Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lflcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lflcl 36194
Description: A linear functional value is a scalar. (Contributed by NM, 15-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lflf.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lflf.k 𝐾 = (Base‘𝐷)
lflf.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lflf.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lflcl ((𝑊𝑌𝐺𝐹𝑋𝑉) → (𝐺𝑋) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem lflcl
StepHypRef Expression
1 lflf.d . . . 4 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
2 lflf.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝐷)
3 lflf.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
4 lflf.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
51, 2, 3, 4lflf 36193 . . 3 ((𝑊𝑌𝐺𝐹) → 𝐺:𝑉𝐾)
653adant3 1128 . 2 ((𝑊𝑌𝐺𝐹𝑋𝑉) → 𝐺:𝑉𝐾)
7 simp3 1134 . 2 ((𝑊𝑌𝐺𝐹𝑋𝑉) → 𝑋𝑉)
86, 7ffvelrnd 6846 1 ((𝑊𝑌𝐺𝐹𝑋𝑉) → (𝐺𝑋) ∈ 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1083   = wceq 1533  wcel 2110  wf 6345  cfv 6349  Basecbs 16477  Scalarcsca 16562  LFnlclfn 36187
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-fv 6357  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-map 8402  df-lfl 36188
This theorem is referenced by:  lfl0  36195  lfladd  36196  lflsub  36197  lflmul  36198  lfl1  36200  lfladdcl  36201  lflnegcl  36205  lflvscl  36207  lkrsc  36227  eqlkr  36229  eqlkr3  36231  lkrlsp  36232  ldualvsubval  36287  dochkr1  38608  dochkr1OLDN  38609  lcfl7lem  38629  lclkrlem2m  38649  lclkrlem2o  38651  lclkrlem2p  38652  lcfrlem1  38672  lcfrlem2  38673  lcfrlem3  38674  lcfrlem29  38701  lcfrlem31  38703  lcfrlem33  38705  lcdvbasecl  38726
  Copyright terms: Public domain W3C validator