Theorem eqlkr3 39371

Description: Two functionals with the same kernel are equal if they are equal at any nonzero value. (Contributed by NM, 2-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqlkr3.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
eqlkr3.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
eqlkr3.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
eqlkr3.o	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
eqlkr3.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
eqlkr3.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
eqlkr3.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
eqlkr3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
eqlkr3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
eqlkr3.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
eqlkr3.e	⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻))
eqlkr3.a	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) = (𝐻‘𝑋))
eqlkr3.n	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
eqlkr3	⊢ (𝜑 → 𝐺 = 𝐻)

Proof of Theorem eqlkr3

Dummy variables 𝑥 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqlkr3.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		eqlkr3.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
3		eqlkr3.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
4		eqlkr3.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
5		eqlkr3.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
6		eqlkr3.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
7	3, 4, 5, 6	lflf 39333	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:𝑉⟶𝑅)
8	1, 2, 7	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑉⟶𝑅)
9	8	ffnd 6663	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝑉)
10		eqlkr3.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
11	3, 4, 5, 6	lflf 39333	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) → 𝐻:𝑉⟶𝑅)
12	1, 10, 11	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝑉⟶𝑅)
13	12	ffnd 6663	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn 𝑉)
14		eqlkr3.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻))
15		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
16		eqlkr3.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
17	3, 4, 15, 5, 6, 16	eqlkr 39369	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻)) → ∃𝑟 ∈ 𝑅 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟))
18	1, 2, 10, 14, 17	syl121anc 1377	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ 𝑅 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟))
19		eqlkr3.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
20	19	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → 𝑋 ∈ 𝑉)
21		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐻‘𝑥) = (𝐻‘𝑋))
22		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑋))
23	22	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟))
24	21, 23	eqeq12d 2752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟) ↔ (𝐻‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)))
25	24	rspcv 3572	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟) → (𝐻‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)))
26	20, 25	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟) → (𝐻‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)))
27		eqlkr3.a	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) = (𝐻‘𝑋))
28	27	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → (𝐺‘𝑋) = (𝐻‘𝑋))
29	28	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) ∧ (𝐻‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)) → (𝐺‘𝑋) = (𝐻‘𝑋))
30		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) ∧ (𝐻‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)) → (𝐻‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟))
31	29, 30	eqtr2d 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) ∧ (𝐻‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)) → ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟) = (𝐺‘𝑋))
32	31	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) ∧ (𝐻‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)) → (((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)) = (((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)(𝐺‘𝑋)))
33	3	lvecdrng 21057	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑆 ∈ DivRing)
34	1, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ DivRing)
35	34	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → 𝑆 ∈ DivRing)
36	3, 4, 5, 6	lflcl 39334	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑋) ∈ 𝑅)
37	1, 2, 19, 36	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ∈ 𝑅)
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → (𝐺‘𝑋) ∈ 𝑅)
39		eqlkr3.n	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ≠ 0 )
40	39	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → (𝐺‘𝑋) ≠ 0 )
41		eqlkr3.o	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
42		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
43		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (invr‘𝑆) = (invr‘𝑆)
44	4, 41, 15, 42, 43	drnginvrl 20689	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆 ∈ DivRing ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ 𝑅 ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) → (((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)(𝐺‘𝑋)) = (1r‘𝑆))
45	35, 38, 40, 44	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → (((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)(𝐺‘𝑋)) = (1r‘𝑆))
46	45	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → ((((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)𝑟) = ((1r‘𝑆)(.r‘𝑆)𝑟))
47		lveclmod 21058	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
48	1, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
49	3	lmodring 20819	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Ring)
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
51	50	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → 𝑆 ∈ Ring)
52	4, 41, 43	drnginvrcl 20686	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆 ∈ DivRing ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ 𝑅 ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) → ((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋)) ∈ 𝑅)
53	35, 38, 40, 52	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → ((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋)) ∈ 𝑅)
54		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → 𝑟 ∈ 𝑅)
55	4, 15	ringass 20188	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋)) ∈ 𝑅 ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ 𝑅 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅)) → ((((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)𝑟) = (((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)))
56	51, 53, 38, 54, 55	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → ((((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)𝑟) = (((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)))
57	4, 15, 42	ringlidm 20204	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → ((1r‘𝑆)(.r‘𝑆)𝑟) = 𝑟)
58	51, 54, 57	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → ((1r‘𝑆)(.r‘𝑆)𝑟) = 𝑟)
59	46, 56, 58	3eqtr3d 2779	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → (((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)) = 𝑟)
60	59	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) ∧ (𝐻‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)) → (((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)) = 𝑟)
61	45	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) ∧ (𝐻‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)) → (((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)(𝐺‘𝑋)) = (1r‘𝑆))
62	32, 60, 61	3eqtr3d 2779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) ∧ (𝐻‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)) → 𝑟 = (1r‘𝑆))
63	62	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → ((𝐻‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟) → 𝑟 = (1r‘𝑆)))
64	26, 63	syld 47	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟) → 𝑟 = (1r‘𝑆)))
65	64	ancrd 551	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟) → (𝑟 = (1r‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟))))
66	65	reximdva 3149	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑟 ∈ 𝑅 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟) → ∃𝑟 ∈ 𝑅 (𝑟 = (1r‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟))))
67	18, 66	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ 𝑅 (𝑟 = (1r‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟)))
68	4, 42	ringidcl 20200	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (1r‘𝑆) ∈ 𝑅)
69	50, 68	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ∈ 𝑅)
70		oveq2 7366	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = (1r‘𝑆) → ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)(1r‘𝑆)))
71	70	eqeq2d 2747	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = (1r‘𝑆) → ((𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟) ↔ (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)(1r‘𝑆))))
72	71	ralbidv 3159	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = (1r‘𝑆) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)(1r‘𝑆))))
73	72	ceqsrexv 3609	. . . . . 6 ⊢ ((1r‘𝑆) ∈ 𝑅 → (∃𝑟 ∈ 𝑅 (𝑟 = (1r‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)(1r‘𝑆))))
74	69, 73	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑟 ∈ 𝑅 (𝑟 = (1r‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)(1r‘𝑆))))
75	67, 74	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)(1r‘𝑆)))
76	75	r19.21bi 3228	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)(1r‘𝑆)))
77	48	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
78	77, 49	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑆 ∈ Ring)
79	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
80	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ 𝐹)
81		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑥 ∈ 𝑉)
82	3, 4, 5, 6	lflcl 39334	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑅)
83	79, 80, 81, 82	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑅)
84	4, 15, 42	ringridm 20205	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑅) → ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)(1r‘𝑆)) = (𝐺‘𝑥))
85	78, 83, 84	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)(1r‘𝑆)) = (𝐺‘𝑥))
86	76, 85	eqtr2d 2772	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑥) = (𝐻‘𝑥))
87	9, 13, 86	eqfnfvd 6979	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = 𝐻)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  ._rcmulr 17178  Scalarcsca 17180  0_gc0g 17359  1_rcur 20116  Ringcrg 20168  inv_rcinvr 20323  DivRingcdr 20662  LModclmod 20811  LVecclvec 21054  LFnlclfn 39327  LKerclk 39355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-oppr 20273  df-dvdsr 20293  df-unit 20294  df-invr 20324  df-drng 20664  df-lmod 20813  df-lvec 21055  df-lfl 39328  df-lkr 39356

This theorem is referenced by:  lcfl6lem  41768