MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem negfi 12215
Description: The negation of a finite set of real numbers is finite. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
negfi ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴} ∈ Fin)
Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem negfi
Dummy variables 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 3989 . . . . . . . . 9 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑎𝐴𝑎 ∈ ℝ))
2 renegcl 11570 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ ℝ → -𝑎 ∈ ℝ)
31, 2syl6 35 . . . . . . . 8 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑎𝐴 → -𝑎 ∈ ℝ))
43ralrimiv 3143 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℝ → ∀𝑎𝐴 -𝑎 ∈ ℝ)
5 dmmptg 6264 . . . . . . 7 (∀𝑎𝐴 -𝑎 ∈ ℝ → dom (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) = 𝐴)
64, 5syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℝ → dom (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) = 𝐴)
76eqcomd 2741 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 = dom (𝑎𝐴 ↦ -𝑎))
87eleq1d 2824 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐴 ∈ Fin ↔ dom (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin))
9 funmpt 6606 . . . . 5 Fun (𝑎𝐴 ↦ -𝑎)
10 fundmfibi 9374 . . . . 5 (Fun (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) → ((𝑎𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin ↔ dom (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin))
119, 10mp1i 13 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑎𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin ↔ dom (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin))
128, 11bitr4d 282 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐴 ∈ Fin ↔ (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin))
13 reex 11244 . . . . . 6 ℝ ∈ V
1413ssex 5327 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ∈ V)
1514mptexd 7244 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) ∈ V)
16 eqid 2735 . . . . . 6 (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) = (𝑎𝐴 ↦ -𝑎)
1716negf1o 11691 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑎𝐴 ↦ -𝑎):𝐴1-1-onto→{𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴})
18 f1of1 6848 . . . . 5 ((𝑎𝐴 ↦ -𝑎):𝐴1-1-onto→{𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴} → (𝑎𝐴 ↦ -𝑎):𝐴1-1→{𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴})
1917, 18syl 17 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑎𝐴 ↦ -𝑎):𝐴1-1→{𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴})
20 f1vrnfibi 9380 . . . 4 (((𝑎𝐴 ↦ -𝑎) ∈ V ∧ (𝑎𝐴 ↦ -𝑎):𝐴1-1→{𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}) → ((𝑎𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin ↔ ran (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin))
2115, 19, 20syl2anc 584 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑎𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin ↔ ran (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin))
221imp 406 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎𝐴) → 𝑎 ∈ ℝ)
232adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎𝐴) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → -𝑎 ∈ ℝ)
24 recn 11243 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℂ)
2524negnegd 11609 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ ℝ → --𝑎 = 𝑎)
2625eqcomd 2741 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 = --𝑎)
2726eleq1d 2824 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ ℝ → (𝑎𝐴 ↔ --𝑎𝐴))
2827biimpcd 249 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎𝐴 → (𝑎 ∈ ℝ → --𝑎𝐴))
2928adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎𝐴) → (𝑎 ∈ ℝ → --𝑎𝐴))
3029imp 406 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎𝐴) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → --𝑎𝐴)
3123, 30jca 511 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎𝐴) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (-𝑎 ∈ ℝ ∧ --𝑎𝐴))
3222, 31mpdan 687 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎𝐴) → (-𝑎 ∈ ℝ ∧ --𝑎𝐴))
33 eleq1 2827 . . . . . . . . 9 (𝑛 = -𝑎 → (𝑛 ∈ ℝ ↔ -𝑎 ∈ ℝ))
34 negeq 11498 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = -𝑎 → -𝑛 = --𝑎)
3534eleq1d 2824 . . . . . . . . 9 (𝑛 = -𝑎 → (-𝑛𝐴 ↔ --𝑎𝐴))
3633, 35anbi12d 632 . . . . . . . 8 (𝑛 = -𝑎 → ((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) ↔ (-𝑎 ∈ ℝ ∧ --𝑎𝐴)))
3732, 36syl5ibrcom 247 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎𝐴) → (𝑛 = -𝑎 → (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴)))
38 simprr 773 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴)) → -𝑛𝐴)
39 recn 11243 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℝ → 𝑛 ∈ ℂ)
40 negneg 11557 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℂ → --𝑛 = 𝑛)
4140eqcomd 2741 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℂ → 𝑛 = --𝑛)
4239, 41syl 17 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℝ → 𝑛 = --𝑛)
4342ad2antrl 728 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴)) → 𝑛 = --𝑛)
44 negeq 11498 . . . . . . . 8 (𝑎 = -𝑛 → -𝑎 = --𝑛)
4544eqeq2d 2746 . . . . . . 7 (𝑎 = -𝑛 → (𝑛 = -𝑎𝑛 = --𝑛))
4637, 38, 43, 45rspceb2dv 3626 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑎𝐴 𝑛 = -𝑎 ↔ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴)))
4746abbidv 2806 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ → {𝑛 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑛 = -𝑎} = {𝑛 ∣ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴)})
4816rnmpt 5971 . . . . 5 ran (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) = {𝑛 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑛 = -𝑎}
49 df-rab 3434 . . . . 5 {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴} = {𝑛 ∣ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴)}
5047, 48, 493eqtr4g 2800 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → ran (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) = {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴})
5150eleq1d 2824 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ → (ran (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin ↔ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴} ∈ Fin))
5212, 21, 513bitrd 305 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐴 ∈ Fin ↔ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴} ∈ Fin))
5352biimpa 476 1 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴} ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  {cab 2712  wral 3059  wrex 3068  {crab 3433  Vcvv 3478  wss 3963  cmpt 5231  dom cdm 5689  ran crn 5690  Fun wfun 6557  1-1wf1 6560  1-1-ontowf1o 6562  Fincfn 8984  cc 11151  cr 11152  -cneg 11491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-sub 11492  df-neg 11493
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator