Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmopcoadj0i Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: An operator composed with its adjoint is zero iff the operator is zero. Theorem 3.11(vii) of [Beran] p. 106. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
Assertion
Ref Expression

StepHypRef Expression
1 nmopcoadj.1 . . . . 5 𝑇 ∈ BndLinOp
32eqeq1i 2803 . . 3 ((normop‘(𝑇 ∘ (adj𝑇))) = 0 ↔ ((normop𝑇)↑2) = 0)
4 nmopre 29697 . . . . . 6 (𝑇 ∈ BndLinOp → (normop𝑇) ∈ ℝ)
51, 4ax-mp 5 . . . . 5 (normop𝑇) ∈ ℝ
65recni 10662 . . . 4 (normop𝑇) ∈ ℂ
76sqeq0i 13561 . . 3 (((normop𝑇)↑2) = 0 ↔ (normop𝑇) = 0)
83, 7bitri 278 . 2 ((normop‘(𝑇 ∘ (adj𝑇))) = 0 ↔ (normop𝑇) = 0)
9 bdopln 29688 . . . . 5 (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇 ∈ LinOp)
101, 9ax-mp 5 . . . 4 𝑇 ∈ LinOp
11 adjbdln 29910 . . . . . 6 (𝑇 ∈ BndLinOp → (adj𝑇) ∈ BndLinOp)
121, 11ax-mp 5 . . . . 5 (adj𝑇) ∈ BndLinOp
13 bdopln 29688 . . . . 5 ((adj𝑇) ∈ BndLinOp → (adj𝑇) ∈ LinOp)
1412, 13ax-mp 5 . . . 4 (adj𝑇) ∈ LinOp
1510, 14lnopcoi 29830 . . 3 (𝑇 ∘ (adj𝑇)) ∈ LinOp
1615nmlnop0iHIL 29823 . 2 ((normop‘(𝑇 ∘ (adj𝑇))) = 0 ↔ (𝑇 ∘ (adj𝑇)) = 0hop )
1710nmlnop0iHIL 29823 . 2 ((normop𝑇) = 0 ↔ 𝑇 = 0hop )
188, 16, 173bitr3i 304 1 ((𝑇 ∘ (adj𝑇)) = 0hop𝑇 = 0hop )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∘ ccom 5527  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145  ℝcr 10543  0cc0 10544  2c2 11698  ↑cexp 13445   0hop ch0o 28770  normopcnop 28772  LinOpclo 28774  BndLinOpcbo 28775  adjℎcado 28782 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-inf2 9106  ax-cc 9864  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621  ax-pre-sup 10622  ax-addf 10623  ax-mulf 10624  ax-hilex 28826  ax-hfvadd 28827  ax-hvcom 28828  ax-hvass 28829  ax-hv0cl 28830  ax-hvaddid 28831  ax-hfvmul 28832  ax-hvmulid 28833  ax-hvmulass 28834  ax-hvdistr1 28835  ax-hvdistr2 28836  ax-hvmul0 28837  ax-hfi 28906  ax-his1 28909  ax-his2 28910  ax-his3 28911  ax-his4 28912  ax-hcompl 29029 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-iin 4888  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-isom 6341  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7400  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-1o 8103  df-2o 8104  df-oadd 8107  df-omul 8108  df-er 8290  df-map 8409  df-pm 8410  df-ixp 8463  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-fin 8514  df-fsupp 8836  df-fi 8877  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-card 9370  df-acn 9373  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-div 11305  df-nn 11644  df-2 11706  df-3 11707  df-4 11708  df-5 11709  df-6 11710  df-7 11711  df-8 11712  df-9 11713  df-n0 11904  df-z 11990  df-dec 12107  df-uz 12252  df-q 12357  df-rp 12398  df-xneg 12515  df-xadd 12516  df-xmul 12517  df-ioo 12750  df-ico 12752  df-icc 12753  df-fz 12906  df-fzo 13049  df-fl 13177  df-seq 13385  df-exp 13446  df-hash 13707  df-cj 14470  df-re 14471  df-im 14472  df-sqrt 14606  df-abs 14607  df-clim 14857  df-rlim 14858  df-sum 15055  df-struct 16497  df-ndx 16498  df-slot 16499  df-base 16501  df-sets 16502  df-ress 16503  df-plusg 16590  df-mulr 16591  df-starv 16592  df-sca 16593  df-vsca 16594  df-ip 16595  df-tset 16596  df-ple 16597  df-ds 16599  df-unif 16600  df-hom 16601  df-cco 16602  df-rest 16708  df-topn 16709  df-0g 16727  df-gsum 16728  df-topgen 16729  df-pt 16730  df-prds 16733  df-xrs 16787  df-qtop 16792  df-imas 16793  df-xps 16795  df-mre 16869  df-mrc 16870  df-acs 16872  df-mgm 17864  df-sgrp 17913  df-mnd 17924  df-submnd 17969  df-mulg 18238  df-cntz 18460  df-cmn 18921  df-psmet 20104  df-xmet 20105  df-met 20106  df-bl 20107  df-mopn 20108  df-fbas 20109  df-fg 20110  df-cnfld 20113  df-top 21540  df-topon 21557  df-topsp 21579  df-bases 21592  df-cld 21665  df-ntr 21666  df-cls 21667  df-nei 21744  df-cn 21873  df-cnp 21874  df-lm 21875  df-t1 21960  df-haus 21961  df-tx 22208  df-hmeo 22401  df-fil 22492  df-fm 22584  df-flim 22585  df-flf 22586  df-xms 22968  df-ms 22969  df-tms 22970  df-cfil 23900  df-cau 23901  df-cmet 23902  df-grpo 28320  df-gid 28321  df-ginv 28322  df-gdiv 28323  df-ablo 28372  df-vc 28386  df-nv 28419  df-va 28422  df-ba 28423  df-sm 28424  df-0v 28425  df-vs 28426  df-nmcv 28427  df-ims 28428  df-dip 28528  df-ssp 28549  df-lno 28571  df-nmoo 28572  df-0o 28574  df-ph 28640  df-cbn 28690  df-hnorm 28795  df-hba 28796  df-hvsub 28798  df-hlim 28799  df-hcau 28800  df-sh 29034  df-ch 29048  df-oc 29079  df-ch0 29080  df-shs 29135  df-pjh 29222  df-h0op 29575  df-nmop 29666  df-cnop 29667  df-lnop 29668  df-bdop 29669  df-unop 29670  df-hmop 29671  df-nmfn 29672  df-nlfn 29673  df-cnfn 29674  df-lnfn 29675  df-adjh 29676 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator