Theorem lfl0sc 39942

Description: The (right vector space) scalar product of a functional with zero is the zero functional. Note that the first occurrence of (𝑉 × { 0 }) represents the zero scalar, and the second is the zero functional. (Contributed by NM, 7-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfl0sc.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lfl0sc.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lfl0sc.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lfl0sc.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
lfl0sc.t	⊢ · = (.r‘𝐷)
lfl0sc.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lfl0sc.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lfl0sc.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lfl0sc	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · (𝑉 × { 0 })) = (𝑉 × { 0 }))

Proof of Theorem lfl0sc

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lfl0sc.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2	1	fvexi 6896	. . 3 ⊢ 𝑉 ∈ V
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
4		lfl0sc.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5		lfl0sc.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
6		lfl0sc.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
7		lfl0sc.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
8		lfl0sc.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
9	6, 7, 1, 8	lflf 39923	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:𝑉⟶𝐾)
10	4, 5, 9	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑉⟶𝐾)
11	6	lmodring 21053	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Ring)
12	4, 11	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Ring)
13		lfl0sc.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
14	7, 13	ring0cl 20409	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐾)
15	12, 14	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐾)
16		lfl0sc.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝐷)
17	7, 16, 13	ringrz 20437	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → (𝑘 · 0 ) = 0 )
18	12, 17	sylan 592	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → (𝑘 · 0 ) = 0 )
19	3, 10, 15, 15, 18	caofid1 7716	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · (𝑉 × { 0 })) = (𝑉 × { 0 }))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453  {csn 4587   × cxp 5657  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   ∘_f cof 7679  Basecbs 17305  ._rcmulr 17347  Scalarcsca 17349  0_gc0g 17528  Ringcrg 20373  LModclmod 21045  LFnlclfn 39917

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-plusg 17359  df-0g 17530  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-ring 20375  df-lmod 21047  df-lfl 39918

This theorem is used by:  lkrscss  39958  lfl1dim  39981  lfl1dim2N  39982