Theorem ltsrecd 27782

Description: A comparison law for surreals considered as cuts of sets of surreals. (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltsrecd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
ltsrecd.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 <<s 𝐷)
ltsrecd.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 |s 𝐵))
ltsrecd.4	⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝐶 |s 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
ltsrecd	⊢ (𝜑 → (𝑋 <s 𝑌 ↔ (∃𝑐 ∈ 𝐶 𝑋 ≤s 𝑐 ∨ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑏 ≤s 𝑌)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑐   𝐵,𝑏,𝑐   𝐶,𝑏,𝑐   𝐷,𝑏,𝑐   𝑋,𝑏,𝑐   𝑌,𝑏,𝑐

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑏,𝑐)

Proof of Theorem ltsrecd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltsrecd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
2		ltsrecd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 <<s 𝐷)
3		ltsrecd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 |s 𝐵))
4		ltsrecd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝐶 |s 𝐷))
5		ltsrec 27781	. 2 ⊢ (((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐶 <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (𝐴 |s 𝐵) ∧ 𝑌 = (𝐶 |s 𝐷))) → (𝑋 <s 𝑌 ↔ (∃𝑐 ∈ 𝐶 𝑋 ≤s 𝑐 ∨ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑏 ≤s 𝑌)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 839	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 <s 𝑌 ↔ (∃𝑐 ∈ 𝐶 𝑋 ≤s 𝑐 ∨ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑏 ≤s 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∨ wo 848   = wceq 1542  ∃wrex 3059   class class class wbr 5074  (class class class)co 7356   <s clts 27592   ≤s cles 27696   <<s cslts 27737   |s ccuts 27739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-ord 6315  df-on 6316  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1o 8394  df-2o 8395  df-no 27594  df-lts 27595  df-bday 27596  df-les 27697  df-slts 27738  df-cuts 27740

This theorem is referenced by:  ltsn0  27886  leadds1  27969  oncutlt  28244  n0fincut  28335  halfcut  28438