Theorem smfrec 46806

Description: The reciprocal of a sigma-measurable functions is sigma-measurable. First part of Proposition 121E (e) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfrec.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smfrec.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfrec.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
smfrec.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
smfrec.m	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfrec.e	⊢ 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≠ 0}

Assertion

Ref	Expression
smfrec	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (1 / 𝐵)) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem smfrec

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfrec.x	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		nfv 1915	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
3		smfrec.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
4		smfrec.e	. . . 4 ⊢ 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≠ 0}
5		ssrab2 4028	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≠ 0} ⊆ 𝐴
6	4, 5	eqsstri 3979	. . 3 ⊢ 𝐶 ⊆ 𝐴
7		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
8		smfrec.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
9	1, 7, 8	dmmptdf 45240	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
10	9	eqcomd 2736	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
11		smfrec.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
12		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
13	3, 11, 12	smfdmss 46750	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ∪ 𝑆)
14	10, 13	eqsstrd 3967	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑆)
15	6, 14	sstrid 3944	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ ∪ 𝑆)
16		1red 11105	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 1 ∈ ℝ)
17	6	sseli 3928	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑥 ∈ 𝐴)
18	17	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐴)
19	18, 8	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ)
20	4	eleq2i 2821	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≠ 0})
21	20	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≠ 0})
22		rabidim2 45118	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≠ 0} → 𝐵 ≠ 0)
23	21, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝐵 ≠ 0)
24	23	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐵 ≠ 0)
25	16, 19, 24	redivcld 11941	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ)
26		nfv 1915	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑎 ∈ ℝ
27	1, 26	nfan 1900	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ)
28		nfv 1915	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥0 < 𝑎
29	27, 28	nfan 1900	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎)
30	19	ad4ant14 752	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ)
31	23	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐵 ≠ 0)
32		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑎) → 𝑎 ∈ ℝ)
33		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑎) → 0 < 𝑎)
34	32, 33	elrpd 12923	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑎) → 𝑎 ∈ ℝ+)
35	34	adantll 714	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → 𝑎 ∈ ℝ+)
36	29, 30, 31, 35	pimrecltpos 46725	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} = ({𝑥 ∈ 𝐶 ∣ (1 / 𝑎) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ 𝐵 < 0}))
37		smfrec.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
38	4, 37	rabexd 5276	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
39		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ↾t 𝐶) = (𝑆 ↾t 𝐶)
40	3, 38, 39	subsalsal 46376	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾t 𝐶) ∈ SAlg)
41	40	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → (𝑆 ↾t 𝐶) ∈ SAlg)
42	3	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
43	42	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → 𝑆 ∈ SAlg)
44	6	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
45	3, 11, 44	sssmfmpt 46767	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
46	45	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
47	46	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
48	34	rprecred 12937	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑎) → (1 / 𝑎) ∈ ℝ)
49	48	adantll 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → (1 / 𝑎) ∈ ℝ)
50	29, 43, 30, 47, 49	smfpimgtmpt 46798	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ (1 / 𝑎) < 𝐵} ∈ (𝑆 ↾t 𝐶))
51		0red 11107	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
52	1, 3, 19, 45, 51	smfpimltmpt 46763	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ 𝐵 < 0} ∈ (𝑆 ↾t 𝐶))
53	52	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ 𝐵 < 0} ∈ (𝑆 ↾t 𝐶))
54	41, 50, 53	saluncld 46365	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → ({𝑥 ∈ 𝐶 ∣ (1 / 𝑎) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ 𝐵 < 0}) ∈ (𝑆 ↾t 𝐶))
55	36, 54	eqeltrd 2829	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐶))
56		nfv 1915	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑎 = 0
57	1, 56	nfan 1900	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑎 = 0)
