Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfrec Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfrec 45505
Description: The reciprocal of a sigma-measurable functions is sigma-measurable. First part of Proposition 121E (e) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfrec.x 𝑥𝜑
smfrec.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfrec.a (𝜑𝐴𝑉)
smfrec.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
smfrec.m (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfrec.e 𝐶 = {𝑥𝐴𝐵 ≠ 0}
Assertion
Ref Expression
smfrec (𝜑 → (𝑥𝐶 ↦ (1 / 𝐵)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem smfrec
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smfrec.x . 2 𝑥𝜑
2 nfv 1918 . 2 𝑎𝜑
3 smfrec.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
4 smfrec.e . . . 4 𝐶 = {𝑥𝐴𝐵 ≠ 0}
5 ssrab2 4078 . . . 4 {𝑥𝐴𝐵 ≠ 0} ⊆ 𝐴
64, 5eqsstri 4017 . . 3 𝐶𝐴
7 eqid 2733 . . . . . 6 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
8 smfrec.b . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
91, 7, 8dmmptdf 43923 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
109eqcomd 2739 . . . 4 (𝜑𝐴 = dom (𝑥𝐴𝐵))
11 smfrec.m . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
12 eqid 2733 . . . . 5 dom (𝑥𝐴𝐵) = dom (𝑥𝐴𝐵)
133, 11, 12smfdmss 45449 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ 𝑆)
1410, 13eqsstrd 4021 . . 3 (𝜑𝐴 𝑆)
156, 14sstrid 3994 . 2 (𝜑𝐶 𝑆)
16 1red 11215 . . 3 ((𝜑𝑥𝐶) → 1 ∈ ℝ)
176sseli 3979 . . . . 5 (𝑥𝐶𝑥𝐴)
1817adantl 483 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝑥𝐴)
1918, 8syldan 592 . . 3 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ)
204eleq2i 2826 . . . . . 6 (𝑥𝐶𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ≠ 0})
2120biimpi 215 . . . . 5 (𝑥𝐶𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ≠ 0})
22 rabidim2 43791 . . . . 5 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ≠ 0} → 𝐵 ≠ 0)
2321, 22syl 17 . . . 4 (𝑥𝐶𝐵 ≠ 0)
2423adantl 483 . . 3 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐵 ≠ 0)
2516, 19, 24redivcld 12042 . 2 ((𝜑𝑥𝐶) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ)
26 nfv 1918 . . . . . . 7 𝑥 𝑎 ∈ ℝ
271, 26nfan 1903 . . . . . 6 𝑥(𝜑𝑎 ∈ ℝ)
28 nfv 1918 . . . . . 6 𝑥0 < 𝑎
2927, 28nfan 1903 . . . . 5 𝑥((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎)
3019ad4ant14 751 . . . . 5 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 𝑥𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ)
3123adantl 483 . . . . 5 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 𝑥𝐶) → 𝐵 ≠ 0)
32 simpl 484 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑎) → 𝑎 ∈ ℝ)
33 simpr 486 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑎) → 0 < 𝑎)
3432, 33elrpd 13013 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑎) → 𝑎 ∈ ℝ+)
3534adantll 713 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → 𝑎 ∈ ℝ+)
3629, 30, 31, 35pimrecltpos 45424 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → {𝑥𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} = ({𝑥𝐶 ∣ (1 / 𝑎) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐶𝐵 < 0}))
37 smfrec.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑉)
384, 37rabexd 5334 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ V)
39 eqid 2733 . . . . . . 7 (𝑆t 𝐶) = (𝑆t 𝐶)
403, 38, 39subsalsal 45075 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆t 𝐶) ∈ SAlg)
4140ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → (𝑆t 𝐶) ∈ SAlg)
423adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
4342adantr 482 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → 𝑆 ∈ SAlg)
446a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶𝐴)
453, 11, 44sssmfmpt 45466 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐶𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
4645adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝑥𝐶𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
4746adantr 482 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → (𝑥𝐶𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
4834rprecred 13027 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑎) → (1 / 𝑎) ∈ ℝ)
4948adantll 713 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → (1 / 𝑎) ∈ ℝ)
5029, 43, 30, 47, 49smfpimgtmpt 45497 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → {𝑥𝐶 ∣ (1 / 𝑎) < 𝐵} ∈ (𝑆t 𝐶))
51 0red 11217 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
521, 3, 19, 45, 51smfpimltmpt 45462 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑥𝐶𝐵 < 0} ∈ (𝑆t 𝐶))
5352ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → {𝑥𝐶𝐵 < 0} ∈ (𝑆t 𝐶))
5441, 50, 53saluncld 45064 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → ({𝑥𝐶 ∣ (1 / 𝑎) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐶𝐵 < 0}) ∈ (𝑆t 𝐶))
5536, 54eqeltrd 2834 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → {𝑥𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐶))
56 nfv 1918 . . . . . . . 8 𝑥 𝑎 = 0
571, 56nfan 1903 . . . . . . 7 𝑥(𝜑𝑎 = 0)
