Theorem ltrncnvatb 40940

Description: The converse of the lattice translation of an atom is an atom. (Contributed by NM, 2-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrnatb.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
ltrnatb.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrnatb.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrnatb.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ltrncnvatb	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (◡𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴))

Proof of Theorem ltrncnvatb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrnatb.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		ltrnatb.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		ltrnatb.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4	1, 2, 3	ltrn1o 40926	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)
5		f1ocnvdm 7283	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘𝑃) ∈ 𝐵)
6	4, 5	stoic3 1805	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘𝑃) ∈ 𝐵)
7		ltrnatb.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8	1, 7, 2, 3	ltrnatb 40939	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (◡𝐹‘𝑃) ∈ 𝐵) → ((◡𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴 ↔ (𝐹‘(◡𝐹‘𝑃)) ∈ 𝐴))
9	6, 8	syld3an3 1435	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → ((◡𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴 ↔ (𝐹‘(◡𝐹‘𝑃)) ∈ 𝐴))
10		f1ocnvfv2 7275	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝑃)) = 𝑃)
11	4, 10	stoic3 1805	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝑃)) = 𝑃)
12	11	eleq1d 2847	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘(◡𝐹‘𝑃)) ∈ 𝐴 ↔ 𝑃 ∈ 𝐴))
13	9, 12	bitr2d 283	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (◡𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ^◡ccnv 5659  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  Basecbs 17275  Atomscatm 40065  HLchlt 40152  LHypclh 40786  LTrncltrn 40903

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-map 8824  df-plt 18390  df-glb 18407  df-p0 18485  df-oposet 39978  df-ol 39980  df-oml 39981  df-covers 40068  df-ats 40069  df-hlat 40153  df-lhyp 40790  df-laut 40791  df-ldil 40906  df-ltrn 40907

This theorem is used by:  ltrncnvat  40943