Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eqlkr3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem eqlkr3 38475
Description: Two functionals with the same kernel are equal if they are equal at any nonzero value. (Contributed by NM, 2-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eqlkr3.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
eqlkr3.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘Š)
eqlkr3.r 𝑅 = (Baseβ€˜π‘†)
eqlkr3.o 0 = (0gβ€˜π‘†)
eqlkr3.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
eqlkr3.k 𝐾 = (LKerβ€˜π‘Š)
eqlkr3.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
eqlkr3.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
eqlkr3.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
eqlkr3.h (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝐹)
eqlkr3.e (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜πΊ) = (πΎβ€˜π»))
eqlkr3.a (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹) = (π»β€˜π‘‹))
eqlkr3.n (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 )
Assertion
Ref Expression
eqlkr3 (πœ‘ β†’ 𝐺 = 𝐻)
Proof of Theorem eqlkr3
Dummy variables π‘₯ π‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqlkr3.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
2 eqlkr3.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
3 eqlkr3.s . . . . 5 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘Š)
4 eqlkr3.r . . . . 5 𝑅 = (Baseβ€˜π‘†)
5 eqlkr3.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
6 eqlkr3.f . . . . 5 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
73, 4, 5, 6lflf 38437 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ 𝐺:π‘‰βŸΆπ‘…)
81, 2, 7syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘‰βŸΆπ‘…)
98ffnd 6709 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn 𝑉)
10 eqlkr3.h . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝐹)
113, 4, 5, 6lflf 38437 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) β†’ 𝐻:π‘‰βŸΆπ‘…)
121, 10, 11syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻:π‘‰βŸΆπ‘…)
1312ffnd 6709 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻 Fn 𝑉)
14 eqlkr3.e . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜πΊ) = (πΎβ€˜π»))
15 eqid 2724 . . . . . . . 8 (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜π‘†)
16 eqlkr3.k . . . . . . . 8 𝐾 = (LKerβ€˜π‘Š)
173, 4, 15, 5, 6, 16eqlkr 38473 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΎβ€˜πΊ) = (πΎβ€˜π»)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ))
181, 2, 10, 14, 17syl121anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ))
19 eqlkr3.x . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
2019adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
21 fveq2 6882 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π»β€˜π‘₯) = (π»β€˜π‘‹))
22 fveq2 6882 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘‹))
2322oveq1d 7417 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ) = ((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ))
2421, 23eqeq12d 2740 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ) ↔ (π»β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)))
2524rspcv 3600 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ) β†’ (π»β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)))
2620, 25syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ) β†’ (π»β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)))
27 eqlkr3.a . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹) = (π»β€˜π‘‹))
2827adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ (πΊβ€˜π‘‹) = (π»β€˜π‘‹))
2928adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) ∧ (π»β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)) β†’ (πΊβ€˜π‘‹) = (π»β€˜π‘‹))
30 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) ∧ (π»β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)) β†’ (π»β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ))
3129, 30eqtr2d 2765 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) ∧ (π»β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)) β†’ ((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ) = (πΊβ€˜π‘‹))
3231oveq2d 7418 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) ∧ (π»β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)) β†’ (((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π‘†)((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)) = (((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π‘†)(πΊβ€˜π‘‹)))
333lvecdrng 20949 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Š ∈ LVec β†’ 𝑆 ∈ DivRing)
341, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ DivRing)
3534adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ 𝑆 ∈ DivRing)
363, 4, 5, 6lflcl 38438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ 𝑅)
371, 2, 19, 36syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ 𝑅)
3837adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ 𝑅)
39 eqlkr3.n . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 )
4039adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 )
41 eqlkr3.o . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 = (0gβ€˜π‘†)
42 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1rβ€˜π‘†) = (1rβ€˜π‘†)
43 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (invrβ€˜π‘†) = (invrβ€˜π‘†)
444, 41, 15, 42, 43drnginvrl 20608 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 ∈ DivRing ∧ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ 𝑅 ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) β†’ (((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π‘†)(πΊβ€˜π‘‹)) = (1rβ€˜π‘†))
4535, 38, 40, 44syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ (((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π‘†)(πΊβ€˜π‘‹)) = (1rβ€˜π‘†))
4645oveq1d 7417 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ ((((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π‘†)(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ) = ((1rβ€˜π‘†)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ))
47 lveclmod 20950 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
481, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
493lmodring 20710 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑆 ∈ Ring)
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Ring)
5150adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
524, 41, 43drnginvrcl 20605 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 ∈ DivRing ∧ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ 𝑅 ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) β†’ ((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)) ∈ 𝑅)
5335, 38, 40, 52syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ ((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)) ∈ 𝑅)
54 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝑅)
554, 15ringass 20154 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)) ∈ 𝑅 ∧ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ 𝑅 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅)) β†’ ((((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π‘†)(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ) = (((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π‘†)((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)))
5651, 53, 38, 54, 55syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ ((((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π‘†)(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ) = (((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π‘†)((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)))
574, 15, 42ringlidm 20164 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ Ring ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ ((1rβ€˜π‘†)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ) = π‘Ÿ)
5851, 54, 57syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ ((1rβ€˜π‘†)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ) = π‘Ÿ)
5946, 56, 583eqtr3d 2772 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ (((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π‘†)((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)) = π‘Ÿ)
6059adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) ∧ (π»β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)) β†’ (((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π‘†)((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)) = π‘Ÿ)
6145adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) ∧ (π»β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)) β†’ (((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π‘†)(πΊβ€˜π‘‹)) = (1rβ€˜π‘†))
6232, 60, 613eqtr3d 2772 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) ∧ (π»β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)) β†’ π‘Ÿ = (1rβ€˜π‘†))
6362ex 412 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ ((π»β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ) β†’ π‘Ÿ = (1rβ€˜π‘†)))
6426, 63syld 47 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ) β†’ π‘Ÿ = (1rβ€˜π‘†)))
6564ancrd 551 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ) β†’ (π‘Ÿ = (1rβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ))))
6665reximdva 3160 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 (π‘Ÿ = (1rβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ))))
6718, 66mpd 15 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 (π‘Ÿ = (1rβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)))
684, 42ringidcl 20161 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘†) ∈ 𝑅)
6950, 68syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘†) ∈ 𝑅)
70 oveq2 7410 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ = (1rβ€˜π‘†) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)(1rβ€˜π‘†)))
7170eqeq2d 2735 . . . . . . . 8 (π‘Ÿ = (1rβ€˜π‘†) β†’ ((π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ) ↔ (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)(1rβ€˜π‘†))))
7271ralbidv 3169 . . . . . . 7 (π‘Ÿ = (1rβ€˜π‘†) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)(1rβ€˜π‘†))))
7372ceqsrexv 3636 . . . . . 6 ((1rβ€˜π‘†) ∈ 𝑅 β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 (π‘Ÿ = (1rβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)(1rβ€˜π‘†))))
7469, 73syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 (π‘Ÿ = (1rβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)(1rβ€˜π‘†))))
7567, 74mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)(1rβ€˜π‘†)))
7675r19.21bi 3240 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)(1rβ€˜π‘†)))
7748adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ LMod)
7877, 49syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
791adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ LVec)
802adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
81 simpr 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ π‘₯ ∈ 𝑉)
823, 4, 5, 6lflcl 38438 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ 𝑅)
8379, 80, 81, 82syl3anc 1368 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ 𝑅)
844, 15, 42ringridm 20165 . . . 4 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ 𝑅) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)(1rβ€˜π‘†)) = (πΊβ€˜π‘₯))
8578, 83, 84syl2anc 583 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)(1rβ€˜π‘†)) = (πΊβ€˜π‘₯))
8676, 85eqtr2d 2765 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (π»β€˜π‘₯))
879, 13, 86eqfnfvd 7026 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 = 𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  βˆ€wral 3053  βˆƒwrex 3062  βŸΆwf 6530  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17149  .rcmulr 17203  Scalarcsca 17205  0gc0g 17390  1rcur 20082  Ringcrg 20134  invrcinvr 20285  DivRingcdr 20583  LModclmod 20702  LVecclvec 20946  LFnlclfn 38431  LKerclk 38459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-0g 17392  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-sbg 18864  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286  df-drng 20585  df-lmod 20704  df-lvec 20947  df-lfl 38432  df-lkr 38460
This theorem is referenced by:  lcfl6lem  40873
  Copyright terms: Public domain W3C validator