Theorem lflcl 39053

Description: A linear functional value is a scalar. (Contributed by NM, 15-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lflf.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lflf.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
lflf.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lflf.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lflcl	⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑋) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem lflcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lflf.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
2		lflf.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
3		lflf.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		lflf.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	lflf 39052	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:𝑉⟶𝐾)
6	5	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝐺:𝑉⟶𝐾)
7		simp3 1138	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
8	6, 7	ffvelcdmd 7019	1 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑋) ∈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  Basecbs 17120  Scalarcsca 17164  LFnlclfn 39046

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-fv 6490  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-map 8755  df-lfl 39047

This theorem is referenced by:  lfl0  39054  lfladd  39055  lflsub  39056  lflmul  39057  lfl1  39059  lfladdcl  39060  lflnegcl  39064  lflvscl  39066  lkrsc  39086  eqlkr  39088  eqlkr3  39090  lkrlsp  39091  ldualvsubval  39146  dochkr1  41467  dochkr1OLDN  41468  lcfl7lem  41488  lclkrlem2m  41508  lclkrlem2o  41510  lclkrlem2p  41511  lcfrlem1  41531  lcfrlem2  41532  lcfrlem3  41533  lcfrlem29  41560  lcfrlem31  41562  lcfrlem33  41564  lcdvbasecl  41585