Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climlimsup Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climlimsup 42193
 Description: A sequence of real numbers converges if and only if it converges to its superior limit. The first hypothesis is needed (see climlimsupcex 42202 for a counterexample) (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
climlimsup.1 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climlimsup.2 𝑍 = (ℤ𝑀)
climlimsup.3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
Assertion
Ref Expression
climlimsup (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)))

Proof of Theorem climlimsup
Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climlimsup.2 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climlimsup.3 . . . 4 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
32adantr 484 . . 3 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
4 climlimsup.1 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
54adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝑀 ∈ ℤ)
6 simpr 488 . . . 4 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
71climcau 15006 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥)
85, 6, 7syl2anc 587 . . 3 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥)
91, 3, 8caurcvg 15012 . 2 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹))
10 climrel 14828 . . . 4 Rel ⇝
11 releldm 5787 . . . 4 ((Rel ⇝ ∧ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
1210, 11mpan 689 . . 3 (𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
1312adantl 485 . 2 ((𝜑𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
149, 13impbida 800 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∀wral 3126  ∃wrex 3127   class class class wbr 5039  dom cdm 5528  Rel wrel 5533  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7130  ℝcr 10513   < clt 10652   − cmin 10847  ℤcz 11959  ℤ≥cuz 12221  ℝ+crp 12367  abscabs 14572  lim supclsp 14806   ⇝ cli 14820 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-er 8264  df-pm 8384  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-sup 8882  df-inf 8883  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-rp 12368  df-ico 12722  df-fl 13145  df-seq 13353  df-exp 13414  df-cj 14437  df-re 14438  df-im 14439  df-sqrt 14573  df-abs 14574  df-limsup 14807  df-clim 14824  df-rlim 14825 This theorem is referenced by:  climliminflimsupd  42234  climliminf  42239
 Copyright terms: Public domain W3C validator