Theorem lfl0sc 39587

Description: The (right vector space) scalar product of a functional with zero is the zero functional. Note that the first occurrence of (𝑉 × { 0 }) represents the zero scalar, and the second is the zero functional. (Contributed by NM, 7-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfl0sc.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lfl0sc.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lfl0sc.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lfl0sc.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
lfl0sc.t	⊢ · = (.r‘𝐷)
lfl0sc.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lfl0sc.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lfl0sc.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lfl0sc	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · (𝑉 × { 0 })) = (𝑉 × { 0 }))

Proof of Theorem lfl0sc

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lfl0sc.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2	1	fvexi 6844	. . 3 ⊢ 𝑉 ∈ V
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
4		lfl0sc.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5		lfl0sc.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
6		lfl0sc.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
7		lfl0sc.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
8		lfl0sc.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
9	6, 7, 1, 8	lflf 39568	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:𝑉⟶𝐾)
10	4, 5, 9	syl2anc 591	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑉⟶𝐾)
11	6	lmodring 20861	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Ring)
12	4, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Ring)
13		lfl0sc.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
14	7, 13	ring0cl 20242	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐾)
15	12, 14	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐾)
16		lfl0sc.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝐷)
17	7, 16, 13	ringrz 20269	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → (𝑘 · 0 ) = 0 )
18	12, 17	sylan 587	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → (𝑘 · 0 ) = 0 )
19	3, 10, 15, 15, 18	caofid1 7658	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · (𝑉 × { 0 })) = (𝑉 × { 0 }))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  Vcvv 3433  {csn 4557   × cxp 5618  ⟶wf 6484  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359   ∘_f cof 7621  Basecbs 17174  ._rcmulr 17216  Scalarcsca 17218  0_gc0g 17397  Ringcrg 20208  LModclmod 20853  LFnlclfn 39562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-of 7623  df-om 7810  df-2nd 7934  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-nn 12170  df-2 12239  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-plusg 17228  df-0g 17399  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-ring 20210  df-lmod 20855  df-lfl 39563

This theorem is referenced by:  lkrscss  39603  lfl1dim  39626  lfl1dim2N  39627