MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem negfi 11330
Description: The negation of a finite set of real numbers is finite. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
negfi ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴} ∈ Fin)
Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem negfi
Dummy variables 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 3815 . . . . . . . . 9 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑎𝐴𝑎 ∈ ℝ))
2 renegcl 10688 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ ℝ → -𝑎 ∈ ℝ)
31, 2syl6 35 . . . . . . . 8 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑎𝐴 → -𝑎 ∈ ℝ))
43ralrimiv 3147 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℝ → ∀𝑎𝐴 -𝑎 ∈ ℝ)
5 dmmptg 5888 . . . . . . 7 (∀𝑎𝐴 -𝑎 ∈ ℝ → dom (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) = 𝐴)
64, 5syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℝ → dom (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) = 𝐴)
76eqcomd 2784 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 = dom (𝑎𝐴 ↦ -𝑎))
87eleq1d 2844 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐴 ∈ Fin ↔ dom (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin))
9 funmpt 6175 . . . . 5 Fun (𝑎𝐴 ↦ -𝑎)
10 fundmfibi 8535 . . . . 5 (Fun (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) → ((𝑎𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin ↔ dom (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin))
119, 10mp1i 13 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑎𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin ↔ dom (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin))
128, 11bitr4d 274 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐴 ∈ Fin ↔ (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin))
13 reex 10365 . . . . . 6 ℝ ∈ V
1413ssex 5041 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ∈ V)
1514mptexd 6761 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) ∈ V)
16 eqid 2778 . . . . . 6 (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) = (𝑎𝐴 ↦ -𝑎)
1716negf1o 10808 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑎𝐴 ↦ -𝑎):𝐴1-1-onto→{𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴})
18 f1of1 6392 . . . . 5 ((𝑎𝐴 ↦ -𝑎):𝐴1-1-onto→{𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴} → (𝑎𝐴 ↦ -𝑎):𝐴1-1→{𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴})
1917, 18syl 17 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑎𝐴 ↦ -𝑎):𝐴1-1→{𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴})
20 f1vrnfibi 8541 . . . 4 (((𝑎𝐴 ↦ -𝑎) ∈ V ∧ (𝑎𝐴 ↦ -𝑎):𝐴1-1→{𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}) → ((𝑎𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin ↔ ran (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin))
2115, 19, 20syl2anc 579 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑎𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin ↔ ran (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin))
221imp 397 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎𝐴) → 𝑎 ∈ ℝ)
232adantl 475 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎𝐴) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → -𝑎 ∈ ℝ)
24 recn 10364 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℂ)
2524negnegd 10727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 ∈ ℝ → --𝑎 = 𝑎)
2625eqcomd 2784 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 = --𝑎)
2726eleq1d 2844 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 ∈ ℝ → (𝑎𝐴 ↔ --𝑎𝐴))
2827biimpcd 241 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎𝐴 → (𝑎 ∈ ℝ → --𝑎𝐴))
2928adantl 475 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎𝐴) → (𝑎 ∈ ℝ → --𝑎𝐴))
3029imp 397 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎𝐴) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → --𝑎𝐴)
3123, 30jca 507 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎𝐴) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (-𝑎 ∈ ℝ ∧ --𝑎𝐴))
3222, 31mpdan 677 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎𝐴) → (-𝑎 ∈ ℝ ∧ --𝑎𝐴))
33 eleq1 2847 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = -𝑎 → (𝑛 ∈ ℝ ↔ -𝑎 ∈ ℝ))
34 negeq 10616 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = -𝑎 → -𝑛 = --𝑎)
3534eleq1d 2844 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = -𝑎 → (-𝑛𝐴 ↔ --𝑎𝐴))
3633, 35anbi12d 624 . . . . . . . . 9 (𝑛 = -𝑎 → ((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) ↔ (-𝑎 ∈ ℝ ∧ --𝑎𝐴)))
3732, 36syl5ibrcom 239 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎𝐴) → (𝑛 = -𝑎 → (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴)))
3837rexlimdva 3213 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑎𝐴 𝑛 = -𝑎 → (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴)))
39 simprr 763 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴)) → -𝑛𝐴)
40 negeq 10616 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = -𝑛 → -𝑎 = --𝑛)
4140eqeq2d 2788 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = -𝑛 → (𝑛 = -𝑎𝑛 = --𝑛))
4241adantl 475 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴)) ∧ 𝑎 = -𝑛) → (𝑛 = -𝑎𝑛 = --𝑛))
43 recn 10364 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℝ → 𝑛 ∈ ℂ)
44 negneg 10675 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℂ → --𝑛 = 𝑛)
4544eqcomd 2784 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℂ → 𝑛 = --𝑛)
4643, 45syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℝ → 𝑛 = --𝑛)
4746ad2antrl 718 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴)) → 𝑛 = --𝑛)
4839, 42, 47rspcedvd 3518 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴)) → ∃𝑎𝐴 𝑛 = -𝑎)
4948ex 403 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) → ∃𝑎𝐴 𝑛 = -𝑎))
5038, 49impbid 204 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑎𝐴 𝑛 = -𝑎 ↔ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴)))
5150abbidv 2906 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ → {𝑛 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑛 = -𝑎} = {𝑛 ∣ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴)})
5216rnmpt 5619 . . . . 5 ran (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) = {𝑛 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑛 = -𝑎}
53 df-rab 3099 . . . . 5 {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴} = {𝑛 ∣ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴)}
5451, 52, 533eqtr4g 2839 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → ran (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) = {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴})
5554eleq1d 2844 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ → (ran (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin ↔ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴} ∈ Fin))
5612, 21, 553bitrd 297 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐴 ∈ Fin ↔ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴} ∈ Fin))
5756biimpa 470 1 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴} ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  {cab 2763  wral 3090  wrex 3091  {crab 3094  Vcvv 3398  wss 3792  cmpt 4967  dom cdm 5357  ran crn 5358  Fun wfun 6131  1-1wf1 6134  1-1-ontowf1o 6136  Fincfn 8243  cc 10272  cr 10273  -cneg 10609
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-ltxr 10418  df-sub 10610  df-neg 10611
This theorem is referenced by:  fiminreOLD  11331
  Copyright terms: Public domain W3C validator