MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lcmn0val Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmn0val 16406
Description: The value of the lcm operator when both operands are nonzero. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Revised by AV, 16-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
lcmn0val (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 lcm 𝑁) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)}, ℝ, < ))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁

Proof of Theorem lcmn0val
StepHypRef Expression
1 lcmval 16403 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) = if((𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0), 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)}, ℝ, < )))
2 iffalse 4494 . 2 (¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0) → if((𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0), 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)}, ℝ, < )) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)}, ℝ, < ))
31, 2sylan9eq 2798 1 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 lcm 𝑁) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)}, ℝ, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107  {crab 3406  ifcif 4485   class class class wbr 5104  (class class class)co 7350  infcinf 9311  cr 10984  0cc0 10985   < clt 11123  cn 12087  cz 12433  cdvds 16071   lcm clcm 16399
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-mulcl 11047  ax-i2m1 11053  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5529  df-po 5543  df-so 5544  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-sup 9312  df-inf 9313  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-ltxr 11128  df-lcm 16401
This theorem is referenced by:  lcmcllem  16407  lcmledvds  16410  lcmgcdlem  16417
  Copyright terms: Public domain W3C validator