Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eqlkr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eqlkr2 36235
 Description: Two functionals with the same kernel are the same up to a constant. (Contributed by NM, 10-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eqlkr.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
eqlkr.k 𝐾 = (Base‘𝐷)
eqlkr.t · = (.r𝐷)
eqlkr.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
eqlkr.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
eqlkr.l 𝐿 = (LKer‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
eqlkr2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) → ∃𝑟𝐾 𝐻 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑟})))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑟   𝐺,𝑟   𝐻,𝑟   𝑉,𝑟   𝐾,𝑟   · ,𝑟   𝐹,𝑟   𝐿,𝑟   𝑊,𝑟

Proof of Theorem eqlkr2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqlkr.d . . 3 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
2 eqlkr.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝐷)
3 eqlkr.t . . 3 · = (.r𝐷)
4 eqlkr.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
5 eqlkr.f . . 3 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
6 eqlkr.l . . 3 𝐿 = (LKer‘𝑊)
71, 2, 3, 4, 5, 6eqlkr 36234 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) → ∃𝑟𝐾𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥) · 𝑟))
84fvexi 6683 . . . . 5 𝑉 ∈ V
98a1i 11 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝑟𝐾) → 𝑉 ∈ V)
10 simpl1 1187 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝑟𝐾) → 𝑊 ∈ LVec)
11 simpl2l 1222 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝑟𝐾) → 𝐺𝐹)
121, 2, 4, 5lflf 36198 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹) → 𝐺:𝑉𝐾)
1310, 11, 12syl2anc 586 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝑟𝐾) → 𝐺:𝑉𝐾)
1413ffnd 6514 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝑟𝐾) → 𝐺 Fn 𝑉)
15 vex 3497 . . . . 5 𝑟 ∈ V
16 fnconstg 6566 . . . . 5 (𝑟 ∈ V → (𝑉 × {𝑟}) Fn 𝑉)
1715, 16mp1i 13 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝑟𝐾) → (𝑉 × {𝑟}) Fn 𝑉)
18 simpl2r 1223 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝑟𝐾) → 𝐻𝐹)
191, 2, 4, 5lflf 36198 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐻𝐹) → 𝐻:𝑉𝐾)
2010, 18, 19syl2anc 586 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝑟𝐾) → 𝐻:𝑉𝐾)
2120ffnd 6514 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝑟𝐾) → 𝐻 Fn 𝑉)
22 eqidd 2822 . . . 4 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝑟𝐾) ∧ 𝑥𝑉) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑥))
2315fvconst2 6965 . . . . 5 (𝑥𝑉 → ((𝑉 × {𝑟})‘𝑥) = 𝑟)
2423adantl 484 . . . 4 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝑟𝐾) ∧ 𝑥𝑉) → ((𝑉 × {𝑟})‘𝑥) = 𝑟)
259, 14, 17, 21, 22, 24offveqb 7430 . . 3 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝑟𝐾) → (𝐻 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑟})) ↔ ∀𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥) · 𝑟)))
2625rexbidva 3296 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) → (∃𝑟𝐾 𝐻 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑟})) ↔ ∃𝑟𝐾𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥) · 𝑟)))
277, 26mpbird 259 1 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) → ∃𝑟𝐾 𝐻 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑟})))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138  ∃wrex 3139  Vcvv 3494  {csn 4566   × cxp 5552   Fn wfn 6349  ⟶wf 6350  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155   ∘f cof 7406  Basecbs 16482  .rcmulr 16565  Scalarcsca 16567  LVecclvec 19873  LFnlclfn 36192  LKerclk 36220 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7408  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-tpos 7891  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-er 8288  df-map 8407  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-mulr 16578  df-0g 16714  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-grp 18105  df-minusg 18106  df-sbg 18107  df-cmn 18907  df-abl 18908  df-mgp 19239  df-ur 19251  df-ring 19298  df-oppr 19372  df-dvdsr 19390  df-unit 19391  df-invr 19421  df-drng 19503  df-lmod 19635  df-lvec 19874  df-lfl 36193  df-lkr 36221 This theorem is referenced by:  lfl1dim  36256  lfl1dim2N  36257  eqlkr4  36300
 Copyright terms: Public domain W3C validator