Theorem eqlkr2 37041

Description: Two functionals with the same kernel are the same up to a constant. (Contributed by NM, 10-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqlkr.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
eqlkr.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
eqlkr.t	⊢ · = (.r‘𝐷)
eqlkr.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
eqlkr.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
eqlkr.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
eqlkr2	⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝐻)) → ∃𝑟 ∈ 𝐾 𝐻 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑟})))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑟   𝐺,𝑟   𝐻,𝑟   𝑉,𝑟   𝐾,𝑟   · ,𝑟   𝐹,𝑟   𝐿,𝑟   𝑊,𝑟

Proof of Theorem eqlkr2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqlkr.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
2		eqlkr.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
3		eqlkr.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝐷)
4		eqlkr.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
5		eqlkr.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
6		eqlkr.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑊)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	eqlkr 37040	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝐻)) → ∃𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥) · 𝑟))
8	4	fvexi 6770	. . . . 5 ⊢ 𝑉 ∈ V
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝐻)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐾) → 𝑉 ∈ V)
10		simpl1 1189	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝐻)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ LVec)
11		simpl2l 1224	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝐻)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐾) → 𝐺 ∈ 𝐹)
12	1, 2, 4, 5	lflf 37004	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:𝑉⟶𝐾)
13	10, 11, 12	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝐻)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐾) → 𝐺:𝑉⟶𝐾)
14	13	ffnd 6585	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝐻)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐾) → 𝐺 Fn 𝑉)
15		vex 3426	. . . . 5 ⊢ 𝑟 ∈ V
16		fnconstg 6646	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ V → (𝑉 × {𝑟}) Fn 𝑉)
17	15, 16	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝐻)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐾) → (𝑉 × {𝑟}) Fn 𝑉)
18		simpl2r 1225	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝐻)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐾) → 𝐻 ∈ 𝐹)
19	1, 2, 4, 5	lflf 37004	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) → 𝐻:𝑉⟶𝐾)
20	10, 18, 19	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝐻)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐾) → 𝐻:𝑉⟶𝐾)
21	20	ffnd 6585	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝐻)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐾) → 𝐻 Fn 𝑉)
22		eqidd 2739	. . . 4 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝐻)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
23	15	fvconst2 7061	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 → ((𝑉 × {𝑟})‘𝑥) = 𝑟)
24	23	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝐻)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((𝑉 × {𝑟})‘𝑥) = 𝑟)
25	9, 14, 17, 21, 22, 24	offveqb 7536	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝐻)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐾) → (𝐻 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑟})) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥) · 𝑟)))
26	25	rexbidva 3224	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝐻)) → (∃𝑟 ∈ 𝐾 𝐻 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑟})) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥) · 𝑟)))
27	7, 26	mpbird 256	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝐻)) → ∃𝑟 ∈ 𝐾 𝐻 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑟})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  Vcvv 3422  {csn 4558   × cxp 5578   Fn wfn 6413  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∘_f cof 7509  Basecbs 16840  ._rcmulr 16889  Scalarcsca 16891  LVecclvec 20279  LFnlclfn 36998  LKerclk 37026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-drng 19908  df-lmod 20040  df-lvec 20280  df-lfl 36999  df-lkr 37027

This theorem is referenced by:  lfl1dim  37062  lfl1dim2N  37063  eqlkr4  37106