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Theorem negfi 12215
Description: The negation of a finite set of real numbers is finite. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
negfi ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴} ∈ Fin)
Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem negfi
Dummy variables 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 3973 . . . . . . . . 9 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑎𝐴𝑎 ∈ ℝ))
2 renegcl 11573 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ ℝ → -𝑎 ∈ ℝ)
31, 2syl6 35 . . . . . . . 8 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑎𝐴 → -𝑎 ∈ ℝ))
43ralrimiv 3135 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℝ → ∀𝑎𝐴 -𝑎 ∈ ℝ)
5 dmmptg 6253 . . . . . . 7 (∀𝑎𝐴 -𝑎 ∈ ℝ → dom (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) = 𝐴)
64, 5syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℝ → dom (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) = 𝐴)
76eqcomd 2732 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 = dom (𝑎𝐴 ↦ -𝑎))
87eleq1d 2811 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐴 ∈ Fin ↔ dom (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin))
9 funmpt 6597 . . . . 5 Fun (𝑎𝐴 ↦ -𝑎)
10 fundmfibi 9378 . . . . 5 (Fun (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) → ((𝑎𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin ↔ dom (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin))
119, 10mp1i 13 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑎𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin ↔ dom (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin))
128, 11bitr4d 281 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐴 ∈ Fin ↔ (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin))
13 reex 11249 . . . . . 6 ℝ ∈ V
1413ssex 5326 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ∈ V)
1514mptexd 7241 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) ∈ V)
16 eqid 2726 . . . . . 6 (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) = (𝑎𝐴 ↦ -𝑎)
1716negf1o 11694 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑎𝐴 ↦ -𝑎):𝐴1-1-onto→{𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴})
18 f1of1 6842 . . . . 5 ((𝑎𝐴 ↦ -𝑎):𝐴1-1-onto→{𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴} → (𝑎𝐴 ↦ -𝑎):𝐴1-1→{𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴})
1917, 18syl 17 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑎𝐴 ↦ -𝑎):𝐴1-1→{𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴})
20 f1vrnfibi 9384 . . . 4 (((𝑎𝐴 ↦ -𝑎) ∈ V ∧ (𝑎𝐴 ↦ -𝑎):𝐴1-1→{𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}) → ((𝑎𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin ↔ ran (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin))
2115, 19, 20syl2anc 582 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑎𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin ↔ ran (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin))
221imp 405 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎𝐴) → 𝑎 ∈ ℝ)
232adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎𝐴) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → -𝑎 ∈ ℝ)
24 recn 11248 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℂ)
2524negnegd 11612 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 ∈ ℝ → --𝑎 = 𝑎)
2625eqcomd 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 = --𝑎)
2726eleq1d 2811 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 ∈ ℝ → (𝑎𝐴 ↔ --𝑎𝐴))
2827biimpcd 248 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎𝐴 → (𝑎 ∈ ℝ → --𝑎𝐴))
2928adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎𝐴) → (𝑎 ∈ ℝ → --𝑎𝐴))
3029imp 405 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎𝐴) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → --𝑎𝐴)
3123, 30jca 510 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎𝐴) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (-𝑎 ∈ ℝ ∧ --𝑎𝐴))
3222, 31mpdan 685 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎𝐴) → (-𝑎 ∈ ℝ ∧ --𝑎𝐴))
33 eleq1 2814 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = -𝑎 → (𝑛 ∈ ℝ ↔ -𝑎 ∈ ℝ))
34 negeq 11502 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = -𝑎 → -𝑛 = --𝑎)
3534eleq1d 2811 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = -𝑎 → (-𝑛𝐴 ↔ --𝑎𝐴))
3633, 35anbi12d 630 . . . . . . . . 9 (𝑛 = -𝑎 → ((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) ↔ (-𝑎 ∈ ℝ ∧ --𝑎𝐴)))
3732, 36syl5ibrcom 246 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎𝐴) → (𝑛 = -𝑎 → (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴)))
3837rexlimdva 3145 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑎𝐴 𝑛 = -𝑎 → (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴)))
39 simprr 771 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴)) → -𝑛𝐴)
40 negeq 11502 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = -𝑛 → -𝑎 = --𝑛)
4140eqeq2d 2737 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = -𝑛 → (𝑛 = -𝑎𝑛 = --𝑛))
4241adantl 480 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴)) ∧ 𝑎 = -𝑛) → (𝑛 = -𝑎𝑛 = --𝑛))
43 recn 11248 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℝ → 𝑛 ∈ ℂ)
44 negneg 11560 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℂ → --𝑛 = 𝑛)
4544eqcomd 2732 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℂ → 𝑛 = --𝑛)
4643, 45syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℝ → 𝑛 = --𝑛)
4746ad2antrl 726 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴)) → 𝑛 = --𝑛)
4839, 42, 47rspcedvd 3610 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴)) → ∃𝑎𝐴 𝑛 = -𝑎)
4948ex 411 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) → ∃𝑎𝐴 𝑛 = -𝑎))
5038, 49impbid 211 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑎𝐴 𝑛 = -𝑎 ↔ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴)))
5150abbidv 2795 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ → {𝑛 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑛 = -𝑎} = {𝑛 ∣ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴)})
5216rnmpt 5961 . . . . 5 ran (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) = {𝑛 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑛 = -𝑎}
53 df-rab 3420 . . . . 5 {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴} = {𝑛 ∣ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴)}
5451, 52, 533eqtr4g 2791 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → ran (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) = {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴})
5554eleq1d 2811 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ → (ran (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin ↔ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴} ∈ Fin))
5612, 21, 553bitrd 304 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐴 ∈ Fin ↔ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴} ∈ Fin))
5756biimpa 475 1 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴} ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  {cab 2703  wral 3051  wrex 3060  {crab 3419  Vcvv 3462  wss 3947  cmpt 5236  dom cdm 5682  ran crn 5683  Fun wfun 6548  1-1wf1 6551  1-1-ontowf1o 6553  Fincfn 8974  cc 11156  cr 11157  -cneg 11495
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-1o 8496  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-ltxr 11303  df-sub 11496  df-neg 11497
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