧ ∀𝑥𝑆𝑤𝑆 ((∀𝑦𝑆 𝑥𝑦 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑤𝑦) → 𝑥 = 𝑤)))
2117, 20sylibr 233 1 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) → ∃!𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wcel 2107  wral 3061  wrex 3070  ∃!wreu 3350  wss 3914   class class class wbr 5109  cr 11058  cle 11198
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-resscn 11116  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203
This theorem is referenced by:  lbcl  12114  lble  12115  uzwo2  12845
  Copyright terms: Public domain W3C validator