Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldualvaddval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldualvaddval 37643
Description: The value of the value of vector addition in the dual of a vector space. (Contributed by NM, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualvaddval.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
ldualvaddval.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Š)
ldualvaddval.a + = (+gβ€˜π‘…)
ldualvaddval.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
ldualvaddval.d 𝐷 = (LDualβ€˜π‘Š)
ldualvaddval.p ✚ = (+gβ€˜π·)
ldualvaddval.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
ldualvaddval.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
ldualvaddval.h (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝐹)
ldualvaddval.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
ldualvaddval (πœ‘ β†’ ((𝐺 ✚ 𝐻)β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹) + (π»β€˜π‘‹)))

Proof of Theorem ldualvaddval
StepHypRef Expression
1 ldualvaddval.f . . . 4 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
2 ldualvaddval.r . . . 4 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Š)
3 ldualvaddval.a . . . 4 + = (+gβ€˜π‘…)
4 ldualvaddval.d . . . 4 𝐷 = (LDualβ€˜π‘Š)
5 ldualvaddval.p . . . 4 ✚ = (+gβ€˜π·)
6 ldualvaddval.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
7 ldualvaddval.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
8 ldualvaddval.h . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝐹)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8ldualvadd 37641 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 ✚ 𝐻) = (𝐺 ∘f + 𝐻))
109fveq1d 6848 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐺 ✚ 𝐻)β€˜π‘‹) = ((𝐺 ∘f + 𝐻)β€˜π‘‹))
11 ldualvaddval.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
12 eqid 2733 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
13 ldualvaddval.v . . . . . . 7 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
142, 12, 13, 1lflf 37575 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ 𝐺:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘…))
1514ffnd 6673 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ 𝐺 Fn 𝑉)
166, 7, 15syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn 𝑉)
172, 12, 13, 1lflf 37575 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) β†’ 𝐻:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘…))
1817ffnd 6673 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) β†’ 𝐻 Fn 𝑉)
196, 8, 18syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐻 Fn 𝑉)
2013fvexi 6860 . . . . 5 𝑉 ∈ V
2120a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ V)
22 inidm 4182 . . . 4 (𝑉 ∩ 𝑉) = 𝑉
23 eqidd 2734 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘‹) = (πΊβ€˜π‘‹))
24 eqidd 2734 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π»β€˜π‘‹) = (π»β€˜π‘‹))
2516, 19, 21, 21, 22, 23, 24ofval 7632 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((𝐺 ∘f + 𝐻)β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹) + (π»β€˜π‘‹)))
2611, 25mpdan 686 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐺 ∘f + 𝐻)β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹) + (π»β€˜π‘‹)))
2710, 26eqtrd 2773 1 (πœ‘ β†’ ((𝐺 ✚ 𝐻)β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹) + (π»β€˜π‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3447   Fn wfn 6495  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ∘f cof 7619  Basecbs 17091  +gcplusg 17141  Scalarcsca 17144  LModclmod 20365  LFnlclfn 37569  LDualcld 37635
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-struct 17027  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-plusg 17154  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-lfl 37570  df-ldual 37636
This theorem is referenced by:  ldualvsubval  37669  lkrin  37676  lcdvaddval  40111
  Copyright terms: Public domain W3C validator