Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eqlkr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eqlkr2 37111
Description: Two functionals with the same kernel are the same up to a constant. (Contributed by NM, 10-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eqlkr.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
eqlkr.k 𝐾 = (Base‘𝐷)
eqlkr.t · = (.r𝐷)
eqlkr.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
eqlkr.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
eqlkr.l 𝐿 = (LKer‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
eqlkr2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) → ∃𝑟𝐾 𝐻 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑟})))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑟   𝐺,𝑟   𝐻,𝑟   𝑉,𝑟   𝐾,𝑟   · ,𝑟   𝐹,𝑟   𝐿,𝑟   𝑊,𝑟

Proof of Theorem eqlkr2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqlkr.d . . 3 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
2 eqlkr.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝐷)
3 eqlkr.t . . 3 · = (.r𝐷)
4 eqlkr.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
5 eqlkr.f . . 3 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
6 eqlkr.l . . 3 𝐿 = (LKer‘𝑊)
71, 2, 3, 4, 5, 6eqlkr 37110 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) → ∃𝑟𝐾𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥) · 𝑟))
84fvexi 6790 . . . . 5 𝑉 ∈ V
98a1i 11 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝑟𝐾) → 𝑉 ∈ V)
10 simpl1 1190 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝑟𝐾) → 𝑊 ∈ LVec)
11 simpl2l 1225 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝑟𝐾) → 𝐺𝐹)
121, 2, 4, 5lflf 37074 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹) → 𝐺:𝑉𝐾)
1310, 11, 12syl2anc 584 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝑟𝐾) → 𝐺:𝑉𝐾)
1413ffnd 6603 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝑟𝐾) → 𝐺 Fn 𝑉)
15 vex 3435 . . . . 5 𝑟 ∈ V
16 fnconstg 6664 . . . . 5 (𝑟 ∈ V → (𝑉 × {𝑟}) Fn 𝑉)
1715, 16mp1i 13 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝑟𝐾) → (𝑉 × {𝑟}) Fn 𝑉)
18 simpl2r 1226 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝑟𝐾) → 𝐻𝐹)
191, 2, 4, 5lflf 37074 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐻𝐹) → 𝐻:𝑉𝐾)
2010, 18, 19syl2anc 584 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝑟𝐾) → 𝐻:𝑉𝐾)
2120ffnd 6603 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝑟𝐾) → 𝐻 Fn 𝑉)
22 eqidd 2739 . . . 4 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝑟𝐾) ∧ 𝑥𝑉) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑥))
2315fvconst2 7081 . . . . 5 (𝑥𝑉 → ((𝑉 × {𝑟})‘𝑥) = 𝑟)
2423adantl 482 . . . 4 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝑟𝐾) ∧ 𝑥𝑉) → ((𝑉 × {𝑟})‘𝑥) = 𝑟)
259, 14, 17, 21, 22, 24offveqb 7558 . . 3 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝑟𝐾) → (𝐻 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑟})) ↔ ∀𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥) · 𝑟)))
2625rexbidva 3224 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) → (∃𝑟𝐾 𝐻 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑟})) ↔ ∃𝑟𝐾𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥) · 𝑟)))
277, 26mpbird 256 1 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) → ∃𝑟𝐾 𝐻 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑟})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wral 3064  wrex 3065  Vcvv 3431  {csn 4563   × cxp 5589   Fn wfn 6430  wf 6431  cfv 6435  (class class class)co 7277  f cof 7531  Basecbs 16910  .rcmulr 16961  Scalarcsca 16963  LVecclvec 20362  LFnlclfn 37068  LKerclk 37096
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5211  ax-sep 5225  ax-nul 5232  ax-pow 5290  ax-pr 5354  ax-un 7588  ax-cnex 10925  ax-resscn 10926  ax-1cn 10927  ax-icn 10928  ax-addcl 10929  ax-addrcl 10930  ax-mulcl 10931  ax-mulrcl 10932  ax-mulcom 10933  ax-addass 10934  ax-mulass 10935  ax-distr 10936  ax-i2m1 10937  ax-1ne0 10938  ax-1rid 10939  ax-rnegex 10940  ax-rrecex 10941  ax-cnre 10942  ax-pre-lttri 10943  ax-pre-lttrn 10944  ax-pre-ltadd 10945  ax-pre-mulgt0 10946
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4842  df-iun 4928  df-br 5077  df-opab 5139  df-mpt 5160  df-tr 5194  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6204  df-ord 6271  df-on 6272  df-lim 6273  df-suc 6274  df-iota 6393  df-fun 6437  df-fn 6438  df-f 6439  df-f1 6440  df-fo 6441  df-f1o 6442  df-fv 6443  df-riota 7234  df-ov 7280  df-oprab 7281  df-mpo 7282  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8040  df-frecs 8095  df-wrecs 8126  df-recs 8200  df-rdg 8239  df-er 8496  df-map 8615  df-en 8732  df-dom 8733  df-sdom 8734  df-pnf 11009  df-mnf 11010  df-xr 11011  df-ltxr 11012  df-le 11013  df-sub 11205  df-neg 11206  df-nn 11972  df-2 12034  df-3 12035  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-ress 16940  df-plusg 16973  df-mulr 16974  df-0g 17150  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-grp 18578  df-minusg 18579  df-sbg 18580  df-cmn 19386  df-abl 19387  df-mgp 19719  df-ur 19736  df-ring 19783  df-oppr 19860  df-dvdsr 19881  df-unit 19882  df-invr 19912  df-drng 19991  df-lmod 20123  df-lvec 20363  df-lfl 37069  df-lkr 37097
This theorem is referenced by:  lfl1dim  37132  lfl1dim2N  37133  eqlkr4  37176
  Copyright terms: Public domain W3C validator