Theorem lcm0val 16571

Description: The value, by convention, of the lcm operator when either operand is 0. (Use lcmcom 16570 for a left-hand 0.) (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcm0val	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 0) = 0)

Proof of Theorem lcm0val

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12547	. 2 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		lcmval 16569	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 0) = if((𝑀 = 0 ∨ 0 = 0), 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 0 ∥ 𝑛)}, ℝ, < )))
3		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ 0 = 0
4	3	olci 866	. . . 4 ⊢ (𝑀 = 0 ∨ 0 = 0)
5	4	iftruei 4498	. . 3 ⊢ if((𝑀 = 0 ∨ 0 = 0), 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 0 ∥ 𝑛)}, ℝ, < )) = 0
6	2, 5	eqtrdi 2781	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 0) = 0)
7	1, 6	mpan2 691	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 0) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3408  ifcif 4491   class class class wbr 5110  (class class class)co 7390  infcinf 9399  ℝcr 11074  0cc0 11075   < clt 11215  ℕcn 12193  ℤcz 12536   ∥ cdvds 16229   lcm clcm 16565

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-i2m1 11143  ax-rnegex 11146  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-ltxr 11220  df-neg 11415  df-z 12537  df-lcm 16567

This theorem is referenced by:  dvdslcm  16575  lcmeq0  16577  lcmcl  16578  lcmneg  16580  lcmgcd  16584  lcmdvds  16585  lcmid  16586  lcmftp  16613  lcmfunsnlem2  16617