Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrncnvatb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrncnvatb 37268
Description: The converse of the lattice translation of an atom is an atom. (Contributed by NM, 2-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrnatb.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
ltrnatb.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrnatb.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrnatb.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ltrncnvatb (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → (𝑃𝐴 ↔ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴))

Proof of Theorem ltrncnvatb
StepHypRef Expression
1 ltrnatb.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 ltrnatb.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 ltrnatb.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
41, 2, 3ltrn1o 37254 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
5 f1ocnvdm 7035 . . . 4 ((𝐹:𝐵1-1-onto𝐵𝑃𝐵) → (𝐹𝑃) ∈ 𝐵)
64, 5stoic3 1773 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → (𝐹𝑃) ∈ 𝐵)
7 ltrnatb.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
81, 7, 2, 3ltrnatb 37267 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐵) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ↔ (𝐹‘(𝐹𝑃)) ∈ 𝐴))
96, 8syld3an3 1405 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ↔ (𝐹‘(𝐹𝑃)) ∈ 𝐴))
10 f1ocnvfv2 7028 . . . 4 ((𝐹:𝐵1-1-onto𝐵𝑃𝐵) → (𝐹‘(𝐹𝑃)) = 𝑃)
114, 10stoic3 1773 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → (𝐹‘(𝐹𝑃)) = 𝑃)
1211eleq1d 2897 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → ((𝐹‘(𝐹𝑃)) ∈ 𝐴𝑃𝐴))
139, 12bitr2d 282 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → (𝑃𝐴 ↔ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1083   = wceq 1533  wcel 2110  ccnv 5549  1-1-ontowf1o 6349  cfv 6350  Basecbs 16477  Atomscatm 36393  HLchlt 36480  LHypclh 37114  LTrncltrn 37231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-id 5455  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-map 8402  df-plt 17562  df-glb 17579  df-p0 17643  df-oposet 36306  df-ol 36308  df-oml 36309  df-covers 36396  df-ats 36397  df-hlat 36481  df-lhyp 37118  df-laut 37119  df-ldil 37234  df-ltrn 37235
This theorem is referenced by:  ltrncnvat  37271
  Copyright terms: Public domain W3C validator