58		breq2 5093	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 0 → ((1 / 𝐵) < 𝑎 ↔ (1 / 𝐵) < 0))
59	58	ad2antlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((1 / 𝐵) < 𝑎 ↔ (1 / 𝐵) < 0))
60	19, 24	reclt0 45408	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝐵 < 0 ↔ (1 / 𝐵) < 0))
61	60	bicomd 223	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((1 / 𝐵) < 0 ↔ 𝐵 < 0))
62	61	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((1 / 𝐵) < 0 ↔ 𝐵 < 0))
63	59, 62	bitrd 279	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((1 / 𝐵) < 𝑎 ↔ 𝐵 < 0))
64	57, 63	rabbida 3419	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = 0) → {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} = {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ 𝐵 < 0})
65	52	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = 0) → {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ 𝐵 < 0} ∈ (𝑆 ↾t 𝐶))
66	64, 65	eqeltrd 2829	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = 0) → {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐶))
67	66	ad4ant14 752	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 𝑎 = 0) → {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐶))
68		simpll 766	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → (𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ))
69		simpll 766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → 𝑎 ∈ ℝ)
70		0red 11107	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → 0 ∈ ℝ)
71		neqne 2934	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑎 = 0 → 𝑎 ≠ 0)
72	71	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → 𝑎 ≠ 0)
73		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → ¬ 0 < 𝑎)
74	69, 70, 72, 73	lttri5d 45319	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → 𝑎 < 0)
75	74	adantlll 718	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → 𝑎 < 0)
76		nfv 1915	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑎 < 0
77	27, 76	nfan 1900	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0)
78	8	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
79	17, 78	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ)
80	79	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ)
81	23	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐵 ≠ 0)
82		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
83	82	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → 𝑎 ∈ ℝ)
84		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → 𝑎 < 0)
85	77, 80, 81, 83, 84	pimrecltneg 46741	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} = {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝑎)(,)0)})
86	42	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → 𝑆 ∈ SAlg)
87	38	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → 𝐶 ∈ V)
88	46	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
89		1red 11105	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 0) → 1 ∈ ℝ)
90		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 0) → 𝑎 ∈ ℝ)
91		lt0ne0 11575	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 0) → 𝑎 ≠ 0)
92	89, 90, 91	redivcld 11941	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 0) → (1 / 𝑎) ∈ ℝ)
93	92	adantll 714	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → (1 / 𝑎) ∈ ℝ)
94	93	rexrd 11154	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → (1 / 𝑎) ∈ ℝ*)
95	51	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → 0 ∈ ℝ)
96	95	rexrd 11154	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → 0 ∈ ℝ*)
97	77, 86, 87, 80, 88, 94, 96	smfpimioompt 46803	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝑎)(,)0)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐶))
98	85, 97	eqeltrd 2829	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐶))
99	68, 75, 98	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐶))
100	67, 99	pm2.61dan 812	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) → {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐶))
101	55, 100	pm2.61dan 812	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐶))
102	1, 2, 3, 15, 25, 101	issmfdmpt 46765	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (1 / 𝐵)) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2926  {crab 3393  Vcvv 3434   ∪ cun 3898   ⊆ wss 3900  ∪ cuni 4857   class class class wbr 5089   ↦ cmpt 5170  dom cdm 5614  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  ℝcr 10997  0cc0 10998  1c1 10999   < clt 11138   / cdiv 11766  ℝ⁺crp 12882  (,)cioo 13237   ↾_t crest 17316  SAlgcsalg 46325  SMblFncsmblfn 46712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-inf2 9526  ax-cc 10318  ax-ac2 10346  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075  ax-pre-sup 11076

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-isom 6486  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-er 8617  df-map 8747  df-pm 8748  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-sup 9321  df-inf 9322  df-card 9824  df-acn 9827  df-ac 9999  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-div 11767  df-nn 12118  df-n0 12374  df-z 12461  df-uz 12725  df-q 12839  df-rp 12883  df-ioo 13241  df-ico 13243  df-fl 13688  df-rest 17318  df-salg 46326  df-smblfn 46713

This theorem is referenced by:  smfdiv  46814