Theorem ltsn0 27976

Description: If 𝑋 is less than 𝑌, then either ( L ‘𝑌) or ( R ‘𝑋) is non-empty. (Contributed by Scott Fenton, 10-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ltsn0	⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ 𝑌 ∈ No ∧ 𝑋 <s 𝑌) → (( L ‘𝑌) ≠ ∅ ∨ ( R ‘𝑋) ≠ ∅))

Proof of Theorem ltsn0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lltr 27932	. . . . 5 ⊢ ( L ‘𝑋) <<s ( R ‘𝑋)
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ 𝑌 ∈ No ) → ( L ‘𝑋) <<s ( R ‘𝑋))
3		lltr 27932	. . . . 5 ⊢ ( L ‘𝑌) <<s ( R ‘𝑌)
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ 𝑌 ∈ No ) → ( L ‘𝑌) <<s ( R ‘𝑌))
5		lrcut 27974	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ No → (( L ‘𝑋) |s ( R ‘𝑋)) = 𝑋)
6	5	eqcomd 2767	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ No → 𝑋 = (( L ‘𝑋) |s ( R ‘𝑋)))
7	6	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ 𝑌 ∈ No ) → 𝑋 = (( L ‘𝑋) |s ( R ‘𝑋)))
8		lrcut 27974	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ No → (( L ‘𝑌) |s ( R ‘𝑌)) = 𝑌)
9	8	eqcomd 2767	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ No → 𝑌 = (( L ‘𝑌) |s ( R ‘𝑌)))
10	9	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ 𝑌 ∈ No ) → 𝑌 = (( L ‘𝑌) |s ( R ‘𝑌)))
11	2, 4, 7, 10	ltsrecd 27872	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ 𝑌 ∈ No ) → (𝑋 <s 𝑌 ↔ (∃𝑦 ∈ ( L ‘𝑌)𝑋 ≤s 𝑦 ∨ ∃𝑥 ∈ ( R ‘𝑋)𝑥 ≤s 𝑌)))
12	11	biimp3a 1489	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ 𝑌 ∈ No ∧ 𝑋 <s 𝑌) → (∃𝑦 ∈ ( L ‘𝑌)𝑋 ≤s 𝑦 ∨ ∃𝑥 ∈ ( R ‘𝑋)𝑥 ≤s 𝑌))
13		rexn0 4449	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ ( L ‘𝑌)𝑋 ≤s 𝑦 → ( L ‘𝑌) ≠ ∅)
14		rexn0 4449	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ( R ‘𝑋)𝑥 ≤s 𝑌 → ( R ‘𝑋) ≠ ∅)
15	13, 14	orim12i 919	. 2 ⊢ ((∃𝑦 ∈ ( L ‘𝑌)𝑋 ≤s 𝑦 ∨ ∃𝑥 ∈ ( R ‘𝑋)𝑥 ≤s 𝑌) → (( L ‘𝑌) ≠ ∅ ∨ ( R ‘𝑋) ≠ ∅))
16	12, 15	syl 17	1 ⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ 𝑌 ∈ No ∧ 𝑋 <s 𝑌) → (( L ‘𝑌) ≠ ∅ ∨ ( R ‘𝑋) ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 858   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∃wrex 3085  ∅c0 4285   class class class wbr 5099  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392   No csur 27681   <s clts 27682   ≤s cles 27785   <<s cslts 27827   |s ccuts 27829   L cleft 27895   R cright 27896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-1o 8432  df-2o 8433  df-no 27684  df-lts 27685  df-bday 27686  df-les 27786  df-slts 27828  df-cuts 27830  df-made 27897  df-old 27898  df-left 27900  df-right 27901

This theorem is referenced by: (None)