Theorem ldualvaddval 38829

Description: The value of the value of vector addition in the dual of a vector space. (Contributed by NM, 7-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualvaddval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ldualvaddval.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualvaddval.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
ldualvaddval.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualvaddval.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualvaddval.p	⊢ ✚ = (+g‘𝐷)
ldualvaddval.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ldualvaddval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
ldualvaddval.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
ldualvaddval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
ldualvaddval	⊢ (𝜑 → ((𝐺 ✚ 𝐻)‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋) + (𝐻‘𝑋)))

Proof of Theorem ldualvaddval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldualvaddval.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
2		ldualvaddval.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
3		ldualvaddval.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
4		ldualvaddval.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
5		ldualvaddval.p	. . . 4 ⊢ ✚ = (+g‘𝐷)
6		ldualvaddval.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
7		ldualvaddval.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
8		ldualvaddval.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ldualvadd 38827	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ✚ 𝐻) = (𝐺 ∘f + 𝐻))
10	9	fveq1d 6903	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ✚ 𝐻)‘𝑋) = ((𝐺 ∘f + 𝐻)‘𝑋))
11		ldualvaddval.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
12		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13		ldualvaddval.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
14	2, 12, 13, 1	lflf 38761	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:𝑉⟶(Base‘𝑅))
15	14	ffnd 6729	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺 Fn 𝑉)
16	6, 7, 15	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝑉)
17	2, 12, 13, 1	lflf 38761	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) → 𝐻:𝑉⟶(Base‘𝑅))
18	17	ffnd 6729	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) → 𝐻 Fn 𝑉)
19	6, 8, 18	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn 𝑉)
20	13	fvexi 6915	. . . . 5 ⊢ 𝑉 ∈ V
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
22		inidm 4220	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∩ 𝑉) = 𝑉
23		eqidd 2727	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑋))
24		eqidd 2727	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐻‘𝑋) = (𝐻‘𝑋))
25	16, 19, 21, 21, 22, 23, 24	ofval 7701	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝐺 ∘f + 𝐻)‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋) + (𝐻‘𝑋)))
26	11, 25	mpdan 685	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘f + 𝐻)‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋) + (𝐻‘𝑋)))
27	10, 26	eqtrd 2766	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ✚ 𝐻)‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋) + (𝐻‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3462   Fn wfn 6549  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424   ∘_f cof 7688  Basecbs 17213  +_gcplusg 17266  Scalarcsca 17269  LModclmod 20836  LFnlclfn 38755  LDualcld 38821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-map 8857  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-fz 13539  df-struct 17149  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-plusg 17279  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-lfl 38756  df-ldual 38822

This theorem is referenced by:  ldualvsubval  38855  lkrin  38862  lcdvaddval  41297