Theorem eqlkr3 39875

Description: Two functionals with the same kernel are equal if they are equal at any nonzero value. (Contributed by NM, 2-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqlkr3.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
eqlkr3.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
eqlkr3.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
eqlkr3.o	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
eqlkr3.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
eqlkr3.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
eqlkr3.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
eqlkr3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
eqlkr3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
eqlkr3.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
eqlkr3.e	⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻))
eqlkr3.a	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) = (𝐻‘𝑋))
eqlkr3.n	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
eqlkr3	⊢ (𝜑 → 𝐺 = 𝐻)

Proof of Theorem eqlkr3

Dummy variables 𝑥 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqlkr3.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		eqlkr3.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
3		eqlkr3.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
4		eqlkr3.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
5		eqlkr3.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
6		eqlkr3.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
7	3, 4, 5, 6	lflf 39837	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:𝑉⟶𝑅)
8	1, 2, 7	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑉⟶𝑅)
9	8	ffnd 6706	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝑉)
10		eqlkr3.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
11	3, 4, 5, 6	lflf 39837	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) → 𝐻:𝑉⟶𝑅)
12	1, 10, 11	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝑉⟶𝑅)
13	12	ffnd 6706	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn 𝑉)
14		eqlkr3.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻))
15		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
16		eqlkr3.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
17	3, 4, 15, 5, 6, 16	eqlkr 39873	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻)) → ∃𝑟 ∈ 𝑅 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟))
18	1, 2, 10, 14, 17	syl121anc 1402	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ 𝑅 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟))
19		eqlkr3.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
20	19	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → 𝑋 ∈ 𝑉)
21		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐻‘𝑥) = (𝐻‘𝑋))
22		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑋))
23	22	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟))
24	21, 23	eqeq12d 2779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟) ↔ (𝐻‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)))
25	24	rspcv 3577	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟) → (𝐻‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)))
26	20, 25	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟) → (𝐻‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)))
27		eqlkr3.a	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) = (𝐻‘𝑋))
28	27	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → (𝐺‘𝑋) = (𝐻‘𝑋))
29	28	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) ∧ (𝐻‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)) → (𝐺‘𝑋) = (𝐻‘𝑋))
30		simpr 489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) ∧ (𝐻‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)) → (𝐻‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟))
31	29, 30	eqtr2d 2799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) ∧ (𝐻‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)) → ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟) = (𝐺‘𝑋))
32	31	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) ∧ (𝐻‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)) → (((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)) = (((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)(𝐺‘𝑋)))
33	3	lvecdrng 21226	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑆 ∈ DivRing)
34	1, 33	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ DivRing)
35	34	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → 𝑆 ∈ DivRing)
36	3, 4, 5, 6	lflcl 39838	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑋) ∈ 𝑅)
37	1, 2, 19, 36	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ∈ 𝑅)
38	37	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → (𝐺‘𝑋) ∈ 𝑅)
39		eqlkr3.n	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ≠ 0 )
40	39	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → (𝐺‘𝑋) ≠ 0 )
41		eqlkr3.o	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
42		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
43		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (invr‘𝑆) = (invr‘𝑆)
44	4, 41, 15, 42, 43	drnginvrl 20860	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆 ∈ DivRing ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ 𝑅 ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) → (((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)(𝐺‘𝑋)) = (1r‘𝑆))
45	35, 38, 40, 44	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → (((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)(𝐺‘𝑋)) = (1r‘𝑆))
46	45	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → ((((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)𝑟) = ((1r‘𝑆)(.r‘𝑆)𝑟))
47		lveclmod 21227	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
48	1, 47	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
49	3	lmodring 20989	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Ring)
50	48, 49	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
51	50	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → 𝑆 ∈ Ring)
52	4, 41, 43	drnginvrcl 20857	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆 ∈ DivRing ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ 𝑅 ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) → ((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋)) ∈ 𝑅)
53	35, 38, 40, 52	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → ((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋)) ∈ 𝑅)
54		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → 𝑟 ∈ 𝑅)
55	4, 15	ringass 20330	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋)) ∈ 𝑅 ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ 𝑅 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅)) → ((((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)𝑟) = (((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)))
56	51, 53, 38, 54, 55	syl13anc 1399	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → ((((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)𝑟) = (((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)))
57	4, 15, 42	ringlidm 20348	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → ((1r‘𝑆)(.r‘𝑆)𝑟) = 𝑟)
58	51, 54, 57	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → ((1r‘𝑆)(.r‘𝑆)𝑟) = 𝑟)
59	46, 56, 58	3eqtr3d 2806	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → (((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)) = 𝑟)
60	59	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) ∧ (𝐻‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)) → (((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)) = 𝑟)
61	45	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) ∧ (𝐻‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)) → (((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)(𝐺‘𝑋)) = (1r‘𝑆))
62	32, 60, 61	3eqtr3d 2806	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) ∧ (𝐻‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)) → 𝑟 = (1r‘𝑆))
63	62	ex 417	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → ((𝐻‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟) → 𝑟 = (1r‘𝑆)))
64	26, 63	syld 48	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟) → 𝑟 = (1r‘𝑆)))
65	64	ancrd 560	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟) → (𝑟 = (1r‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟))))
66	65	reximdva 3178	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑟 ∈ 𝑅 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟) → ∃𝑟 ∈ 𝑅 (𝑟 = (1r‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟))))
67	18, 66	mpd 16	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ 𝑅 (𝑟 = (1r‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟)))
68	4, 42	ringidcl 20344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (1r‘𝑆) ∈ 𝑅)
69	50, 68	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ∈ 𝑅)
70		oveq2 7418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = (1r‘𝑆) → ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)(1r‘𝑆)))
71	70	eqeq2d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = (1r‘𝑆) → ((𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟) ↔ (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)(1r‘𝑆))))
72	71	ralbidv 3188	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = (1r‘𝑆) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)(1r‘𝑆))))
73	72	ceqsrexv 3614	. . . . . 6 ⊢ ((1r‘𝑆) ∈ 𝑅 → (∃𝑟 ∈ 𝑅 (𝑟 = (1r‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)(1r‘𝑆))))
74	69, 73	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑟 ∈ 𝑅 (𝑟 = (1r‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)(1r‘𝑆))))
75	67, 74	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)(1r‘𝑆)))
76	75	r19.21bi 3257	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)(1r‘𝑆)))
77	48	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
78	77, 49	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑆 ∈ Ring)
79	1	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
80	2	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ 𝐹)
81		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑥 ∈ 𝑉)
82	3, 4, 5, 6	lflcl 39838	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑅)
83	79, 80, 81, 82	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑅)
84	4, 15, 42	ringridm 20349	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑅) → ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)(1r‘𝑆)) = (𝐺‘𝑥))
85	78, 83, 84	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)(1r‘𝑆)) = (𝐺‘𝑥))
86	76, 85	eqtr2d 2799	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑥) = (𝐻‘𝑥))
87	9, 13, 86	eqfnfvd 7028	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = 𝐻)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17264  ._rcmulr 17306  Scalarcsca 17308  0_gc0g 17487  1_rcur 20258  Ringcrg 20310  inv_rcinvr 20465  DivRingcdr 20827  LModclmod 20981  LVecclvec 21223  LFnlclfn 39831  LKerclk 39859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-0g 17489  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-sbg 19000  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-rng 20226  df-ur 20259  df-ring 20312  df-oppr 20415  df-dvdsr 20435  df-unit 20436  df-invr 20466  df-drng 20829  df-lmod 20983  df-lvec 21224  df-lfl 39832  df-lkr 39860

This theorem is referenced by:  lcfl6lem  42272