Theorem ltrnat 38949

Description: The lattice translation of an atom is also an atom. TODO: See if this can shorten some ltrnel 38948 uses. (Contributed by NM, 25-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrnel.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
ltrnel.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrnel.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrnel.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ltrnat	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem ltrnat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1139	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐴)
2		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		ltrnel.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atbase 38097	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
5		ltrnel.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6		ltrnel.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
7	2, 3, 5, 6	ltrnatb 38946	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴))
8	4, 7	syl3an3 1166	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴))
9	1, 8	mpbid 231	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6540  Basecbs 17140  lecple 17200  Atomscatm 38071  HLchlt 38158  LHypclh 38793  LTrncltrn 38910

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-map 8818  df-plt 18279  df-glb 18296  df-p0 18374  df-oposet 37984  df-ol 37986  df-oml 37987  df-covers 38074  df-ats 38075  df-hlat 38159  df-lhyp 38797  df-laut 38798  df-ldil 38913  df-ltrn 38914

This theorem is referenced by:  ltrncoat  38953  trlcnv  38974  trljat2  38976  trlat  38978  trlval3  38996  trlval4  38997  cdlemc3  39002  cdlemc5  39004  cdlemg2kq  39411  cdlemg9a  39441  cdlemg9  39443  cdlemg10bALTN  39445  cdlemg10c  39448  cdlemg10a  39449  cdlemg10  39450  cdlemg12a  39452  cdlemg12c  39454  cdlemg13a  39460  cdlemg17a  39470  cdlemg17g  39476  cdlemg18a  39487  cdlemg18b  39488  cdlemg18c  39489  trlcoabs2N  39531  trlcolem  39535  cdlemg42  39538  cdlemi  39629  cdlemk3  39642  cdlemk4  39643  cdlemk6  39646  cdlemk9  39648  cdlemk9bN  39649  cdlemk10  39652  cdlemksat  39655  cdlemk7  39657  cdlemk12  39659  cdlemkole  39662  cdlemk14  39663  cdlemk15  39664  cdlemk17  39667  cdlemk5u  39670  cdlemk6u  39671  cdlemkuat  39675  cdlemk7u  39679  cdlemk12u  39681  cdlemk37  39723  cdlemk39  39725  cdlemkfid1N  39730  cdlemk47  39758  cdlemk48  39759  cdlemk50  39761  cdlemk51  39762  cdlemk52  39763  cdlemm10N  39927