Theorem lcm0val 16641

Description: The value, by convention, of the lcm operator when either operand is 0. (Use lcmcom 16640 for a left-hand 0.) (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcm0val	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 0) = 0)

Proof of Theorem lcm0val

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12650	. 2 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		lcmval 16639	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 0) = if((𝑀 = 0 ∨ 0 = 0), 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 0 ∥ 𝑛)}, ℝ, < )))
3		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ 0 = 0
4	3	olci 865	. . . 4 ⊢ (𝑀 = 0 ∨ 0 = 0)
5	4	iftruei 4555	. . 3 ⊢ if((𝑀 = 0 ∨ 0 = 0), 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 0 ∥ 𝑛)}, ℝ, < )) = 0
6	2, 5	eqtrdi 2796	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 0) = 0)
7	1, 6	mpan2 690	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 0) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {crab 3443  ifcif 4548   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  infcinf 9510  ℝcr 11183  0cc0 11184   < clt 11324  ℕcn 12293  ℤcz 12639   ∥ cdvds 16302   lcm clcm 16635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-i2m1 11252  ax-rnegex 11255  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-neg 11523  df-z 12640  df-lcm 16637

This theorem is referenced by:  dvdslcm  16645  lcmeq0  16647  lcmcl  16648  lcmneg  16650  lcmgcd  16654  lcmdvds  16655  lcmid  16656  lcmftp  16683  lcmfunsnlem2  16687