Theorem ltsrecd 27798

Description: A comparison law for surreals considered as cuts of sets of surreals. (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltsrecd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
ltsrecd.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 <<s 𝐷)
ltsrecd.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 |s 𝐵))
ltsrecd.4	⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝐶 |s 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
ltsrecd	⊢ (𝜑 → (𝑋 <s 𝑌 ↔ (∃𝑐 ∈ 𝐶 𝑋 ≤s 𝑐 ∨ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑏 ≤s 𝑌)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑐   𝐵,𝑏,𝑐   𝐶,𝑏,𝑐   𝐷,𝑏,𝑐   𝑋,𝑏,𝑐   𝑌,𝑏,𝑐

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑏,𝑐)

Proof of Theorem ltsrecd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltsrecd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
2		ltsrecd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 <<s 𝐷)
3		ltsrecd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 |s 𝐵))
4		ltsrecd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝐶 |s 𝐷))
5		ltsrec 27797	. 2 ⊢ (((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐶 <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (𝐴 |s 𝐵) ∧ 𝑌 = (𝐶 |s 𝐷))) → (𝑋 <s 𝑌 ↔ (∃𝑐 ∈ 𝐶 𝑋 ≤s 𝑐 ∨ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑏 ≤s 𝑌)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 838	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 <s 𝑌 ↔ (∃𝑐 ∈ 𝐶 𝑋 ≤s 𝑐 ∨ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑏 ≤s 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∨ wo 847   = wceq 1541  ∃wrex 3060   class class class wbr 5098  (class class class)co 7358   <s clts 27608   ≤s cles 27712   <<s cslts 27753   |s ccuts 27755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-ord 6320  df-on 6321  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1o 8397  df-2o 8398  df-no 27610  df-lts 27611  df-bday 27612  df-les 27713  df-slts 27754  df-cuts 27756

This theorem is referenced by:  ltsn0  27902  leadds1  27985  oncutlt  28260  n0fincut  28351  halfcut  28454