Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eqlkr3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eqlkr3 37563
Description: Two functionals with the same kernel are equal if they are equal at any nonzero value. (Contributed by NM, 2-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eqlkr3.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
eqlkr3.s 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
eqlkr3.r 𝑅 = (Base‘𝑆)
eqlkr3.o 0 = (0g𝑆)
eqlkr3.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
eqlkr3.k 𝐾 = (LKer‘𝑊)
eqlkr3.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
eqlkr3.x (𝜑𝑋𝑉)
eqlkr3.g (𝜑𝐺𝐹)
eqlkr3.h (𝜑𝐻𝐹)
eqlkr3.e (𝜑 → (𝐾𝐺) = (𝐾𝐻))
eqlkr3.a (𝜑 → (𝐺𝑋) = (𝐻𝑋))
eqlkr3.n (𝜑 → (𝐺𝑋) ≠ 0 )
Assertion
Ref Expression
eqlkr3 (𝜑𝐺 = 𝐻)

Proof of Theorem eqlkr3
Dummy variables 𝑥 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqlkr3.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
2 eqlkr3.g . . . 4 (𝜑𝐺𝐹)
3 eqlkr3.s . . . . 5 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
4 eqlkr3.r . . . . 5 𝑅 = (Base‘𝑆)
5 eqlkr3.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
6 eqlkr3.f . . . . 5 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
73, 4, 5, 6lflf 37525 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹) → 𝐺:𝑉𝑅)
81, 2, 7syl2anc 584 . . 3 (𝜑𝐺:𝑉𝑅)
98ffnd 6669 . 2 (𝜑𝐺 Fn 𝑉)
10 eqlkr3.h . . . 4 (𝜑𝐻𝐹)
113, 4, 5, 6lflf 37525 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐻𝐹) → 𝐻:𝑉𝑅)
121, 10, 11syl2anc 584 . . 3 (𝜑𝐻:𝑉𝑅)
1312ffnd 6669 . 2 (𝜑𝐻 Fn 𝑉)
14 eqlkr3.e . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾𝐺) = (𝐾𝐻))
15 eqid 2736 . . . . . . . 8 (.r𝑆) = (.r𝑆)
16 eqlkr3.k . . . . . . . 8 𝐾 = (LKer‘𝑊)
173, 4, 15, 5, 6, 16eqlkr 37561 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐾𝐺) = (𝐾𝐻)) → ∃𝑟𝑅𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥)(.r𝑆)𝑟))
181, 2, 10, 14, 17syl121anc 1375 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑟𝑅𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥)(.r𝑆)𝑟))
19 eqlkr3.x . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋𝑉)
2019adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟𝑅) → 𝑋𝑉)
21 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑋 → (𝐻𝑥) = (𝐻𝑋))
22 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑋 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑋))
2322oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐺𝑥)(.r𝑆)𝑟) = ((𝐺𝑋)(.r𝑆)𝑟))
2421, 23eqeq12d 2752 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥)(.r𝑆)𝑟) ↔ (𝐻𝑋) = ((𝐺𝑋)(.r𝑆)𝑟)))
2524rspcv 3577 . . . . . . . . . 10 (𝑋𝑉 → (∀𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥)(.r𝑆)𝑟) → (𝐻𝑋) = ((𝐺𝑋)(.r𝑆)𝑟)))
2620, 25syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑟𝑅) → (∀𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥)(.r𝑆)𝑟) → (𝐻𝑋) = ((𝐺𝑋)(.r𝑆)𝑟)))
27 eqlkr3.a . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐺𝑋) = (𝐻𝑋))
2827adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑟𝑅) → (𝐺𝑋) = (𝐻𝑋))
2928adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟𝑅) ∧ (𝐻𝑋) = ((𝐺𝑋)(.r𝑆)𝑟)) → (𝐺𝑋) = (𝐻𝑋))
30 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟𝑅) ∧ (𝐻𝑋) = ((𝐺𝑋)(.r𝑆)𝑟)) → (𝐻𝑋) = ((𝐺𝑋)(.r𝑆)𝑟))
3129, 30eqtr2d 2777 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟𝑅) ∧ (𝐻𝑋) = ((𝐺𝑋)(.r𝑆)𝑟)) → ((𝐺𝑋)(.r𝑆)𝑟) = (𝐺𝑋))
