Theorem lcm0val 16563

Description: The value, by convention, of the lcm operator when either operand is 0. (Use lcmcom 16562 for a left-hand 0.) (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcm0val	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 0) = 0)

Proof of Theorem lcm0val

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12535	. 2 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		lcmval 16561	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 0) = if((𝑀 = 0 ∨ 0 = 0), 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 0 ∥ 𝑛)}, ℝ, < )))
3		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ 0 = 0
4	3	olci 867	. . . 4 ⊢ (𝑀 = 0 ∨ 0 = 0)
5	4	iftruei 4473	. . 3 ⊢ if((𝑀 = 0 ∨ 0 = 0), 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 0 ∥ 𝑛)}, ℝ, < )) = 0
6	2, 5	eqtrdi 2787	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 0) = 0)
7	1, 6	mpan2 692	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 0) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3389  ifcif 4466   class class class wbr 5085  (class class class)co 7367  infcinf 9354  ℝcr 11037  0cc0 11038   < clt 11179  ℕcn 12174  ℤcz 12524   ∥ cdvds 16221   lcm clcm 16557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-i2m1 11106  ax-rnegex 11109  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-ltxr 11184  df-neg 11380  df-z 12525  df-lcm 16559

This theorem is referenced by:  dvdslcm  16567  lcmeq0  16569  lcmcl  16570  lcmneg  16572  lcmgcd  16576  lcmdvds  16577  lcmid  16578  lcmftp  16605  lcmfunsnlem2  16609