MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lcmgcdlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmgcdlem 16550
Description: Lemma for lcmgcd 16551 and lcmdvds 16552. Prove them for positive ๐‘€, ๐‘, and ๐พ. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
lcmgcdlem ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘€ lcm ๐‘) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) = (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)) โˆง ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ)) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ)))

Proof of Theorem lcmgcdlem
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘› ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnmulcl 12240 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„•)
21nnred 12231 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
3 nnz 12583 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
43adantr 480 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
54zred 12670 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
6 nnz 12583 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
76adantl 481 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
87zred 12670 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
9 0red 11221 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ 0 โˆˆ โ„)
10 nnre 12223 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
11 nngt0 12247 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ 0 < ๐‘€)
129, 10, 11ltled 11366 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค ๐‘€)
1312adantr 480 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘€)
14 0red 11221 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 โˆˆ โ„)
15 nnre 12223 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
16 nngt0 12247 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 < ๐‘)
1714, 15, 16ltled 11366 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค ๐‘)
1817adantl 481 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘)
195, 8, 13, 18mulge0d 11795 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โ‰ค (๐‘€ ยท ๐‘))
202, 19absidd 15375 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)) = (๐‘€ ยท ๐‘))
213, 6anim12i 612 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค))
22 nnne0 12250 . . . . . . . . 9 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
2322neneqd 2939 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ยฌ ๐‘€ = 0)
24 nnne0 12250 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โ‰  0)
2524neneqd 2939 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ยฌ ๐‘ = 0)
2623, 25anim12i 612 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (ยฌ ๐‘€ = 0 โˆง ยฌ ๐‘ = 0))
27 ioran 980 . . . . . . 7 (ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0) โ†” (ยฌ ๐‘€ = 0 โˆง ยฌ ๐‘ = 0))
2826, 27sylibr 233 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0))
29 lcmn0val 16539 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0)) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) = inf({๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ฅ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ)}, โ„, < ))
3021, 28, 29syl2anc 583 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) = inf({๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ฅ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ)}, โ„, < ))
31 ltso 11298 . . . . . . 7 < Or โ„
3231a1i 11 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ < Or โ„)
33 gcddvds 16451 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘) โˆฅ ๐‘€ โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) โˆฅ ๐‘))
3433simpld 494 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) โˆฅ ๐‘€)
35 gcdcl 16454 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) โˆˆ โ„•0)
3635nn0zd 12588 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) โˆˆ โ„ค)
37 dvdsmultr1 16246 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘€ gcd ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘) โˆฅ ๐‘€ โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘)))
38373expb 1117 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘€ gcd ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘) โˆฅ ๐‘€ โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘)))
3936, 38mpancom 685 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘) โˆฅ ๐‘€ โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘)))
4034, 39mpd 15 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘))
4121, 40syl 17 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘))
42 gcdnncl 16455 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) โˆˆ โ„•)
43 nndivdvds 16213 . . . . . . . . 9 (((๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘) โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘) โ†” ((๐‘€ ยท ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„•))
441, 42, 43syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘) โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘) โ†” ((๐‘€ ยท ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„•))
