Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldualvaddval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldualvaddval 38514
Description: The value of the value of vector addition in the dual of a vector space. (Contributed by NM, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualvaddval.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
ldualvaddval.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Š)
ldualvaddval.a + = (+gβ€˜π‘…)
ldualvaddval.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
ldualvaddval.d 𝐷 = (LDualβ€˜π‘Š)
ldualvaddval.p ✚ = (+gβ€˜π·)
ldualvaddval.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
ldualvaddval.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
ldualvaddval.h (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝐹)
ldualvaddval.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
ldualvaddval (πœ‘ β†’ ((𝐺 ✚ 𝐻)β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹) + (π»β€˜π‘‹)))

Proof of Theorem ldualvaddval
StepHypRef Expression
1 ldualvaddval.f . . . 4 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
2 ldualvaddval.r . . . 4 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Š)
3 ldualvaddval.a . . . 4 + = (+gβ€˜π‘…)
4 ldualvaddval.d . . . 4 𝐷 = (LDualβ€˜π‘Š)
5 ldualvaddval.p . . . 4 ✚ = (+gβ€˜π·)
6 ldualvaddval.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
7 ldualvaddval.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
8 ldualvaddval.h . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝐹)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8ldualvadd 38512 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 ✚ 𝐻) = (𝐺 ∘f + 𝐻))
109fveq1d 6887 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐺 ✚ 𝐻)β€˜π‘‹) = ((𝐺 ∘f + 𝐻)β€˜π‘‹))
11 ldualvaddval.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
12 eqid 2726 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
13 ldualvaddval.v . . . . . . 7 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
142, 12, 13, 1lflf 38446 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ 𝐺:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘…))
1514ffnd 6712 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ 𝐺 Fn 𝑉)
166, 7, 15syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn 𝑉)
172, 12, 13, 1lflf 38446 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) β†’ 𝐻:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘…))
1817ffnd 6712 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) β†’ 𝐻 Fn 𝑉)
196, 8, 18syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐻 Fn 𝑉)
2013fvexi 6899 . . . . 5 𝑉 ∈ V
2120a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ V)
22 inidm 4213 . . . 4 (𝑉 ∩ 𝑉) = 𝑉
23 eqidd 2727 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘‹) = (πΊβ€˜π‘‹))
24 eqidd 2727 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π»β€˜π‘‹) = (π»β€˜π‘‹))
2516, 19, 21, 21, 22, 23, 24ofval 7678 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((𝐺 ∘f + 𝐻)β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹) + (π»β€˜π‘‹)))
2611, 25mpdan 684 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐺 ∘f + 𝐻)β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹) + (π»β€˜π‘‹)))
2710, 26eqtrd 2766 1 (πœ‘ β†’ ((𝐺 ✚ 𝐻)β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹) + (π»β€˜π‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   Fn wfn 6532  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∘f cof 7665  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  Scalarcsca 17209  LModclmod 20706  LFnlclfn 38440  LDualcld 38506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-lfl 38441  df-ldual 38507
This theorem is referenced by:  ldualvsubval  38540  lkrin  38547  lcdvaddval  40982
  Copyright terms: Public domain W3C validator