Theorem ltsn0 27918

Description: If 𝑋 is less than 𝑌, then either ( L ‘𝑌) or ( R ‘𝑋) is non-empty. (Contributed by Scott Fenton, 10-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ltsn0	⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ 𝑌 ∈ No ∧ 𝑋 <s 𝑌) → (( L ‘𝑌) ≠ ∅ ∨ ( R ‘𝑋) ≠ ∅))

Proof of Theorem ltsn0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lltr 27874	. . . . 5 ⊢ ( L ‘𝑋) <<s ( R ‘𝑋)
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ 𝑌 ∈ No ) → ( L ‘𝑋) <<s ( R ‘𝑋))
3		lltr 27874	. . . . 5 ⊢ ( L ‘𝑌) <<s ( R ‘𝑌)
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ 𝑌 ∈ No ) → ( L ‘𝑌) <<s ( R ‘𝑌))
5		lrcut 27916	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ No → (( L ‘𝑋) |s ( R ‘𝑋)) = 𝑋)
6	5	eqcomd 2747	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ No → 𝑋 = (( L ‘𝑋) |s ( R ‘𝑋)))
7	6	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ 𝑌 ∈ No ) → 𝑋 = (( L ‘𝑋) |s ( R ‘𝑋)))
8		lrcut 27916	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ No → (( L ‘𝑌) |s ( R ‘𝑌)) = 𝑌)
9	8	eqcomd 2747	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ No → 𝑌 = (( L ‘𝑌) |s ( R ‘𝑌)))
10	9	adantl 483	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ 𝑌 ∈ No ) → 𝑌 = (( L ‘𝑌) |s ( R ‘𝑌)))
11	2, 4, 7, 10	ltsrecd 27814	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ 𝑌 ∈ No ) → (𝑋 <s 𝑌 ↔ (∃𝑦 ∈ ( L ‘𝑌)𝑋 ≤s 𝑦 ∨ ∃𝑥 ∈ ( R ‘𝑋)𝑥 ≤s 𝑌)))
12	11	biimp3a 1478	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ 𝑌 ∈ No ∧ 𝑋 <s 𝑌) → (∃𝑦 ∈ ( L ‘𝑌)𝑋 ≤s 𝑦 ∨ ∃𝑥 ∈ ( R ‘𝑋)𝑥 ≤s 𝑌))
13		rexn0 4426	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ ( L ‘𝑌)𝑋 ≤s 𝑦 → ( L ‘𝑌) ≠ ∅)
14		rexn0 4426	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ( R ‘𝑋)𝑥 ≤s 𝑌 → ( R ‘𝑋) ≠ ∅)
15	13, 14	orim12i 915	. 2 ⊢ ((∃𝑦 ∈ ( L ‘𝑌)𝑋 ≤s 𝑦 ∨ ∃𝑥 ∈ ( R ‘𝑋)𝑥 ≤s 𝑌) → (( L ‘𝑌) ≠ ∅ ∨ ( R ‘𝑋) ≠ ∅))
16	12, 15	syl 17	1 ⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ 𝑌 ∈ No ∧ 𝑋 <s 𝑌) → (( L ‘𝑌) ≠ ∅ ∨ ( R ‘𝑋) ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 854   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  ∃wrex 3065  ∅c0 4263   class class class wbr 5074  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359   No csur 27624   <s clts 27625   ≤s cles 27728   <<s cslts 27769   |s ccuts 27771   L cleft 27837   R cright 27838

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-2nd 7934  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-1o 8399  df-2o 8400  df-no 27627  df-lts 27628  df-bday 27629  df-les 27729  df-slts 27770  df-cuts 27772  df-made 27839  df-old 27840  df-left 27842  df-right 27843

This theorem is referenced by: (None)