Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem109 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem109 46235
Description: The integral of a piecewise continuous periodic function 𝐹 is unchanged if the domain is shifted by any value 𝑋. This lemma generalizes fourierdlem92 46218 where the integral was shifted by the exact period. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem109.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem109.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem109.t 𝑇 = (𝐵𝐴)
fourierdlem109.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem109.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem109.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem109.q (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem109.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
fourierdlem109.fper ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
fourierdlem109.fcn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem109.r ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
fourierdlem109.l ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
fourierdlem109.o 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (𝐵𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem109.h 𝐻 = ({(𝐴𝑋), (𝐵𝑋)} ∪ {𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
fourierdlem109.n 𝑁 = ((♯‘𝐻) − 1)
fourierdlem109.16 𝑆 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻))
fourierdlem109.17 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
fourierdlem109.18 𝐽 = (𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))
fourierdlem109.19 𝐼 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑗) ≤ (𝐽‘(𝐸𝑥))}, ℝ, < ))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem109 (𝜑 → ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑘,𝑗   𝑥,𝐴,𝑦,𝑗   𝑇,𝑖,𝑗,𝑘,𝑥,𝑦   𝑗,𝑁,𝑘,𝑥,𝑦   𝑇,𝑓   𝐵,𝑓,𝑦   𝑆,𝑖,𝑚,𝑝   𝑄,𝑓,𝑗   𝑆,𝑓,𝑗,𝑘   𝑥,𝑆,𝑦   𝑖,𝑀,𝑚,𝑝   𝑄,𝑖,𝑚,𝑝   𝑖,𝐸,𝑥   𝑖,𝐽,𝑗,𝑥,𝑦   𝑓,𝐼,𝑦   𝑖,𝐼,𝑘,𝑥   𝜑,𝑖,𝑥   𝑥,𝐿,𝑦   𝑓,𝑁   𝑗,𝑀,𝑥,𝑦   𝑗,𝑋,𝑥,𝑦   𝐴,𝑖,𝑚,𝑝   𝑥,𝑅,𝑦   𝑖,𝐹,𝑗,𝑥,𝑦   𝑓,𝐸,𝑗,𝑘,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝐵,𝑘,𝑥   𝑖,𝑁,𝑚,𝑝,𝑗   𝑇,𝑚,𝑝   𝜑,𝑓,𝑗,𝑘,𝑦   𝑖,𝑋,𝑚,𝑝   𝑄,𝑘,𝑥,𝑦   𝐵,𝑖,𝑗,𝑚,𝑝   𝑓,𝐻   𝑓,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑓,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑅(𝑓,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐸(𝑚,𝑝)   𝐹(𝑓,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐻(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐼(𝑗,𝑚,𝑝)   𝐽(𝑓,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐿(𝑓,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑀(𝑓,𝑘)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑓,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem fourierdlem109
StepHypRef Expression
1 fourierdlem109.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
21adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
3 fourierdlem109.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
43adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
5 fourierdlem109.t . . 3 𝑇 = (𝐵𝐴)
6 fourierdlem109.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
76adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
8 simpr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑋) → 0 < 𝑋)
97, 8elrpd 13075 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ+)
10 fourierdlem109.p . . 3 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
11 fourierdlem109.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
1211adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑋) → 𝑀 ∈ ℕ)
13 fourierdlem109.q . . . 4 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
1413adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑋) → 𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
15 fourierdlem109.f . . . 4 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
1615adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑋) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
17 fourierdlem109.fper . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
1817adantlr 715 . . 3 (((𝜑 ∧ 0 < 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
19 fourierdlem109.fcn . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
2019adantlr 715 . . 3 (((𝜑 ∧ 0 < 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
21 fourierdlem109.r . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
2221adantlr 715 . . 3 (((𝜑 ∧ 0 < 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
23 fourierdlem109.l . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
2423adantlr 715 . . 3 (((𝜑 ∧ 0 < 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
252, 4, 5, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24fourierdlem108 46234 . 2 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑋) → ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
26 oveq2 7440 . . . . . . 7 (𝑋 = 0 → (𝐴𝑋) = (𝐴 − 0))
271recnd 11290 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2827subid1d 11610 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 − 0) = 𝐴)
2926, 28sylan9eqr 2798 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = 0) → (𝐴𝑋) = 𝐴)
30 oveq2 7440 . . . . . . 7 (𝑋 = 0 → (𝐵𝑋) = (𝐵 − 0))
313recnd 11290 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3231subid1d 11610 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 − 0) = 𝐵)
3330, 32sylan9eqr 2798 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = 0) → (𝐵𝑋) = 𝐵)
3429, 33oveq12d 7450 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = 0) → ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) = (𝐴[,]𝐵))
3534itgeq1d 45977 . . . 4 ((𝜑𝑋 = 0) → ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
3635adantlr 715 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ 0 < 𝑋) ∧ 𝑋 = 0) → ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
37 simpll 766 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 0 < 𝑋) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → 𝜑)
3837, 6syl 17 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 0 < 𝑋) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → 𝑋 ∈ ℝ)
