MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lcmledvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmledvds 16543
Description: A positive integer which both operands of the lcm operator divide bounds it. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
lcmledvds (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ≤ 𝐾))

Proof of Theorem lcmledvds
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcmn0val 16539 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 lcm 𝑁) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)}, ℝ, < ))
213adantl1 1163 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 lcm 𝑁) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)}, ℝ, < ))
32adantr 480 . . 3 ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀𝐾𝑁𝐾)) → (𝑀 lcm 𝑁) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)}, ℝ, < ))
4 breq2 5145 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝐾 → (𝑀𝑛𝑀𝐾))
5 breq2 5145 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝐾 → (𝑁𝑛𝑁𝐾))
64, 5anbi12d 630 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝐾 → ((𝑀𝑛𝑁𝑛) ↔ (𝑀𝐾𝑁𝐾)))
76elrab 3678 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)} ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑀𝐾𝑁𝐾)))
8 ssrab2 4072 . . . . . . . . . 10 {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)} ⊆ ℕ
9 nnuz 12869 . . . . . . . . . 10 ℕ = (ℤ‘1)
108, 9sseqtri 4013 . . . . . . . . 9 {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)} ⊆ (ℤ‘1)
11 infssuzle 12919 . . . . . . . . 9 (({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)} ⊆ (ℤ‘1) ∧ 𝐾 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)}) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)}, ℝ, < ) ≤ 𝐾)
1210, 11mpan 687 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)} → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)}, ℝ, < ) ≤ 𝐾)
137, 12sylbir 234 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑀𝐾𝑁𝐾)) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)}, ℝ, < ) ≤ 𝐾)
1413ex 412 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)}, ℝ, < ) ≤ 𝐾))
15143ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)}, ℝ, < ) ≤ 𝐾))
1615adantr 480 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)}, ℝ, < ) ≤ 𝐾))
1716imp 406 . . 3 ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀𝐾𝑁𝐾)) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)}, ℝ, < ) ≤ 𝐾)
183, 17eqbrtrd 5163 . 2 ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀𝐾𝑁𝐾)) → (𝑀 lcm 𝑁) ≤ 𝐾)
1918ex 412 1 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ≤ 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 844  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  {crab 3426  wss 3943   class class class wbr 5141  cfv 6537  (class class class)co 7405  infcinf 9438  cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   < clt 11252  cle 11253  cn 12216  cz 12562  cuz 12826  cdvds 16204   lcm clcm 16532
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-lcm 16534
This theorem is referenced by:  lcmneg  16547  lcmftp  16580  lcmfunsnlem2lem1  16582
  Copyright terms: Public domain W3C validator