4541, 44mpbid 231 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„•)
4645nnred 12231 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„)
47 breq2 5145 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ((๐‘€ ยท ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘)) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ฅ โ†” ๐‘€ โˆฅ ((๐‘€ ยท ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘))))
48 breq2 5145 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ((๐‘€ ยท ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ โ†” ๐‘ โˆฅ ((๐‘€ ยท ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘))))
4947, 48anbi12d 630 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ((๐‘€ ยท ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘)) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐‘ฅ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ) โ†” (๐‘€ โˆฅ ((๐‘€ ยท ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆง ๐‘ โˆฅ ((๐‘€ ยท ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘)))))
5033simprd 495 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) โˆฅ ๐‘)
5121, 50syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) โˆฅ ๐‘)
5221, 36syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) โˆˆ โ„ค)
5342nnne0d 12266 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) โ‰  0)
54 dvdsval2 16207 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘€ gcd ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘) โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘ / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„ค))
5552, 53, 7, 54syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘) โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘ / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„ค))
5651, 55mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„ค)
57 dvdsmul1 16228 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘€ โˆฅ (๐‘€ ยท (๐‘ / (๐‘€ gcd ๐‘))))
584, 56, 57syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘€ โˆฅ (๐‘€ ยท (๐‘ / (๐‘€ gcd ๐‘))))
59 nncn 12224 . . . . . . . . . . 11 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
6059adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
61 nncn 12224 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
6261adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
6342nncnd 12232 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) โˆˆ โ„‚)
6460, 62, 63, 53divassd 12029 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘)) = (๐‘€ ยท (๐‘ / (๐‘€ gcd ๐‘))))
6558, 64breqtrrd 5169 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘€ โˆฅ ((๐‘€ ยท ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘)))
6621, 34syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) โˆฅ ๐‘€)
67 dvdsval2 16207 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘€ gcd ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) โ‰  0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘) โˆฅ ๐‘€ โ†” (๐‘€ / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„ค))
6852, 53, 4, 67syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘) โˆฅ ๐‘€ โ†” (๐‘€ / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„ค))
6966, 68mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„ค)
70 dvdsmul1 16228 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘€ / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆฅ (๐‘ ยท (๐‘€ / (๐‘€ gcd ๐‘))))
717, 69, 70syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆฅ (๐‘ ยท (๐‘€ / (๐‘€ gcd ๐‘))))
7260, 62mulcomd 11239 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) = (๐‘ ยท ๐‘€))
7372oveq1d 7420 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘)) = ((๐‘ ยท ๐‘€) / (๐‘€ gcd ๐‘)))
7462, 60, 63, 53divassd 12029 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘€) / (๐‘€ gcd ๐‘)) = (๐‘ ยท (๐‘€ / (๐‘€ gcd ๐‘))))
7573, 74eqtrd 2766 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘)) = (๐‘ ยท (๐‘€ / (๐‘€ gcd ๐‘))))
7671, 75breqtrrd 5169 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆฅ ((๐‘€ ยท ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘)))
7765, 76jca 511 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ((๐‘€ ยท ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆง ๐‘ โˆฅ ((๐‘€ ยท ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘))))
7849, 45, 77elrabd 3680 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ฅ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ)})
7946adantr 480 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ฅ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ)}) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„)
80 elrabi 3672 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ฅ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ)} โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
8180nnred 12231 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ฅ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ)} โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
8281adantl 481 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ฅ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ)}) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
