Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eqlkr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eqlkr2 37965
Description: Two functionals with the same kernel are the same up to a constant. (Contributed by NM, 10-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eqlkr.d 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
eqlkr.k 𝐾 = (Baseβ€˜π·)
eqlkr.t Β· = (.rβ€˜π·)
eqlkr.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
eqlkr.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
eqlkr.l 𝐿 = (LKerβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
eqlkr2 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐾 𝐻 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘Ÿ})))
Distinct variable groups:   𝐷,π‘Ÿ   𝐺,π‘Ÿ   𝐻,π‘Ÿ   𝑉,π‘Ÿ   𝐾,π‘Ÿ   Β· ,π‘Ÿ   𝐹,π‘Ÿ   𝐿,π‘Ÿ   π‘Š,π‘Ÿ

Proof of Theorem eqlkr2
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqlkr.d . . 3 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
2 eqlkr.k . . 3 𝐾 = (Baseβ€˜π·)
3 eqlkr.t . . 3 Β· = (.rβ€˜π·)
4 eqlkr.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
5 eqlkr.f . . 3 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
6 eqlkr.l . . 3 𝐿 = (LKerβ€˜π‘Š)
71, 2, 3, 4, 5, 6eqlkr 37964 . 2 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐾 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯) Β· π‘Ÿ))
84fvexi 6905 . . . . 5 𝑉 ∈ V
98a1i 11 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐾) β†’ 𝑉 ∈ V)
10 simpl1 1191 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐾) β†’ π‘Š ∈ LVec)
11 simpl2l 1226 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐾) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
121, 2, 4, 5lflf 37928 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ 𝐺:π‘‰βŸΆπΎ)
1310, 11, 12syl2anc 584 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐾) β†’ 𝐺:π‘‰βŸΆπΎ)
1413ffnd 6718 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐾) β†’ 𝐺 Fn 𝑉)
15 vex 3478 . . . . 5 π‘Ÿ ∈ V
16 fnconstg 6779 . . . . 5 (π‘Ÿ ∈ V β†’ (𝑉 Γ— {π‘Ÿ}) Fn 𝑉)
1715, 16mp1i 13 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐾) β†’ (𝑉 Γ— {π‘Ÿ}) Fn 𝑉)
18 simpl2r 1227 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐾) β†’ 𝐻 ∈ 𝐹)
191, 2, 4, 5lflf 37928 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) β†’ 𝐻:π‘‰βŸΆπΎ)
2010, 18, 19syl2anc 584 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐾) β†’ 𝐻:π‘‰βŸΆπΎ)
2120ffnd 6718 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐾) β†’ 𝐻 Fn 𝑉)
22 eqidd 2733 . . . 4 ((((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯))
2315fvconst2 7204 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝑉 β†’ ((𝑉 Γ— {π‘Ÿ})β€˜π‘₯) = π‘Ÿ)
2423adantl 482 . . . 4 ((((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((𝑉 Γ— {π‘Ÿ})β€˜π‘₯) = π‘Ÿ)
259, 14, 17, 21, 22, 24offveqb 7694 . . 3 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐾) β†’ (𝐻 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘Ÿ})) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯) Β· π‘Ÿ)))
2625rexbidva 3176 . 2 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐾 𝐻 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘Ÿ})) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐾 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯) Β· π‘Ÿ)))
277, 26mpbird 256 1 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐾 𝐻 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘Ÿ})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474  {csn 4628   Γ— cxp 5674   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ∘f cof 7667  Basecbs 17143  .rcmulr 17197  Scalarcsca 17199  LVecclvec 20712  LFnlclfn 37922  LKerclk 37950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-drng 20358  df-lmod 20472  df-lvec 20713  df-lfl 37923  df-lkr 37951
This theorem is referenced by:  lfl1dim  37986  lfl1dim2N  37987  eqlkr4  38030
  Copyright terms: Public domain W3C validator