Theorem eqlkr3 40424

Description: Two functionals with the same kernel are equal if they are equal at any nonzero value. (Contributed by NM, 2-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqlkr3.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
eqlkr3.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
eqlkr3.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
eqlkr3.o	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
eqlkr3.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
eqlkr3.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
eqlkr3.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
eqlkr3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
eqlkr3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
eqlkr3.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
eqlkr3.e	⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻))
eqlkr3.a	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) = (𝐻‘𝑋))
eqlkr3.n	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
eqlkr3	⊢ (𝜑 → 𝐺 = 𝐻)

Proof of Theorem eqlkr3

Dummy variables 𝑥 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqlkr3.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		eqlkr3.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
3		eqlkr3.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
4		eqlkr3.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
5		eqlkr3.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
6		eqlkr3.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
7	3, 4, 5, 6	lflf 40386	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:𝑉⟶𝑅)
8	1, 2, 7	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑉⟶𝑅)
9	8	ffnd 6740	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝑉)
10		eqlkr3.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
11	3, 4, 5, 6	lflf 40386	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) → 𝐻:𝑉⟶𝑅)
12	1, 10, 11	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝑉⟶𝑅)
13	12	ffnd 6740	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn 𝑉)
14		eqlkr3.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻))
15		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
16		eqlkr3.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
17	3, 4, 15, 5, 6, 16	eqlkr 40422	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻)) → ∃𝑟 ∈ 𝑅 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟))
18	1, 2, 10, 14, 17	syl121anc 1403	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ 𝑅 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟))
19		eqlkr3.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
20	19	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → 𝑋 ∈ 𝑉)
21		fveq2 6916	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐻‘𝑥) = (𝐻‘𝑋))
22		fveq2 6916	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑋))
23	22	oveq1d 7466	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟))
24	21, 23	eqeq12d 2779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟) ↔ (𝐻‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)))
25	24	rspcv 3576	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟) → (𝐻‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)))
26	20, 25	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟) → (𝐻‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)))
27		eqlkr3.a	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) = (𝐻‘𝑋))
28	27	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → (𝐺‘𝑋) = (𝐻‘𝑋))
29	28	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) ∧ (𝐻‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)) → (𝐺‘𝑋) = (𝐻‘𝑋))
30		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) ∧ (𝐻‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)) → (𝐻‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟))
31	29, 30	eqtr2d 2799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) ∧ (𝐻‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)) → ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟) = (𝐺‘𝑋))
32	31	oveq2d 7467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) ∧ (𝐻‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)) → (((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)) = (((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)(𝐺‘𝑋)))
33	3	lvecdrng 21431	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑆 ∈ DivRing)
34	1, 33	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ DivRing)
35	34	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → 𝑆 ∈ DivRing)
36	3, 4, 5, 6	lflcl 40387	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑋) ∈ 𝑅)
37	1, 2, 19, 36	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ∈ 𝑅)
38	37	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → (𝐺‘𝑋) ∈ 𝑅)
39		eqlkr3.n	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ≠ 0 )
40	39	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → (𝐺‘𝑋) ≠ 0 )
41		eqlkr3.o	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
42		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
43		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (invr‘𝑆) = (invr‘𝑆)
44	4, 41, 15, 42, 43	drnginvrl 21065	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆 ∈ DivRing ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ 𝑅 ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) → (((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)(𝐺‘𝑋)) = (1r‘𝑆))
45	35, 38, 40, 44	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → (((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)(𝐺‘𝑋)) = (1r‘𝑆))
46	45	oveq1d 7466	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → ((((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)𝑟) = ((1r‘𝑆)(.r‘𝑆)𝑟))
