Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eqlkr3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eqlkr3 37613
Description: Two functionals with the same kernel are equal if they are equal at any nonzero value. (Contributed by NM, 2-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eqlkr3.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
eqlkr3.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘Š)
eqlkr3.r 𝑅 = (Baseβ€˜π‘†)
eqlkr3.o 0 = (0gβ€˜π‘†)
eqlkr3.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
eqlkr3.k 𝐾 = (LKerβ€˜π‘Š)
eqlkr3.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
eqlkr3.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
eqlkr3.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
eqlkr3.h (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝐹)
eqlkr3.e (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜πΊ) = (πΎβ€˜π»))
eqlkr3.a (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹) = (π»β€˜π‘‹))
eqlkr3.n (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 )
Assertion
Ref Expression
eqlkr3 (πœ‘ β†’ 𝐺 = 𝐻)

Proof of Theorem eqlkr3
Dummy variables π‘₯ π‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqlkr3.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
2 eqlkr3.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
3 eqlkr3.s . . . . 5 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘Š)
4 eqlkr3.r . . . . 5 𝑅 = (Baseβ€˜π‘†)
5 eqlkr3.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
6 eqlkr3.f . . . . 5 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
73, 4, 5, 6lflf 37575 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ 𝐺:π‘‰βŸΆπ‘…)
81, 2, 7syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘‰βŸΆπ‘…)
98ffnd 6673 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn 𝑉)
10 eqlkr3.h . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝐹)
113, 4, 5, 6lflf 37575 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) β†’ 𝐻:π‘‰βŸΆπ‘…)
121, 10, 11syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻:π‘‰βŸΆπ‘…)
1312ffnd 6673 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻 Fn 𝑉)
14 eqlkr3.e . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜πΊ) = (πΎβ€˜π»))
15 eqid 2733 . . . . . . . 8 (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜π‘†)
16 eqlkr3.k . . . . . . . 8 𝐾 = (LKerβ€˜π‘Š)
173, 4, 15, 5, 6, 16eqlkr 37611 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΎβ€˜πΊ) = (πΎβ€˜π»)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ))
181, 2, 10, 14, 17syl121anc 1376 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ))
19 eqlkr3.x . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
2019adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
21 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π»β€˜π‘₯) = (π»β€˜π‘‹))
22 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘‹))
2322oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ) = ((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ))
2421, 23eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ) ↔ (π»β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)))
2524rspcv 3579 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ) β†’ (π»β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)))
2620, 25syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ) β†’ (π»β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)))
27 eqlkr3.a . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹) = (π»β€˜π‘‹))
2827adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ (πΊβ€˜π‘‹) = (π»β€˜π‘‹))
2928adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) ∧ (π»β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)) β†’ (πΊβ€˜π‘‹) = (π»β€˜π‘‹))
30 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) ∧ (π»β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)) β†’ (π»β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ))
3129, 30eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) ∧ (π»β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)) β†’ ((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ) = (πΊβ€˜π‘‹))
3231oveq2d 7377 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) ∧ (π»β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)) β†’ (((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π‘†)((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)) = (((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π‘†)(πΊβ€˜π‘‹)))
333lvecdrng 20610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Š ∈ LVec β†’ 𝑆 ∈ DivRing)
341, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ DivRing)
3534adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ 𝑆 ∈ DivRing)
363, 4, 5, 6lflcl 37576 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ 𝑅)
371, 2, 19, 36syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ 𝑅)
3837adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ 𝑅)
39 eqlkr3.n . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 )
4039adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 )
41 eqlkr3.o . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 = (0gβ€˜π‘†)
42 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1rβ€˜π‘†) = (1rβ€˜π‘†)
43 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (invrβ€˜π‘†) = (invrβ€˜π‘†)
444, 41, 15, 42, 43drnginvrl 20243 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 ∈ DivRing ∧ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ 𝑅 ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) β†’ (((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π‘†)(πΊβ€˜π‘‹)) = (1rβ€˜π‘†))
4535, 38, 40, 44syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ (((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π‘†)(πΊβ€˜π‘‹)) = (1rβ€˜π‘†))
4645oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ ((((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π‘†)(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ) = ((1rβ€˜π‘†)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ))
