Theorem smfrec 48014

Description: The reciprocal of a sigma-measurable functions is sigma-measurable. First part of Proposition 121E (e) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfrec.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smfrec.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfrec.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
smfrec.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
smfrec.m	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfrec.e	⊢ 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≠ 0}

Assertion

Ref	Expression
smfrec	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (1 / 𝐵)) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem smfrec

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfrec.x	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		nfv 1949	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
3		smfrec.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
4		smfrec.e	. . . 4 ⊢ 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≠ 0}
5		ssrab2 4008	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≠ 0} ⊆ 𝐴
6	4, 5	eqsstri 3959	. . 3 ⊢ 𝐶 ⊆ 𝐴
7		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
8		smfrec.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
9	1, 7, 8	dmmptdf 46452	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
10	9	eqcomd 2769	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
11		smfrec.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
12		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
13	3, 11, 12	smfdmss 47958	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ∪ 𝑆)
14	10, 13	eqsstrd 3947	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑆)
15	6, 14	sstrid 3924	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ ∪ 𝑆)
16		1red 11339	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 1 ∈ ℝ)
17	6	sseli 3909	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑥 ∈ 𝐴)
18	17	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐴)
19	18, 8	syldan 603	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ)
20	4	eleq2i 2856	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≠ 0})
21	20	biimpi 219	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≠ 0})
22		rabidim2 46332	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≠ 0} → 𝐵 ≠ 0)
23	21, 22	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝐵 ≠ 0)
24	23	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐵 ≠ 0)
25	16, 19, 24	redivcld 12175	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ)
26		nfv 1949	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑎 ∈ ℝ
27	1, 26	nfan 1934	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ)
28		nfv 1949	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥0 < 𝑎
29	27, 28	nfan 1934	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎)
30	19	ad4ant14 765	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ)
31	23	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐵 ≠ 0)
32		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑎) → 𝑎 ∈ ℝ)
33		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑎) → 0 < 𝑎)
34	32, 33	elrpd 13191	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑎) → 𝑎 ∈ ℝ+)
35	34	adantll 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → 𝑎 ∈ ℝ+)
36	29, 30, 31, 35	pimrecltpos 47933	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} = ({𝑥 ∈ 𝐶 ∣ (1 / 𝑎) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ 𝐵 < 0}))
37		smfrec.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
38	4, 37	rabexd 5306	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
39		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ↾t 𝐶) = (𝑆 ↾t 𝐶)
40	3, 38, 39	subsalsal 47584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾t 𝐶) ∈ SAlg)
41	40	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → (𝑆 ↾t 𝐶) ∈ SAlg)
42	3	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
43	42	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → 𝑆 ∈ SAlg)
44	6	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
45	3, 11, 44	sssmfmpt 47975	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
46	45	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
47	46	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
48	34	rprecred 13205	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑎) → (1 / 𝑎) ∈ ℝ)
49	48	adantll 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → (1 / 𝑎) ∈ ℝ)
50	29, 43, 30, 47, 49	smfpimgtmpt 48006	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ (1 / 𝑎) < 𝐵} ∈ (𝑆 ↾t 𝐶))
51		0red 11341	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
52	1, 3, 19, 45, 51	smfpimltmpt 47971	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ 𝐵 < 0} ∈ (𝑆 ↾t 𝐶))
53	52	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ 𝐵 < 0} ∈ (𝑆 ↾t 𝐶))
54	41, 50, 53	saluncld 47573	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → ({𝑥 ∈ 𝐶 ∣ (1 / 𝑎) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ 𝐵 < 0}) ∈ (𝑆 ↾t 𝐶))
55	36, 54	eqeltrd 2864	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐶))
56		nfv 1949	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑎 = 0
57	1, 56	nfan 1934	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑎 = 0)
58		breq2 5110	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 0 → ((1 / 𝐵) < 𝑎 ↔ (1 / 𝐵) < 0))
59	58	ad2antlr 740	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((1 / 𝐵) < 𝑎 ↔ (1 / 𝐵) < 0))
60	19, 24	reclt0 46617	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝐵 < 0 ↔ (1 / 𝐵) < 0))
61	60	bicomd 226	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((1 / 𝐵) < 0 ↔ 𝐵 < 0))
62	61	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((1 / 𝐵) < 0 ↔ 𝐵 < 0))
63	59, 62	bitrd 282	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((1 / 𝐵) < 𝑎 ↔ 𝐵 < 0))
64	57, 63	rabbida 3441	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = 0) → {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} = {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ 𝐵 < 0})
65	52	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = 0) → {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ 𝐵 < 0} ∈ (𝑆 ↾t 𝐶))
66	64, 65	eqeltrd 2864	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = 0) → {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐶))
67	66	ad4ant14 765	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 𝑎 = 0) → {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐶))
68		simpll 779	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → (𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ))
69		simpll 779	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → 𝑎 ∈ ℝ)
70		0red 11341	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → 0 ∈ ℝ)
71		neqne 2967	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑎 = 0 → 𝑎 ≠ 0)
72	71	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → 𝑎 ≠ 0)
73		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → ¬ 0 < 𝑎)
74	69, 70, 72, 73	lttri5d 46530	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → 𝑎 < 0)
75	74	adantlll 731	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → 𝑎 < 0)
76		nfv 1949	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑎 < 0
77	27, 76	nfan 1934	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0)
78	8	adantlr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
79	17, 78	sylan2 605	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ)
80	79	adantlr 728	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ)
81	23	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐵 ≠ 0)
82		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
83	82	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → 𝑎 ∈ ℝ)
84		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → 𝑎 < 0)
85	77, 80, 81, 83, 84	pimrecltneg 47949	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} = {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝑎)(,)0)})
86	42	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → 𝑆 ∈ SAlg)
87	38	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → 𝐶 ∈ V)
88	46	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
89		1red 11339	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 0) → 1 ∈ ℝ)
90		simpl 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 0) → 𝑎 ∈ ℝ)
91		lt0ne0 11812	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 0) → 𝑎 ≠ 0)
92	89, 90, 91	redivcld 12175	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 0) → (1 / 𝑎) ∈ ℝ)
93	92	adantll 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → (1 / 𝑎) ∈ ℝ)
94	93	rexrd 11389	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → (1 / 𝑎) ∈ ℝ*)
95	51	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → 0 ∈ ℝ)
96	95	rexrd 11389	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → 0 ∈ ℝ*)
97	77, 86, 87, 80, 88, 94, 96	smfpimioompt 48011	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝑎)(,)0)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐶))
98	85, 97	eqeltrd 2864	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐶))
99	68, 75, 98	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐶))
100	67, 99	pm2.61dan 825	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) → {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐶))
101	55, 100	pm2.61dan 825	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐶))
102	1, 2, 3, 15, 25, 101	issmfdmpt 47973	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (1 / 𝐵)) ∈ (SMblFn‘𝑆))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  {crab 3416  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∪ cun 4152  ∪ cuni 4870   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5190  dom cdm 5656  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  ℝcr 11229  0cc0 11230  1c1 11231   < clt 11373   / cdiv 12003  ℝ⁺crp 13150  (,)cioo 13506   ↾_t crest 17623  SAlgcsalg 47533  SMblFncsmblfn 47920

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-inf2 9672  ax-cc 10543  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8748  df-map 8880  df-pm 8881  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-sup 9464  df-inf 9465  df-card 10050  df-acn 10053  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-q 13106  df-rp 13151  df-ioo 13510  df-ico 13512  df-fl 13962  df-rest 17625  df-salg 47534  df-smblfn 47921

This theorem is used by:  smfdiv  48022