Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lplnri2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lplnri2N 37822
Description: Property of a lattice plane expressed as the join of 3 atoms. (Contributed by NM, 30-Jul-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lplnri1.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
lplnri1.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
lplnri1.p 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
lplnri1.y π‘Œ = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
lplnri2N ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ 𝑄 β‰  𝑆)

Proof of Theorem lplnri2N
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . . 3 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
2 lplnri1.j . . 3 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
3 lplnri1.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
4 lplnri1.p . . 3 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
5 lplnri1.y . . 3 π‘Œ = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)
61, 2, 3, 4, 5lplnriaN 37818 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ Β¬ 𝑄(leβ€˜πΎ)(𝑅 ∨ 𝑆))
71, 2, 3atnlej2 37648 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑄(leβ€˜πΎ)(𝑅 ∨ 𝑆)) β†’ 𝑄 β‰  𝑆)
86, 7syld3an3 1408 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ 𝑄 β‰  𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2940   class class class wbr 5092  β€˜cfv 6479  (class class class)co 7337  lecple 17066  joincjn 18126  Atomscatm 37530  HLchlt 37617  LPlanesclpl 37760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-id 5518  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-proset 18110  df-poset 18128  df-plt 18145  df-lub 18161  df-glb 18162  df-join 18163  df-meet 18164  df-p0 18240  df-lat 18247  df-clat 18314  df-oposet 37443  df-ol 37445  df-oml 37446  df-covers 37533  df-ats 37534  df-atl 37565  df-cvlat 37589  df-hlat 37618  df-llines 37766  df-lplanes 37767
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator