Theorem lfl0sc 38456

Description: The (right vector space) scalar product of a functional with zero is the zero functional. Note that the first occurrence of (𝑉 × { 0 }) represents the zero scalar, and the second is the zero functional. (Contributed by NM, 7-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfl0sc.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lfl0sc.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lfl0sc.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lfl0sc.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
lfl0sc.t	⊢ · = (.r‘𝐷)
lfl0sc.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lfl0sc.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lfl0sc.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lfl0sc	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · (𝑉 × { 0 })) = (𝑉 × { 0 }))

Proof of Theorem lfl0sc

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lfl0sc.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2	1	fvexi 6896	. . 3 ⊢ 𝑉 ∈ V
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
4		lfl0sc.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5		lfl0sc.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
6		lfl0sc.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
7		lfl0sc.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
8		lfl0sc.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
9	6, 7, 1, 8	lflf 38437	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:𝑉⟶𝐾)
10	4, 5, 9	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑉⟶𝐾)
11	6	lmodring 20710	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Ring)
12	4, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Ring)
13		lfl0sc.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
14	7, 13	ring0cl 20162	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐾)
15	12, 14	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐾)
16		lfl0sc.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝐷)
17	7, 16, 13	ringrz 20189	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → (𝑘 · 0 ) = 0 )
18	12, 17	sylan 579	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → (𝑘 · 0 ) = 0 )
19	3, 10, 15, 15, 18	caofid1 7697	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · (𝑉 × { 0 })) = (𝑉 × { 0 }))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3466  {csn 4621   × cxp 5665  ⟶wf 6530  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402   ∘_f cof 7662  Basecbs 17149  ._rcmulr 17203  Scalarcsca 17205  0_gc0g 17390  Ringcrg 20134  LModclmod 20702  LFnlclfn 38431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-plusg 17215  df-0g 17392  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-lmod 20704  df-lfl 38432

This theorem is referenced by:  lkrscss  38472  lfl1dim  38495  lfl1dim2N  38496