Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lcm0val Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcm0val 15931
 Description: The value, by convention, of the lcm operator when either operand is 0. (Use lcmcom 15930 for a left-hand 0.) (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
lcm0val (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 0) = 0)

Proof of Theorem lcm0val
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0z 11983 . 2 0 ∈ ℤ
2 lcmval 15929 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 0) = if((𝑀 = 0 ∨ 0 = 0), 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛 ∧ 0 ∥ 𝑛)}, ℝ, < )))
3 eqid 2798 . . . . 5 0 = 0
43olci 863 . . . 4 (𝑀 = 0 ∨ 0 = 0)
54iftruei 4432 . . 3 if((𝑀 = 0 ∨ 0 = 0), 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛 ∧ 0 ∥ 𝑛)}, ℝ, < )) = 0
62, 5eqtrdi 2849 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 0) = 0)
71, 6mpan2 690 1 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 0) = 0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {crab 3110  ifcif 4425   class class class wbr 5031  (class class class)co 7136  infcinf 8892  ℝcr 10528  0cc0 10529   < clt 10667  ℕcn 11628  ℤcz 11972   ∥ cdvds 15602   lcm clcm 15925 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-i2m1 10597  ax-rnegex 10600  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-id 5426  df-po 5439  df-so 5440  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-sup 8893  df-inf 8894  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-ltxr 10672  df-neg 10865  df-z 11973  df-lcm 15927 This theorem is referenced by:  dvdslcm  15935  lcmeq0  15937  lcmcl  15938  lcmneg  15940  lcmgcd  15944  lcmdvds  15945  lcmid  15946  lcmftp  15973  lcmfunsnlem2  15977
 Copyright terms: Public domain W3C validator