Theorem lflcl 39937

Description: A linear functional value is a scalar. (Contributed by NM, 15-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lflf.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lflf.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
lflf.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lflf.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lflcl	⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑋) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem lflcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lflf.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
2		lflf.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
3		lflf.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		lflf.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	lflf 39936	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:𝑉⟶𝐾)
6	5	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝐺:𝑉⟶𝐾)
7		simp3 1156	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
8	6, 7	ffvelcdmd 7078	1 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑋) ∈ 𝐾)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  Basecbs 17301  Scalarcsca 17345  LFnlclfn 39930

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fv 6541  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-map 8828  df-lfl 39931

This theorem is used by:  lfl0  39938  lfladd  39939  lflsub  39940  lflmul  39941  lfl1  39943  lfladdcl  39944  lflnegcl  39948  lflvscl  39950  lkrsc  39970  eqlkr  39972  eqlkr3  39974  lkrlsp  39975  ldualvsubval  40030  dochkr1  42351  dochkr1OLDN  42352  lcfl7lem  42372  lclkrlem2m  42392  lclkrlem2o  42394  lclkrlem2p  42395  lcfrlem1  42415  lcfrlem2  42416  lcfrlem3  42417  lcfrlem29  42444  lcfrlem31  42446  lcfrlem33  42448  lcdvbasecl  42469