Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfl1sc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lfl1sc 36325
 Description: The (right vector space) scalar product of a functional with one is the functional. (Contributed by NM, 21-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lfl1sc.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lfl1sc.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lfl1sc.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lfl1sc.k 𝐾 = (Base‘𝐷)
lfl1sc.t · = (.r𝐷)
lfl1sc.i 1 = (1r𝐷)
lfl1sc.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lfl1sc.g (𝜑𝐺𝐹)
Assertion
Ref Expression
lfl1sc (𝜑 → (𝐺f · (𝑉 × { 1 })) = 𝐺)

Proof of Theorem lfl1sc
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lfl1sc.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
21fvexi 6675 . . 3 𝑉 ∈ V
32a1i 11 . 2 (𝜑𝑉 ∈ V)
4 lfl1sc.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
5 lfl1sc.g . . 3 (𝜑𝐺𝐹)
6 lfl1sc.d . . . 4 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
7 lfl1sc.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝐷)
8 lfl1sc.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
96, 7, 1, 8lflf 36304 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → 𝐺:𝑉𝐾)
104, 5, 9syl2anc 587 . 2 (𝜑𝐺:𝑉𝐾)
11 lfl1sc.i . . . 4 1 = (1r𝐷)
1211fvexi 6675 . . 3 1 ∈ V
1312a1i 11 . 2 (𝜑1 ∈ V)
146lmodring 19642 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Ring)
154, 14syl 17 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ Ring)
16 lfl1sc.t . . . 4 · = (.r𝐷)
177, 16, 11ringridm 19325 . . 3 ((𝐷 ∈ Ring ∧ 𝑘𝐾) → (𝑘 · 1 ) = 𝑘)
1815, 17sylan 583 . 2 ((𝜑𝑘𝐾) → (𝑘 · 1 ) = 𝑘)
193, 10, 13, 18caofid0r 7432 1 (𝜑 → (𝐺f · (𝑉 × { 1 })) = 𝐺)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  Vcvv 3480  {csn 4550   × cxp 5540  ⟶wf 6339  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149   ∘f cof 7401  Basecbs 16483  .rcmulr 16566  Scalarcsca 16568  1rcur 19251  Ringcrg 19297  LModclmod 19634  LFnlclfn 36298 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7403  df-om 7575  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-map 8404  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-plusg 16578  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-lmod 19636  df-lfl 36299 This theorem is referenced by:  lduallmodlem  36393
 Copyright terms: Public domain W3C validator