Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldualvaddval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldualvaddval 39089
Description: The value of the value of vector addition in the dual of a vector space. (Contributed by NM, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualvaddval.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ldualvaddval.r 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualvaddval.a + = (+g𝑅)
ldualvaddval.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualvaddval.d 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualvaddval.p = (+g𝐷)
ldualvaddval.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
ldualvaddval.g (𝜑𝐺𝐹)
ldualvaddval.h (𝜑𝐻𝐹)
ldualvaddval.x (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
ldualvaddval (𝜑 → ((𝐺 𝐻)‘𝑋) = ((𝐺𝑋) + (𝐻𝑋)))

Proof of Theorem ldualvaddval
StepHypRef Expression
1 ldualvaddval.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
2 ldualvaddval.r . . . 4 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
3 ldualvaddval.a . . . 4 + = (+g𝑅)
4 ldualvaddval.d . . . 4 𝐷 = (LDual‘𝑊)
5 ldualvaddval.p . . . 4 = (+g𝐷)
6 ldualvaddval.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
7 ldualvaddval.g . . . 4 (𝜑𝐺𝐹)
8 ldualvaddval.h . . . 4 (𝜑𝐻𝐹)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8ldualvadd 39087 . . 3 (𝜑 → (𝐺 𝐻) = (𝐺f + 𝐻))
109fveq1d 6924 . 2 (𝜑 → ((𝐺 𝐻)‘𝑋) = ((𝐺f + 𝐻)‘𝑋))
11 ldualvaddval.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
12 eqid 2740 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13 ldualvaddval.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑊)
142, 12, 13, 1lflf 39021 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → 𝐺:𝑉⟶(Base‘𝑅))
1514ffnd 6750 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → 𝐺 Fn 𝑉)
166, 7, 15syl2anc 583 . . . 4 (𝜑𝐺 Fn 𝑉)
172, 12, 13, 1lflf 39021 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐻𝐹) → 𝐻:𝑉⟶(Base‘𝑅))
1817ffnd 6750 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐻𝐹) → 𝐻 Fn 𝑉)
196, 8, 18syl2anc 583 . . . 4 (𝜑𝐻 Fn 𝑉)
2013fvexi 6936 . . . . 5 𝑉 ∈ V
2120a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑉 ∈ V)
22 inidm 4248 . . . 4 (𝑉𝑉) = 𝑉
23 eqidd 2741 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑉) → (𝐺𝑋) = (𝐺𝑋))
24 eqidd 2741 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑉) → (𝐻𝑋) = (𝐻𝑋))
2516, 19, 21, 21, 22, 23, 24ofval 7727 . . 3 ((𝜑𝑋𝑉) → ((𝐺f + 𝐻)‘𝑋) = ((𝐺𝑋) + (𝐻𝑋)))
2611, 25mpdan 686 . 2 (𝜑 → ((𝐺f + 𝐻)‘𝑋) = ((𝐺𝑋) + (𝐻𝑋)))
2710, 26eqtrd 2780 1 (𝜑 → ((𝐺 𝐻)‘𝑋) = ((𝐺𝑋) + (𝐻𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2108  Vcvv 3488   Fn wfn 6570  cfv 6575  (class class class)co 7450  f cof 7714  Basecbs 17260  +gcplusg 17313  Scalarcsca 17316  LModclmod 20882  LFnlclfn 39015  LDualcld 39081
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-of 7716  df-om 7906  df-1st 8032  df-2nd 8033  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-1o 8524  df-er 8765  df-map 8888  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-fin 9009  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12296  df-2 12358  df-3 12359  df-4 12360  df-5 12361  df-6 12362  df-n0 12556  df-z 12642  df-uz 12906  df-fz 13570  df-struct 17196  df-slot 17231  df-ndx 17243  df-base 17261  df-plusg 17326  df-sca 17329  df-vsca 17330  df-lfl 39016  df-ldual 39082
This theorem is referenced by:  ldualvsubval  39115  lkrin  39122  lcdvaddval  41557
  Copyright terms: Public domain W3C validator