Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfl1sc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lfl1sc 37949
Description: The (right vector space) scalar product of a functional with one is the functional. (Contributed by NM, 21-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lfl1sc.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lfl1sc.d 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lfl1sc.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
lfl1sc.k 𝐾 = (Baseβ€˜π·)
lfl1sc.t Β· = (.rβ€˜π·)
lfl1sc.i 1 = (1rβ€˜π·)
lfl1sc.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lfl1sc.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
Assertion
Ref Expression
lfl1sc (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— { 1 })) = 𝐺)

Proof of Theorem lfl1sc
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lfl1sc.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
21fvexi 6905 . . 3 𝑉 ∈ V
32a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ V)
4 lfl1sc.w . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
5 lfl1sc.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
6 lfl1sc.d . . . 4 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
7 lfl1sc.k . . . 4 𝐾 = (Baseβ€˜π·)
8 lfl1sc.f . . . 4 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
96, 7, 1, 8lflf 37928 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ 𝐺:π‘‰βŸΆπΎ)
104, 5, 9syl2anc 584 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘‰βŸΆπΎ)
11 lfl1sc.i . . . 4 1 = (1rβ€˜π·)
1211fvexi 6905 . . 3 1 ∈ V
1312a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 1 ∈ V)
146lmodring 20478 . . . 4 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐷 ∈ Ring)
154, 14syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ Ring)
16 lfl1sc.t . . . 4 Β· = (.rβ€˜π·)
177, 16, 11ringridm 20086 . . 3 ((𝐷 ∈ Ring ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ (π‘˜ Β· 1 ) = π‘˜)
1815, 17sylan 580 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ (π‘˜ Β· 1 ) = π‘˜)
193, 10, 13, 18caofid0r 7701 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— { 1 })) = 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474  {csn 4628   Γ— cxp 5674  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ∘f cof 7667  Basecbs 17143  .rcmulr 17197  Scalarcsca 17199  1rcur 20003  Ringcrg 20055  LModclmod 20470  LFnlclfn 37922
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-lmod 20472  df-lfl 37923
This theorem is referenced by:  lduallmodlem  38017
  Copyright terms: Public domain W3C validator