Theorem nmopcoadj0i 32145

Description: An operator composed with its adjoint is zero iff the operator is zero. Theorem 3.11(vii) of [Beran] p. 106. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
nmopcoadj.1	⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp

Assertion

Ref	Expression
nmopcoadj0i	⊢ ((𝑇 ∘ (adjℎ‘𝑇)) = 0hop ↔ 𝑇 = 0hop )

Proof of Theorem nmopcoadj0i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmopcoadj.1	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp
2	1	nmopcoadj2i 32144	. . . 4 ⊢ (normop‘(𝑇 ∘ (adjℎ‘𝑇))) = ((normop‘𝑇)↑2)
3	2	eqeq1i 2741	. . 3 ⊢ ((normop‘(𝑇 ∘ (adjℎ‘𝑇))) = 0 ↔ ((normop‘𝑇)↑2) = 0)
4		nmopre 31912	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → (normop‘𝑇) ∈ ℝ)
5	1, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℝ
6	5	recni 11279	. . . 4 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℂ
7	6	sqeq0i 14224	. . 3 ⊢ (((normop‘𝑇)↑2) = 0 ↔ (normop‘𝑇) = 0)
8	3, 7	bitri 275	. 2 ⊢ ((normop‘(𝑇 ∘ (adjℎ‘𝑇))) = 0 ↔ (normop‘𝑇) = 0)
9		bdopln 31903	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇 ∈ LinOp)
10	1, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
11		adjbdln 32125	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → (adjℎ‘𝑇) ∈ BndLinOp)
12	1, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (adjℎ‘𝑇) ∈ BndLinOp
13		bdopln 31903	. . . . 5 ⊢ ((adjℎ‘𝑇) ∈ BndLinOp → (adjℎ‘𝑇) ∈ LinOp)
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (adjℎ‘𝑇) ∈ LinOp
15	10, 14	lnopcoi 32045	. . 3 ⊢ (𝑇 ∘ (adjℎ‘𝑇)) ∈ LinOp
16	15	nmlnop0iHIL 32038	. 2 ⊢ ((normop‘(𝑇 ∘ (adjℎ‘𝑇))) = 0 ↔ (𝑇 ∘ (adjℎ‘𝑇)) = 0hop )
17	10	nmlnop0iHIL 32038	. 2 ⊢ ((normop‘𝑇) = 0 ↔ 𝑇 = 0hop )
18	8, 16, 17	3bitr3i 301	1 ⊢ ((𝑇 ∘ (adjℎ‘𝑇)) = 0hop ↔ 𝑇 = 0hop )

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1538   ∈ wcel 2107   ∘ ccom 5694  ‘cfv 6566  (class class class)co 7435  ℝcr 11158  0cc0 11159  2c2 12325  ↑cexp 14105   0_hop ch0o 30985  norm_opcnop 30987  LinOpclo 30989  BndLinOpcbo 30990  adj_ℎcado 30997

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5286  ax-sep 5303  ax-nul 5313  ax-pow 5372  ax-pr 5439  ax-un 7758  ax-inf2 9685  ax-cc 10479  ax-cnex 11215  ax-resscn 11216  ax-1cn 11217  ax-icn 11218  ax-addcl 11219  ax-addrcl 11220  ax-mulcl 11221  ax-mulrcl 11222  ax-mulcom 11223  ax-addass 11224  ax-mulass 11225  ax-distr 11226  ax-i2m1 11227  ax-1ne0 11228  ax-1rid 11229  ax-rnegex 11230  ax-rrecex 11231  ax-cnre 11232  ax-pre-lttri 11233  ax-pre-lttrn 11234  ax-pre-ltadd 11235  ax-pre-mulgt0 11236  ax-pre-sup 11237  ax-addf 11238  ax-mulf 11239  ax-hilex 31041  ax-hfvadd 31042  ax-hvcom 31043  ax-hvass 31044  ax-hv0cl 31045  ax-hvaddid 31046  ax-hfvmul 31047  ax-hvmulid 31048  ax-hvmulass 31049  ax-hvdistr1 31050  ax-hvdistr2 31051  ax-hvmul0 31052  ax-hfi 31121  ax-his1 31124  ax-his2 31125  ax-his3 31126  ax-his4 31127  ax-hcompl 31244

