Theorem negfi 12105

Description: The negation of a finite set of real numbers is finite. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
negfi	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛 ∈ 𝐴} ∈ Fin)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem negfi

Dummy variables 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3915	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑎 ∈ 𝐴 → 𝑎 ∈ ℝ))
2		renegcl 11457	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → -𝑎 ∈ ℝ)
3	1, 2	syl6 35	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑎 ∈ 𝐴 → -𝑎 ∈ ℝ))
4	3	ralrimiv 3128	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ∀𝑎 ∈ 𝐴 -𝑎 ∈ ℝ)
5		dmmptg 6206	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝐴 -𝑎 ∈ ℝ → dom (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) = 𝐴)
6	4, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → dom (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) = 𝐴)
7	6	eqcomd 2742	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 = dom (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎))
8	7	eleq1d 2821	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐴 ∈ Fin ↔ dom (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin))
9		funmpt 6536	. . . . 5 ⊢ Fun (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎)
10		fundmfibi 9246	. . . . 5 ⊢ (Fun (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) → ((𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin ↔ dom (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin))
11	9, 10	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin ↔ dom (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin))
12	8, 11	bitr4d 282	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐴 ∈ Fin ↔ (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin))
13		reex 11129	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
14	13	ssex 5262	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ∈ V)
15	14	mptexd 7179	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) ∈ V)
16		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) = (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎)
17	16	negf1o 11580	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎):𝐴–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴})
18		f1of1 6779	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎):𝐴–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴} → (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎):𝐴–1-1→{𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴})
19	17, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎):𝐴–1-1→{𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴})
20		f1vrnfibi 9252	. . . 4 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) ∈ V ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎):𝐴–1-1→{𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴}) → ((𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin ↔ ran (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin))
21	15, 19, 20	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin ↔ ran (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin))
22	1	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ ℝ)
23	2	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → -𝑎 ∈ ℝ)
24		recn 11128	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℂ)
25	24	negnegd 11496	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → --𝑎 = 𝑎)
26	25	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 = --𝑎)
27	26	eleq1d 2821	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (𝑎 ∈ 𝐴 ↔ --𝑎 ∈ 𝐴))
28	27	biimpcd 249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → (𝑎 ∈ ℝ → --𝑎 ∈ 𝐴))
29	28	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑎 ∈ ℝ → --𝑎 ∈ 𝐴))
30	29	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → --𝑎 ∈ 𝐴)
31	23, 30	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (-𝑎 ∈ ℝ ∧ --𝑎 ∈ 𝐴))
32	22, 31	mpdan 688	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (-𝑎 ∈ ℝ ∧ --𝑎 ∈ 𝐴))
33		eleq1 2824	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = -𝑎 → (𝑛 ∈ ℝ ↔ -𝑎 ∈ ℝ))
34		negeq 11385	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = -𝑎 → -𝑛 = --𝑎)
35	34	eleq1d 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = -𝑎 → (-𝑛 ∈ 𝐴 ↔ --𝑎 ∈ 𝐴))
36	33, 35	anbi12d 633	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = -𝑎 → ((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ↔ (-𝑎 ∈ ℝ ∧ --𝑎 ∈ 𝐴)))
37	32, 36	syl5ibrcom 247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑛 = -𝑎 → (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴)))
38		simprr 773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴)) → -𝑛 ∈ 𝐴)
39		recn 11128	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ → 𝑛 ∈ ℂ)
40		negneg 11444	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → --𝑛 = 𝑛)
41	40	eqcomd 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → 𝑛 = --𝑛)
42	39, 41	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ → 𝑛 = --𝑛)
43	42	ad2antrl 729	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴)) → 𝑛 = --𝑛)
44		negeq 11385	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = -𝑛 → -𝑎 = --𝑛)
45	44	eqeq2d 2747	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = -𝑛 → (𝑛 = -𝑎 ↔ 𝑛 = --𝑛))
46	37, 38, 43, 45	rspceb2dv 3568	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑛 = -𝑎 ↔ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴)))
47	46	abbidv 2802	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → {𝑛 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑛 = -𝑎} = {𝑛 ∣ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴)})
48	16	rnmpt 5912	. . . . 5 ⊢ ran (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) = {𝑛 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑛 = -𝑎}
49		df-rab 3390	. . . . 5 ⊢ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛 ∈ 𝐴} = {𝑛 ∣ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴)}
50	47, 48, 49	3eqtr4g 2796	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ran (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) = {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛 ∈ 𝐴})
51	50	eleq1d 2821	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (ran (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin ↔ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛 ∈ 𝐴} ∈ Fin))
52	12, 21, 51	3bitrd 305	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐴 ∈ Fin ↔ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛 ∈ 𝐴} ∈ Fin))
53	52	biimpa 476	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛 ∈ 𝐴} ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cab 2714  ∀wral 3051  ∃wrex 3061  {crab 3389  Vcvv 3429   ⊆ wss 3889   ↦ cmpt 5166  dom cdm 5631  ran crn 5632  Fun wfun 6492  –1-1→wf1 6495  –1-1-onto→wf1o 6497  Fincfn 8893  ℂcc 11036  ℝcr 11037  -cneg 11378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-ltxr 11184  df-sub 11379  df-neg 11380

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