Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfrec Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfrec 42495
Description: The reciprocal of a sigma-measurable functions is sigma-measurable. First part of Proposition 121E (e) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfrec.x 𝑥𝜑
smfrec.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfrec.a (𝜑𝐴𝑉)
smfrec.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
smfrec.m (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfrec.e 𝐶 = {𝑥𝐴𝐵 ≠ 0}
Assertion
Ref Expression
smfrec (𝜑 → (𝑥𝐶 ↦ (1 / 𝐵)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem smfrec
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smfrec.x . 2 𝑥𝜑
2 nfv 1873 . 2 𝑎𝜑
3 smfrec.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
4 smfrec.e . . . 4 𝐶 = {𝑥𝐴𝐵 ≠ 0}
5 ssrab2 3940 . . . 4 {𝑥𝐴𝐵 ≠ 0} ⊆ 𝐴
64, 5eqsstri 3885 . . 3 𝐶𝐴
7 eqid 2772 . . . . . 6 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
8 smfrec.b . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
91, 7, 8dmmptdf 40913 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
109eqcomd 2778 . . . 4 (𝜑𝐴 = dom (𝑥𝐴𝐵))
11 smfrec.m . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
12 eqid 2772 . . . . 5 dom (𝑥𝐴𝐵) = dom (𝑥𝐴𝐵)
133, 11, 12smfdmss 42441 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ 𝑆)
1410, 13eqsstrd 3889 . . 3 (𝜑𝐴 𝑆)
156, 14syl5ss 3863 . 2 (𝜑𝐶 𝑆)
16 1red 10434 . . 3 ((𝜑𝑥𝐶) → 1 ∈ ℝ)
176sseli 3848 . . . . 5 (𝑥𝐶𝑥𝐴)
1817adantl 474 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝑥𝐴)
1918, 8syldan 582 . . 3 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ)
204eleq2i 2851 . . . . . 6 (𝑥𝐶𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ≠ 0})
2120biimpi 208 . . . . 5 (𝑥𝐶𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ≠ 0})
22 rabidim2 40791 . . . . 5 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ≠ 0} → 𝐵 ≠ 0)
2321, 22syl 17 . . . 4 (𝑥𝐶𝐵 ≠ 0)
2423adantl 474 . . 3 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐵 ≠ 0)
2516, 19, 24redivcld 11263 . 2 ((𝜑𝑥𝐶) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ)
26 nfv 1873 . . . . . . 7 𝑥 𝑎 ∈ ℝ
271, 26nfan 1862 . . . . . 6 𝑥(𝜑𝑎 ∈ ℝ)
28 nfv 1873 . . . . . 6 𝑥0 < 𝑎
2927, 28nfan 1862 . . . . 5 𝑥((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎)
3019ad4ant14 739 . . . . 5 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 𝑥𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ)
3123adantl 474 . . . . 5 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 𝑥𝐶) → 𝐵 ≠ 0)
32 simpl 475 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑎) → 𝑎 ∈ ℝ)
33 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑎) → 0 < 𝑎)
3432, 33elrpd 12239 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑎) → 𝑎 ∈ ℝ+)
3534adantll 701 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → 𝑎 ∈ ℝ+)
3629, 30, 31, 35pimrecltpos 42418 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → {𝑥𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} = ({𝑥𝐶 ∣ (1 / 𝑎) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐶𝐵 < 0}))
37 smfrec.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑉)
384, 37rabexd 5086 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ V)
39 eqid 2772 . . . . . . 7 (𝑆t 𝐶) = (𝑆t 𝐶)
403, 38, 39subsalsal 42073 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆t 𝐶) ∈ SAlg)
4140ad2antrr 713 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → (𝑆t 𝐶) ∈ SAlg)
423adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
4342adantr 473 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → 𝑆 ∈ SAlg)
446a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶𝐴)
453, 11, 44sssmfmpt 42458 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐶𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
4645adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝑥𝐶𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
4746adantr 473 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → (𝑥𝐶𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
4834rprecred 12253 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑎) → (1 / 𝑎) ∈ ℝ)
4948adantll 701 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → (1 / 𝑎) ∈ ℝ)
5029, 43, 30, 47, 49smfpimgtmpt 42488 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → {𝑥𝐶 ∣ (1 / 𝑎) < 𝐵} ∈ (𝑆t 𝐶))
51 0red 10437 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
521, 3, 19, 45, 51smfpimltmpt 42454 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑥𝐶𝐵 < 0} ∈ (𝑆t 𝐶))
5352ad2antrr 713 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → {𝑥𝐶𝐵 < 0} ∈ (𝑆t 𝐶))
5441, 50, 53saluncld 42062 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → ({𝑥𝐶 ∣ (1 / 𝑎) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐶𝐵 < 0}) ∈ (𝑆t 𝐶))
5536, 54eqeltrd 2860 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → {𝑥𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐶))
56 nfv 1873 . . . . . . . 8 𝑥 𝑎 = 0
571, 56nfan 1862 . . . . . . 7 𝑥(𝜑𝑎 = 0)
58 breq2 4927 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 0 → ((1 / 𝐵) < 𝑎 ↔ (1 / 𝐵) < 0))
5958ad2antlr 714 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 = 0) ∧ 𝑥𝐶) → ((1 / 𝐵) < 𝑎 ↔ (1 / 𝐵) < 0))
6019, 24reclt0 41093 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝐵 < 0 ↔ (1 / 𝐵) < 0))
6160bicomd 215 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐶) → ((1 / 𝐵) < 0 ↔ 𝐵 < 0))
6261adantlr 702 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 = 0) ∧ 𝑥𝐶) → ((1 / 𝐵) < 0 ↔ 𝐵 < 0))
6359, 62bitrd 271 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 = 0) ∧ 𝑥𝐶) → ((1 / 𝐵) < 𝑎𝐵 < 0))
