Theorem ltsn0 28297

Description: If 𝑋 is less than 𝑌, then either (L‘𝑌) or (R‘𝑋) is non-empty. (Contributed by Scott Fenton, 10-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ltsn0	⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ 𝑌 ∈ No ∧ 𝑋 <s 𝑌) → ((L‘𝑌) ≠ ∅ ∨ (R‘𝑋) ≠ ∅))

Proof of Theorem ltsn0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lltr 28253	. . . . 5 ⊢ (L‘𝑋) <<s (R‘𝑋)
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ 𝑌 ∈ No) → (L‘𝑋) <<s (R‘𝑋))
3		lltr 28253	. . . . 5 ⊢ (L‘𝑌) <<s (R‘𝑌)
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ 𝑌 ∈ No) → (L‘𝑌) <<s (R‘𝑌))
5		lrcut 28295	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ No → ((L‘𝑋) |s (R‘𝑋)) = 𝑋)
6	5	eqcomd 2766	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ No → 𝑋 = ((L‘𝑋) |s (R‘𝑋)))
7	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ 𝑌 ∈ No) → 𝑋 = ((L‘𝑋) |s (R‘𝑋)))
8		lrcut 28295	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ No → ((L‘𝑌) |s (R‘𝑌)) = 𝑌)
9	8	eqcomd 2766	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ No → 𝑌 = ((L‘𝑌) |s (R‘𝑌)))
10	9	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ 𝑌 ∈ No) → 𝑌 = ((L‘𝑌) |s (R‘𝑌)))
11	2, 4, 7, 10	ltsrecd 28193	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ 𝑌 ∈ No) → (𝑋 <s 𝑌 ↔ (∃𝑦 ∈ (L‘𝑌)𝑋 ≤s 𝑦 ∨ ∃𝑥 ∈ (R‘𝑋)𝑥 ≤s 𝑌)))
12	11	biimp3a 1498	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ 𝑌 ∈ No ∧ 𝑋 <s 𝑌) → (∃𝑦 ∈ (L‘𝑌)𝑋 ≤s 𝑦 ∨ ∃𝑥 ∈ (R‘𝑋)𝑥 ≤s 𝑌))
13		rexn0 4451	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ (L‘𝑌)𝑋 ≤s 𝑦 → (L‘𝑌) ≠ ∅)
14		rexn0 4451	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ (R‘𝑋)𝑥 ≤s 𝑌 → (R‘𝑋) ≠ ∅)
15	13, 14	orim12i 922	. 2 ⊢ ((∃𝑦 ∈ (L‘𝑌)𝑋 ≤s 𝑦 ∨ ∃𝑥 ∈ (R‘𝑋)𝑥 ≤s 𝑌) → ((L‘𝑌) ≠ ∅ ∨ (R‘𝑋) ≠ ∅))
16	12, 15	syl 18	1 ⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ 𝑌 ∈ No ∧ 𝑋 <s 𝑌) → ((L‘𝑌) ≠ ∅ ∨ (R‘𝑋) ≠ ∅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086  ∅c0 4278   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Nocsur 28002   <s clts 28003   ≤s cles 28106   <<s cslts 28148   |s ccuts 28150  Lcleft 28216  Rcright 28217

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-1o 8479  df-2o 8480  df-no 28005  df-lts 28006  df-bday 28007  df-les 28107  df-slts 28149  df-cuts 28151  df-made 28218  df-old 28219  df-left 28221  df-right 28222

This theorem is used by: (None)