83 breq2 5145 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘› โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ฅ โ†” ๐‘€ โˆฅ ๐‘›))
84 breq2 5145 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘› โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ โ†” ๐‘ โˆฅ ๐‘›))
8583, 84anbi12d 630 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘› โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐‘ฅ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ) โ†” (๐‘€ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›)))
8685elrab 3678 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ฅ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ)} โ†” (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›)))
87 bezout 16492 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘€ gcd ๐‘) = ((๐‘€ ยท ๐‘ฅ) + (๐‘ ยท ๐‘ฆ)))
8821, 87syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘€ gcd ๐‘) = ((๐‘€ ยท ๐‘ฅ) + (๐‘ ยท ๐‘ฆ)))
8988adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘€ gcd ๐‘) = ((๐‘€ ยท ๐‘ฅ) + (๐‘ ยท ๐‘ฆ)))
90 nncn 12224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
9190ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
921nncnd 12232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
9392ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
9463ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) โˆˆ โ„‚)
9560ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
9661ad3antlr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
9722ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
9824ad3antlr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘ โ‰  0)
9995, 96, 97, 98mulne0d 11870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โ‰  0)
10053ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) โ‰  0)
10191, 93, 94, 99, 100divdiv2d 12026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘› / ((๐‘€ ยท ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘))) = ((๐‘› ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) / (๐‘€ ยท ๐‘)))
102101adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = ((๐‘€ ยท ๐‘ฅ) + (๐‘ ยท ๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘› / ((๐‘€ ยท ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘))) = ((๐‘› ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) / (๐‘€ ยท ๐‘)))
103 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘€ gcd ๐‘) = ((๐‘€ ยท ๐‘ฅ) + (๐‘ ยท ๐‘ฆ)) โ†’ (๐‘› ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) = (๐‘› ยท ((๐‘€ ยท ๐‘ฅ) + (๐‘ ยท ๐‘ฆ))))
104103oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘€ gcd ๐‘) = ((๐‘€ ยท ๐‘ฅ) + (๐‘ ยท ๐‘ฆ)) โ†’ ((๐‘› ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) / (๐‘€ ยท ๐‘)) = ((๐‘› ยท ((๐‘€ ยท ๐‘ฅ) + (๐‘ ยท ๐‘ฆ))) / (๐‘€ ยท ๐‘)))
105 zcn 12567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
106105ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
10795, 106mulcld 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
108 zcn 12567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
109108ad2antll 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
11096, 109mulcld 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
11191, 107, 110adddid 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘› ยท ((๐‘€ ยท ๐‘ฅ) + (๐‘ ยท ๐‘ฆ))) = ((๐‘› ยท (๐‘€ ยท ๐‘ฅ)) + (๐‘› ยท (๐‘ ยท ๐‘ฆ))))
112111oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘› ยท ((๐‘€ ยท ๐‘ฅ) + (๐‘ ยท ๐‘ฆ))) / (๐‘€ ยท ๐‘)) = (((๐‘› ยท (๐‘€ ยท ๐‘ฅ)) + (๐‘› ยท (๐‘ ยท ๐‘ฆ))) / (๐‘€ ยท ๐‘)))
11391, 107mulcld 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘› ยท (๐‘€ ยท ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚)
11491, 110mulcld 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘› ยท (๐‘ ยท ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‚)
115113, 114, 93, 99divdird 12032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((๐‘› ยท (๐‘€ ยท ๐‘ฅ)) + (๐‘› ยท (๐‘ ยท ๐‘ฆ))) / (๐‘€ ยท ๐‘)) = (((๐‘› ยท (๐‘€ ยท ๐‘ฅ)) / (๐‘€ ยท ๐‘)) + ((๐‘› ยท (๐‘ ยท ๐‘ฆ)) / (๐‘€ ยท ๐‘))))
116112, 115eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘› ยท ((๐‘€ ยท ๐‘ฅ) + (๐‘ ยท ๐‘ฆ))) / (๐‘€ ยท ๐‘)) = (((๐‘› ยท (๐‘€ ยท ๐‘ฅ)) / (๐‘€ ยท ๐‘)) + ((๐‘› ยท (๐‘ ยท ๐‘ฆ)) / (๐‘€ ยท ๐‘))))
117104, 116sylan9eqr 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = ((๐‘€ ยท ๐‘ฅ) + (๐‘ ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ((๐‘› ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) / (๐‘€ ยท ๐‘)) = (((๐‘› ยท (๐‘€ ยท ๐‘ฅ)) / (๐‘€ ยท ๐‘)) + ((๐‘› ยท (๐‘ ยท ๐‘ฆ)) / (๐‘€ ยท ๐‘))))
11891, 95, 106mul12d 11427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘› ยท (๐‘€ ยท ๐‘ฅ)) = (๐‘€ ยท (๐‘› ยท ๐‘ฅ)))
119118oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘› ยท (๐‘€ ยท ๐‘ฅ)) / (๐‘€ ยท ๐‘)) = ((๐‘€ ยท (๐‘› ยท ๐‘ฅ)) / (๐‘€ ยท ๐‘)))
12091, 106mulcld 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘› ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
121120, 96, 95, 98, 97divcan5d 12020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘€ ยท (๐‘› ยท ๐‘ฅ)) / (๐‘€ ยท ๐‘)) = ((๐‘› ยท ๐‘ฅ) / ๐‘))
