Theorem ltsn0 28325

Description: If 𝑋 is less than 𝑌, then either (L‘𝑌) or (R‘𝑋) is non-empty. (Contributed by Scott Fenton, 10-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ltsn0	⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ 𝑌 ∈ No ∧ 𝑋 <s 𝑌) → ((L‘𝑌) ≠ ∅ ∨ (R‘𝑋) ≠ ∅))

Proof of Theorem ltsn0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lltr 28281	. . . . 5 ⊢ (L‘𝑋) <<s (R‘𝑋)
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ 𝑌 ∈ No) → (L‘𝑋) <<s (R‘𝑋))
3		lltr 28281	. . . . 5 ⊢ (L‘𝑌) <<s (R‘𝑌)
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ 𝑌 ∈ No) → (L‘𝑌) <<s (R‘𝑌))
5		lrcut 28323	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ No → ((L‘𝑋) |s (R‘𝑋)) = 𝑋)
6	5	eqcomd 2769	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ No → 𝑋 = ((L‘𝑋) |s (R‘𝑋)))
7	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ 𝑌 ∈ No) → 𝑋 = ((L‘𝑋) |s (R‘𝑋)))
8		lrcut 28323	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ No → ((L‘𝑌) |s (R‘𝑌)) = 𝑌)
9	8	eqcomd 2769	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ No → 𝑌 = ((L‘𝑌) |s (R‘𝑌)))
10	9	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ 𝑌 ∈ No) → 𝑌 = ((L‘𝑌) |s (R‘𝑌)))
11	2, 4, 7, 10	ltsrecd 28221	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ 𝑌 ∈ No) → (𝑋 <s 𝑌 ↔ (∃𝑦 ∈ (L‘𝑌)𝑋 ≤s 𝑦 ∨ ∃𝑥 ∈ (R‘𝑋)𝑥 ≤s 𝑌)))
12	11	biimp3a 1499	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ 𝑌 ∈ No ∧ 𝑋 <s 𝑌) → (∃𝑦 ∈ (L‘𝑌)𝑋 ≤s 𝑦 ∨ ∃𝑥 ∈ (R‘𝑋)𝑥 ≤s 𝑌))
13		rexn0 4455	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ (L‘𝑌)𝑋 ≤s 𝑦 → (L‘𝑌) ≠ ∅)
14		rexn0 4455	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ (R‘𝑋)𝑥 ≤s 𝑌 → (R‘𝑋) ≠ ∅)
15	13, 14	orim12i 922	. 2 ⊢ ((∃𝑦 ∈ (L‘𝑌)𝑋 ≤s 𝑦 ∨ ∃𝑥 ∈ (R‘𝑋)𝑥 ≤s 𝑌) → ((L‘𝑌) ≠ ∅ ∨ (R‘𝑋) ≠ ∅))
16	12, 15	syl 18	1 ⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ 𝑌 ∈ No ∧ 𝑋 <s 𝑌) → ((L‘𝑌) ≠ ∅ ∨ (R‘𝑋) ≠ ∅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∃wrex 3090  ∅c0 4281   class class class wbr 5106  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  Nocsur 28030   <s clts 28031   ≤s cles 28134   <<s cslts 28176   |s ccuts 28178  Lcleft 28244  Rcright 28245

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-1o 8507  df-2o 8508  df-no 28033  df-lts 28034  df-bday 28035  df-les 28135  df-slts 28177  df-cuts 28179  df-made 28246  df-old 28247  df-left 28249  df-right 28250

This theorem is used by: (None)