Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfl1sc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lfl1sc 37942
Description: The (right vector space) scalar product of a functional with one is the functional. (Contributed by NM, 21-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lfl1sc.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lfl1sc.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lfl1sc.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lfl1sc.k 𝐾 = (Base‘𝐷)
lfl1sc.t · = (.r𝐷)
lfl1sc.i 1 = (1r𝐷)
lfl1sc.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lfl1sc.g (𝜑𝐺𝐹)
Assertion
Ref Expression
lfl1sc (𝜑 → (𝐺f · (𝑉 × { 1 })) = 𝐺)

Proof of Theorem lfl1sc
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lfl1sc.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
21fvexi 6902 . . 3 𝑉 ∈ V
32a1i 11 . 2 (𝜑𝑉 ∈ V)
4 lfl1sc.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
5 lfl1sc.g . . 3 (𝜑𝐺𝐹)
6 lfl1sc.d . . . 4 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
7 lfl1sc.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝐷)
8 lfl1sc.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
96, 7, 1, 8lflf 37921 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → 𝐺:𝑉𝐾)
104, 5, 9syl2anc 584 . 2 (𝜑𝐺:𝑉𝐾)
11 lfl1sc.i . . . 4 1 = (1r𝐷)
1211fvexi 6902 . . 3 1 ∈ V
1312a1i 11 . 2 (𝜑1 ∈ V)
146lmodring 20471 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Ring)
154, 14syl 17 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ Ring)
16 lfl1sc.t . . . 4 · = (.r𝐷)
177, 16, 11ringridm 20080 . . 3 ((𝐷 ∈ Ring ∧ 𝑘𝐾) → (𝑘 · 1 ) = 𝑘)
1815, 17sylan 580 . 2 ((𝜑𝑘𝐾) → (𝑘 · 1 ) = 𝑘)
193, 10, 13, 18caofid0r 7698 1 (𝜑 → (𝐺f · (𝑉 × { 1 })) = 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3474  {csn 4627   × cxp 5673  wf 6536  cfv 6540  (class class class)co 7405  f cof 7664  Basecbs 17140  .rcmulr 17194  Scalarcsca 17196  1rcur 19998  Ringcrg 20049  LModclmod 20463  LFnlclfn 37915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-lmod 20465  df-lfl 37916
This theorem is referenced by:  lduallmodlem  38010
  Copyright terms: Public domain W3C validator