Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eqlkr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eqlkr2 37612
Description: Two functionals with the same kernel are the same up to a constant. (Contributed by NM, 10-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eqlkr.d 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
eqlkr.k 𝐾 = (Baseβ€˜π·)
eqlkr.t Β· = (.rβ€˜π·)
eqlkr.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
eqlkr.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
eqlkr.l 𝐿 = (LKerβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
eqlkr2 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐾 𝐻 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘Ÿ})))
Distinct variable groups:   𝐷,π‘Ÿ   𝐺,π‘Ÿ   𝐻,π‘Ÿ   𝑉,π‘Ÿ   𝐾,π‘Ÿ   Β· ,π‘Ÿ   𝐹,π‘Ÿ   𝐿,π‘Ÿ   π‘Š,π‘Ÿ

Proof of Theorem eqlkr2
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqlkr.d . . 3 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
2 eqlkr.k . . 3 𝐾 = (Baseβ€˜π·)
3 eqlkr.t . . 3 Β· = (.rβ€˜π·)
4 eqlkr.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
5 eqlkr.f . . 3 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
6 eqlkr.l . . 3 𝐿 = (LKerβ€˜π‘Š)
71, 2, 3, 4, 5, 6eqlkr 37611 . 2 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐾 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯) Β· π‘Ÿ))
84fvexi 6860 . . . . 5 𝑉 ∈ V
98a1i 11 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐾) β†’ 𝑉 ∈ V)
10 simpl1 1192 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐾) β†’ π‘Š ∈ LVec)
11 simpl2l 1227 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐾) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
121, 2, 4, 5lflf 37575 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ 𝐺:π‘‰βŸΆπΎ)
1310, 11, 12syl2anc 585 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐾) β†’ 𝐺:π‘‰βŸΆπΎ)
1413ffnd 6673 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐾) β†’ 𝐺 Fn 𝑉)
15 vex 3451 . . . . 5 π‘Ÿ ∈ V
16 fnconstg 6734 . . . . 5 (π‘Ÿ ∈ V β†’ (𝑉 Γ— {π‘Ÿ}) Fn 𝑉)
1715, 16mp1i 13 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐾) β†’ (𝑉 Γ— {π‘Ÿ}) Fn 𝑉)
18 simpl2r 1228 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐾) β†’ 𝐻 ∈ 𝐹)
191, 2, 4, 5lflf 37575 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) β†’ 𝐻:π‘‰βŸΆπΎ)
2010, 18, 19syl2anc 585 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐾) β†’ 𝐻:π‘‰βŸΆπΎ)
2120ffnd 6673 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐾) β†’ 𝐻 Fn 𝑉)
22 eqidd 2734 . . . 4 ((((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯))
2315fvconst2 7157 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝑉 β†’ ((𝑉 Γ— {π‘Ÿ})β€˜π‘₯) = π‘Ÿ)
2423adantl 483 . . . 4 ((((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((𝑉 Γ— {π‘Ÿ})β€˜π‘₯) = π‘Ÿ)
259, 14, 17, 21, 22, 24offveqb 7646 . . 3 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐾) β†’ (𝐻 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘Ÿ})) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯) Β· π‘Ÿ)))
2625rexbidva 3170 . 2 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐾 𝐻 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘Ÿ})) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐾 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯) Β· π‘Ÿ)))
277, 26mpbird 257 1 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐾 𝐻 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘Ÿ})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3447  {csn 4590   Γ— cxp 5635   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ∘f cof 7619  Basecbs 17091  .rcmulr 17142  Scalarcsca 17144  LVecclvec 20607  LFnlclfn 37569  LKerclk 37597
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-drng 20221  df-lmod 20367  df-lvec 20608  df-lfl 37570  df-lkr 37598
This theorem is referenced by:  lfl1dim  37633  lfl1dim2N  37634  eqlkr4  37677
  Copyright terms: Public domain W3C validator