Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfl1sc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lfl1sc 38444
Description: The (right vector space) scalar product of a functional with one is the functional. (Contributed by NM, 21-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lfl1sc.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lfl1sc.d 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lfl1sc.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
lfl1sc.k 𝐾 = (Baseβ€˜π·)
lfl1sc.t Β· = (.rβ€˜π·)
lfl1sc.i 1 = (1rβ€˜π·)
lfl1sc.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lfl1sc.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
Assertion
Ref Expression
lfl1sc (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— { 1 })) = 𝐺)

Proof of Theorem lfl1sc
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lfl1sc.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
21fvexi 6895 . . 3 𝑉 ∈ V
32a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ V)
4 lfl1sc.w . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
5 lfl1sc.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
6 lfl1sc.d . . . 4 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
7 lfl1sc.k . . . 4 𝐾 = (Baseβ€˜π·)
8 lfl1sc.f . . . 4 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
96, 7, 1, 8lflf 38423 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ 𝐺:π‘‰βŸΆπΎ)
104, 5, 9syl2anc 583 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘‰βŸΆπΎ)
11 lfl1sc.i . . . 4 1 = (1rβ€˜π·)
1211fvexi 6895 . . 3 1 ∈ V
1312a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 1 ∈ V)
146lmodring 20704 . . . 4 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐷 ∈ Ring)
154, 14syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ Ring)
16 lfl1sc.t . . . 4 Β· = (.rβ€˜π·)
177, 16, 11ringridm 20159 . . 3 ((𝐷 ∈ Ring ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ (π‘˜ Β· 1 ) = π‘˜)
1815, 17sylan 579 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ (π‘˜ Β· 1 ) = π‘˜)
193, 10, 13, 18caofid0r 7695 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— { 1 })) = 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3466  {csn 4620   Γ— cxp 5664  βŸΆwf 6529  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401   ∘f cof 7661  Basecbs 17143  .rcmulr 17197  Scalarcsca 17199  1rcur 20076  Ringcrg 20128  LModclmod 20696  LFnlclfn 38417
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-0g 17386  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mgp 20030  df-ur 20077  df-ring 20130  df-lmod 20698  df-lfl 38418
This theorem is referenced by:  lduallmodlem  38512
  Copyright terms: Public domain W3C validator