Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfl0sc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lfl0sc 35158
 Description: The (right vector space) scalar product of a functional with zero is the zero functional. Note that the first occurrence of (𝑉 × { 0 }) represents the zero scalar, and the second is the zero functional. (Contributed by NM, 7-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lfl0sc.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lfl0sc.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lfl0sc.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lfl0sc.k 𝐾 = (Base‘𝐷)
lfl0sc.t · = (.r𝐷)
lfl0sc.o 0 = (0g𝐷)
lfl0sc.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lfl0sc.g (𝜑𝐺𝐹)
Assertion
Ref Expression
lfl0sc (𝜑 → (𝐺𝑓 · (𝑉 × { 0 })) = (𝑉 × { 0 }))

Proof of Theorem lfl0sc
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lfl0sc.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
21fvexi 6448 . . 3 𝑉 ∈ V
32a1i 11 . 2 (𝜑𝑉 ∈ V)
4 lfl0sc.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
5 lfl0sc.g . . 3 (𝜑𝐺𝐹)
6 lfl0sc.d . . . 4 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
7 lfl0sc.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝐷)
8 lfl0sc.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
96, 7, 1, 8lflf 35139 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → 𝐺:𝑉𝐾)
104, 5, 9syl2anc 581 . 2 (𝜑𝐺:𝑉𝐾)
116lmodring 19228 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Ring)
124, 11syl 17 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ Ring)
13 lfl0sc.o . . . 4 0 = (0g𝐷)
147, 13ring0cl 18924 . . 3 (𝐷 ∈ Ring → 0𝐾)
1512, 14syl 17 . 2 (𝜑0𝐾)
16 lfl0sc.t . . . 4 · = (.r𝐷)
177, 16, 13ringrz 18943 . . 3 ((𝐷 ∈ Ring ∧ 𝑘𝐾) → (𝑘 · 0 ) = 0 )
1812, 17sylan 577 . 2 ((𝜑𝑘𝐾) → (𝑘 · 0 ) = 0 )
193, 10, 15, 15, 18caofid1 7188 1 (𝜑 → (𝐺𝑓 · (𝑉 × { 0 })) = (𝑉 × { 0 }))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  Vcvv 3415  {csn 4398   × cxp 5341  ⟶wf 6120  ‘cfv 6124  (class class class)co 6906   ∘𝑓 cof 7156  Basecbs 16223  .rcmulr 16307  Scalarcsca 16309  0gc0g 16454  Ringcrg 18902  LModclmod 19220  LFnlclfn 35133 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-of 7158  df-om 7328  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-er 8010  df-map 8125  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-2 11415  df-ndx 16226  df-slot 16227  df-base 16229  df-sets 16230  df-plusg 16319  df-0g 16456  df-mgm 17596  df-sgrp 17638  df-mnd 17649  df-grp 17780  df-mgp 18845  df-ring 18904  df-lmod 19222  df-lfl 35134 This theorem is referenced by:  lkrscss  35174  lfl1dim  35197  lfl1dim2N  35198
 Copyright terms: Public domain W3C validator