Theorem ltrnat 41197

Description: The lattice translation of an atom is also an atom. TODO: See if this can shorten some ltrnel 41196 uses. (Contributed by NM, 25-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrnel.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
ltrnel.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrnel.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrnel.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ltrnat	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem ltrnat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1156	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐴)
2		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		ltrnel.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atbase 40346	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
5		ltrnel.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6		ltrnel.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
7	2, 3, 5, 6	ltrnatb 41194	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴))
8	4, 7	syl3an3 1183	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴))
9	1, 8	mpbid 235	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6538  Basecbs 17387  lecple 17435  Atomscatm 40320  HLchlt 40407  LHypclh 41041  LTrncltrn 41158

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-map 8849  df-plt 18502  df-glb 18519  df-p0 18597  df-oposet 40233  df-ol 40235  df-oml 40236  df-covers 40323  df-ats 40324  df-hlat 40408  df-lhyp 41045  df-laut 41046  df-ldil 41161  df-ltrn 41162

This theorem is used by:  ltrncoat  41201  trlcnv  41222  trljat2  41224  trlat  41226  trlval3  41244  trlval4  41245  cdlemc3  41250  cdlemc5  41252  cdlemg2kq  41659  cdlemg9a  41689  cdlemg9  41691  cdlemg10bALTN  41693  cdlemg10c  41696  cdlemg10a  41697  cdlemg10  41698  cdlemg12a  41700  cdlemg12c  41702  cdlemg13a  41708  cdlemg17a  41718  cdlemg17g  41724  cdlemg18a  41735  cdlemg18b  41736  cdlemg18c  41737  trlcoabs2N  41779  trlcolem  41783  cdlemg42  41786  cdlemi  41877  cdlemk3  41890  cdlemk4  41891  cdlemk6  41894  cdlemk9  41896  cdlemk9bN  41897  cdlemk10  41900  cdlemksat  41903  cdlemk7  41905  cdlemk12  41907  cdlemkole  41910  cdlemk14  41911  cdlemk15  41912  cdlemk17  41915  cdlemk5u  41918  cdlemk6u  41919  cdlemkuat  41923  cdlemk7u  41927  cdlemk12u  41929  cdlemk37  41971  cdlemk39  41973  cdlemkfid1N  41978  cdlemk47  42006  cdlemk48  42007  cdlemk50  42009  cdlemk51  42010  cdlemk52  42011  cdlemm10N  42175