Theorem lfl1sc 39344

Description: The (right vector space) scalar product of a functional with one is the functional. (Contributed by NM, 21-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfl1sc.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lfl1sc.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lfl1sc.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lfl1sc.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
lfl1sc.t	⊢ · = (.r‘𝐷)
lfl1sc.i	⊢ 1 = (1r‘𝐷)
lfl1sc.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lfl1sc.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lfl1sc	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · (𝑉 × { 1 })) = 𝐺)

Proof of Theorem lfl1sc

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lfl1sc.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2	1	fvexi 6848	. . 3 ⊢ 𝑉 ∈ V
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
4		lfl1sc.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5		lfl1sc.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
6		lfl1sc.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
7		lfl1sc.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
8		lfl1sc.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
9	6, 7, 1, 8	lflf 39323	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:𝑉⟶𝐾)
10	4, 5, 9	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑉⟶𝐾)
11		lfl1sc.i	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝐷)
12	11	fvexi 6848	. . 3 ⊢ 1 ∈ V
13	12	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ V)
14	6	lmodring 20819	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Ring)
15	4, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Ring)
16		lfl1sc.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝐷)
17	7, 16, 11	ringridm 20205	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → (𝑘 · 1 ) = 𝑘)
18	15, 17	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → (𝑘 · 1 ) = 𝑘)
19	3, 10, 13, 18	caofid0r 7656	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · (𝑉 × { 1 })) = 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440  {csn 4580   × cxp 5622  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ∘_f cof 7620  Basecbs 17136  ._rcmulr 17178  Scalarcsca 17180  1_rcur 20116  Ringcrg 20168  LModclmod 20811  LFnlclfn 39317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-plusg 17190  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mgp 20076  df-ur 20117  df-ring 20170  df-lmod 20813  df-lfl 39318

This theorem is referenced by:  lduallmodlem  39412