Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrncnvatb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrncnvatb 39666
Description: The converse of the lattice translation of an atom is an atom. (Contributed by NM, 2-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrnatb.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
ltrnatb.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
ltrnatb.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
ltrnatb.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
ltrncnvatb (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (β—‘πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴))

Proof of Theorem ltrncnvatb
StepHypRef Expression
1 ltrnatb.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 ltrnatb.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
3 ltrnatb.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
41, 2, 3ltrn1o 39652 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ 𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡)
5 f1ocnvdm 7289 . . . 4 ((𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡)
64, 5stoic3 1770 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡)
7 ltrnatb.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
81, 7, 2, 3ltrnatb 39665 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ↔ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ 𝐴))
96, 8syld3an3 1406 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ↔ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ 𝐴))
10 f1ocnvfv2 7281 . . . 4 ((𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃)
114, 10stoic3 1770 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃)
1211eleq1d 2810 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ 𝐴 ↔ 𝑃 ∈ 𝐴))
139, 12bitr2d 279 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (β—‘πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β—‘ccnv 5671  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6541  β€˜cfv 6542  Basecbs 17177  Atomscatm 38790  HLchlt 38877  LHypclh 39512  LTrncltrn 39629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-map 8843  df-plt 18319  df-glb 18336  df-p0 18414  df-oposet 38703  df-ol 38705  df-oml 38706  df-covers 38793  df-ats 38794  df-hlat 38878  df-lhyp 39516  df-laut 39517  df-ldil 39632  df-ltrn 39633
This theorem is referenced by:  ltrncnvat  39669
  Copyright terms: Public domain W3C validator