Theorem lnophdi 31884

Description: The difference of two linear operators is linear. (Contributed by NM, 27-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lnopco.1	⊢ 𝑆 ∈ LinOp
lnopco.2	⊢ 𝑇 ∈ LinOp

Assertion

Ref	Expression
lnophdi	⊢ (𝑆 −op 𝑇) ∈ LinOp

Proof of Theorem lnophdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnopco.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 ∈ LinOp
2	1	lnopfi 31851	. . 3 ⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
3		lnopco.2	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
4	3	lnopfi 31851	. . 3 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
5	2, 4	honegsubi 31678	. 2 ⊢ (𝑆 +op (-1 ·op 𝑇)) = (𝑆 −op 𝑇)
6		neg1cn 12359	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
7	3	lnopmi 31882	. . . 4 ⊢ (-1 ∈ ℂ → (-1 ·op 𝑇) ∈ LinOp)
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (-1 ·op 𝑇) ∈ LinOp
9	1, 8	lnophsi 31883	. 2 ⊢ (𝑆 +op (-1 ·op 𝑇)) ∈ LinOp
10	5, 9	eqeltrri 2822	1 ⊢ (𝑆 −op 𝑇) ∈ LinOp

Syntax hints:   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7419  ℂcc 11138  1c1 11141  -cneg 11477   +_op chos 30820   ·_op chot 30821   −_op chod 30822  LinOpclo 30829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-hilex 30881  ax-hfvadd 30882  ax-hvcom 30883  ax-hvass 30884  ax-hv0cl 30885  ax-hvaddid 30886  ax-hfvmul 30887  ax-hvmulid 30888  ax-hvmulass 30889  ax-hvdistr1 30890  ax-hvdistr2 30891  ax-hvmul0 30892

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-ltxr 11285  df-sub 11478  df-neg 11479  df-hvsub 30853  df-hosum 31612  df-homul 31613  df-hodif 31614  df-lnop 31723

This theorem is referenced by:  lnopeqi  31890