Theorem ltsn0 28179

Description: If 𝑋 is less than 𝑌, then either ( L ‘𝑌) or ( R ‘𝑋) is non-empty. (Contributed by Scott Fenton, 10-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ltsn0	⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ 𝑌 ∈ No ∧ 𝑋 <s 𝑌) → (( L ‘𝑌) ≠ ∅ ∨ ( R ‘𝑋) ≠ ∅))

Proof of Theorem ltsn0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lltr 28135	. . . . 5 ⊢ ( L ‘𝑋) <<s ( R ‘𝑋)
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ 𝑌 ∈ No ) → ( L ‘𝑋) <<s ( R ‘𝑋))
3		lltr 28135	. . . . 5 ⊢ ( L ‘𝑌) <<s ( R ‘𝑌)
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ 𝑌 ∈ No ) → ( L ‘𝑌) <<s ( R ‘𝑌))
5		lrcut 28177	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ No → (( L ‘𝑋) |s ( R ‘𝑋)) = 𝑋)
6	5	eqcomd 2768	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ No → 𝑋 = (( L ‘𝑋) |s ( R ‘𝑋)))
7	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ 𝑌 ∈ No ) → 𝑋 = (( L ‘𝑋) |s ( R ‘𝑋)))
8		lrcut 28177	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ No → (( L ‘𝑌) |s ( R ‘𝑌)) = 𝑌)
9	8	eqcomd 2768	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ No → 𝑌 = (( L ‘𝑌) |s ( R ‘𝑌)))
10	9	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ 𝑌 ∈ No ) → 𝑌 = (( L ‘𝑌) |s ( R ‘𝑌)))
11	2, 4, 7, 10	ltsrecd 28075	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ 𝑌 ∈ No ) → (𝑋 <s 𝑌 ↔ (∃𝑦 ∈ ( L ‘𝑌)𝑋 ≤s 𝑦 ∨ ∃𝑥 ∈ ( R ‘𝑋)𝑥 ≤s 𝑌)))
12	11	biimp3a 1498	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ 𝑌 ∈ No ∧ 𝑋 <s 𝑌) → (∃𝑦 ∈ ( L ‘𝑌)𝑋 ≤s 𝑦 ∨ ∃𝑥 ∈ ( R ‘𝑋)𝑥 ≤s 𝑌))
13		rexn0 4455	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ ( L ‘𝑌)𝑋 ≤s 𝑦 → ( L ‘𝑌) ≠ ∅)
14		rexn0 4455	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ( R ‘𝑋)𝑥 ≤s 𝑌 → ( R ‘𝑋) ≠ ∅)
15	13, 14	orim12i 922	. 2 ⊢ ((∃𝑦 ∈ ( L ‘𝑌)𝑋 ≤s 𝑦 ∨ ∃𝑥 ∈ ( R ‘𝑋)𝑥 ≤s 𝑌) → (( L ‘𝑌) ≠ ∅ ∨ ( R ‘𝑋) ≠ ∅))
16	12, 15	syl 18	1 ⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ 𝑌 ∈ No ∧ 𝑋 <s 𝑌) → (( L ‘𝑌) ≠ ∅ ∨ ( R ‘𝑋) ≠ ∅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∃wrex 3088  ∅c0 4282   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   No csur 27884   <s clts 27885   ≤s cles 27988   <<s cslts 28030   |s ccuts 28032   L cleft 28098   R cright 28099

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-1o 8459  df-2o 8460  df-no 27887  df-lts 27888  df-bday 27889  df-les 27989  df-slts 28031  df-cuts 28033  df-made 28100  df-old 28101  df-left 28103  df-right 28104

This theorem is used by: (None)