Theorem ltrnat 40513

Description: The lattice translation of an atom is also an atom. TODO: See if this can shorten some ltrnel 40512 uses. (Contributed by NM, 25-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrnel.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
ltrnel.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrnel.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrnel.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ltrnat	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem ltrnat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1139	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐴)
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		ltrnel.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atbase 39662	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
5		ltrnel.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6		ltrnel.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
7	2, 3, 5, 6	ltrnatb 40510	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴))
8	4, 7	syl3an3 1166	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴))
9	1, 8	mpbid 232	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6500  Basecbs 17148  lecple 17196  Atomscatm 39636  HLchlt 39723  LHypclh 40357  LTrncltrn 40474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-map 8777  df-plt 18263  df-glb 18280  df-p0 18358  df-oposet 39549  df-ol 39551  df-oml 39552  df-covers 39639  df-ats 39640  df-hlat 39724  df-lhyp 40361  df-laut 40362  df-ldil 40477  df-ltrn 40478

This theorem is referenced by:  ltrncoat  40517  trlcnv  40538  trljat2  40540  trlat  40542  trlval3  40560  trlval4  40561  cdlemc3  40566  cdlemc5  40568  cdlemg2kq  40975  cdlemg9a  41005  cdlemg9  41007  cdlemg10bALTN  41009  cdlemg10c  41012  cdlemg10a  41013  cdlemg10  41014  cdlemg12a  41016  cdlemg12c  41018  cdlemg13a  41024  cdlemg17a  41034  cdlemg17g  41040  cdlemg18a  41051  cdlemg18b  41052  cdlemg18c  41053  trlcoabs2N  41095  trlcolem  41099  cdlemg42  41102  cdlemi  41193  cdlemk3  41206  cdlemk4  41207  cdlemk6  41210  cdlemk9  41212  cdlemk9bN  41213  cdlemk10  41216  cdlemksat  41219  cdlemk7  41221  cdlemk12  41223  cdlemkole  41226  cdlemk14  41227  cdlemk15  41228  cdlemk17  41231  cdlemk5u  41234  cdlemk6u  41235  cdlemkuat  41239  cdlemk7u  41243  cdlemk12u  41245  cdlemk37  41287  cdlemk39  41289  cdlemkfid1N  41294  cdlemk47  41322  cdlemk48  41323  cdlemk50  41325  cdlemk51  41326  cdlemk52  41327  cdlemm10N  41491