47		lveclmod 21432	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
48	1, 47	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
49	3	lmodring 21194	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Ring)
50	48, 49	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
51	50	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → 𝑆 ∈ Ring)
52	4, 41, 43	drnginvrcl 21062	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆 ∈ DivRing ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ 𝑅 ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) → ((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋)) ∈ 𝑅)
53	35, 38, 40, 52	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → ((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋)) ∈ 𝑅)
54		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → 𝑟 ∈ 𝑅)
55	4, 15	ringass 20531	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋)) ∈ 𝑅 ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ 𝑅 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅)) → ((((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)𝑟) = (((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)))
56	51, 53, 38, 54, 55	syl13anc 1400	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → ((((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)𝑟) = (((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)))
57	4, 15, 42	ringlidm 20549	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → ((1r‘𝑆)(.r‘𝑆)𝑟) = 𝑟)
58	51, 54, 57	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → ((1r‘𝑆)(.r‘𝑆)𝑟) = 𝑟)
59	46, 56, 58	3eqtr3d 2806	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → (((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)) = 𝑟)
60	59	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) ∧ (𝐻‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)) → (((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)) = 𝑟)
61	45	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) ∧ (𝐻‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)) → (((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)(𝐺‘𝑋)) = (1r‘𝑆))
62	32, 60, 61	3eqtr3d 2806	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) ∧ (𝐻‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)) → 𝑟 = (1r‘𝑆))
63	62	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → ((𝐻‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟) → 𝑟 = (1r‘𝑆)))
64	26, 63	syld 48	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟) → 𝑟 = (1r‘𝑆)))
65	64	ancrd 561	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟) → (𝑟 = (1r‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟))))
66	65	reximdva 3179	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑟 ∈ 𝑅 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟) → ∃𝑟 ∈ 𝑅 (𝑟 = (1r‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟))))
67	18, 66	mpd 16	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ 𝑅 (𝑟 = (1r‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟)))
68	4, 42	ringidcl 20545	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (1r‘𝑆) ∈ 𝑅)
69	50, 68	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ∈ 𝑅)
70		oveq2 7459	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = (1r‘𝑆) → ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)(1r‘𝑆)))
71	70	eqeq2d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = (1r‘𝑆) → ((𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟) ↔ (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)(1r‘𝑆))))
72	71	ralbidv 3189	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = (1r‘𝑆) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)(1r‘𝑆))))
73	72	ceqsrexv 3612	. . . . . 6 ⊢ ((1r‘𝑆) ∈ 𝑅 → (∃𝑟 ∈ 𝑅 (𝑟 = (1r‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)(1r‘𝑆))))
74	69, 73	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑟 ∈ 𝑅 (𝑟 = (1r‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)(1r‘𝑆))))
75	67, 74	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)(1r‘𝑆)))
76	75	r19.21bi 3258	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)(1r‘𝑆)))
77	48	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
78	77, 49	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑆 ∈ Ring)
79	1	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
80	2	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ 𝐹)
81		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑥 ∈ 𝑉)
82	3, 4, 5, 6	lflcl 40387	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑅)
83	79, 80, 81, 82	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑅)
84	4, 15, 42	ringridm 20550	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑅) → ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)(1r‘𝑆)) = (𝐺‘𝑥))
85	78, 83, 84	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)(1r‘𝑆)) = (𝐺‘𝑥))
86	76, 85	eqtr2d 2799	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑥) = (𝐻‘𝑥))
87	9, 13, 86	eqfnfvd 7063	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = 𝐻)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Basecbs 17431  ._rcmulr 17473  Scalarcsca 17475  0_gc0g 17660  1_rcur 20458  Ringcrg 20510  inv_rcinvr 20668  DivRingcdr 21031  LModclmod 21186  LVecclvec 21428  LFnlclfn 40380  LKerclk 40408

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-tpos 8281  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-0g 17662  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-ring 20512  df-oppr 20618  df-dvdsr 20638  df-unit 20639  df-invr 20669  df-drng 21033  df-lmod 21188  df-lvec 21429  df-lfl 40381  df-lkr 40409

This theorem is used by:  lcfl6lem  42821