MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lcmcllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmcllem 15940
Description: Lemma for lcmn0cl 15941 and dvdslcm 15942. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
lcmcllem (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)})
Distinct variable groups:   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁

Proof of Theorem lcmcllem
StepHypRef Expression
1 lcmn0val 15939 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 lcm 𝑁) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)}, ℝ, < ))
2 ssrab2 4042 . . . 4 {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)} ⊆ ℕ
3 nnuz 12280 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
42, 3sseqtri 3989 . . 3 {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)} ⊆ (ℤ‘1)
5 zmulcl 12030 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
65adantr 484 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
7 zcn 11985 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
8 zcn 11985 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
97, 8anim12i 615 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
10 ioran 981 . . . . . . . 8 (¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0) ↔ (¬ 𝑀 = 0 ∧ ¬ 𝑁 = 0))
11 df-ne 3015 . . . . . . . . 9 (𝑀 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑀 = 0)
12 df-ne 3015 . . . . . . . . 9 (𝑁 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑁 = 0)
1311, 12anbi12i 629 . . . . . . . 8 ((𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0) ↔ (¬ 𝑀 = 0 ∧ ¬ 𝑁 = 0))
1410, 13sylbb2 241 . . . . . . 7 (¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0) → (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0))
15 mulne0 11282 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · 𝑁) ≠ 0)
1615an4s 659 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · 𝑁) ≠ 0)
179, 14, 16syl2an 598 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 · 𝑁) ≠ 0)
18 nnabscl 14687 . . . . . 6 (((𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ≠ 0) → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) ∈ ℕ)
196, 17, 18syl2anc 587 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) ∈ ℕ)
20 dvdsmul1 15633 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑁))
21 dvdsabsb 15631 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ 𝑀 ∥ (abs‘(𝑀 · 𝑁))))
225, 21syldan 594 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ 𝑀 ∥ (abs‘(𝑀 · 𝑁))))
2320, 22mpbid 235 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∥ (abs‘(𝑀 · 𝑁)))
24 dvdsmul2 15634 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑀 · 𝑁))
25 dvdsabsb 15631 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (abs‘(𝑀 · 𝑁))))
265, 25sylan2 595 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑁 ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (abs‘(𝑀 · 𝑁))))
2726anabss7 672 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (abs‘(𝑀 · 𝑁))))
2824, 27mpbid 235 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (abs‘(𝑀 · 𝑁)))
2923, 28jca 515 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (abs‘(𝑀 · 𝑁)) ∧ 𝑁 ∥ (abs‘(𝑀 · 𝑁))))
3029adantr 484 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 ∥ (abs‘(𝑀 · 𝑁)) ∧ 𝑁 ∥ (abs‘(𝑀 · 𝑁))))
31 breq2 5057 . . . . . . 7 (𝑛 = (abs‘(𝑀 · 𝑁)) → (𝑀𝑛𝑀 ∥ (abs‘(𝑀 · 𝑁))))
32 breq2 5057 . . . . . . 7 (𝑛 = (abs‘(𝑀 · 𝑁)) → (𝑁𝑛𝑁 ∥ (abs‘(𝑀 · 𝑁))))
3331, 32anbi12d 633 . . . . . 6 (𝑛 = (abs‘(𝑀 · 𝑁)) → ((𝑀𝑛𝑁𝑛) ↔ (𝑀 ∥ (abs‘(𝑀 · 𝑁)) ∧ 𝑁 ∥ (abs‘(𝑀 · 𝑁)))))
3433rspcev 3609 . . . . 5 (((abs‘(𝑀 · 𝑁)) ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ (abs‘(𝑀 · 𝑁)) ∧ 𝑁 ∥ (abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑀𝑛𝑁𝑛))
3519, 30, 34syl2anc 587 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑀𝑛𝑁𝑛))
36 rabn0 4322 . . . 4 ({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑀𝑛𝑁𝑛))
3735, 36sylibr 237 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)} ≠ ∅)
38 infssuzcl 12331 . . 3 (({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)} ⊆ (ℤ‘1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)} ≠ ∅) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)})
394, 37, 38sylancr 590 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)})
401, 39eqeltrd 2916 1 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  wrex 3134  {crab 3137  wss 3919  c0 4276   class class class wbr 5053  cfv 6345  (class class class)co 7151  infcinf 8904  cc 10535  cr 10536  0cc0 10537  1c1 10538   · cmul 10542   < clt 10675  cn 11636  cz 11980  cuz 12242  abscabs 14595  cdvds 15609   lcm clcm 15932
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7577  df-2nd 7687  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-er 8287  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-sup 8905  df-inf 8906  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11637  df-2 11699  df-3 11700  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-rp 12389  df-seq 13376  df-exp 13437  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-dvds 15610  df-lcm 15934
This theorem is referenced by:  lcmn0cl  15941  dvdslcm  15942
  Copyright terms: Public domain W3C validator