3231oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟𝑅) ∧ (𝐻𝑋) = ((𝐺𝑋)(.r𝑆)𝑟)) → (((invr𝑆)‘(𝐺𝑋))(.r𝑆)((𝐺𝑋)(.r𝑆)𝑟)) = (((invr𝑆)‘(𝐺𝑋))(.r𝑆)(𝐺𝑋)))
333lvecdrng 20566 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑊 ∈ LVec → 𝑆 ∈ DivRing)
341, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑆 ∈ DivRing)
3534adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑟𝑅) → 𝑆 ∈ DivRing)
363, 4, 5, 6lflcl 37526 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝑋𝑉) → (𝐺𝑋) ∈ 𝑅)
371, 2, 19, 36syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐺𝑋) ∈ 𝑅)
3837adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑟𝑅) → (𝐺𝑋) ∈ 𝑅)
39 eqlkr3.n . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐺𝑋) ≠ 0 )
4039adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑟𝑅) → (𝐺𝑋) ≠ 0 )
41 eqlkr3.o . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 = (0g𝑆)
42 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1r𝑆) = (1r𝑆)
43 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (invr𝑆) = (invr𝑆)
444, 41, 15, 42, 43drnginvrl 20208 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 ∈ DivRing ∧ (𝐺𝑋) ∈ 𝑅 ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) → (((invr𝑆)‘(𝐺𝑋))(.r𝑆)(𝐺𝑋)) = (1r𝑆))
4535, 38, 40, 44syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑟𝑅) → (((invr𝑆)‘(𝐺𝑋))(.r𝑆)(𝐺𝑋)) = (1r𝑆))
4645oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑟𝑅) → ((((invr𝑆)‘(𝐺𝑋))(.r𝑆)(𝐺𝑋))(.r𝑆)𝑟) = ((1r𝑆)(.r𝑆)𝑟))
47 lveclmod 20567 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
481, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
493lmodring 20330 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Ring)
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
5150adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑟𝑅) → 𝑆 ∈ Ring)
524, 41, 43drnginvrcl 20205 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 ∈ DivRing ∧ (𝐺𝑋) ∈ 𝑅 ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) → ((invr𝑆)‘(𝐺𝑋)) ∈ 𝑅)
5335, 38, 40, 52syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑟𝑅) → ((invr𝑆)‘(𝐺𝑋)) ∈ 𝑅)
54 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑟𝑅) → 𝑟𝑅)
554, 15ringass 19984 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (((invr𝑆)‘(𝐺𝑋)) ∈ 𝑅 ∧ (𝐺𝑋) ∈ 𝑅𝑟𝑅)) → ((((invr𝑆)‘(𝐺𝑋))(.r𝑆)(𝐺𝑋))(.r𝑆)𝑟) = (((invr𝑆)‘(𝐺𝑋))(.r𝑆)((𝐺𝑋)(.r𝑆)𝑟)))
5651, 53, 38, 54, 55syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑟𝑅) → ((((invr𝑆)‘(𝐺𝑋))(.r𝑆)(𝐺𝑋))(.r𝑆)𝑟) = (((invr𝑆)‘(𝐺𝑋))(.r𝑆)((𝐺𝑋)(.r𝑆)𝑟)))
574, 15, 42ringlidm 19992 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑟𝑅) → ((1r𝑆)(.r𝑆)𝑟) = 𝑟)
5851, 54, 57syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑟𝑅) → ((1r𝑆)(.r𝑆)𝑟) = 𝑟)
5946, 56, 583eqtr3d 2784 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑟𝑅) → (((invr𝑆)‘(𝐺𝑋))(.r𝑆)((𝐺𝑋)(.r𝑆)𝑟)) = 𝑟)
6059adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟𝑅) ∧ (𝐻𝑋) = ((𝐺𝑋)(.r𝑆)𝑟)) → (((invr𝑆)‘(𝐺𝑋))(.r𝑆)((𝐺𝑋)(.r𝑆)𝑟)) = 𝑟)
6145adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟𝑅) ∧ (𝐻𝑋) = ((𝐺𝑋)(.r𝑆)𝑟)) → (((invr𝑆)‘(𝐺𝑋))(.r𝑆)(𝐺𝑋)) = (1r𝑆))
6232, 60, 613eqtr3d 2784 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟𝑅) ∧ (𝐻𝑋) = ((𝐺𝑋)(.r𝑆)𝑟)) → 𝑟 = (1r𝑆))
6362ex 413 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑟𝑅) → ((𝐻𝑋) = ((𝐺𝑋)(.r𝑆)𝑟) → 𝑟 = (1r𝑆)))
