Theorem lfl0sc 39802

Description: The (right vector space) scalar product of a functional with zero is the zero functional. Note that the first occurrence of (𝑉 × { 0 }) represents the zero scalar, and the second is the zero functional. (Contributed by NM, 7-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfl0sc.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lfl0sc.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lfl0sc.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lfl0sc.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
lfl0sc.t	⊢ · = (.r‘𝐷)
lfl0sc.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lfl0sc.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lfl0sc.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lfl0sc	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · (𝑉 × { 0 })) = (𝑉 × { 0 }))

Proof of Theorem lfl0sc

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lfl0sc.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2	1	fvexi 6895	. . 3 ⊢ 𝑉 ∈ V
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
4		lfl0sc.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5		lfl0sc.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
6		lfl0sc.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
7		lfl0sc.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
8		lfl0sc.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
9	6, 7, 1, 8	lflf 39783	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:𝑉⟶𝐾)
10	4, 5, 9	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑉⟶𝐾)
11	6	lmodring 20968	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Ring)
12	4, 11	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Ring)
13		lfl0sc.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
14	7, 13	ring0cl 20349	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐾)
15	12, 14	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐾)
16		lfl0sc.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝐷)
17	7, 16, 13	ringrz 20376	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → (𝑘 · 0 ) = 0 )
18	12, 17	sylan 591	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → (𝑘 · 0 ) = 0 )
19	3, 10, 15, 15, 18	caofid1 7709	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · (𝑉 × { 0 })) = (𝑉 × { 0 }))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453  {csn 4588   × cxp 5659  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∘_f cof 7672  Basecbs 17268  ._rcmulr 17310  Scalarcsca 17312  0_gc0g 17491  Ringcrg 20314  LModclmod 20960  LFnlclfn 39777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-plusg 17322  df-0g 17493  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-ring 20316  df-lmod 20962  df-lfl 39778

This theorem is referenced by:  lkrscss  39818  lfl1dim  39841  lfl1dim2N  39842