Theorem ltsrecd 28193

Description: A comparison law for surreals considered as cuts of sets of surreals. (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltsrecd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
ltsrecd.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 <<s 𝐷)
ltsrecd.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 |s 𝐵))
ltsrecd.4	⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝐶 |s 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
ltsrecd	⊢ (𝜑 → (𝑋 <s 𝑌 ↔ (∃𝑐 ∈ 𝐶 𝑋 ≤s 𝑐 ∨ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑏 ≤s 𝑌)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑐   𝐵,𝑏,𝑐   𝐶,𝑏,𝑐   𝐷,𝑏,𝑐   𝑋,𝑏,𝑐   𝑌,𝑏,𝑐

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑏, 𝑐)

Proof of Theorem ltsrecd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltsrecd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
2		ltsrecd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 <<s 𝐷)
3		ltsrecd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 |s 𝐵))
4		ltsrecd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝐶 |s 𝐷))
5		ltsrec 28192	. 2 ⊢ (((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐶 <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (𝐴 |s 𝐵) ∧ 𝑌 = (𝐶 |s 𝐷))) → (𝑋 <s 𝑌 ↔ (∃𝑐 ∈ 𝐶 𝑋 ≤s 𝑐 ∨ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑏 ≤s 𝑌)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 852	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 <s 𝑌 ↔ (∃𝑐 ∈ 𝐶 𝑋 ≤s 𝑐 ∨ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑏 ≤s 𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∨ wo 861   = wceq 1569  ∃wrex 3086   class class class wbr 5102  (class class class)co 7420   <s clts 28003   ≤s cles 28106   <<s cslts 28148   |s ccuts 28150

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1o 8479  df-2o 8480  df-no 28005  df-lts 28006  df-bday 28007  df-les 28107  df-slts 28149  df-cuts 28151

This theorem is used by:  ltsn0  28297  leadds1  28380  oncutlt  28655  n0fincut  28746  halfcut  28849