Theorem ltrncnvatb 37748

Description: The converse of the lattice translation of an atom is an atom. (Contributed by NM, 2-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrnatb.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
ltrnatb.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrnatb.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrnatb.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ltrncnvatb	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (◡𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴))

Proof of Theorem ltrncnvatb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrnatb.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		ltrnatb.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		ltrnatb.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4	1, 2, 3	ltrn1o 37734	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)
5		f1ocnvdm 7039	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘𝑃) ∈ 𝐵)
6	4, 5	stoic3 1778	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘𝑃) ∈ 𝐵)
7		ltrnatb.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8	1, 7, 2, 3	ltrnatb 37747	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (◡𝐹‘𝑃) ∈ 𝐵) → ((◡𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴 ↔ (𝐹‘(◡𝐹‘𝑃)) ∈ 𝐴))
9	6, 8	syld3an3 1406	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → ((◡𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴 ↔ (𝐹‘(◡𝐹‘𝑃)) ∈ 𝐴))
10		f1ocnvfv2 7032	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝑃)) = 𝑃)
11	4, 10	stoic3 1778	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝑃)) = 𝑃)
12	11	eleq1d 2836	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘(◡𝐹‘𝑃)) ∈ 𝐴 ↔ 𝑃 ∈ 𝐴))
13	9, 12	bitr2d 283	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (◡𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ^◡ccnv 5527  –1-1-onto→wf1o 6339  ‘cfv 6340  Basecbs 16554  Atomscatm 36873  HLchlt 36960  LHypclh 37594  LTrncltrn 37711

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-id 5434  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-map 8424  df-plt 17647  df-glb 17664  df-p0 17728  df-oposet 36786  df-ol 36788  df-oml 36789  df-covers 36876  df-ats 36877  df-hlat 36961  df-lhyp 37598  df-laut 37599  df-ldil 37714  df-ltrn 37715

This theorem is referenced by:  ltrncnvat  37751