6457, 63rabbida 40783 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 = 0) → {𝑥𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} = {𝑥𝐶𝐵 < 0})
6552adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 = 0) → {𝑥𝐶𝐵 < 0} ∈ (𝑆t 𝐶))
6664, 65eqeltrd 2860 . . . . 5 ((𝜑𝑎 = 0) → {𝑥𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐶))
6766ad4ant14 739 . . . 4 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 𝑎 = 0) → {𝑥𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐶))
68 simpll 754 . . . . 5 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → (𝜑𝑎 ∈ ℝ))
69 simpll 754 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → 𝑎 ∈ ℝ)
70 0red 10437 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → 0 ∈ ℝ)
71 neqne 2969 . . . . . . . 8 𝑎 = 0 → 𝑎 ≠ 0)
7271adantl 474 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → 𝑎 ≠ 0)
73 simplr 756 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → ¬ 0 < 𝑎)
7469, 70, 72, 73lttri5d 40995 . . . . . 6 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → 𝑎 < 0)
7574adantlll 705 . . . . 5 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → 𝑎 < 0)
76 nfv 1873 . . . . . . . 8 𝑥 𝑎 < 0
7727, 76nfan 1862 . . . . . . 7 𝑥((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0)
788adantlr 702 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
7917, 78sylan2 583 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ)
8079adantlr 702 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) ∧ 𝑥𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ)
8123adantl 474 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) ∧ 𝑥𝐶) → 𝐵 ≠ 0)
82 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
8382adantr 473 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → 𝑎 ∈ ℝ)
84 simpr 477 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → 𝑎 < 0)
8577, 80, 81, 83, 84pimrecltneg 42432 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → {𝑥𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} = {𝑥𝐶𝐵 ∈ ((1 / 𝑎)(,)0)})
8642adantr 473 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → 𝑆 ∈ SAlg)
8738ad2antrr 713 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → 𝐶 ∈ V)
8846adantr 473 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → (𝑥𝐶𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
89 1red 10434 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 0) → 1 ∈ ℝ)
90 simpl 475 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 0) → 𝑎 ∈ ℝ)
91 lt0ne0 10901 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 0) → 𝑎 ≠ 0)
9289, 90, 91redivcld 11263 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 0) → (1 / 𝑎) ∈ ℝ)
9392adantll 701 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → (1 / 𝑎) ∈ ℝ)
9493rexrd 10484 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → (1 / 𝑎) ∈ ℝ*)
9551ad2antrr 713 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → 0 ∈ ℝ)
9695rexrd 10484 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → 0 ∈ ℝ*)
9777, 86, 87, 80, 88, 94, 96smfpimioompt 42492 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → {𝑥𝐶𝐵 ∈ ((1 / 𝑎)(,)0)} ∈ (𝑆t 𝐶))
9885, 97eqeltrd 2860 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → {𝑥𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐶))
9968, 75, 98syl2anc 576 . . . 4 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → {𝑥𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐶))
10067, 99pm2.61dan 800 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) → {𝑥𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐶))
10155, 100pm2.61dan 800 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐶))
1021, 2, 3, 15, 25, 101issmfdmpt 42456 1 (𝜑 → (𝑥𝐶 ↦ (1 / 𝐵)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wnf 1746  wcel 2050  wne 2961  {crab 3086  Vcvv 3409  cun 3821  wss 3823   cuni 4706   class class class wbr 4923  cmpt 5002  dom cdm 5401  cfv 6182  (class class class)co 6970  cr 10328  0cc0 10329  1c1 10330   < clt 10468   / cdiv 11092  +crp 12198  (,)cioo 12548  t crest 16544  SAlgcsalg 42024  SMblFncsmblfn 42408
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-inf2 8892  ax-cc 9649  ax-ac2 9677  ax-cnex 10385  ax-resscn 10386  ax-1cn 10387  ax-icn 10388  ax-addcl 10389  ax-addrcl 10390  ax-mulcl 10391  ax-mulrcl 10392  ax-mulcom 10393  ax-addass 10394  ax-mulass 10395  ax-distr 10396  ax-i2m1 10397  ax-1ne0 10398  ax-1rid 10399  ax-rnegex 10400  ax-rrecex 10401  ax-cnre 10402  ax-pre-lttri 10403  ax-pre-lttrn 10404  ax-pre-ltadd 10405  ax-pre-mulgt0 10406  ax-pre-sup 10407
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-iin 4789  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5306  df-eprel 5311  df-po 5320  df-so 5321  df-fr 5360  df-se 5361  df-we 5362  df-xp 5407  df-rel 5408  df-cnv 5409  df-co 5410  df-dm 5411  df-rn 5412  df-res 5413  df-ima 5414  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-isom 6191  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7495  df-2nd 7496  df-wrecs 7744  df-recs 7806  df-rdg 7844  df-1o 7899  df-oadd 7903  df-er 8083  df-map 8202  df-pm 8203  df-en 8301  df-dom 8302  df-sdom 8303  df-fin 8304  df-sup 8695  df-inf 8696  df-card 9156  df-acn 9159  df-ac 9330  df-pnf 10470  df-mnf 10471  df-xr 10472  df-ltxr 10473  df-le 10474  df-sub 10666  df-neg 10667  df-div 11093  df-nn 11434  df-n0 11702  df-z 11788  df-uz 12053  df-q 12157  df-rp 12199  df-ioo 12552  df-ico 12554  df-fl 12971  df-rest 16546  df-salg 42025  df-smblfn 42409
This theorem is referenced by:  smfdiv  42503
  Copyright terms: Public domain W3C validator