Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrnat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrnat 36161
Description: The lattice translation of an atom is also an atom. TODO: See if this can shorten some ltrnel 36160 uses. (Contributed by NM, 25-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrnel.l = (le‘𝐾)
ltrnel.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrnel.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrnel.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ltrnat (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐴) → (𝐹𝑃) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem ltrnat
StepHypRef Expression
1 simp3 1169 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐴) → 𝑃𝐴)
2 eqid 2799 . . . 4 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3 ltrnel.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
42, 3atbase 35310 . . 3 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
5 ltrnel.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6 ltrnel.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
72, 3, 5, 6ltrnatb 36158 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃𝐴 ↔ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴))
84, 7syl3an3 1206 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐴) → (𝑃𝐴 ↔ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴))
91, 8mpbid 224 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐴) → (𝐹𝑃) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  cfv 6101  Basecbs 16184  lecple 16274  Atomscatm 35284  HLchlt 35371  LHypclh 36005  LTrncltrn 36122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-map 8097  df-plt 17273  df-glb 17290  df-p0 17354  df-oposet 35197  df-ol 35199  df-oml 35200  df-covers 35287  df-ats 35288  df-hlat 35372  df-lhyp 36009  df-laut 36010  df-ldil 36125  df-ltrn 36126
This theorem is referenced by:  ltrncoat  36165  trlcnv  36186  trljat2  36188  trlat  36190  trlval3  36208  trlval4  36209  cdlemc3  36214  cdlemc5  36216  cdlemg2kq  36623  cdlemg9a  36653  cdlemg9  36655  cdlemg10bALTN  36657  cdlemg10c  36660  cdlemg10a  36661  cdlemg10  36662  cdlemg12a  36664  cdlemg12c  36666  cdlemg13a  36672  cdlemg17a  36682  cdlemg17g  36688  cdlemg18a  36699  cdlemg18b  36700  cdlemg18c  36701  trlcoabs2N  36743  trlcolem  36747  cdlemg42  36750  cdlemi  36841  cdlemk3  36854  cdlemk4  36855  cdlemk6  36858  cdlemk9  36860  cdlemk9bN  36861  cdlemk10  36864  cdlemksat  36867  cdlemk7  36869  cdlemk12  36871  cdlemkole  36874  cdlemk14  36875  cdlemk15  36876  cdlemk17  36879  cdlemk5u  36882  cdlemk6u  36883  cdlemkuat  36887  cdlemk7u  36891  cdlemk12u  36893  cdlemk37  36935  cdlemk39  36937  cdlemkfid1N  36942  cdlemk47  36970  cdlemk48  36971  cdlemk50  36973  cdlemk51  36974  cdlemk52  36975  cdlemm10N  37139
  Copyright terms: Public domain W3C validator