Theorem ldualvaddval 39391

Description: The value of the value of vector addition in the dual of a vector space. (Contributed by NM, 7-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualvaddval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ldualvaddval.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualvaddval.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
ldualvaddval.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualvaddval.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualvaddval.p	⊢ ✚ = (+g‘𝐷)
ldualvaddval.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ldualvaddval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
ldualvaddval.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
ldualvaddval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
ldualvaddval	⊢ (𝜑 → ((𝐺 ✚ 𝐻)‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋) + (𝐻‘𝑋)))

Proof of Theorem ldualvaddval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldualvaddval.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
2		ldualvaddval.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
3		ldualvaddval.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
4		ldualvaddval.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
5		ldualvaddval.p	. . . 4 ⊢ ✚ = (+g‘𝐷)
6		ldualvaddval.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
7		ldualvaddval.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
8		ldualvaddval.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ldualvadd 39389	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ✚ 𝐻) = (𝐺 ∘f + 𝐻))
10	9	fveq1d 6836	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ✚ 𝐻)‘𝑋) = ((𝐺 ∘f + 𝐻)‘𝑋))
11		ldualvaddval.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
12		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13		ldualvaddval.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
14	2, 12, 13, 1	lflf 39323	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:𝑉⟶(Base‘𝑅))
15	14	ffnd 6663	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺 Fn 𝑉)
16	6, 7, 15	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝑉)
17	2, 12, 13, 1	lflf 39323	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) → 𝐻:𝑉⟶(Base‘𝑅))
18	17	ffnd 6663	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) → 𝐻 Fn 𝑉)
19	6, 8, 18	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn 𝑉)
20	13	fvexi 6848	. . . . 5 ⊢ 𝑉 ∈ V
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
22		inidm 4179	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∩ 𝑉) = 𝑉
23		eqidd 2737	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑋))
24		eqidd 2737	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐻‘𝑋) = (𝐻‘𝑋))
25	16, 19, 21, 21, 22, 23, 24	ofval 7633	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝐺 ∘f + 𝐻)‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋) + (𝐻‘𝑋)))
26	11, 25	mpdan 687	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘f + 𝐻)‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋) + (𝐻‘𝑋)))
27	10, 26	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ✚ 𝐻)‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋) + (𝐻‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   Fn wfn 6487  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ∘_f cof 7620  Basecbs 17136  +_gcplusg 17177  Scalarcsca 17180  LModclmod 20811  LFnlclfn 39317  LDualcld 39383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-struct 17074  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-plusg 17190  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-lfl 39318  df-ldual 39384

This theorem is referenced by:  ldualvsubval  39417  lkrin  39424  lcdvaddval  41858