Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eqlkr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eqlkr2 35121
Description: Two functionals with the same kernel are the same up to a constant. (Contributed by NM, 10-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eqlkr.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
eqlkr.k 𝐾 = (Base‘𝐷)
eqlkr.t · = (.r𝐷)
eqlkr.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
eqlkr.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
eqlkr.l 𝐿 = (LKer‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
eqlkr2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) → ∃𝑟𝐾 𝐻 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑟})))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑟   𝐺,𝑟   𝐻,𝑟   𝑉,𝑟   𝐾,𝑟   · ,𝑟   𝐹,𝑟   𝐿,𝑟   𝑊,𝑟

Proof of Theorem eqlkr2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqlkr.d . . 3 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
2 eqlkr.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝐷)
3 eqlkr.t . . 3 · = (.r𝐷)
4 eqlkr.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
5 eqlkr.f . . 3 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
6 eqlkr.l . . 3 𝐿 = (LKer‘𝑊)
71, 2, 3, 4, 5, 6eqlkr 35120 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) → ∃𝑟𝐾𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥) · 𝑟))
84fvexi 6425 . . . . 5 𝑉 ∈ V
98a1i 11 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝑟𝐾) → 𝑉 ∈ V)
10 simpl1 1243 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝑟𝐾) → 𝑊 ∈ LVec)
11 simpl2l 1298 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝑟𝐾) → 𝐺𝐹)
121, 2, 4, 5lflf 35084 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹) → 𝐺:𝑉𝐾)
1310, 11, 12syl2anc 580 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝑟𝐾) → 𝐺:𝑉𝐾)
1413ffnd 6257 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝑟𝐾) → 𝐺 Fn 𝑉)
15 vex 3388 . . . . 5 𝑟 ∈ V
16 fnconstg 6308 . . . . 5 (𝑟 ∈ V → (𝑉 × {𝑟}) Fn 𝑉)
1715, 16mp1i 13 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝑟𝐾) → (𝑉 × {𝑟}) Fn 𝑉)
18 simpl2r 1300 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝑟𝐾) → 𝐻𝐹)
191, 2, 4, 5lflf 35084 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐻𝐹) → 𝐻:𝑉𝐾)
2010, 18, 19syl2anc 580 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝑟𝐾) → 𝐻:𝑉𝐾)
2120ffnd 6257 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝑟𝐾) → 𝐻 Fn 𝑉)
22 eqidd 2800 . . . 4 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝑟𝐾) ∧ 𝑥𝑉) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑥))
2315fvconst2 6698 . . . . 5 (𝑥𝑉 → ((𝑉 × {𝑟})‘𝑥) = 𝑟)
2423adantl 474 . . . 4 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝑟𝐾) ∧ 𝑥𝑉) → ((𝑉 × {𝑟})‘𝑥) = 𝑟)
259, 14, 17, 21, 22, 24offveqb 7153 . . 3 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝑟𝐾) → (𝐻 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑟})) ↔ ∀𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥) · 𝑟)))
2625rexbidva 3230 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) → (∃𝑟𝐾 𝐻 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑟})) ↔ ∃𝑟𝐾𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥) · 𝑟)))
277, 26mpbird 249 1 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) → ∃𝑟𝐾 𝐻 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑟})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wral 3089  wrex 3090  Vcvv 3385  {csn 4368   × cxp 5310   Fn wfn 6096  wf 6097  cfv 6101  (class class class)co 6878  𝑓 cof 7129  Basecbs 16184  .rcmulr 16268  Scalarcsca 16270  LVecclvec 19423  LFnlclfn 35078  LKerclk 35106
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-of 7131  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-tpos 7590  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-map 8097  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-0g 16417  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-grp 17741  df-minusg 17742  df-sbg 17743  df-cmn 18510  df-abl 18511  df-mgp 18806  df-ur 18818  df-ring 18865  df-oppr 18939  df-dvdsr 18957  df-unit 18958  df-invr 18988  df-drng 19067  df-lmod 19183  df-lvec 19424  df-lfl 35079  df-lkr 35107
This theorem is referenced by:  lfl1dim  35142  lfl1dim2N  35143  eqlkr4  35186
  Copyright terms: Public domain W3C validator