Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eqlkr3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem eqlkr3 38573
Description: Two functionals with the same kernel are equal if they are equal at any nonzero value. (Contributed by NM, 2-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eqlkr3.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
eqlkr3.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘Š)
eqlkr3.r 𝑅 = (Baseβ€˜π‘†)
eqlkr3.o 0 = (0gβ€˜π‘†)
eqlkr3.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
eqlkr3.k 𝐾 = (LKerβ€˜π‘Š)
eqlkr3.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
eqlkr3.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
eqlkr3.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
eqlkr3.h (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝐹)
eqlkr3.e (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜πΊ) = (πΎβ€˜π»))
eqlkr3.a (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹) = (π»β€˜π‘‹))
eqlkr3.n (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 )
Assertion
Ref Expression
eqlkr3 (πœ‘ β†’ 𝐺 = 𝐻)
Proof of Theorem eqlkr3
Dummy variables π‘₯ π‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqlkr3.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
2 eqlkr3.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
3 eqlkr3.s . . . . 5 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘Š)
4 eqlkr3.r . . . . 5 𝑅 = (Baseβ€˜π‘†)
5 eqlkr3.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
6 eqlkr3.f . . . . 5 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
73, 4, 5, 6lflf 38535 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ 𝐺:π‘‰βŸΆπ‘…)
81, 2, 7syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘‰βŸΆπ‘…)
98ffnd 6723 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn 𝑉)
10 eqlkr3.h . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝐹)
113, 4, 5, 6lflf 38535 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) β†’ 𝐻:π‘‰βŸΆπ‘…)
121, 10, 11syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻:π‘‰βŸΆπ‘…)
1312ffnd 6723 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻 Fn 𝑉)
14 eqlkr3.e . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜πΊ) = (πΎβ€˜π»))
15 eqid 2728 . . . . . . . 8 (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜π‘†)
16 eqlkr3.k . . . . . . . 8 𝐾 = (LKerβ€˜π‘Š)
173, 4, 15, 5, 6, 16eqlkr 38571 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΎβ€˜πΊ) = (πΎβ€˜π»)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ))
181, 2, 10, 14, 17syl121anc 1373 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ))
19 eqlkr3.x . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
2019adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
21 fveq2 6897 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π»β€˜π‘₯) = (π»β€˜π‘‹))
22 fveq2 6897 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘‹))
2322oveq1d 7435 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ) = ((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ))
2421, 23eqeq12d 2744 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ) ↔ (π»β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)))
2524rspcv 3605 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ) β†’ (π»β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)))
2620, 25syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ) β†’ (π»β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)))
27 eqlkr3.a . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹) = (π»β€˜π‘‹))
2827adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ (πΊβ€˜π‘‹) = (π»β€˜π‘‹))
2928adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) ∧ (π»β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)) β†’ (πΊβ€˜π‘‹) = (π»β€˜π‘‹))
30 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) ∧ (π»β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)) β†’ (π»β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ))
3129, 30eqtr2d 2769 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) ∧ (π»β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)) β†’ ((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ) = (πΊβ€˜π‘‹))
3231oveq2d 7436 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) ∧ (π»β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)) β†’ (((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π‘†)((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)) = (((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π‘†)(πΊβ€˜π‘‹)))
333lvecdrng 20990 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Š ∈ LVec β†’ 𝑆 ∈ DivRing)
341, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ DivRing)
3534adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ 𝑆 ∈ DivRing)
363, 4, 5, 6lflcl 38536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ 𝑅)
371, 2, 19, 36syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ 𝑅)
3837adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ 𝑅)
39 eqlkr3.n . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 )
4039adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 )
41 eqlkr3.o . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 = (0gβ€˜π‘†)
42 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1rβ€˜π‘†) = (1rβ€˜π‘†)
43 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (invrβ€˜π‘†) = (invrβ€˜π‘†)
444, 41, 15, 42, 43drnginvrl 20649 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 ∈ DivRing ∧ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ 𝑅 ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) β†’ (((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π‘†)(πΊβ€˜π‘‹)) = (1rβ€˜π‘†))
4535, 38, 40, 44syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ (((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π‘†)(πΊβ€˜π‘‹)) = (1rβ€˜π‘†))
4645oveq1d 7435 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ ((((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π‘†)(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ) = ((1rβ€˜π‘†)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ))
47 lveclmod 20991 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
481, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
493lmodring 20751 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑆 ∈ Ring)
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Ring)
5150adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
524, 41, 43drnginvrcl 20646 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 ∈ DivRing ∧ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ 𝑅 ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) β†’ ((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)) ∈ 𝑅)
5335, 38, 40, 52syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ ((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)) ∈ 𝑅)
54 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝑅)
554, 15ringass 20193 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)) ∈ 𝑅 ∧ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ 𝑅 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅)) β†’ ((((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π‘†)(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ) = (((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π‘†)((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)))
5651, 53, 38, 54, 55syl13anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ ((((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π‘†)(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ) = (((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π‘†)((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)))
574, 15, 42ringlidm 20205 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ Ring ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ ((1rβ€˜π‘†)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ) = π‘Ÿ)
5851, 54, 57syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ ((1rβ€˜π‘†)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ) = π‘Ÿ)
5946, 56, 583eqtr3d 2776 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ (((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π‘†)((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)) = π‘Ÿ)
6059adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) ∧ (π»β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)) β†’ (((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π‘†)((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)) = π‘Ÿ)
6145adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) ∧ (π»β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)) β†’ (((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π‘†)(πΊβ€˜π‘‹)) = (1rβ€˜π‘†))
6232, 60, 613eqtr3d 2776 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) ∧ (π»β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)) β†’ π‘Ÿ = (1rβ€˜π‘†))
6362ex 412 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ ((π»β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ) β†’ π‘Ÿ = (1rβ€˜π‘†)))
6426, 63syld 47 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ) β†’ π‘Ÿ = (1rβ€˜π‘†)))
6564ancrd 551 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ) β†’ (π‘Ÿ = (1rβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ))))
6665reximdva 3165 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 (π‘Ÿ = (1rβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ))))
6718, 66mpd 15 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 (π‘Ÿ = (1rβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)))
684, 42ringidcl 20202 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘†) ∈ 𝑅)
6950, 68syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘†) ∈ 𝑅)
70 oveq2 7428 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ = (1rβ€˜π‘†) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)(1rβ€˜π‘†)))
7170eqeq2d 2739 . . . . . . . 8 (π‘Ÿ = (1rβ€˜π‘†) β†’ ((π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ) ↔ (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)(1rβ€˜π‘†))))
7271ralbidv 3174 . . . . . . 7 (π‘Ÿ = (1rβ€˜π‘†) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)(1rβ€˜π‘†))))
7372ceqsrexv 3641 . . . . . 6 ((1rβ€˜π‘†) ∈ 𝑅 β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 (π‘Ÿ = (1rβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)(1rβ€˜π‘†))))
7469, 73syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 (π‘Ÿ = (1rβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)(1rβ€˜π‘†))))
7567, 74mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)(1rβ€˜π‘†)))
7675r19.21bi 3245 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)(1rβ€˜π‘†)))
7748adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ LMod)
7877, 49syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
791adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ LVec)
802adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
81 simpr 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ π‘₯ ∈ 𝑉)
823, 4, 5, 6lflcl 38536 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ 𝑅)
8379, 80, 81, 82syl3anc 1369 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ 𝑅)
844, 15, 42ringridm 20206 . . . 4 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ 𝑅) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)(1rβ€˜π‘†)) = (πΊβ€˜π‘₯))
8578, 83, 84syl2anc 583 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)(1rβ€˜π‘†)) = (πΊβ€˜π‘₯))
8676, 85eqtr2d 2769 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (π»β€˜π‘₯))
879, 13, 86eqfnfvd 7043 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 = 𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2937  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067  βŸΆwf 6544  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17180  .rcmulr 17234  Scalarcsca 17236  0gc0g 17421  1rcur 20121  Ringcrg 20173  invrcinvr 20326  DivRingcdr 20624  LModclmod 20743  LVecclvec 20987  LFnlclfn 38529  LKerclk 38557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-0g 17423  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-sbg 18895  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-oppr 20273  df-dvdsr 20296  df-unit 20297  df-invr 20327  df-drng 20626  df-lmod 20745  df-lvec 20988  df-lfl 38530  df-lkr 38558
This theorem is referenced by:  lcfl6lem  40971
  Copyright terms: Public domain W3C validator