Theorem eqlkr2 39066

Description: Two functionals with the same kernel are the same up to a constant. (Contributed by NM, 10-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqlkr.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
eqlkr.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
eqlkr.t	⊢ · = (.r‘𝐷)
eqlkr.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
eqlkr.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
eqlkr.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
eqlkr2	⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝐻)) → ∃𝑟 ∈ 𝐾 𝐻 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑟})))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑟   𝐺,𝑟   𝐻,𝑟   𝑉,𝑟   𝐾,𝑟   · ,𝑟   𝐹,𝑟   𝐿,𝑟   𝑊,𝑟

Proof of Theorem eqlkr2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqlkr.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
2		eqlkr.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
3		eqlkr.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝐷)
4		eqlkr.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
5		eqlkr.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
6		eqlkr.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑊)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	eqlkr 39065	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝐻)) → ∃𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥) · 𝑟))
8	4	fvexi 6854	. . . . 5 ⊢ 𝑉 ∈ V
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝐻)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐾) → 𝑉 ∈ V)
10		simpl1 1192	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝐻)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ LVec)
11		simpl2l 1227	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝐻)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐾) → 𝐺 ∈ 𝐹)
12	1, 2, 4, 5	lflf 39029	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:𝑉⟶𝐾)
13	10, 11, 12	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝐻)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐾) → 𝐺:𝑉⟶𝐾)
14	13	ffnd 6671	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝐻)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐾) → 𝐺 Fn 𝑉)
15		vex 3448	. . . . 5 ⊢ 𝑟 ∈ V
16		fnconstg 6730	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ V → (𝑉 × {𝑟}) Fn 𝑉)
17	15, 16	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝐻)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐾) → (𝑉 × {𝑟}) Fn 𝑉)
18		simpl2r 1228	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝐻)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐾) → 𝐻 ∈ 𝐹)
19	1, 2, 4, 5	lflf 39029	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) → 𝐻:𝑉⟶𝐾)
20	10, 18, 19	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝐻)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐾) → 𝐻:𝑉⟶𝐾)
21	20	ffnd 6671	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝐻)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐾) → 𝐻 Fn 𝑉)
22		eqidd 2730	. . . 4 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝐻)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
23	15	fvconst2 7160	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 → ((𝑉 × {𝑟})‘𝑥) = 𝑟)
24	23	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝐻)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((𝑉 × {𝑟})‘𝑥) = 𝑟)
25	9, 14, 17, 21, 22, 24	offveqb 7660	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝐻)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐾) → (𝐻 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑟})) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥) · 𝑟)))
26	25	rexbidva 3155	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝐻)) → (∃𝑟 ∈ 𝐾 𝐻 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑟})) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥) · 𝑟)))
27	7, 26	mpbird 257	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝐻)) → ∃𝑟 ∈ 𝐾 𝐻 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑟})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  Vcvv 3444  {csn 4585   × cxp 5629   Fn wfn 6494  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ∘_f cof 7631  Basecbs 17155  ._rcmulr 17197  Scalarcsca 17199  LVecclvec 20985  LFnlclfn 39023  LKerclk 39051

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-tpos 8182  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-0g 17380  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-cmn 19688  df-abl 19689  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-unit 20243  df-invr 20273  df-drng 20616  df-lmod 20744  df-lvec 20986  df-lfl 39024  df-lkr 39052

This theorem is referenced by:  lfl1dim  39087  lfl1dim2N  39088  eqlkr4  39131