39 0red 11265 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 0 < 𝑋) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → 0 ∈ ℝ)
40 simpr 484 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 0 < 𝑋) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → ¬ 𝑋 = 0)
4140neqned 2946 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 0 < 𝑋) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → 𝑋 ≠ 0)
42 simplr 768 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 0 < 𝑋) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → ¬ 0 < 𝑋)
4338, 39, 41, 42lttri5d 45316 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 0 < 𝑋) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → 𝑋 < 0)
446recnd 11290 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
4527, 44subcld 11621 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴𝑋) ∈ ℂ)
4645, 44subnegd 11628 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴𝑋) − -𝑋) = ((𝐴𝑋) + 𝑋))
4727, 44npcand 11625 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴𝑋) + 𝑋) = 𝐴)
4846, 47eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴𝑋) − -𝑋) = 𝐴)
4931, 44subcld 11621 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵𝑋) ∈ ℂ)
5049, 44subnegd 11628 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐵𝑋) − -𝑋) = ((𝐵𝑋) + 𝑋))
5131, 44npcand 11625 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐵𝑋) + 𝑋) = 𝐵)
5250, 51eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐵𝑋) − -𝑋) = 𝐵)
5348, 52oveq12d 7450 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐴𝑋) − -𝑋)[,]((𝐵𝑋) − -𝑋)) = (𝐴[,]𝐵))
5453eqcomd 2742 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = (((𝐴𝑋) − -𝑋)[,]((𝐵𝑋) − -𝑋)))
5554itgeq1d 45977 . . . . . 6 (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫(((𝐴𝑋) − -𝑋)[,]((𝐵𝑋) − -𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥)
5655adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑋 < 0) → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫(((𝐴𝑋) − -𝑋)[,]((𝐵𝑋) − -𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥)
571, 6resubcld 11692 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝑋) ∈ ℝ)
5857adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 0) → (𝐴𝑋) ∈ ℝ)
593, 6resubcld 11692 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵𝑋) ∈ ℝ)
6059adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 0) → (𝐵𝑋) ∈ ℝ)
61 eqid 2736 . . . . . 6 ((𝐵𝑋) − (𝐴𝑋)) = ((𝐵𝑋) − (𝐴𝑋))
626renegcld 11691 . . . . . . . 8 (𝜑 → -𝑋 ∈ ℝ)
6362adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 0) → -𝑋 ∈ ℝ)
646lt0neg1d 11833 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 < 0 ↔ 0 < -𝑋))
6564biimpa 476 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 0) → 0 < -𝑋)
6663, 65elrpd 13075 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 0) → -𝑋 ∈ ℝ+)
67 fourierdlem109.o . . . . . . 7 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (𝐵𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
68 fveq2 6905 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑗 → (𝑝𝑖) = (𝑝𝑗))
69 oveq1 7439 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 + 1) = (𝑗 + 1))
7069fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑗 → (𝑝‘(𝑖 + 1)) = (𝑝‘(𝑗 + 1)))
7168, 70breq12d 5155 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑗 → ((𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑝𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1))))
7271cbvralvw 3236 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)) ↔ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))
7372anbi2i 623 . . . . . . . . . 10 ((((𝑝‘0) = (𝐴𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (𝐵𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1))) ↔ (((𝑝‘0) = (𝐴𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (𝐵𝑋)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1))))
7473a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) → ((((𝑝‘0) = (𝐴𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (𝐵𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1))) ↔ (((𝑝‘0) = (𝐴𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (𝐵𝑋)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))))
7574rabbiia 3439 . . . . . . . 8 {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (𝐵𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))} = {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (𝐵𝑋)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))}
7675mpteq2i 5246 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (𝐵𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))}) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (𝐵𝑋)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))})
7767, 76eqtri 2764 . . . . . 6 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (𝐵𝑋)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))})
7810, 11, 13fourierdlem11 46138 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵))
7978simp3d 1144 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 < 𝐵)
801, 3, 6, 79ltsub1dd 11876 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴𝑋) < (𝐵𝑋))
81 fourierdlem109.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = ({(𝐴𝑋), (𝐵𝑋)} ∪ {𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
82 fourierdlem109.n . . . . . . . . . 10 𝑁 = ((♯‘𝐻) − 1)
83 fourierdlem109.16 . . . . . . . . . 10 𝑆 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻))
845, 10, 11, 13, 57, 59, 80, 67, 81, 82, 83fourierdlem54 46180 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ (𝑂𝑁)) ∧ 𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻)))
8584simpld 494 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ (𝑂𝑁)))
8685simpld 494 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
8786adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
8885simprd 495 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ (𝑂𝑁))
8988adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 0) → 𝑆 ∈ (𝑂𝑁))
9015adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 0) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
9131, 27, 44nnncan2d 11656 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐵𝑋) − (𝐴𝑋)) = (𝐵𝐴))
9291, 5eqtr4di 2794 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐵𝑋) − (𝐴𝑋)) = 𝑇)
