Theorem lcmledvds 16528

Description: A positive integer which both operands of the lcm operator divide bounds it. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcmledvds	⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ≤ 𝐾))

Proof of Theorem lcmledvds

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmn0val 16524	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 lcm 𝑁) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)}, ℝ, < ))
2	1	3adantl1 1167	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 lcm 𝑁) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)}, ℝ, < ))
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾)) → (𝑀 lcm 𝑁) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)}, ℝ, < ))
4		breq2 5099	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → (𝑀 ∥ 𝑛 ↔ 𝑀 ∥ 𝐾))
5		breq2 5099	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → (𝑁 ∥ 𝑛 ↔ 𝑁 ∥ 𝐾))
6	4, 5	anbi12d 632	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → ((𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛) ↔ (𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾)))
7	6	elrab 3650	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)} ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾)))
8		ssrab2 4033	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)} ⊆ ℕ
9		nnuz 12796	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
10	8, 9	sseqtri 3986	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)} ⊆ (ℤ≥‘1)
11		infssuzle 12850	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)} ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ 𝐾 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)}) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)}, ℝ, < ) ≤ 𝐾)
12	10, 11	mpan 690	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)} → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)}, ℝ, < ) ≤ 𝐾)
13	7, 12	sylbir 235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾)) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)}, ℝ, < ) ≤ 𝐾)
14	13	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)}, ℝ, < ) ≤ 𝐾))
15	14	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)}, ℝ, < ) ≤ 𝐾))
16	15	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)}, ℝ, < ) ≤ 𝐾))
17	16	imp 406	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾)) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)}, ℝ, < ) ≤ 𝐾)
18	3, 17	eqbrtrd 5117	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾)) → (𝑀 lcm 𝑁) ≤ 𝐾)
19	18	ex 412	1 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ≤ 𝐾))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3396   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  infcinf 9350  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   < clt 11168   ≤ cle 11169  ℕcn 12146  ℤcz 12489  ℤ_≥cuz 12753   ∥ cdvds 16181   lcm clcm 16517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9351  df-inf 9352  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-lcm 16519

This theorem is referenced by:  lcmneg  16532  lcmftp  16565  lcmfunsnlem2lem1  16567