Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrncnvat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrncnvat 39525
Description: The converse of the lattice translation of an atom is an atom. (Contributed by NM, 9-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrnel.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
ltrnel.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
ltrnel.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
ltrnel.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
ltrncnvat (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem ltrncnvat
StepHypRef Expression
1 simp3 1135 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
2 eqid 2726 . . . 4 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
3 ltrnel.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
42, 3atbase 38672 . . 3 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5 ltrnel.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
6 ltrnel.t . . . 4 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
72, 3, 5, 6ltrncnvatb 39522 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (β—‘πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴))
84, 7syl3an3 1162 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (β—‘πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴))
91, 8mpbid 231 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β—‘ccnv 5668  β€˜cfv 6537  Basecbs 17153  lecple 17213  Atomscatm 38646  HLchlt 38733  LHypclh 39368  LTrncltrn 39485
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-map 8824  df-plt 18295  df-glb 18312  df-p0 18390  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-hlat 38734  df-lhyp 39372  df-laut 39373  df-ldil 39488  df-ltrn 39489
This theorem is referenced by:  ltrncnvel  39526  ltrncnv  39530  ltrneq2  39532  cdlemg17h  40052
  Copyright terms: Public domain W3C validator