Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eqlkr3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem eqlkr3 37966
Description: Two functionals with the same kernel are equal if they are equal at any nonzero value. (Contributed by NM, 2-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eqlkr3.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
eqlkr3.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘Š)
eqlkr3.r 𝑅 = (Baseβ€˜π‘†)
eqlkr3.o 0 = (0gβ€˜π‘†)
eqlkr3.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
eqlkr3.k 𝐾 = (LKerβ€˜π‘Š)
eqlkr3.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
eqlkr3.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
eqlkr3.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
eqlkr3.h (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝐹)
eqlkr3.e (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜πΊ) = (πΎβ€˜π»))
eqlkr3.a (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹) = (π»β€˜π‘‹))
eqlkr3.n (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 )
Assertion
Ref Expression
eqlkr3 (πœ‘ β†’ 𝐺 = 𝐻)
Proof of Theorem eqlkr3
Dummy variables π‘₯ π‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqlkr3.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
2 eqlkr3.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
3 eqlkr3.s . . . . 5 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘Š)
4 eqlkr3.r . . . . 5 𝑅 = (Baseβ€˜π‘†)
5 eqlkr3.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
6 eqlkr3.f . . . . 5 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
73, 4, 5, 6lflf 37928 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ 𝐺:π‘‰βŸΆπ‘…)
81, 2, 7syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘‰βŸΆπ‘…)
98ffnd 6718 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn 𝑉)
10 eqlkr3.h . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝐹)
113, 4, 5, 6lflf 37928 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) β†’ 𝐻:π‘‰βŸΆπ‘…)
121, 10, 11syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻:π‘‰βŸΆπ‘…)
1312ffnd 6718 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻 Fn 𝑉)
14 eqlkr3.e . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜πΊ) = (πΎβ€˜π»))
15 eqid 2732 . . . . . . . 8 (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜π‘†)
16 eqlkr3.k . . . . . . . 8 𝐾 = (LKerβ€˜π‘Š)
173, 4, 15, 5, 6, 16eqlkr 37964 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΎβ€˜πΊ) = (πΎβ€˜π»)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ))
181, 2, 10, 14, 17syl121anc 1375 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ))
19 eqlkr3.x . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
2019adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
21 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π»β€˜π‘₯) = (π»β€˜π‘‹))
22 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘‹))
2322oveq1d 7423 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ) = ((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ))
2421, 23eqeq12d 2748 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ) ↔ (π»β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)))
2524rspcv 3608 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ) β†’ (π»β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)))
2620, 25syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ) β†’ (π»β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)))
27 eqlkr3.a . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹) = (π»β€˜π‘‹))
2827adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ (πΊβ€˜π‘‹) = (π»β€˜π‘‹))
2928adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) ∧ (π»β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)) β†’ (πΊβ€˜π‘‹) = (π»β€˜π‘‹))
30 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) ∧ (π»β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)) β†’ (π»β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ))
3129, 30eqtr2d 2773 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) ∧ (π»β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)) β†’ ((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ) = (πΊβ€˜π‘‹))
3231oveq2d 7424 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) ∧ (π»β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)) β†’ (((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π‘†)((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)) = (((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π‘†)(πΊβ€˜π‘‹)))
333lvecdrng 20715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Š ∈ LVec β†’ 𝑆 ∈ DivRing)
341, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ DivRing)
3534adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ 𝑆 ∈ DivRing)
363, 4, 5, 6lflcl 37929 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ 𝑅)
371, 2, 19, 36syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ 𝑅)
3837adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ 𝑅)
39 eqlkr3.n . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 )
4039adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 )
41 eqlkr3.o . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 = (0gβ€˜π‘†)
42 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1rβ€˜π‘†) = (1rβ€˜π‘†)
43 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (invrβ€˜π‘†) = (invrβ€˜π‘†)
444, 41, 15, 42, 43drnginvrl 20381 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 ∈ DivRing ∧ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ 𝑅 ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) β†’ (((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π‘†)(πΊβ€˜π‘‹)) = (1rβ€˜π‘†))
4535, 38, 40, 44syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ (((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π‘†)(πΊβ€˜π‘‹)) = (1rβ€˜π‘†))
4645oveq1d 7423 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ ((((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π‘†)(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ) = ((1rβ€˜π‘†)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ))
