Theorem negfi 12104

Description: The negation of a finite set of real numbers is finite. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
negfi	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛 ∈ 𝐴} ∈ Fin)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem negfi

Dummy variables 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3937	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑎 ∈ 𝐴 → 𝑎 ∈ ℝ))
2		renegcl 11464	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → -𝑎 ∈ ℝ)
3	1, 2	syl6 35	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑎 ∈ 𝐴 → -𝑎 ∈ ℝ))
4	3	ralrimiv 3142	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ∀𝑎 ∈ 𝐴 -𝑎 ∈ ℝ)
5		dmmptg 6194	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝐴 -𝑎 ∈ ℝ → dom (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) = 𝐴)
6	4, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → dom (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) = 𝐴)
7	6	eqcomd 2742	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 = dom (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎))
8	7	eleq1d 2822	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐴 ∈ Fin ↔ dom (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin))
9		funmpt 6539	. . . . 5 ⊢ Fun (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎)
10		fundmfibi 9275	. . . . 5 ⊢ (Fun (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) → ((𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin ↔ dom (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin))
11	9, 10	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin ↔ dom (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin))
12	8, 11	bitr4d 281	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐴 ∈ Fin ↔ (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin))
13		reex 11142	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
14	13	ssex 5278	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ∈ V)
15	14	mptexd 7174	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) ∈ V)
16		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) = (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎)
17	16	negf1o 11585	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎):𝐴–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴})
18		f1of1 6783	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎):𝐴–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴} → (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎):𝐴–1-1→{𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴})
19	17, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎):𝐴–1-1→{𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴})
20		f1vrnfibi 9281	. . . 4 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) ∈ V ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎):𝐴–1-1→{𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴}) → ((𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin ↔ ran (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin))
21	15, 19, 20	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin ↔ ran (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin))
22	1	imp 407	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ ℝ)
23	2	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → -𝑎 ∈ ℝ)
24		recn 11141	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℂ)
25	24	negnegd 11503	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → --𝑎 = 𝑎)
26	25	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 = --𝑎)
27	26	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (𝑎 ∈ 𝐴 ↔ --𝑎 ∈ 𝐴))
28	27	biimpcd 248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → (𝑎 ∈ ℝ → --𝑎 ∈ 𝐴))
29	28	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑎 ∈ ℝ → --𝑎 ∈ 𝐴))
30	29	imp 407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → --𝑎 ∈ 𝐴)
31	23, 30	jca 512	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (-𝑎 ∈ ℝ ∧ --𝑎 ∈ 𝐴))
32	22, 31	mpdan 685	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (-𝑎 ∈ ℝ ∧ --𝑎 ∈ 𝐴))
33		eleq1 2825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = -𝑎 → (𝑛 ∈ ℝ ↔ -𝑎 ∈ ℝ))
34		negeq 11393	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = -𝑎 → -𝑛 = --𝑎)
35	34	eleq1d 2822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = -𝑎 → (-𝑛 ∈ 𝐴 ↔ --𝑎 ∈ 𝐴))
36	33, 35	anbi12d 631	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = -𝑎 → ((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ↔ (-𝑎 ∈ ℝ ∧ --𝑎 ∈ 𝐴)))
37	32, 36	syl5ibrcom 246	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑛 = -𝑎 → (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴)))
38	37	rexlimdva 3152	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑛 = -𝑎 → (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴)))
39		simprr 771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴)) → -𝑛 ∈ 𝐴)
40		negeq 11393	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = -𝑛 → -𝑎 = --𝑛)
41	40	eqeq2d 2747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = -𝑛 → (𝑛 = -𝑎 ↔ 𝑛 = --𝑛))
42	41	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑎 = -𝑛) → (𝑛 = -𝑎 ↔ 𝑛 = --𝑛))
43		recn 11141	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ → 𝑛 ∈ ℂ)
44		negneg 11451	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → --𝑛 = 𝑛)
45	44	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → 𝑛 = --𝑛)
46	43, 45	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ → 𝑛 = --𝑛)
47	46	ad2antrl 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴)) → 𝑛 = --𝑛)
48	39, 42, 47	rspcedvd 3583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑛 = -𝑎)
49	48	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑛 = -𝑎))
50	38, 49	impbid 211	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑛 = -𝑎 ↔ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴)))
51	50	abbidv 2805	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → {𝑛 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑛 = -𝑎} = {𝑛 ∣ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴)})
52	16	rnmpt 5910	. . . . 5 ⊢ ran (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) = {𝑛 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑛 = -𝑎}
53		df-rab 3408	. . . . 5 ⊢ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛 ∈ 𝐴} = {𝑛 ∣ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴)}
54	51, 52, 53	3eqtr4g 2801	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ran (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) = {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛 ∈ 𝐴})
55	54	eleq1d 2822	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (ran (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin ↔ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛 ∈ 𝐴} ∈ Fin))
56	12, 21, 55	3bitrd 304	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐴 ∈ Fin ↔ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛 ∈ 𝐴} ∈ Fin))
57	56	biimpa 477	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛 ∈ 𝐴} ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {cab 2713  ∀wral 3064  ∃wrex 3073  {crab 3407  Vcvv 3445   ⊆ wss 3910   ↦ cmpt 5188  dom cdm 5633  ran crn 5634  Fun wfun 6490  –1-1→wf1 6493  –1-1-onto→wf1o 6495  Fincfn 8883  ℂcc 11049  ℝcr 11050  -cneg 11386

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-ltxr 11194  df-sub 11387  df-neg 11388

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