Theorem eqlkr3 37042

Description: Two functionals with the same kernel are equal if they are equal at any nonzero value. (Contributed by NM, 2-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqlkr3.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
eqlkr3.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
eqlkr3.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
eqlkr3.o	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
eqlkr3.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
eqlkr3.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
eqlkr3.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
eqlkr3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
eqlkr3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
eqlkr3.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
eqlkr3.e	⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻))
eqlkr3.a	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) = (𝐻‘𝑋))
eqlkr3.n	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
eqlkr3	⊢ (𝜑 → 𝐺 = 𝐻)

Proof of Theorem eqlkr3

Dummy variables 𝑥 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqlkr3.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		eqlkr3.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
3		eqlkr3.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
4		eqlkr3.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
5		eqlkr3.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
6		eqlkr3.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
7	3, 4, 5, 6	lflf 37004	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:𝑉⟶𝑅)
8	1, 2, 7	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑉⟶𝑅)
9	8	ffnd 6585	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝑉)
10		eqlkr3.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
11	3, 4, 5, 6	lflf 37004	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) → 𝐻:𝑉⟶𝑅)
12	1, 10, 11	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝑉⟶𝑅)
13	12	ffnd 6585	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn 𝑉)
14		eqlkr3.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻))
15		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
16		eqlkr3.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
17	3, 4, 15, 5, 6, 16	eqlkr 37040	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻)) → ∃𝑟 ∈ 𝑅 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟))
18	1, 2, 10, 14, 17	syl121anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ 𝑅 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟))
19		eqlkr3.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
20	19	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → 𝑋 ∈ 𝑉)
21		fveq2 6756	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐻‘𝑥) = (𝐻‘𝑋))
22		fveq2 6756	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑋))
23	22	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟))
24	21, 23	eqeq12d 2754	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟) ↔ (𝐻‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)))
25	24	rspcv 3547	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟) → (𝐻‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)))
26	20, 25	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟) → (𝐻‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)))
27		eqlkr3.a	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) = (𝐻‘𝑋))
28	27	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → (𝐺‘𝑋) = (𝐻‘𝑋))
29	28	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) ∧ (𝐻‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)) → (𝐺‘𝑋) = (𝐻‘𝑋))
30		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) ∧ (𝐻‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)) → (𝐻‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟))
31	29, 30	eqtr2d 2779	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) ∧ (𝐻‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)) → ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟) = (𝐺‘𝑋))
32	31	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) ∧ (𝐻‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)) → (((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)) = (((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)(𝐺‘𝑋)))
33	3	lvecdrng 20282	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑆 ∈ DivRing)
34	1, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ DivRing)
35	34	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → 𝑆 ∈ DivRing)
36	3, 4, 5, 6	lflcl 37005	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑋) ∈ 𝑅)
37	1, 2, 19, 36	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ∈ 𝑅)
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → (𝐺‘𝑋) ∈ 𝑅)
39		eqlkr3.n	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ≠ 0 )
40	39	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → (𝐺‘𝑋) ≠ 0 )
41		eqlkr3.o	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
42		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
43		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (invr‘𝑆) = (invr‘𝑆)
44	4, 41, 15, 42, 43	drnginvrl 19925	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆 ∈ DivRing ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ 𝑅 ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) → (((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)(𝐺‘𝑋)) = (1r‘𝑆))
45	35, 38, 40, 44	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → (((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)(𝐺‘𝑋)) = (1r‘𝑆))
46	45	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → ((((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)𝑟) = ((1r‘𝑆)(.r‘𝑆)𝑟))
47		lveclmod 20283	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
48	1, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
49	3	lmodring 20046	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Ring)
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
51	50	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → 𝑆 ∈ Ring)
52	4, 41, 43	drnginvrcl 19923	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆 ∈ DivRing ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ 𝑅 ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) → ((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋)) ∈ 𝑅)
53	35, 38, 40, 52	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → ((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋)) ∈ 𝑅)
54		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → 𝑟 ∈ 𝑅)
55	4, 15	ringass 19718	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋)) ∈ 𝑅 ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ 𝑅 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅)) → ((((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)𝑟) = (((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)))
56	51, 53, 38, 54, 55	syl13anc 1370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → ((((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)𝑟) = (((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)))
57	4, 15, 42	ringlidm 19725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → ((1r‘𝑆)(.r‘𝑆)𝑟) = 𝑟)
58	51, 54, 57	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → ((1r‘𝑆)(.r‘𝑆)𝑟) = 𝑟)
59	46, 56, 58	3eqtr3d 2786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → (((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)) = 𝑟)
60	59	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) ∧ (𝐻‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)) → (((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)) = 𝑟)
61	45	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) ∧ (𝐻‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)) → (((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)(𝐺‘𝑋)) = (1r‘𝑆))
62	32, 60, 61	3eqtr3d 2786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) ∧ (𝐻‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)) → 𝑟 = (1r‘𝑆))
63	62	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → ((𝐻‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟) → 𝑟 = (1r‘𝑆)))
64	26, 63	syld 47	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟) → 𝑟 = (1r‘𝑆)))
65	64	ancrd 551	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟) → (𝑟 = (1r‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟))))
66	65	reximdva 3202	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑟 ∈ 𝑅 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟) → ∃𝑟 ∈ 𝑅 (𝑟 = (1r‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟))))
67	18, 66	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ 𝑅 (𝑟 = (1r‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟)))
68	4, 42	ringidcl 19722	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (1r‘𝑆) ∈ 𝑅)
69	50, 68	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ∈ 𝑅)
70		oveq2 7263	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = (1r‘𝑆) → ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)(1r‘𝑆)))
71	70	eqeq2d 2749	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = (1r‘𝑆) → ((𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟) ↔ (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)(1r‘𝑆))))
72	71	ralbidv 3120	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = (1r‘𝑆) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)(1r‘𝑆))))
73	72	ceqsrexv 3578	. . . . . 6 ⊢ ((1r‘𝑆) ∈ 𝑅 → (∃𝑟 ∈ 𝑅 (𝑟 = (1r‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)(1r‘𝑆))))
74	69, 73	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑟 ∈ 𝑅 (𝑟 = (1r‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)(1r‘𝑆))))
75	67, 74	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)(1r‘𝑆)))
76	75	r19.21bi 3132	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)(1r‘𝑆)))
77	48	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
78	77, 49	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑆 ∈ Ring)
79	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
80	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ 𝐹)
81		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑥 ∈ 𝑉)
82	3, 4, 5, 6	lflcl 37005	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑅)
83	79, 80, 81, 82	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑅)
84	4, 15, 42	ringridm 19726	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑅) → ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)(1r‘𝑆)) = (𝐺‘𝑥))
85	78, 83, 84	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)(1r‘𝑆)) = (𝐺‘𝑥))
86	76, 85	eqtr2d 2779	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑥) = (𝐻‘𝑥))
87	9, 13, 86	eqfnfvd 6894	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = 𝐻)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  ._rcmulr 16889  Scalarcsca 16891  0_gc0g 17067  1_rcur 19652  Ringcrg 19698  inv_rcinvr 19828  DivRingcdr 19906  LModclmod 20038  LVecclvec 20279  LFnlclfn 36998  LKerclk 37026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-drng 19908  df-lmod 20040  df-lvec 20280  df-lfl 36999  df-lkr 37027

This theorem is referenced by:  lcfl6lem  39439