Theorem smfrec 47327

Description: The reciprocal of a sigma-measurable functions is sigma-measurable. First part of Proposition 121E (e) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfrec.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smfrec.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfrec.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
smfrec.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
smfrec.m	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfrec.e	⊢ 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≠ 0}

Assertion

Ref	Expression
smfrec	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (1 / 𝐵)) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem smfrec

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfrec.x	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		nfv 1933	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
3		smfrec.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
4		smfrec.e	. . . 4 ⊢ 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≠ 0}
5		ssrab2 4033	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≠ 0} ⊆ 𝐴
6	4, 5	eqsstri 3982	. . 3 ⊢ 𝐶 ⊆ 𝐴
7		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
8		smfrec.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
9	1, 7, 8	dmmptdf 45764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
10	9	eqcomd 2767	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
11		smfrec.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
12		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
13	3, 11, 12	smfdmss 47271	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ∪ 𝑆)
14	10, 13	eqsstrd 3970	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑆)
15	6, 14	sstrid 3947	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ ∪ 𝑆)
16		1red 11179	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 1 ∈ ℝ)
17	6	sseli 3932	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑥 ∈ 𝐴)
18	17	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐴)
19	18, 8	syldan 600	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ)
20	4	eleq2i 2853	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≠ 0})
21	20	biimpi 218	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≠ 0})
22		rabidim2 45644	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≠ 0} → 𝐵 ≠ 0)
23	21, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝐵 ≠ 0)
24	23	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐵 ≠ 0)
25	16, 19, 24	redivcld 12016	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ)
26		nfv 1933	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑎 ∈ ℝ
27	1, 26	nfan 1918	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ)
28		nfv 1933	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥0 < 𝑎
29	27, 28	nfan 1918	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎)
30	19	ad4ant14 762	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ)
31	23	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐵 ≠ 0)
32		simpl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑎) → 𝑎 ∈ ℝ)
33		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑎) → 0 < 𝑎)
34	32, 33	elrpd 13031	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑎) → 𝑎 ∈ ℝ+)
35	34	adantll 724	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → 𝑎 ∈ ℝ+)
36	29, 30, 31, 35	pimrecltpos 47246	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} = ({𝑥 ∈ 𝐶 ∣ (1 / 𝑎) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ 𝐵 < 0}))
37		smfrec.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
38	4, 37	rabexd 5295	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
39		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ↾t 𝐶) = (𝑆 ↾t 𝐶)
40	3, 38, 39	subsalsal 46897	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾t 𝐶) ∈ SAlg)
41	40	ad2antrr 736	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → (𝑆 ↾t 𝐶) ∈ SAlg)
42	3	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
43	42	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → 𝑆 ∈ SAlg)
44	6	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
45	3, 11, 44	sssmfmpt 47288	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
46	45	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
47	46	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
48	34	rprecred 13045	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑎) → (1 / 𝑎) ∈ ℝ)
49	48	adantll 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → (1 / 𝑎) ∈ ℝ)
50	29, 43, 30, 47, 49	smfpimgtmpt 47319	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ (1 / 𝑎) < 𝐵} ∈ (𝑆 ↾t 𝐶))
51		0red 11181	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
52	1, 3, 19, 45, 51	smfpimltmpt 47284	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ 𝐵 < 0} ∈ (𝑆 ↾t 𝐶))
53	52	ad2antrr 736	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ 𝐵 < 0} ∈ (𝑆 ↾t 𝐶))
54	41, 50, 53	saluncld 46886	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → ({𝑥 ∈ 𝐶 ∣ (1 / 𝑎) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ 𝐵 < 0}) ∈ (𝑆 ↾t 𝐶))
55	36, 54	eqeltrd 2861	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐶))
56		nfv 1933	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑎 = 0
57	1, 56	nfan 1918	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑎 = 0)
58		breq2 5103	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 0 → ((1 / 𝐵) < 𝑎 ↔ (1 / 𝐵) < 0))
59	58	ad2antlr 737	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((1 / 𝐵) < 𝑎 ↔ (1 / 𝐵) < 0))
60	19, 24	reclt0 45930	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝐵 < 0 ↔ (1 / 𝐵) < 0))
61	60	bicomd 225	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((1 / 𝐵) < 0 ↔ 𝐵 < 0))
62	61	adantlr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((1 / 𝐵) < 0 ↔ 𝐵 < 0))
63	59, 62	bitrd 281	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((1 / 𝐵) < 𝑎 ↔ 𝐵 < 0))
64	57, 63	rabbida 3439	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = 0) → {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} = {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ 𝐵 < 0})
65	52	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = 0) → {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ 𝐵 < 0} ∈ (𝑆 ↾t 𝐶))
66	64, 65	eqeltrd 2861	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = 0) → {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐶))
67	66	ad4ant14 762	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 𝑎 = 0) → {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐶))
68		simpll 776	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → (𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ))
69		simpll 776	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → 𝑎 ∈ ℝ)
70		0red 11181	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → 0 ∈ ℝ)
71		neqne 2964	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑎 = 0 → 𝑎 ≠ 0)
72	71	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → 𝑎 ≠ 0)
73		simplr 778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → ¬ 0 < 𝑎)
74	69, 70, 72, 73	lttri5d 45842	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → 𝑎 < 0)
75	74	adantlll 728	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → 𝑎 < 0)
76		nfv 1933	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑎 < 0
77	27, 76	nfan 1918	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0)
78	8	adantlr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
79	17, 78	sylan2 602	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ)
80	79	adantlr 725	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ)
81	23	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐵 ≠ 0)
82		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
83	82	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → 𝑎 ∈ ℝ)
84		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → 𝑎 < 0)
85	77, 80, 81, 83, 84	pimrecltneg 47262	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} = {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝑎)(,)0)})
86	42	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → 𝑆 ∈ SAlg)
87	38	ad2antrr 736	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → 𝐶 ∈ V)
88	46	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
89		1red 11179	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 0) → 1 ∈ ℝ)
90		simpl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 0) → 𝑎 ∈ ℝ)
91		lt0ne0 11650	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 0) → 𝑎 ≠ 0)
92	89, 90, 91	redivcld 12016	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 0) → (1 / 𝑎) ∈ ℝ)
93	92	adantll 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → (1 / 𝑎) ∈ ℝ)
94	93	rexrd 11229	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → (1 / 𝑎) ∈ ℝ*)
95	51	ad2antrr 736	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → 0 ∈ ℝ)
96	95	rexrd 11229	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → 0 ∈ ℝ*)
97	77, 86, 87, 80, 88, 94, 96	smfpimioompt 47324	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝑎)(,)0)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐶))
98	85, 97	eqeltrd 2861	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐶))
99	68, 75, 98	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐶))
100	67, 99	pm2.61dan 822	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) → {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐶))
101	55, 100	pm2.61dan 822	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐶))
102	1, 2, 3, 15, 25, 101	issmfdmpt 47286	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (1 / 𝐵)) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559  Ⅎwnf 1802   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  {crab 3413  Vcvv 3453   ∪ cun 3902   ⊆ wss 3904  ∪ cuni 4864   class class class wbr 5099   ↦ cmpt 5180  dom cdm 5645  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  ℝcr 11069  0cc0 11070  1c1 11071   < clt 11213   / cdiv 11841  ℝ⁺crp 12990  (,)cioo 13346   ↾_t crest 17432  SAlgcsalg 46846  SMblFncsmblfn 47233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-inf2 9593  ax-cc 10389  ax-ac2 10417  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-isom 6526  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-er 8673  df-map 8805  df-pm 8806  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-sup 9385  df-inf 9386  df-card 9894  df-acn 9897  df-ac 10069  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-q 12947  df-rp 12991  df-ioo 13350  df-ico 13352  df-fl 13799  df-rest 17434  df-salg 46847  df-smblfn 47234

This theorem is referenced by:  smfdiv  47335