Theorem lfl1sc 39918

Description: The (right vector space) scalar product of a functional with one is the functional. (Contributed by NM, 21-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfl1sc.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lfl1sc.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lfl1sc.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lfl1sc.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
lfl1sc.t	⊢ · = (.r‘𝐷)
lfl1sc.i	⊢ 1 = (1r‘𝐷)
lfl1sc.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lfl1sc.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lfl1sc	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · (𝑉 × { 1 })) = 𝐺)

Proof of Theorem lfl1sc

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lfl1sc.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2	1	fvexi 6899	. . 3 ⊢ 𝑉 ∈ V
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
4		lfl1sc.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5		lfl1sc.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
6		lfl1sc.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
7		lfl1sc.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
8		lfl1sc.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
9	6, 7, 1, 8	lflf 39897	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:𝑉⟶𝐾)
10	4, 5, 9	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑉⟶𝐾)
11		lfl1sc.i	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝐷)
12	11	fvexi 6899	. . 3 ⊢ 1 ∈ V
13	12	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ V)
14	6	lmodring 21041	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Ring)
15	4, 14	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Ring)
16		lfl1sc.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝐷)
17	7, 16, 11	ringridm 20400	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → (𝑘 · 1 ) = 𝑘)
18	15, 17	sylan 592	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → (𝑘 · 1 ) = 𝑘)
19	3, 10, 13, 18	caofid0r 7718	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · (𝑉 × { 1 })) = 𝐺)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457  {csn 4591   × cxp 5661  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ∘_f cof 7682  Basecbs 17293  ._rcmulr 17335  Scalarcsca 17337  1_rcur 20309  Ringcrg 20361  LModclmod 21033  LFnlclfn 39891

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-2 12320  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-plusg 17347  df-0g 17518  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-mgp 20263  df-ur 20310  df-ring 20363  df-lmod 21035  df-lfl 39892

This theorem is used by:  lduallmodlem  39986