47 lveclmod 20611 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
481, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
493lmodring 20373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑆 ∈ Ring)
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Ring)
5150adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
524, 41, 43drnginvrcl 20240 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 ∈ DivRing ∧ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ 𝑅 ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) β†’ ((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)) ∈ 𝑅)
5335, 38, 40, 52syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ ((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)) ∈ 𝑅)
54 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝑅)
554, 15ringass 19992 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)) ∈ 𝑅 ∧ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ 𝑅 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅)) β†’ ((((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π‘†)(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ) = (((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π‘†)((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)))
5651, 53, 38, 54, 55syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ ((((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π‘†)(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ) = (((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π‘†)((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)))
574, 15, 42ringlidm 20000 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ Ring ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ ((1rβ€˜π‘†)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ) = π‘Ÿ)
5851, 54, 57syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ ((1rβ€˜π‘†)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ) = π‘Ÿ)
5946, 56, 583eqtr3d 2781 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ (((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π‘†)((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)) = π‘Ÿ)
6059adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) ∧ (π»β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)) β†’ (((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π‘†)((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)) = π‘Ÿ)
6145adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) ∧ (π»β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)) β†’ (((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π‘†)(πΊβ€˜π‘‹)) = (1rβ€˜π‘†))
6232, 60, 613eqtr3d 2781 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) ∧ (π»β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)) β†’ π‘Ÿ = (1rβ€˜π‘†))
6362ex 414 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ ((π»β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ) β†’ π‘Ÿ = (1rβ€˜π‘†)))
6426, 63syld 47 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ) β†’ π‘Ÿ = (1rβ€˜π‘†)))
6564ancrd 553 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ) β†’ (π‘Ÿ = (1rβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ))))
6665reximdva 3162 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 (π‘Ÿ = (1rβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ))))
6718, 66mpd 15 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 (π‘Ÿ = (1rβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)))
684, 42ringidcl 19997 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘†) ∈ 𝑅)
6950, 68syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘†) ∈ 𝑅)
70 oveq2 7369 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ = (1rβ€˜π‘†) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)(1rβ€˜π‘†)))
7170eqeq2d 2744 . . . . . . . 8 (π‘Ÿ = (1rβ€˜π‘†) β†’ ((π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ) ↔ (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)(1rβ€˜π‘†))))
7271ralbidv 3171 . . . . . . 7 (π‘Ÿ = (1rβ€˜π‘†) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)(1rβ€˜π‘†))))
7372ceqsrexv 3609 . . . . . 6 ((1rβ€˜π‘†) ∈ 𝑅 β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 (π‘Ÿ = (1rβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)(1rβ€˜π‘†))))
7469, 73syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 (π‘Ÿ = (1rβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)π‘Ÿ)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)(1rβ€˜π‘†))))
7567, 74mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)(1rβ€˜π‘†)))
7675r19.21bi 3233 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)(1rβ€˜π‘†)))
7748adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ LMod)
7877, 49syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
791adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ LVec)
802adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
81 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ π‘₯ ∈ 𝑉)
823, 4, 5, 6lflcl 37576 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ 𝑅)
8379, 80, 81, 82syl3anc 1372 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ 𝑅)
844, 15, 42ringridm 20001 . . . 4 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ 𝑅) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)(1rβ€˜π‘†)) = (πΊβ€˜π‘₯))
8578, 83, 84syl2anc 585 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘†)(1rβ€˜π‘†)) = (πΊβ€˜π‘₯))
8676, 85eqtr2d 2774 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (π»β€˜π‘₯))
879, 13, 86eqfnfvd 6989 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 = 𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  .rcmulr 17142  Scalarcsca 17144  0gc0g 17329  1rcur 19921  Ringcrg 19972  invrcinvr 20108  DivRingcdr 20219  LModclmod 20365  LVecclvec 20607  LFnlclfn 37569  LKerclk 37597
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-drng 20221  df-lmod 20367  df-lvec 20608  df-lfl 37570  df-lkr 37598
This theorem is referenced by:  lcfl6lem  40011
  Copyright terms: Public domain W3C validator