Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldualvaddval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldualvaddval 38659
Description: The value of the value of vector addition in the dual of a vector space. (Contributed by NM, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualvaddval.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
ldualvaddval.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Š)
ldualvaddval.a + = (+gβ€˜π‘…)
ldualvaddval.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
ldualvaddval.d 𝐷 = (LDualβ€˜π‘Š)
ldualvaddval.p ✚ = (+gβ€˜π·)
ldualvaddval.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
ldualvaddval.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
ldualvaddval.h (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝐹)
ldualvaddval.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
ldualvaddval (πœ‘ β†’ ((𝐺 ✚ 𝐻)β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹) + (π»β€˜π‘‹)))

Proof of Theorem ldualvaddval
StepHypRef Expression
1 ldualvaddval.f . . . 4 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
2 ldualvaddval.r . . . 4 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Š)
3 ldualvaddval.a . . . 4 + = (+gβ€˜π‘…)
4 ldualvaddval.d . . . 4 𝐷 = (LDualβ€˜π‘Š)
5 ldualvaddval.p . . . 4 ✚ = (+gβ€˜π·)
6 ldualvaddval.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
7 ldualvaddval.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
8 ldualvaddval.h . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝐹)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8ldualvadd 38657 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 ✚ 𝐻) = (𝐺 ∘f + 𝐻))
109fveq1d 6894 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐺 ✚ 𝐻)β€˜π‘‹) = ((𝐺 ∘f + 𝐻)β€˜π‘‹))
11 ldualvaddval.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
12 eqid 2725 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
13 ldualvaddval.v . . . . . . 7 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
142, 12, 13, 1lflf 38591 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ 𝐺:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘…))
1514ffnd 6718 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ 𝐺 Fn 𝑉)
166, 7, 15syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn 𝑉)
172, 12, 13, 1lflf 38591 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) β†’ 𝐻:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘…))
1817ffnd 6718 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) β†’ 𝐻 Fn 𝑉)
196, 8, 18syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐻 Fn 𝑉)
2013fvexi 6906 . . . . 5 𝑉 ∈ V
2120a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ V)
22 inidm 4213 . . . 4 (𝑉 ∩ 𝑉) = 𝑉
23 eqidd 2726 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘‹) = (πΊβ€˜π‘‹))
24 eqidd 2726 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π»β€˜π‘‹) = (π»β€˜π‘‹))
2516, 19, 21, 21, 22, 23, 24ofval 7693 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((𝐺 ∘f + 𝐻)β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹) + (π»β€˜π‘‹)))
2611, 25mpdan 685 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐺 ∘f + 𝐻)β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹) + (π»β€˜π‘‹)))
2710, 26eqtrd 2765 1 (πœ‘ β†’ ((𝐺 ✚ 𝐻)β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹) + (π»β€˜π‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   Fn wfn 6538  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416   ∘f cof 7680  Basecbs 17179  +gcplusg 17232  Scalarcsca 17235  LModclmod 20747  LFnlclfn 38585  LDualcld 38651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-lfl 38586  df-ldual 38652
This theorem is referenced by:  ldualvsubval  38685  lkrin  38692  lcdvaddval  41127
  Copyright terms: Public domain W3C validator