Theorem ltrnat 40134

Description: The lattice translation of an atom is also an atom. TODO: See if this can shorten some ltrnel 40133 uses. (Contributed by NM, 25-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrnel.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
ltrnel.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrnel.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrnel.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ltrnat	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem ltrnat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1138	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐴)
2		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		ltrnel.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atbase 39282	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
5		ltrnel.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6		ltrnel.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
7	2, 3, 5, 6	ltrnatb 40131	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴))
8	4, 7	syl3an3 1165	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴))
9	1, 8	mpbid 232	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6511  Basecbs 17179  lecple 17227  Atomscatm 39256  HLchlt 39343  LHypclh 39978  LTrncltrn 40095

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-map 8801  df-plt 18289  df-glb 18306  df-p0 18384  df-oposet 39169  df-ol 39171  df-oml 39172  df-covers 39259  df-ats 39260  df-hlat 39344  df-lhyp 39982  df-laut 39983  df-ldil 40098  df-ltrn 40099

This theorem is referenced by:  ltrncoat  40138  trlcnv  40159  trljat2  40161  trlat  40163  trlval3  40181  trlval4  40182  cdlemc3  40187  cdlemc5  40189  cdlemg2kq  40596  cdlemg9a  40626  cdlemg9  40628  cdlemg10bALTN  40630  cdlemg10c  40633  cdlemg10a  40634  cdlemg10  40635  cdlemg12a  40637  cdlemg12c  40639  cdlemg13a  40645  cdlemg17a  40655  cdlemg17g  40661  cdlemg18a  40672  cdlemg18b  40673  cdlemg18c  40674  trlcoabs2N  40716  trlcolem  40720  cdlemg42  40723  cdlemi  40814  cdlemk3  40827  cdlemk4  40828  cdlemk6  40831  cdlemk9  40833  cdlemk9bN  40834  cdlemk10  40837  cdlemksat  40840  cdlemk7  40842  cdlemk12  40844  cdlemkole  40847  cdlemk14  40848  cdlemk15  40849  cdlemk17  40852  cdlemk5u  40855  cdlemk6u  40856  cdlemkuat  40860  cdlemk7u  40864  cdlemk12u  40866  cdlemk37  40908  cdlemk39  40910  cdlemkfid1N  40915  cdlemk47  40943  cdlemk48  40944  cdlemk50  40946  cdlemk51  40947  cdlemk52  40948  cdlemm10N  41112