122119, 121eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘› ยท (๐‘€ ยท ๐‘ฅ)) / (๐‘€ ยท ๐‘)) = ((๐‘› ยท ๐‘ฅ) / ๐‘))
12391, 96, 109mul12d 11427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘› ยท (๐‘ ยท ๐‘ฆ)) = (๐‘ ยท (๐‘› ยท ๐‘ฆ)))
124123oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘› ยท (๐‘ ยท ๐‘ฆ)) / (๐‘€ ยท ๐‘)) = ((๐‘ ยท (๐‘› ยท ๐‘ฆ)) / (๐‘€ ยท ๐‘)))
12572ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) = (๐‘ ยท ๐‘€))
126125oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘ ยท (๐‘› ยท ๐‘ฆ)) / (๐‘€ ยท ๐‘)) = ((๐‘ ยท (๐‘› ยท ๐‘ฆ)) / (๐‘ ยท ๐‘€)))
12791, 109mulcld 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘› ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
128127, 95, 96, 97, 98divcan5d 12020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘ ยท (๐‘› ยท ๐‘ฆ)) / (๐‘ ยท ๐‘€)) = ((๐‘› ยท ๐‘ฆ) / ๐‘€))
129124, 126, 1283eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘› ยท (๐‘ ยท ๐‘ฆ)) / (๐‘€ ยท ๐‘)) = ((๐‘› ยท ๐‘ฆ) / ๐‘€))
130122, 129oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((๐‘› ยท (๐‘€ ยท ๐‘ฅ)) / (๐‘€ ยท ๐‘)) + ((๐‘› ยท (๐‘ ยท ๐‘ฆ)) / (๐‘€ ยท ๐‘))) = (((๐‘› ยท ๐‘ฅ) / ๐‘) + ((๐‘› ยท ๐‘ฆ) / ๐‘€)))
131130adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = ((๐‘€ ยท ๐‘ฅ) + (๐‘ ยท ๐‘ฆ))) โ†’ (((๐‘› ยท (๐‘€ ยท ๐‘ฅ)) / (๐‘€ ยท ๐‘)) + ((๐‘› ยท (๐‘ ยท ๐‘ฆ)) / (๐‘€ ยท ๐‘))) = (((๐‘› ยท ๐‘ฅ) / ๐‘) + ((๐‘› ยท ๐‘ฆ) / ๐‘€)))
132102, 117, 1313eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = ((๐‘€ ยท ๐‘ฅ) + (๐‘ ยท ๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘› / ((๐‘€ ยท ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘))) = (((๐‘› ยท ๐‘ฅ) / ๐‘) + ((๐‘› ยท ๐‘ฆ) / ๐‘€)))
133132ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘) = ((๐‘€ ยท ๐‘ฅ) + (๐‘ ยท ๐‘ฆ)) โ†’ (๐‘› / ((๐‘€ ยท ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘))) = (((๐‘› ยท ๐‘ฅ) / ๐‘) + ((๐‘› ยท ๐‘ฆ) / ๐‘€))))
134133adantlrr 718 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘) = ((๐‘€ ยท ๐‘ฅ) + (๐‘ ยท ๐‘ฆ)) โ†’ (๐‘› / ((๐‘€ ยท ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘))) = (((๐‘› ยท ๐‘ฅ) / ๐‘) + ((๐‘› ยท ๐‘ฆ) / ๐‘€))))
135134imp 406 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = ((๐‘€ ยท ๐‘ฅ) + (๐‘ ยท ๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘› / ((๐‘€ ยท ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘))) = (((๐‘› ยท ๐‘ฅ) / ๐‘) + ((๐‘› ยท ๐‘ฆ) / ๐‘€)))
1366ad3antlr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
137 nnz 12583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
138137ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
139 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
140 dvdsmultr1 16246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘› โ†’ ๐‘ โˆฅ (๐‘› ยท ๐‘ฅ)))
141136, 138, 139, 140syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘› โ†’ ๐‘ โˆฅ (๐‘› ยท ๐‘ฅ)))
142138, 139zmulcld 12676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘› ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค)
143 dvdsval2 16207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘› ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆฅ (๐‘› ยท ๐‘ฅ) โ†” ((๐‘› ยท ๐‘ฅ) / ๐‘) โˆˆ โ„ค))
144136, 98, 142, 143syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘ โˆฅ (๐‘› ยท ๐‘ฅ) โ†” ((๐‘› ยท ๐‘ฅ) / ๐‘) โˆˆ โ„ค))
145141, 144sylibd 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘› โ†’ ((๐‘› ยท ๐‘ฅ) / ๐‘) โˆˆ โ„ค))
146145adantld 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›) โ†’ ((๐‘› ยท ๐‘ฅ) / ๐‘) โˆˆ โ„ค))
1471463impia 1114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›)) โ†’ ((๐‘› ยท ๐‘ฅ) / ๐‘) โˆˆ โ„ค)
1483ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
149 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
150 dvdsmultr1 16246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘› โ†’ ๐‘€ โˆฅ (๐‘› ยท ๐‘ฆ)))
151148, 138, 149, 150syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘› โ†’ ๐‘€ โˆฅ (๐‘› ยท ๐‘ฆ)))
152138, 149zmulcld 12676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘› ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
153 dvdsval2 16207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง (๐‘› ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ (๐‘› ยท ๐‘ฆ) โ†” ((๐‘› ยท ๐‘ฆ) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
154148, 97, 152, 153syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘€ โˆฅ (๐‘› ยท ๐‘ฆ) โ†” ((๐‘› ยท ๐‘ฆ) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
155151, 154sylibd 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘› โ†’ ((๐‘› ยท ๐‘ฆ) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
156155adantrd 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›) โ†’ ((๐‘› ยท ๐‘ฆ) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
1571563impia 1114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›)) โ†’ ((๐‘› ยท ๐‘ฆ) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค)
158147, 157zaddcld 12674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›)) โ†’ (((๐‘› ยท ๐‘ฅ) / ๐‘) + ((๐‘› ยท ๐‘ฆ) / ๐‘€)) โˆˆ โ„ค)
