Theorem ldualvaddval 37145

Description: The value of the value of vector addition in the dual of a vector space. (Contributed by NM, 7-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualvaddval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ldualvaddval.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualvaddval.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
ldualvaddval.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualvaddval.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualvaddval.p	⊢ ✚ = (+g‘𝐷)
ldualvaddval.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ldualvaddval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
ldualvaddval.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
ldualvaddval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
ldualvaddval	⊢ (𝜑 → ((𝐺 ✚ 𝐻)‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋) + (𝐻‘𝑋)))

Proof of Theorem ldualvaddval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldualvaddval.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
2		ldualvaddval.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
3		ldualvaddval.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
4		ldualvaddval.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
5		ldualvaddval.p	. . . 4 ⊢ ✚ = (+g‘𝐷)
6		ldualvaddval.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
7		ldualvaddval.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
8		ldualvaddval.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ldualvadd 37143	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ✚ 𝐻) = (𝐺 ∘f + 𝐻))
10	9	fveq1d 6776	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ✚ 𝐻)‘𝑋) = ((𝐺 ∘f + 𝐻)‘𝑋))
11		ldualvaddval.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
12		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13		ldualvaddval.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
14	2, 12, 13, 1	lflf 37077	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:𝑉⟶(Base‘𝑅))
15	14	ffnd 6601	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺 Fn 𝑉)
16	6, 7, 15	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝑉)
17	2, 12, 13, 1	lflf 37077	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) → 𝐻:𝑉⟶(Base‘𝑅))
18	17	ffnd 6601	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) → 𝐻 Fn 𝑉)
19	6, 8, 18	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn 𝑉)
20	13	fvexi 6788	. . . . 5 ⊢ 𝑉 ∈ V
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
22		inidm 4152	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∩ 𝑉) = 𝑉
23		eqidd 2739	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑋))
24		eqidd 2739	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐻‘𝑋) = (𝐻‘𝑋))
25	16, 19, 21, 21, 22, 23, 24	ofval 7544	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝐺 ∘f + 𝐻)‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋) + (𝐻‘𝑋)))
26	11, 25	mpdan 684	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘f + 𝐻)‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋) + (𝐻‘𝑋)))
27	10, 26	eqtrd 2778	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ✚ 𝐻)‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋) + (𝐻‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   Fn wfn 6428  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ∘_f cof 7531  Basecbs 16912  +_gcplusg 16962  Scalarcsca 16965  LModclmod 20123  LFnlclfn 37071  LDualcld 37137

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-lfl 37072  df-ldual 37138

This theorem is referenced by:  ldualvsubval  37171  lkrin  37178  lcdvaddval  39612