Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lplnri3N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lplnri3N 37131
 Description: Property of a lattice plane expressed as the join of 3 atoms. (Contributed by NM, 30-Jul-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lplnri1.j = (join‘𝐾)
lplnri1.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lplnri1.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
lplnri1.y 𝑌 = ((𝑄 𝑅) 𝑆)
Assertion
Ref Expression
lplnri3N ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑌𝑃) → 𝑅𝑆)

Proof of Theorem lplnri3N
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑌𝑃) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp22 1204 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑌𝑃) → 𝑅𝐴)
3 simp21 1203 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑌𝑃) → 𝑄𝐴)
4 simp23 1205 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑌𝑃) → 𝑆𝐴)
5 eqid 2758 . . 3 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
6 lplnri1.j . . 3 = (join‘𝐾)
7 lplnri1.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8 lplnri1.p . . 3 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
9 lplnri1.y . . 3 𝑌 = ((𝑄 𝑅) 𝑆)
105, 6, 7, 8, 9lplnribN 37127 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑌𝑃) → ¬ 𝑅(le‘𝐾)(𝑄 𝑆))
115, 6, 7atnlej2 36956 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐴𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ ¬ 𝑅(le‘𝐾)(𝑄 𝑆)) → 𝑅𝑆)
121, 2, 3, 4, 10, 11syl131anc 1380 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑌𝑃) → 𝑅𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951   class class class wbr 5032  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  lecple 16630  joincjn 17620  Atomscatm 36839  HLchlt 36926  LPlanesclpl 37068 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-id 5430  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-proset 17604  df-poset 17622  df-plt 17634  df-lub 17650  df-glb 17651  df-join 17652  df-meet 17653  df-p0 17715  df-lat 17722  df-clat 17784  df-oposet 36752  df-ol 36754  df-oml 36755  df-covers 36842  df-ats 36843  df-atl 36874  df-cvlat 36898  df-hlat 36927  df-llines 37074  df-lplanes 37075 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator