Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfl1sc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lfl1sc 35247
Description: The (right vector space) scalar product of a functional with one is the functional. (Contributed by NM, 21-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lfl1sc.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lfl1sc.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lfl1sc.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lfl1sc.k 𝐾 = (Base‘𝐷)
lfl1sc.t · = (.r𝐷)
lfl1sc.i 1 = (1r𝐷)
lfl1sc.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lfl1sc.g (𝜑𝐺𝐹)
Assertion
Ref Expression
lfl1sc (𝜑 → (𝐺𝑓 · (𝑉 × { 1 })) = 𝐺)

Proof of Theorem lfl1sc
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lfl1sc.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
21fvexi 6462 . . 3 𝑉 ∈ V
32a1i 11 . 2 (𝜑𝑉 ∈ V)
4 lfl1sc.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
5 lfl1sc.g . . 3 (𝜑𝐺𝐹)
6 lfl1sc.d . . . 4 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
7 lfl1sc.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝐷)
8 lfl1sc.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
96, 7, 1, 8lflf 35226 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → 𝐺:𝑉𝐾)
104, 5, 9syl2anc 579 . 2 (𝜑𝐺:𝑉𝐾)
11 lfl1sc.i . . . 4 1 = (1r𝐷)
1211fvexi 6462 . . 3 1 ∈ V
1312a1i 11 . 2 (𝜑1 ∈ V)
146lmodring 19274 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Ring)
154, 14syl 17 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ Ring)
16 lfl1sc.t . . . 4 · = (.r𝐷)
177, 16, 11ringridm 18970 . . 3 ((𝐷 ∈ Ring ∧ 𝑘𝐾) → (𝑘 · 1 ) = 𝑘)
1815, 17sylan 575 . 2 ((𝜑𝑘𝐾) → (𝑘 · 1 ) = 𝑘)
193, 10, 13, 18caofid0r 7205 1 (𝜑 → (𝐺𝑓 · (𝑉 × { 1 })) = 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1601  wcel 2107  Vcvv 3398  {csn 4398   × cxp 5355  wf 6133  cfv 6137  (class class class)co 6924  𝑓 cof 7174  Basecbs 16266  .rcmulr 16350  Scalarcsca 16352  1rcur 18899  Ringcrg 18945  LModclmod 19266  LFnlclfn 35220
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-of 7176  df-om 7346  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-er 8028  df-map 8144  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11380  df-2 11443  df-ndx 16269  df-slot 16270  df-base 16272  df-sets 16273  df-plusg 16362  df-0g 16499  df-mgm 17639  df-sgrp 17681  df-mnd 17692  df-mgp 18888  df-ur 18900  df-ring 18947  df-lmod 19268  df-lfl 35221
This theorem is referenced by:  lduallmodlem  35315
  Copyright terms: Public domain W3C validator