Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lplnriaN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lplnriaN 36846
 Description: Property of a lattice plane expressed as the join of 3 atoms. (Contributed by NM, 30-Jul-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
islpln2a.l = (le‘𝐾)
islpln2a.j = (join‘𝐾)
islpln2a.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
islpln2a.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
islpln2a.y 𝑌 = ((𝑄 𝑅) 𝑆)
Assertion
Ref Expression
lplnriaN ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑌𝑃) → ¬ 𝑄 (𝑅 𝑆))

Proof of Theorem lplnriaN
StepHypRef Expression
1 islpln2a.l . . . 4 = (le‘𝐾)
2 islpln2a.j . . . 4 = (join‘𝐾)
3 islpln2a.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 islpln2a.p . . . 4 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
5 islpln2a.y . . . 4 𝑌 = ((𝑄 𝑅) 𝑆)
61, 2, 3, 4, 5islpln2ah 36845 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (𝑌𝑃 ↔ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅))))
71, 2, 3hlatcon3 36747 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅))) → ¬ 𝑄 (𝑅 𝑆))
873expia 1118 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → ((𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → ¬ 𝑄 (𝑅 𝑆)))
96, 8sylbid 243 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (𝑌𝑃 → ¬ 𝑄 (𝑅 𝑆)))
1093impia 1114 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑌𝑃) → ¬ 𝑄 (𝑅 𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  lecple 16564  joincjn 17546  Atomscatm 36559  HLchlt 36646  LPlanesclpl 36788 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-lat 17648  df-clat 17710  df-oposet 36472  df-ol 36474  df-oml 36475  df-covers 36562  df-ats 36563  df-atl 36594  df-cvlat 36618  df-hlat 36647  df-llines 36794  df-lplanes 36795 This theorem is referenced by:  lplnri2N  36850  lplnllnneN  36852
 Copyright terms: Public domain W3C validator