1591583expia 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›) โ†’ (((๐‘› ยท ๐‘ฅ) / ๐‘) + ((๐‘› ยท ๐‘ฆ) / ๐‘€)) โˆˆ โ„ค))
160159an32s 649 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›) โ†’ (((๐‘› ยท ๐‘ฅ) / ๐‘) + ((๐‘› ยท ๐‘ฆ) / ๐‘€)) โˆˆ โ„ค))
161160impr 454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›))) โ†’ (((๐‘› ยท ๐‘ฅ) / ๐‘) + ((๐‘› ยท ๐‘ฆ) / ๐‘€)) โˆˆ โ„ค)
162161an32s 649 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((๐‘› ยท ๐‘ฅ) / ๐‘) + ((๐‘› ยท ๐‘ฆ) / ๐‘€)) โˆˆ โ„ค)
163162adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = ((๐‘€ ยท ๐‘ฅ) + (๐‘ ยท ๐‘ฆ))) โ†’ (((๐‘› ยท ๐‘ฅ) / ๐‘) + ((๐‘› ยท ๐‘ฆ) / ๐‘€)) โˆˆ โ„ค)
164135, 163eqeltrd 2827 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = ((๐‘€ ยท ๐‘ฅ) + (๐‘ ยท ๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘› / ((๐‘€ ยท ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘))) โˆˆ โ„ค)
16545nnzd 12589 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„ค)
166165ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„ค)
1671nnne0d 12266 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โ‰  0)
16892, 63, 167, 53divne0d 12010 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘)) โ‰  0)
169168ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘)) โ‰  0)
170138adantlrr 718 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
171 dvdsval2 16207 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐‘€ ยท ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘€ ยท ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘)) โ‰  0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘€ ยท ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆฅ ๐‘› โ†” (๐‘› / ((๐‘€ ยท ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘))) โˆˆ โ„ค))
172166, 169, 170, 171syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((๐‘€ ยท ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆฅ ๐‘› โ†” (๐‘› / ((๐‘€ ยท ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘))) โˆˆ โ„ค))
173172adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = ((๐‘€ ยท ๐‘ฅ) + (๐‘ ยท ๐‘ฆ))) โ†’ (((๐‘€ ยท ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆฅ ๐‘› โ†” (๐‘› / ((๐‘€ ยท ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘))) โˆˆ โ„ค))
174164, 173mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = ((๐‘€ ยท ๐‘ฅ) + (๐‘ ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆฅ ๐‘›)
175174ex 412 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘) = ((๐‘€ ยท ๐‘ฅ) + (๐‘ ยท ๐‘ฆ)) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆฅ ๐‘›))
176175reximdvva 3199 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›))) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘€ gcd ๐‘) = ((๐‘€ ยท ๐‘ฅ) + (๐‘ ยท ๐‘ฆ)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ((๐‘€ ยท ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆฅ ๐‘›))
17789, 176mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ((๐‘€ ยท ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆฅ ๐‘›)
178 1z 12596 . . . . . . . . . . . 12 1 โˆˆ โ„ค
179 ne0i 4329 . . . . . . . . . . . 12 (1 โˆˆ โ„ค โ†’ โ„ค โ‰  โˆ…)
180 r19.9rzv 4494 . . . . . . . . . . . 12 (โ„ค โ‰  โˆ… โ†’ (((๐‘€ ยท ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆฅ ๐‘› โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ((๐‘€ ยท ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆฅ ๐‘›))
181178, 179, 180mp2b 10 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘€ ยท ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆฅ ๐‘› โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ((๐‘€ ยท ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆฅ ๐‘›)
182 r19.9rzv 4494 . . . . . . . . . . . 12 (โ„ค โ‰  โˆ… โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ((๐‘€ ยท ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆฅ ๐‘› โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ((๐‘€ ยท ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆฅ ๐‘›))
183178, 179, 182mp2b 10 . . . . . . . . . . 11 (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ((๐‘€ ยท ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆฅ ๐‘› โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ((๐‘€ ยท ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆฅ ๐‘›)
184181, 183bitri 275 . . . . . . . . . 10 (((๐‘€ ยท ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆฅ ๐‘› โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ((๐‘€ ยท ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆฅ ๐‘›)
185177, 184sylibr 233 . . . . . . . . 9 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›))) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆฅ ๐‘›)
186165adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›))) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„ค)
187 simprl 768 . . . . . . . . . 10 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
188 dvdsle 16260 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘€ ยท ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘€ ยท ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆฅ ๐‘› โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘)) โ‰ค ๐‘›))
189186, 187, 188syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›))) โ†’ (((๐‘€ ยท ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆฅ ๐‘› โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘)) โ‰ค ๐‘›))
190185, 189mpd 15 . . . . . . . 8 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›))) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘)) โ‰ค ๐‘›)
19186, 190sylan2b 593 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ฅ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ)}) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘)) โ‰ค ๐‘›)
19279, 82, 191lensymd 11369 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ฅ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ)}) โ†’ ยฌ ๐‘› < ((๐‘€ ยท ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘)))
19332, 46, 78, 192infmin 9491 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ inf({๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ฅ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ)}, โ„, < ) = ((๐‘€ ยท ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘)))
19430, 193eqtr2d 2767 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘)) = (๐‘€ lcm ๐‘))
195194, 45eqeltrrd 2828 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆˆ โ„•)
196195nncnd 12232 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆˆ โ„‚)
19792, 196, 63, 53divmul3d 12028 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘€ ยท ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘)) = (๐‘€ lcm ๐‘) โ†” (๐‘€ ยท ๐‘) = ((๐‘€ lcm ๐‘) ยท (๐‘€ gcd ๐‘))))
198194, 197mpbid 231 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) = ((๐‘€ lcm ๐‘) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)))
19920, 198eqtr2d 2767 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) = (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)))
200 simprl 768 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ))) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)
201 eleq1 2815 . . . . . . . 8 (๐‘› = ๐พ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†” ๐พ โˆˆ โ„•))
202 breq2 5145 . . . . . . . . 9 (๐‘› = ๐พ โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘› โ†” ๐‘€ โˆฅ ๐พ))
203 breq2 5145 . . . . . . . . 9 (๐‘› = ๐พ โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘› โ†” ๐‘ โˆฅ ๐พ))
204202, 203anbi12d 630 . . . . . . . 8 (๐‘› = ๐พ โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›) โ†” (๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ)))
205201, 204anbi12d 630 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐พ โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›)) โ†” (๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ))))
206205anbi2d 628 . . . . . 6 (๐‘› = ๐พ โ†’ (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›))) โ†” ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ)))))
207 breq2 5145 . . . . . 6 (๐‘› = ๐พ โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐‘› โ†” (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))
208206, 207imbi12d 344 . . . . 5 (๐‘› = ๐พ โ†’ ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›))) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐‘›) โ†” (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ))) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ)))
209194breq1d 5151 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘€ ยท ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆฅ ๐‘› โ†” (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐‘›))
210209adantr 480 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›))) โ†’ (((๐‘€ ยท ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆฅ ๐‘› โ†” (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐‘›))
211185, 210mpbid 231 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›))) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐‘›)
212208, 211vtoclg 3537 . . . 4 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ))) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))
213200, 212mpcom 38 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ))) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ)
214213ex 412 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ)) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))
215199, 214jca 511 1 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘€ lcm ๐‘) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) = (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)) โˆง ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ)) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  โˆƒwrex 3064  {crab 3426  โˆ…c0 4317   class class class wbr 5141   Or wor 5580  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  infcinf 9438  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  โ„คcz 12562  abscabs 15187   โˆฅ cdvds 16204   gcd cgcd 16442   lcm clcm 16532
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-lcm 16534
This theorem is referenced by:  lcmgcd  16551  lcmdvds  16552
  Copyright terms: Public domain W3C validator