Theorem smfrec 46771

Description: The reciprocal of a sigma-measurable functions is sigma-measurable. First part of Proposition 121E (e) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfrec.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smfrec.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfrec.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
smfrec.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
smfrec.m	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfrec.e	⊢ 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≠ 0}

Assertion

Ref	Expression
smfrec	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (1 / 𝐵)) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem smfrec

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfrec.x	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		nfv 1914	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
3		smfrec.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
4		smfrec.e	. . . 4 ⊢ 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≠ 0}
5		ssrab2 4033	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≠ 0} ⊆ 𝐴
6	4, 5	eqsstri 3984	. . 3 ⊢ 𝐶 ⊆ 𝐴
7		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
8		smfrec.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
9	1, 7, 8	dmmptdf 45202	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
10	9	eqcomd 2735	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
11		smfrec.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
12		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
13	3, 11, 12	smfdmss 46715	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ∪ 𝑆)
14	10, 13	eqsstrd 3972	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑆)
15	6, 14	sstrid 3949	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ ∪ 𝑆)
16		1red 11135	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 1 ∈ ℝ)
17	6	sseli 3933	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑥 ∈ 𝐴)
18	17	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐴)
19	18, 8	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ)
20	4	eleq2i 2820	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≠ 0})
21	20	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≠ 0})
22		rabidim2 45080	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≠ 0} → 𝐵 ≠ 0)
23	21, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝐵 ≠ 0)
24	23	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐵 ≠ 0)
25	16, 19, 24	redivcld 11970	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ)
26		nfv 1914	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑎 ∈ ℝ
27	1, 26	nfan 1899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ)
28		nfv 1914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥0 < 𝑎
29	27, 28	nfan 1899	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎)
30	19	ad4ant14 752	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ)
31	23	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐵 ≠ 0)
32		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑎) → 𝑎 ∈ ℝ)
33		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑎) → 0 < 𝑎)
34	32, 33	elrpd 12952	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑎) → 𝑎 ∈ ℝ+)
35	34	adantll 714	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → 𝑎 ∈ ℝ+)
36	29, 30, 31, 35	pimrecltpos 46690	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} = ({𝑥 ∈ 𝐶 ∣ (1 / 𝑎) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ 𝐵 < 0}))
37		smfrec.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
38	4, 37	rabexd 5282	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
39		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ↾t 𝐶) = (𝑆 ↾t 𝐶)
40	3, 38, 39	subsalsal 46341	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾t 𝐶) ∈ SAlg)
41	40	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → (𝑆 ↾t 𝐶) ∈ SAlg)
42	3	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
43	42	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → 𝑆 ∈ SAlg)
44	6	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
45	3, 11, 44	sssmfmpt 46732	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
46	45	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
47	46	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
48	34	rprecred 12966	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑎) → (1 / 𝑎) ∈ ℝ)
49	48	adantll 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → (1 / 𝑎) ∈ ℝ)
50	29, 43, 30, 47, 49	smfpimgtmpt 46763	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ (1 / 𝑎) < 𝐵} ∈ (𝑆 ↾t 𝐶))
51		0red 11137	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
52	1, 3, 19, 45, 51	smfpimltmpt 46728	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ 𝐵 < 0} ∈ (𝑆 ↾t 𝐶))
53	52	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ 𝐵 < 0} ∈ (𝑆 ↾t 𝐶))
54	41, 50, 53	saluncld 46330	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → ({𝑥 ∈ 𝐶 ∣ (1 / 𝑎) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ 𝐵 < 0}) ∈ (𝑆 ↾t 𝐶))
55	36, 54	eqeltrd 2828	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐶))
56		nfv 1914	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑎 = 0
57	1, 56	nfan 1899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑎 = 0)
58		breq2 5099	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 0 → ((1 / 𝐵) < 𝑎 ↔ (1 / 𝐵) < 0))
59	58	ad2antlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((1 / 𝐵) < 𝑎 ↔ (1 / 𝐵) < 0))
60	19, 24	reclt0 45371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝐵 < 0 ↔ (1 / 𝐵) < 0))
61	60	bicomd 223	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((1 / 𝐵) < 0 ↔ 𝐵 < 0))
62	61	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((1 / 𝐵) < 0 ↔ 𝐵 < 0))
63	59, 62	bitrd 279	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((1 / 𝐵) < 𝑎 ↔ 𝐵 < 0))
64	57, 63	rabbida 3423	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = 0) → {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} = {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ 𝐵 < 0})
65	52	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = 0) → {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ 𝐵 < 0} ∈ (𝑆 ↾t 𝐶))
66	64, 65	eqeltrd 2828	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = 0) → {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐶))
67	66	ad4ant14 752	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 𝑎 = 0) → {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐶))
68		simpll 766	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → (𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ))
69		simpll 766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → 𝑎 ∈ ℝ)
70		0red 11137	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → 0 ∈ ℝ)
71		neqne 2933	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑎 = 0 → 𝑎 ≠ 0)
72	71	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → 𝑎 ≠ 0)
73		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → ¬ 0 < 𝑎)
74	69, 70, 72, 73	lttri5d 45281	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → 𝑎 < 0)
75	74	adantlll 718	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → 𝑎 < 0)
76		nfv 1914	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑎 < 0
77	27, 76	nfan 1899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0)
78	8	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
79	17, 78	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ)
80	79	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ)
81	23	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐵 ≠ 0)
82		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
83	82	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → 𝑎 ∈ ℝ)
84		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → 𝑎 < 0)
85	77, 80, 81, 83, 84	pimrecltneg 46706	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} = {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝑎)(,)0)})
86	42	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → 𝑆 ∈ SAlg)
87	38	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → 𝐶 ∈ V)
88	46	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
89		1red 11135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 0) → 1 ∈ ℝ)
90		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 0) → 𝑎 ∈ ℝ)
91		lt0ne0 11604	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 0) → 𝑎 ≠ 0)
92	89, 90, 91	redivcld 11970	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 0) → (1 / 𝑎) ∈ ℝ)
93	92	adantll 714	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → (1 / 𝑎) ∈ ℝ)
94	93	rexrd 11184	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → (1 / 𝑎) ∈ ℝ*)
95	51	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → 0 ∈ ℝ)
96	95	rexrd 11184	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → 0 ∈ ℝ*)
97	77, 86, 87, 80, 88, 94, 96	smfpimioompt 46768	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝑎)(,)0)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐶))
98	85, 97	eqeltrd 2828	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐶))
99	68, 75, 98	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐶))
100	67, 99	pm2.61dan 812	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) → {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐶))
101	55, 100	pm2.61dan 812	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐶))
102	1, 2, 3, 15, 25, 101	issmfdmpt 46730	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (1 / 𝐵)) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  {crab 3396  Vcvv 3438   ∪ cun 3903   ⊆ wss 3905  ∪ cuni 4861   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176  dom cdm 5623  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   < clt 11168   / cdiv 11795  ℝ⁺crp 12911  (,)cioo 13266   ↾_t crest 17342  SAlgcsalg 46290  SMblFncsmblfn 46677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cc 10348  ax-ac2 10376  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-inf 9352  df-card 9854  df-acn 9857  df-ac 10029  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-q 12868  df-rp 12912  df-ioo 13270  df-ico 13272  df-fl 13714  df-rest 17344  df-salg 46291  df-smblfn 46678

This theorem is referenced by:  smfdiv  46779