Theorem lcm0val 16533

Description: The value, by convention, of the lcm operator when either operand is 0. (Use lcmcom 16532 for a left-hand 0.) (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcm0val	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 0) = 0)

Proof of Theorem lcm0val

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12511	. 2 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		lcmval 16531	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 0) = if((𝑀 = 0 ∨ 0 = 0), 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 0 ∥ 𝑛)}, ℝ, < )))
3		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ 0 = 0
4	3	olci 867	. . . 4 ⊢ (𝑀 = 0 ∨ 0 = 0)
5	4	iftruei 4488	. . 3 ⊢ if((𝑀 = 0 ∨ 0 = 0), 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 0 ∥ 𝑛)}, ℝ, < )) = 0
6	2, 5	eqtrdi 2788	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 0) = 0)
7	1, 6	mpan2 692	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 0) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3401  ifcif 4481   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368  infcinf 9356  ℝcr 11037  0cc0 11038   < clt 11178  ℕcn 12157  ℤcz 12500   ∥ cdvds 16191   lcm clcm 16527

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-i2m1 11106  ax-rnegex 11109  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-ltxr 11183  df-neg 11379  df-z 12501  df-lcm 16529

This theorem is referenced by:  dvdslcm  16537  lcmeq0  16539  lcmcl  16540  lcmneg  16542  lcmgcd  16546  lcmdvds  16547  lcmid  16548  lcmftp  16575  lcmfunsnlem2  16579