58 breq2 5153 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 0 → ((1 / 𝐵) < 𝑎 ↔ (1 / 𝐵) < 0))
5958ad2antlr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 = 0) ∧ 𝑥𝐶) → ((1 / 𝐵) < 𝑎 ↔ (1 / 𝐵) < 0))
6019, 24reclt0 44101 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝐵 < 0 ↔ (1 / 𝐵) < 0))
6160bicomd 222 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐶) → ((1 / 𝐵) < 0 ↔ 𝐵 < 0))
6261adantlr 714 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 = 0) ∧ 𝑥𝐶) → ((1 / 𝐵) < 0 ↔ 𝐵 < 0))
6359, 62bitrd 279 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 = 0) ∧ 𝑥𝐶) → ((1 / 𝐵) < 𝑎𝐵 < 0))
6457, 63rabbida 3459 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 = 0) → {𝑥𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} = {𝑥𝐶𝐵 < 0})
6552adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 = 0) → {𝑥𝐶𝐵 < 0} ∈ (𝑆t 𝐶))
6664, 65eqeltrd 2834 . . . . 5 ((𝜑𝑎 = 0) → {𝑥𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐶))
6766ad4ant14 751 . . . 4 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 𝑎 = 0) → {𝑥𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐶))
68 simpll 766 . . . . 5 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → (𝜑𝑎 ∈ ℝ))
69 simpll 766 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → 𝑎 ∈ ℝ)
70 0red 11217 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → 0 ∈ ℝ)
71 neqne 2949 . . . . . . . 8 𝑎 = 0 → 𝑎 ≠ 0)
7271adantl 483 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → 𝑎 ≠ 0)
73 simplr 768 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → ¬ 0 < 𝑎)
7469, 70, 72, 73lttri5d 44009 . . . . . 6 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → 𝑎 < 0)
7574adantlll 717 . . . . 5 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → 𝑎 < 0)
76 nfv 1918 . . . . . . . 8 𝑥 𝑎 < 0
7727, 76nfan 1903 . . . . . . 7 𝑥((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0)
788adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
7917, 78sylan2 594 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ)
8079adantlr 714 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) ∧ 𝑥𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ)
8123adantl 483 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) ∧ 𝑥𝐶) → 𝐵 ≠ 0)
82 simpr 486 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
8382adantr 482 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → 𝑎 ∈ ℝ)
84 simpr 486 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → 𝑎 < 0)
8577, 80, 81, 83, 84pimrecltneg 45440 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → {𝑥𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} = {𝑥𝐶𝐵 ∈ ((1 / 𝑎)(,)0)})
8642adantr 482 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → 𝑆 ∈ SAlg)
8738ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → 𝐶 ∈ V)
8846adantr 482 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → (𝑥𝐶𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
89 1red 11215 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 0) → 1 ∈ ℝ)
90 simpl 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 0) → 𝑎 ∈ ℝ)
91 lt0ne0 11680 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 0) → 𝑎 ≠ 0)
9289, 90, 91redivcld 12042 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 0) → (1 / 𝑎) ∈ ℝ)
9392adantll 713 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → (1 / 𝑎) ∈ ℝ)
9493rexrd 11264 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → (1 / 𝑎) ∈ ℝ*)
9551ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → 0 ∈ ℝ)
9695rexrd 11264 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → 0 ∈ ℝ*)
9777, 86, 87, 80, 88, 94, 96smfpimioompt 45502 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → {𝑥𝐶𝐵 ∈ ((1 / 𝑎)(,)0)} ∈ (𝑆t 𝐶))
9885, 97eqeltrd 2834 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → {𝑥𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐶))
9968, 75, 98syl2anc 585 . . . 4 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → {𝑥𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐶))
10067, 99pm2.61dan 812 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) → {𝑥𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐶))
10155, 100pm2.61dan 812 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐶))
1021, 2, 3, 15, 25, 101issmfdmpt 45464 1 (𝜑 → (𝑥𝐶 ↦ (1 / 𝐵)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wnf 1786  wcel 2107  wne 2941  {crab 3433  Vcvv 3475  cun 3947  wss 3949   cuni 4909   class class class wbr 5149  cmpt 5232  dom cdm 5677  cfv 6544  (class class class)co 7409  cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   < clt 11248   / cdiv 11871  +crp 12974  (,)cioo 13324  t crest 17366  SAlgcsalg 45024  SMblFncsmblfn 45411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cc 10430  ax-ac2 10458  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-card 9934  df-acn 9937  df-ac 10111  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-fl 13757  df-rest 17368  df-salg 45025  df-smblfn 45412
This theorem is referenced by:  smfdiv  45513
  Copyright terms: Public domain W3C validator