Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfl0sc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lfl0sc 38554
Description: The (right vector space) scalar product of a functional with zero is the zero functional. Note that the first occurrence of (𝑉 Γ— { 0 }) represents the zero scalar, and the second is the zero functional. (Contributed by NM, 7-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lfl0sc.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lfl0sc.d 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lfl0sc.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
lfl0sc.k 𝐾 = (Baseβ€˜π·)
lfl0sc.t Β· = (.rβ€˜π·)
lfl0sc.o 0 = (0gβ€˜π·)
lfl0sc.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lfl0sc.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
Assertion
Ref Expression
lfl0sc (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— { 0 })) = (𝑉 Γ— { 0 }))

Proof of Theorem lfl0sc
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lfl0sc.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
21fvexi 6911 . . 3 𝑉 ∈ V
32a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ V)
4 lfl0sc.w . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
5 lfl0sc.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
6 lfl0sc.d . . . 4 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
7 lfl0sc.k . . . 4 𝐾 = (Baseβ€˜π·)
8 lfl0sc.f . . . 4 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
96, 7, 1, 8lflf 38535 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ 𝐺:π‘‰βŸΆπΎ)
104, 5, 9syl2anc 583 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘‰βŸΆπΎ)
116lmodring 20751 . . . 4 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐷 ∈ Ring)
124, 11syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ Ring)
13 lfl0sc.o . . . 4 0 = (0gβ€˜π·)
147, 13ring0cl 20203 . . 3 (𝐷 ∈ Ring β†’ 0 ∈ 𝐾)
1512, 14syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝐾)
16 lfl0sc.t . . . 4 Β· = (.rβ€˜π·)
177, 16, 13ringrz 20230 . . 3 ((𝐷 ∈ Ring ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ (π‘˜ Β· 0 ) = 0 )
1812, 17sylan 579 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ (π‘˜ Β· 0 ) = 0 )
193, 10, 15, 15, 18caofid1 7718 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— { 0 })) = (𝑉 Γ— { 0 }))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3471  {csn 4629   Γ— cxp 5676  βŸΆwf 6544  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   ∘f cof 7683  Basecbs 17180  .rcmulr 17234  Scalarcsca 17236  0gc0g 17421  Ringcrg 20173  LModclmod 20743  LFnlclfn 38529
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-plusg 17246  df-0g 17423  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-lmod 20745  df-lfl 38530
This theorem is referenced by:  lkrscss  38570  lfl1dim  38593  lfl1dim2N  38594
  Copyright terms: Public domain W3C validator