Theorem nmopcoadj0i 32090

Description: An operator composed with its adjoint is zero iff the operator is zero. Theorem 3.11(vii) of [Beran] p. 106. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
nmopcoadj.1	⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp

Assertion

Ref	Expression
nmopcoadj0i	⊢ ((𝑇 ∘ (adjℎ‘𝑇)) = 0hop ↔ 𝑇 = 0hop )

Proof of Theorem nmopcoadj0i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmopcoadj.1	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp
2	1	nmopcoadj2i 32089	. . . 4 ⊢ (normop‘(𝑇 ∘ (adjℎ‘𝑇))) = ((normop‘𝑇)↑2)
3	2	eqeq1i 2736	. . 3 ⊢ ((normop‘(𝑇 ∘ (adjℎ‘𝑇))) = 0 ↔ ((normop‘𝑇)↑2) = 0)
4		nmopre 31857	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → (normop‘𝑇) ∈ ℝ)
5	1, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℝ
6	5	recni 11132	. . . 4 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℂ
7	6	sqeq0i 14095	. . 3 ⊢ (((normop‘𝑇)↑2) = 0 ↔ (normop‘𝑇) = 0)
8	3, 7	bitri 275	. 2 ⊢ ((normop‘(𝑇 ∘ (adjℎ‘𝑇))) = 0 ↔ (normop‘𝑇) = 0)
9		bdopln 31848	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇 ∈ LinOp)
10	1, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
11		adjbdln 32070	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → (adjℎ‘𝑇) ∈ BndLinOp)
12	1, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (adjℎ‘𝑇) ∈ BndLinOp
13		bdopln 31848	. . . . 5 ⊢ ((adjℎ‘𝑇) ∈ BndLinOp → (adjℎ‘𝑇) ∈ LinOp)
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (adjℎ‘𝑇) ∈ LinOp
15	10, 14	lnopcoi 31990	. . 3 ⊢ (𝑇 ∘ (adjℎ‘𝑇)) ∈ LinOp
16	15	nmlnop0iHIL 31983	. 2 ⊢ ((normop‘(𝑇 ∘ (adjℎ‘𝑇))) = 0 ↔ (𝑇 ∘ (adjℎ‘𝑇)) = 0hop )
17	10	nmlnop0iHIL 31983	. 2 ⊢ ((normop‘𝑇) = 0 ↔ 𝑇 = 0hop )
18	8, 16, 17	3bitr3i 301	1 ⊢ ((𝑇 ∘ (adjℎ‘𝑇)) = 0hop ↔ 𝑇 = 0hop )

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ∘ ccom 5623  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352  ℝcr 11011  0cc0 11012  2c2 12186  ↑cexp 13974   0_hop ch0o 30930  norm_opcnop 30932  LinOpclo 30934  BndLinOpcbo 30935  adj_ℎcado 30942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-inf2 9537  ax-cc 10332  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089  ax-pre-sup 11090  ax-addf 11091  ax-mulf 11092  ax-hilex 30986  ax-hfvadd 30987  ax-hvcom 30988  ax-hvass 30989  ax-hv0cl 30990  ax-hvaddid 30991  ax-hfvmul 30992  ax-hvmulid 30993  ax-hvmulass 30994  ax-hvdistr1 30995  ax-hvdistr2 30996  ax-hvmul0 30997  ax-hfi 31066  ax-his1 31069  ax-his2 31070  ax-his3 31071  ax-his4 31072  ax-hcompl 31189

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-isom 6496  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-oadd 8395  df-omul 8396  df-er 8628  df-map 8758  df-pm 8759  df-ixp 8828  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fsupp 9252  df-fi 9301  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-card 9838  df-acn 9841  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-div 11781  df-nn 12132  df-2 12194  df-3 12195  df-4 12196  df-5 12197  df-6 12198  df-7 12199  df-8 12200  df-9 12201  df-n0 12388  df-z 12475  df-dec 12595  df-uz 12739  df-q 12853  df-rp 12897  df-xneg 13017  df-xadd 13018  df-xmul 13019  df-ioo 13255  df-ico 13257  df-icc 13258  df-fz 13414  df-fzo 13561  df-fl 13702  df-seq 13915  df-exp 13975  df-hash 14244  df-cj 15012  df-re 15013  df-im 15014  df-sqrt 15148  df-abs 15149  df-clim 15401  df-rlim 15402  df-sum 15600  df-struct 17064  df-sets 17081  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17127  df-ress 17148  df-plusg 17180  df-mulr 17181  df-starv 17182  df-sca 17183  df-vsca 17184  df-ip 17185  df-tset 17186  df-ple 17187  df-ds 17189  df-unif 17190  df-hom 17191  df-cco 17192  df-rest 17332  df-topn 17333  df-0g 17351  df-gsum 17352  df-topgen 17353  df-pt 17354  df-prds 17357  df-xrs 17412  df-qtop 17417  df-imas 17418  df-xps 17420  df-mre 17494  df-mrc 17495  df-acs 17497  df-mgm 18554  df-sgrp 18633  df-mnd 18649  df-submnd 18698  df-mulg 18987  df-cntz 19235  df-cmn 19700  df-psmet 21289  df-xmet 21290  df-met 21291  df-bl 21292  df-mopn 21293  df-fbas 21294  df-fg 21295  df-cnfld 21298  df-top 22815  df-topon 22832  df-topsp 22854  df-bases 22867  df-cld 22940  df-ntr 22941  df-cls 22942  df-nei 23019  df-cn 23148  df-cnp 23149  df-lm 23150  df-t1 23235  df-haus 23236  df-tx 23483  df-hmeo 23676  df-fil 23767  df-fm 23859  df-flim 23860  df-flf 23861  df-xms 24241  df-ms 24242  df-tms 24243  df-cfil 25188  df-cau 25189  df-cmet 25190  df-grpo 30480  df-gid 30481  df-ginv 30482  df-gdiv 30483  df-ablo 30532  df-vc 30546  df-nv 30579  df-va 30582  df-ba 30583  df-sm 30584  df-0v 30585  df-vs 30586  df-nmcv 30587  df-ims 30588  df-dip 30688  df-ssp 30709  df-lno 30731  df-nmoo 30732  df-0o 30734  df-ph 30800  df-cbn 30850  df-hnorm 30955  df-hba 30956  df-hvsub 30958  df-hlim 30959  df-hcau 30960  df-sh 31194  df-ch 31208  df-oc 31239  df-ch0 31240  df-shs 31295  df-pjh 31382  df-h0op 31735  df-nmop 31826  df-cnop 31827  df-lnop 31828  df-bdop 31829  df-unop 31830  df-hmop 31831  df-nmfn 31832  df-nlfn 31833  df-cnfn 31834  df-lnfn 31835  df-adjh 31836

This theorem is referenced by: (None)