Theorem ltrncnvatb 40998

Description: The converse of the lattice translation of an atom is an atom. (Contributed by NM, 2-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrnatb.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
ltrnatb.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrnatb.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrnatb.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ltrncnvatb	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (◡𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴))

Proof of Theorem ltrncnvatb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrnatb.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		ltrnatb.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		ltrnatb.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4	1, 2, 3	ltrn1o 40984	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)
5		f1ocnvdm 7289	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘𝑃) ∈ 𝐵)
6	4, 5	stoic3 1809	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘𝑃) ∈ 𝐵)
7		ltrnatb.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8	1, 7, 2, 3	ltrnatb 40997	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (◡𝐹‘𝑃) ∈ 𝐵) → ((◡𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴 ↔ (𝐹‘(◡𝐹‘𝑃)) ∈ 𝐴))
9	6, 8	syld3an3 1436	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → ((◡𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴 ↔ (𝐹‘(◡𝐹‘𝑃)) ∈ 𝐴))
10		f1ocnvfv2 7281	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝑃)) = 𝑃)
11	4, 10	stoic3 1809	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝑃)) = 𝑃)
12	11	eleq1d 2847	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘(◡𝐹‘𝑃)) ∈ 𝐴 ↔ 𝑃 ∈ 𝐴))
13	9, 12	bitr2d 283	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (◡𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ^◡ccnv 5658  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  Basecbs 17305  Atomscatm 40123  HLchlt 40210  LHypclh 40844  LTrncltrn 40961

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-map 8831  df-plt 18420  df-glb 18437  df-p0 18515  df-oposet 40036  df-ol 40038  df-oml 40039  df-covers 40126  df-ats 40127  df-hlat 40211  df-lhyp 40848  df-laut 40849  df-ldil 40964  df-ltrn 40965

This theorem is used by:  ltrncnvat  41001