Theorem lfl1sc 40407

Description: The (right vector space) scalar product of a functional with one is the functional. (Contributed by NM, 21-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfl1sc.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lfl1sc.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lfl1sc.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lfl1sc.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
lfl1sc.t	⊢ · = (.r‘𝐷)
lfl1sc.i	⊢ 1 = (1r‘𝐷)
lfl1sc.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lfl1sc.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lfl1sc	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · (𝑉 × { 1 })) = 𝐺)

Proof of Theorem lfl1sc

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lfl1sc.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2	1	fvexi 6930	. . 3 ⊢ 𝑉 ∈ V
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
4		lfl1sc.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5		lfl1sc.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
6		lfl1sc.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
7		lfl1sc.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
8		lfl1sc.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
9	6, 7, 1, 8	lflf 40386	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:𝑉⟶𝐾)
10	4, 5, 9	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑉⟶𝐾)
11		lfl1sc.i	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝐷)
12	11	fvexi 6930	. . 3 ⊢ 1 ∈ V
13	12	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ V)
14	6	lmodring 21194	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Ring)
15	4, 14	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Ring)
16		lfl1sc.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝐷)
17	7, 16, 11	ringridm 20550	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → (𝑘 · 1 ) = 𝑘)
18	15, 17	sylan 592	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → (𝑘 · 1 ) = 𝑘)
19	3, 10, 13, 18	caofid0r 7759	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · (𝑉 × { 1 })) = 𝐺)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  {csn 4588   × cxp 5656  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ∘_f cof 7723  Basecbs 17431  ._rcmulr 17473  Scalarcsca 17475  1_rcur 20458  Ringcrg 20510  LModclmod 21186  LFnlclfn 40380

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-plusg 17486  df-0g 17662  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-mgp 20412  df-ur 20459  df-ring 20512  df-lmod 21188  df-lfl 40381

This theorem is used by:  lduallmodlem  40475