Theorem lfl1sc 39283

Description: The (right vector space) scalar product of a functional with one is the functional. (Contributed by NM, 21-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfl1sc.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lfl1sc.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lfl1sc.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lfl1sc.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
lfl1sc.t	⊢ · = (.r‘𝐷)
lfl1sc.i	⊢ 1 = (1r‘𝐷)
lfl1sc.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lfl1sc.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lfl1sc	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · (𝑉 × { 1 })) = 𝐺)

Proof of Theorem lfl1sc

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lfl1sc.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2	1	fvexi 6846	. . 3 ⊢ 𝑉 ∈ V
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
4		lfl1sc.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5		lfl1sc.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
6		lfl1sc.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
7		lfl1sc.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
8		lfl1sc.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
9	6, 7, 1, 8	lflf 39262	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:𝑉⟶𝐾)
10	4, 5, 9	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑉⟶𝐾)
11		lfl1sc.i	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝐷)
12	11	fvexi 6846	. . 3 ⊢ 1 ∈ V
13	12	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ V)
14	6	lmodring 20817	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Ring)
15	4, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Ring)
16		lfl1sc.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝐷)
17	7, 16, 11	ringridm 20203	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → (𝑘 · 1 ) = 𝑘)
18	15, 17	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → (𝑘 · 1 ) = 𝑘)
19	3, 10, 13, 18	caofid0r 7654	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · (𝑉 × { 1 })) = 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3438  {csn 4578   × cxp 5620  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356   ∘_f cof 7618  Basecbs 17134  ._rcmulr 17176  Scalarcsca 17178  1_rcur 20114  Ringcrg 20166  LModclmod 20809  LFnlclfn 39256

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-plusg 17188  df-0g 17359  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mgp 20074  df-ur 20115  df-ring 20168  df-lmod 20811  df-lfl 39257

This theorem is referenced by:  lduallmodlem  39351