Theorem ltrncnvat 40098

Description: The converse of the lattice translation of an atom is an atom. (Contributed by NM, 9-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrnel.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
ltrnel.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrnel.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrnel.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ltrncnvat	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (◡𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem ltrncnvat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1138	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐴)
2		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		ltrnel.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atbase 39245	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
5		ltrnel.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6		ltrnel.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
7	2, 3, 5, 6	ltrncnvatb 40095	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (◡𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴))
8	4, 7	syl3an3 1165	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (◡𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴))
9	1, 8	mpbid 232	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (◡𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ^◡ccnv 5699  ‘cfv 6573  Basecbs 17258  lecple 17318  Atomscatm 39219  HLchlt 39306  LHypclh 39941  LTrncltrn 40058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-map 8886  df-plt 18400  df-glb 18417  df-p0 18495  df-oposet 39132  df-ol 39134  df-oml 39135  df-covers 39222  df-ats 39223  df-hlat 39307  df-lhyp 39945  df-laut 39946  df-ldil 40061  df-ltrn 40062

This theorem is referenced by:  ltrncnvel  40099  ltrncnv  40103  ltrneq2  40105  cdlemg17h  40625