47 lveclmod 20716 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
481, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
493lmodring 20478 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑆 ∈ Ring)
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Ring)
5150adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
524, 41, 43drnginvrcl 20378 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 ∈ DivRing ∧ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ 𝑅 ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) β†’ ((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)) ∈ 𝑅)
5335, 38, 40, 52syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ ((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)) ∈ 𝑅)
54 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝑅)
554, 15ringass 20075 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)) ∈ 𝑅 ∧ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ 𝑅 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅)) β†’ ((((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π‘†)(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ) = (((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π‘†)((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)))
5651, 53, 38, 54, 55syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ ((((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π‘†)(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ) = (((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π‘†)((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)))
574, 15, 42ringlidm 20085 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ Ring ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ ((1rβ€˜π‘†)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ) = π‘Ÿ)
5851, 54, 57syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ ((1rβ€˜π‘†)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ) = π‘Ÿ)
5946, 56, 583eqtr3d 2780 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ (((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π‘†)((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)) = π‘Ÿ)
6059adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) ∧ (π»β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)) β†’ (((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π‘†)((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)) = π‘Ÿ)
6145adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) ∧ (π»β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)) β†’ (((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π‘†)(πΊβ€˜π‘‹)) = (1rβ€˜π‘†))
6232, 60, 613eqtr3d 2780 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) ∧ (π»β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)) β†’ π‘Ÿ = (1rβ€˜π‘†))
6362ex 413 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ ((π»β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ) β†’ π‘Ÿ = (1rβ€˜π‘†)))
6426, 63syld 47 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ) β†’ π‘Ÿ = (1rβ€˜π‘†)))
6564ancrd 552 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ) β†’ (π‘Ÿ = (1rβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ))))
6665reximdva 3168 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 (π‘Ÿ = (1rβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ))))
6718, 66mpd 15 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 (π‘Ÿ = (1rβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)))
684, 42ringidcl 20082 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘†) ∈ 𝑅)
6950, 68syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘†) ∈ 𝑅)
70 oveq2 7416 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ = (1rβ€˜π‘†) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)(1rβ€˜π‘†)))
7170eqeq2d 2743 . . . . . . . 8 (π‘Ÿ = (1rβ€˜π‘†) β†’ ((π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ) ↔ (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)(1rβ€˜π‘†))))
7271ralbidv 3177 . . . . . . 7 (π‘Ÿ = (1rβ€˜π‘†) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)(1rβ€˜π‘†))))
7372ceqsrexv 3643 . . . . . 6 ((1rβ€˜π‘†) ∈ 𝑅 β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 (π‘Ÿ = (1rβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)(1rβ€˜π‘†))))
7469, 73syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 (π‘Ÿ = (1rβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)(1rβ€˜π‘†))))
7567, 74mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)(1rβ€˜π‘†)))
7675r19.21bi 3248 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)(1rβ€˜π‘†)))
7748adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ LMod)
7877, 49syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
791adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ LVec)
802adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
81 simpr 485 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ π‘₯ ∈ 𝑉)
823, 4, 5, 6lflcl 37929 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ 𝑅)
8379, 80, 81, 82syl3anc 1371 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ 𝑅)
844, 15, 42ringridm 20086 . . . 4 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ 𝑅) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)(1rβ€˜π‘†)) = (πΊβ€˜π‘₯))
8578, 83, 84syl2anc 584 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)(1rβ€˜π‘†)) = (πΊβ€˜π‘₯))
8676, 85eqtr2d 2773 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (π»β€˜π‘₯))
879, 13, 86eqfnfvd 7035 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 = 𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  .rcmulr 17197  Scalarcsca 17199  0gc0g 17384  1rcur 20003  Ringcrg 20055  invrcinvr 20200  DivRingcdr 20356  LModclmod 20470  LVecclvec 20712  LFnlclfn 37922  LKerclk 37950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-drng 20358  df-lmod 20472  df-lvec 20713  df-lfl 37923  df-lkr 37951
This theorem is referenced by:  lcfl6lem  40364
  Copyright terms: Public domain W3C validator