Theorem ltrnat 39314

Description: The lattice translation of an atom is also an atom. TODO: See if this can shorten some ltrnel 39313 uses. (Contributed by NM, 25-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrnel.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
ltrnel.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrnel.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrnel.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ltrnat	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem ltrnat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1136	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐴)
2		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		ltrnel.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atbase 38462	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
5		ltrnel.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6		ltrnel.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
7	2, 3, 5, 6	ltrnatb 39311	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴))
8	4, 7	syl3an3 1163	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴))
9	1, 8	mpbid 231	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ‘cfv 6542  Basecbs 17148  lecple 17208  Atomscatm 38436  HLchlt 38523  LHypclh 39158  LTrncltrn 39275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-map 8824  df-plt 18287  df-glb 18304  df-p0 18382  df-oposet 38349  df-ol 38351  df-oml 38352  df-covers 38439  df-ats 38440  df-hlat 38524  df-lhyp 39162  df-laut 39163  df-ldil 39278  df-ltrn 39279

This theorem is referenced by:  ltrncoat  39318  trlcnv  39339  trljat2  39341  trlat  39343  trlval3  39361  trlval4  39362  cdlemc3  39367  cdlemc5  39369  cdlemg2kq  39776  cdlemg9a  39806  cdlemg9  39808  cdlemg10bALTN  39810  cdlemg10c  39813  cdlemg10a  39814  cdlemg10  39815  cdlemg12a  39817  cdlemg12c  39819  cdlemg13a  39825  cdlemg17a  39835  cdlemg17g  39841  cdlemg18a  39852  cdlemg18b  39853  cdlemg18c  39854  trlcoabs2N  39896  trlcolem  39900  cdlemg42  39903  cdlemi  39994  cdlemk3  40007  cdlemk4  40008  cdlemk6  40011  cdlemk9  40013  cdlemk9bN  40014  cdlemk10  40017  cdlemksat  40020  cdlemk7  40022  cdlemk12  40024  cdlemkole  40027  cdlemk14  40028  cdlemk15  40029  cdlemk17  40032  cdlemk5u  40035  cdlemk6u  40036  cdlemkuat  40040  cdlemk7u  40044  cdlemk12u  40046  cdlemk37  40088  cdlemk39  40090  cdlemkfid1N  40095  cdlemk47  40123  cdlemk48  40124  cdlemk50  40126  cdlemk51  40127  cdlemk52  40128  cdlemm10N  40292