MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lbreu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lbreu 12188
Description: If a set of reals contains a lower bound, it contains a unique lower bound. (Contributed by NM, 9-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
lbreu ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) → ∃!𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑆

Proof of Theorem lbreu
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 5146 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑤 → (𝑥𝑦𝑥𝑤))
21rspcv 3604 . . . . . . 7 (𝑤𝑆 → (∀𝑦𝑆 𝑥𝑦𝑥𝑤))
3 breq2 5146 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (𝑤𝑦𝑤𝑥))
43rspcv 3604 . . . . . . 7 (𝑥𝑆 → (∀𝑦𝑆 𝑤𝑦𝑤𝑥))
52, 4im2anan9r 620 . . . . . 6 ((𝑥𝑆𝑤𝑆) → ((∀𝑦𝑆 𝑥𝑦 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑤𝑦) → (𝑥𝑤𝑤𝑥)))
6 ssel 3971 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ⊆ ℝ → (𝑥𝑆𝑥 ∈ ℝ))
7 ssel 3971 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ⊆ ℝ → (𝑤𝑆𝑤 ∈ ℝ))
86, 7anim12d 608 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ⊆ ℝ → ((𝑥𝑆𝑤𝑆) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)))
98impcom 407 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝑆𝑤𝑆) ∧ 𝑆 ⊆ ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ))
10 letri3 11323 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑥 = 𝑤 ↔ (𝑥𝑤𝑤𝑥)))
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑥𝑆𝑤𝑆) ∧ 𝑆 ⊆ ℝ) → (𝑥 = 𝑤 ↔ (𝑥𝑤𝑤𝑥)))
1211exbiri 810 . . . . . . 7 ((𝑥𝑆𝑤𝑆) → (𝑆 ⊆ ℝ → ((𝑥𝑤𝑤𝑥) → 𝑥 = 𝑤)))
1312com23 86 . . . . . 6 ((𝑥𝑆𝑤𝑆) → ((𝑥𝑤𝑤𝑥) → (𝑆 ⊆ ℝ → 𝑥 = 𝑤)))
145, 13syld 47 . . . . 5 ((𝑥𝑆𝑤𝑆) → ((∀𝑦𝑆 𝑥𝑦 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑤𝑦) → (𝑆 ⊆ ℝ → 𝑥 = 𝑤)))
1514com3r 87 . . . 4 (𝑆 ⊆ ℝ → ((𝑥𝑆𝑤𝑆) → ((∀𝑦𝑆 𝑥𝑦 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑤𝑦) → 𝑥 = 𝑤)))
1615ralrimivv 3194 . . 3 (𝑆 ⊆ ℝ → ∀𝑥𝑆𝑤𝑆 ((∀𝑦𝑆 𝑥𝑦 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑤𝑦) → 𝑥 = 𝑤))
1716anim1ci 615 . 2 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) → (∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦 ∧ ∀𝑥𝑆𝑤𝑆 ((∀𝑦𝑆 𝑥𝑦 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑤𝑦) → 𝑥 = 𝑤)))
18 breq1 5145 . . . 4 (𝑥 = 𝑤 → (𝑥𝑦𝑤𝑦))
1918ralbidv 3173 . . 3 (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑦𝑆 𝑥𝑦 ↔ ∀𝑦𝑆 𝑤𝑦))
2019reu4 3725 . 2 (∃!𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦 ↔ (∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦 ∧ ∀𝑥𝑆𝑤𝑆 ((∀𝑦𝑆 𝑥𝑦 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑤𝑦) → 𝑥 = 𝑤)))
2117, 20sylibr 233 1 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) → ∃!𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  wcel 2099  wral 3057  wrex 3066  ∃!wreu 3370  wss 3945   class class class wbr 5142  cr 11131  cle 11273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11189  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278
This theorem is referenced by:  lbcl  12189  lble  12190  uzwo2  12920
  Copyright terms: Public domain W3C validator