Theorem ltrncnvatb 40121

Description: The converse of the lattice translation of an atom is an atom. (Contributed by NM, 2-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrnatb.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
ltrnatb.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrnatb.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrnatb.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ltrncnvatb	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (◡𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴))

Proof of Theorem ltrncnvatb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrnatb.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		ltrnatb.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		ltrnatb.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4	1, 2, 3	ltrn1o 40107	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)
5		f1ocnvdm 7305	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘𝑃) ∈ 𝐵)
6	4, 5	stoic3 1773	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘𝑃) ∈ 𝐵)
7		ltrnatb.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8	1, 7, 2, 3	ltrnatb 40120	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (◡𝐹‘𝑃) ∈ 𝐵) → ((◡𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴 ↔ (𝐹‘(◡𝐹‘𝑃)) ∈ 𝐴))
9	6, 8	syld3an3 1408	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → ((◡𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴 ↔ (𝐹‘(◡𝐹‘𝑃)) ∈ 𝐴))
10		f1ocnvfv2 7297	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝑃)) = 𝑃)
11	4, 10	stoic3 1773	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝑃)) = 𝑃)
12	11	eleq1d 2824	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘(◡𝐹‘𝑃)) ∈ 𝐴 ↔ 𝑃 ∈ 𝐴))
13	9, 12	bitr2d 280	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (◡𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ^◡ccnv 5688  –1-1-onto→wf1o 6562  ‘cfv 6563  Basecbs 17245  Atomscatm 39245  HLchlt 39332  LHypclh 39967  LTrncltrn 40084

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8867  df-plt 18388  df-glb 18405  df-p0 18483  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-hlat 39333  df-lhyp 39971  df-laut 39972  df-ldil 40087  df-ltrn 40088

This theorem is referenced by:  ltrncnvat  40124