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3435  df-v 3481  df-sbc 3793  df-csb 3910  df-dif 3967  df-un 3969  df-in 3971  df-ss 3981  df-pss 3984  df-nul 4341  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4914  df-int 4953  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5584  df-eprel 5590  df-po 5598  df-so 5599  df-fr 5642  df-se 5643  df-we 5644  df-xp 5696  df-rel 5697  df-cnv 5698  df-co 5699  df-dm 5700  df-rn 5701  df-res 5702  df-ima 5703  df-pred 6326  df-ord 6392  df-on 6393  df-lim 6394  df-suc 6395  df-iota 6519  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7392  df-ov 7438  df-oprab 7439  df-mpo 7440  df-of 7701  df-om 7892  df-1st 8019  df-2nd 8020  df-supp 8191  df-frecs 8311  df-wrecs 8342  df-recs 8416  df-rdg 8455  df-1o 8511  df-2o 8512  df-oadd 8515  df-omul 8516  df-er 8750  df-map 8873  df-pm 8874  df-ixp 8943  df-en 8991  df-dom 8992  df-sdom 8993  df-fin 8994  df-fsupp 9406  df-fi 9455  df-sup 9486  df-inf 9487  df-oi 9554  df-card 9983  df-acn 9986  df-pnf 11301  df-mnf 11302  df-xr 11303  df-ltxr 11304  df-le 11305  df-sub 11498  df-neg 11499  df-div 11925  df-nn 12271  df-2 12333  df-3 12334  df-4 12335  df-5 12336  df-6 12337  df-7 12338  df-8 12339  df-9 12340  df-n0 12531  df-z 12618  df-dec 12738  df-uz 12883  df-q 12995  df-rp 13039  df-xneg 13158  df-xadd 13159  df-xmul 13160  df-ioo 13394  df-ico 13396  df-icc 13397  df-fz 13551  df-fzo 13698  df-fl 13835  df-seq 14046  df-exp 14106  df-hash 14373  df-cj 15141  df-re 15142  df-im 15143  df-sqrt 15277  df-abs 15278  df-clim 15527  df-rlim 15528  df-sum 15726  df-struct 17187  df-sets 17204  df-slot 17222  df-ndx 17234  df-base 17252  df-ress 17281  df-plusg 17317  df-mulr 17318  df-starv 17319  df-sca 17320  df-vsca 17321  df-ip 17322  df-tset 17323  df-ple 17324  df-ds 17326  df-unif 17327  df-hom 17328  df-cco 17329  df-rest 17475  df-topn 17476  df-0g 17494  df-gsum 17495  df-topgen 17496  df-pt 17497  df-prds 17500  df-xrs 17555  df-qtop 17560  df-imas 17561  df-xps 17563  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-mgm 18672  df-sgrp 18751  df-mnd 18767  df-submnd 18816  df-mulg 19105  df-cntz 19354  df-cmn 19821  df-psmet 21380  df-xmet 21381  df-met 21382  df-bl 21383  df-mopn 21384  df-fbas 21385  df-fg 21386  df-cnfld 21389  df-top 22922  df-topon 22939  df-topsp 22961  df-bases 22975  df-cld 23049  df-ntr 23050  df-cls 23051  df-nei 23128  df-cn 23257  df-cnp 23258  df-lm 23259  df-t1 23344  df-haus 23345  df-tx 23592  df-hmeo 23785  df-fil 23876  df-fm 23968  df-flim 23969  df-flf 23970  df-xms 24352  df-ms 24353  df-tms 24354  df-cfil 25311  df-cau 25312  df-cmet 25313  df-grpo 30535  df-gid 30536  df-ginv 30537  df-gdiv 30538  df-ablo 30587  df-vc 30601  df-nv 30634  df-va 30637  df-ba 30638  df-sm 30639  df-0v 30640  df-vs 30641  df-nmcv 30642  df-ims 30643  df-dip 30743  df-ssp 30764  df-lno 30786  df-nmoo 30787  df-0o 30789  df-ph 30855  df-cbn 30905  df-hnorm 31010  df-hba 31011  df-hvsub 31013  df-hlim 31014  df-hcau 31015  df-sh 31249  df-ch 31263  df-oc 31294  df-ch0 31295  df-shs 31350  df-pjh 31437  df-h0op 31790  df-nmop 31881  df-cnop 31882  df-lnop 31883  df-bdop 31884  df-unop 31885  df-hmop 31886  df-nmfn 31887  df-nlfn 31888  df-cnfn 31889  df-lnfn 31890  df-adjh 31891

This theorem is referenced by: (None)