6426, 63syld 47 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑟𝑅) → (∀𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥)(.r𝑆)𝑟) → 𝑟 = (1r𝑆)))
6564ancrd 552 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟𝑅) → (∀𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥)(.r𝑆)𝑟) → (𝑟 = (1r𝑆) ∧ ∀𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥)(.r𝑆)𝑟))))
6665reximdva 3165 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑟𝑅𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥)(.r𝑆)𝑟) → ∃𝑟𝑅 (𝑟 = (1r𝑆) ∧ ∀𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥)(.r𝑆)𝑟))))
6718, 66mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑟𝑅 (𝑟 = (1r𝑆) ∧ ∀𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥)(.r𝑆)𝑟)))
684, 42ringidcl 19989 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ Ring → (1r𝑆) ∈ 𝑅)
6950, 68syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (1r𝑆) ∈ 𝑅)
70 oveq2 7365 . . . . . . . . 9 (𝑟 = (1r𝑆) → ((𝐺𝑥)(.r𝑆)𝑟) = ((𝐺𝑥)(.r𝑆)(1r𝑆)))
7170eqeq2d 2747 . . . . . . . 8 (𝑟 = (1r𝑆) → ((𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥)(.r𝑆)𝑟) ↔ (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥)(.r𝑆)(1r𝑆))))
7271ralbidv 3174 . . . . . . 7 (𝑟 = (1r𝑆) → (∀𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥)(.r𝑆)𝑟) ↔ ∀𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥)(.r𝑆)(1r𝑆))))
7372ceqsrexv 3605 . . . . . 6 ((1r𝑆) ∈ 𝑅 → (∃𝑟𝑅 (𝑟 = (1r𝑆) ∧ ∀𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥)(.r𝑆)𝑟)) ↔ ∀𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥)(.r𝑆)(1r𝑆))))
7469, 73syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑟𝑅 (𝑟 = (1r𝑆) ∧ ∀𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥)(.r𝑆)𝑟)) ↔ ∀𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥)(.r𝑆)(1r𝑆))))
7567, 74mpbid 231 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥)(.r𝑆)(1r𝑆)))
7675r19.21bi 3234 . . 3 ((𝜑𝑥𝑉) → (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥)(.r𝑆)(1r𝑆)))
7748adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
7877, 49syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉) → 𝑆 ∈ Ring)
791adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
802adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉) → 𝐺𝐹)
81 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉) → 𝑥𝑉)
823, 4, 5, 6lflcl 37526 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝑥𝑉) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑅)
8379, 80, 81, 82syl3anc 1371 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑅)
844, 15, 42ringridm 19993 . . . 4 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝑅) → ((𝐺𝑥)(.r𝑆)(1r𝑆)) = (𝐺𝑥))
8578, 83, 84syl2anc 584 . . 3 ((𝜑𝑥𝑉) → ((𝐺𝑥)(.r𝑆)(1r𝑆)) = (𝐺𝑥))
8676, 85eqtr2d 2777 . 2 ((𝜑𝑥𝑉) → (𝐺𝑥) = (𝐻𝑥))
879, 13, 86eqfnfvd 6985 1 (𝜑𝐺 = 𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  .rcmulr 17134  Scalarcsca 17136  0gc0g 17321  1rcur 19913  Ringcrg 19964  invrcinvr 20100  DivRingcdr 20185  LModclmod 20322  LVecclvec 20563  LFnlclfn 37519  LKerclk 37547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-drng 20187  df-lmod 20324  df-lvec 20564  df-lfl 37520  df-lkr 37548
This theorem is referenced by:  lcfl6lem  39961
  Copyright terms: Public domain W3C validator