Theorem ldualvaddval 40005

Description: The value of the value of vector addition in the dual of a vector space. (Contributed by NM, 7-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualvaddval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ldualvaddval.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualvaddval.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
ldualvaddval.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualvaddval.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualvaddval.p	⊢ ✚ = (+g‘𝐷)
ldualvaddval.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ldualvaddval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
ldualvaddval.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
ldualvaddval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
ldualvaddval	⊢ (𝜑 → ((𝐺 ✚ 𝐻)‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋) + (𝐻‘𝑋)))

Proof of Theorem ldualvaddval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldualvaddval.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
2		ldualvaddval.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
3		ldualvaddval.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
4		ldualvaddval.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
5		ldualvaddval.p	. . . 4 ⊢ ✚ = (+g‘𝐷)
6		ldualvaddval.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
7		ldualvaddval.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
8		ldualvaddval.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ldualvadd 40003	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ✚ 𝐻) = (𝐺 ∘f + 𝐻))
10	9	fveq1d 6881	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ✚ 𝐻)‘𝑋) = ((𝐺 ∘f + 𝐻)‘𝑋))
11		ldualvaddval.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
12		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13		ldualvaddval.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
14	2, 12, 13, 1	lflf 39937	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:𝑉⟶(Base‘𝑅))
15	14	ffnd 6704	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺 Fn 𝑉)
16	6, 7, 15	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝑉)
17	2, 12, 13, 1	lflf 39937	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) → 𝐻:𝑉⟶(Base‘𝑅))
18	17	ffnd 6704	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) → 𝐻 Fn 𝑉)
19	6, 8, 18	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn 𝑉)
20	13	fvexi 6893	. . . . 5 ⊢ 𝑉 ∈ V
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
22		inidm 4172	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∩ 𝑉) = 𝑉
23		eqidd 2761	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑋))
24		eqidd 2761	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐻‘𝑋) = (𝐻‘𝑋))
25	16, 19, 21, 21, 22, 23, 24	ofval 7690	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝐺 ∘f + 𝐻)‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋) + (𝐻‘𝑋)))
26	11, 25	mpdan 700	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘f + 𝐻)‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋) + (𝐻‘𝑋)))
27	10, 26	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ✚ 𝐻)‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋) + (𝐻‘𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   Fn wfn 6528  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414   ∘_f cof 7677  Basecbs 17302  +_gcplusg 17343  Scalarcsca 17346  LModclmod 21045  LFnlclfn 39931  LDualcld 39997

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-er 8697  df-map 8829  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-fz 13563  df-struct 17240  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-plusg 17356  df-sca 17359  df-vsca 17360  df-lfl 39932  df-ldual 39998

This theorem is used by:  ldualvsubval  40031  lkrin  40038  lcdvaddval  42472