9392oveq2d 7448 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 + ((𝐵𝑋) − (𝐴𝑋))) = (𝑥 + 𝑇))
9493adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((𝐵𝑋) − (𝐴𝑋))) = (𝑥 + 𝑇))
9594fveq2d 6909 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + ((𝐵𝑋) − (𝐴𝑋)))) = (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)))
9695, 17eqtrd 2776 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + ((𝐵𝑋) − (𝐴𝑋)))) = (𝐹𝑥))
9796adantlr 715 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 < 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + ((𝐵𝑋) − (𝐴𝑋)))) = (𝐹𝑥))
9811adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
9913adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
10015adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
10117adantlr 715 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
10219adantlr 715 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
10357adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐴𝑋) ∈ ℝ)
10457rexrd 11312 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴𝑋) ∈ ℝ*)
105 pnfxr 11316 . . . . . . . . . . 11 +∞ ∈ ℝ*
106105a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
10759ltpnfd 13164 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵𝑋) < +∞)
108104, 106, 59, 80, 107eliood 45516 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵𝑋) ∈ ((𝐴𝑋)(,)+∞))
109108adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐵𝑋) ∈ ((𝐴𝑋)(,)+∞))
110 oveq1 7439 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)))
111110eleq1d 2825 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
112111rexbidv 3178 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
113112cbvrabv 3446 . . . . . . . . . 10 {𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
114113uneq2i 4164 . . . . . . . . 9 ({(𝐴𝑋), (𝐵𝑋)} ∪ {𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({(𝐴𝑋), (𝐵𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
11581, 114eqtri 2764 . . . . . . . 8 𝐻 = ({(𝐴𝑋), (𝐵𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
116 fourierdlem109.17 . . . . . . . 8 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
117 fourierdlem109.18 . . . . . . . 8 𝐽 = (𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))
118 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑗 ∈ (0..^𝑁))
119 eqid 2736 . . . . . . . 8 ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))) = ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))))
120 eqid 2736 . . . . . . . 8 (𝐹 ↾ ((𝐽‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))))) = (𝐹 ↾ ((𝐽‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))
121 eqid 2736 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (((𝐽‘(𝐸‘(𝑆𝑗))) + ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))(,)((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) + ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))) ↦ ((𝐹 ↾ ((𝐽‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))‘(𝑦 − ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))))))) = (𝑦 ∈ (((𝐽‘(𝐸‘(𝑆𝑗))) + ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))(,)((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) + ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))) ↦ ((𝐹 ↾ ((𝐽‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))‘(𝑦 − ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))))
122 fourierdlem109.19 . . . . . . . . 9 𝐼 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑗) ≤ (𝐽‘(𝐸𝑥))}, ℝ, < ))
123 fveq2 6905 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑖 → (𝑄𝑗) = (𝑄𝑖))
124123breq1d 5152 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑖 → ((𝑄𝑗) ≤ (𝐽‘(𝐸𝑥)) ↔ (𝑄𝑖) ≤ (𝐽‘(𝐸𝑥))))
125124cbvrabv 3446 . . . . . . . . . . 11 {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑗) ≤ (𝐽‘(𝐸𝑥))} = {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐽‘(𝐸𝑥))}
126125supeq1i 9488 . . . . . . . . . 10 sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑗) ≤ (𝐽‘(𝐸𝑥))}, ℝ, < ) = sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐽‘(𝐸𝑥))}, ℝ, < )
127126mpteq2i 5246 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑗) ≤ (𝐽‘(𝐸𝑥))}, ℝ, < )) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐽‘(𝐸𝑥))}, ℝ, < ))
128122, 127eqtri 2764 . . . . . . . 8 𝐼 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐽‘(𝐸𝑥))}, ℝ, < ))
12910, 5, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 109, 67, 115, 82, 83, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 128fourierdlem90 46216 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 ↾ ((𝑆𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) ∈ (((𝑆𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))–cn→ℂ))
130129adantlr 715 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 < 0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 ↾ ((𝑆𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) ∈ (((𝑆𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))–cn→ℂ))
13121adantlr 715 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
132 eqid 2736 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝑅) = (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝑅)
13310, 5, 98, 99, 100, 101, 102, 131, 103, 109, 67, 115, 82, 83, 116, 117, 118, 119, 128, 132fourierdlem89 46215 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → if((𝐽‘(𝐸‘(𝑆𝑗))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝑗))), ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝑅)‘(𝐼‘(𝑆𝑗))), (𝐹‘(𝐽‘(𝐸‘(𝑆𝑗))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) lim (𝑆𝑗)))
134133adantlr 715 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 < 0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → if((𝐽‘(𝐸‘(𝑆𝑗))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝑗))), ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝑅)‘(𝐼‘(𝑆𝑗))), (𝐹‘(𝐽‘(𝐸‘(𝑆𝑗))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) lim (𝑆𝑗)))
13523adantlr 715 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
136 eqid 2736 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝐿) = (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝐿)
13710, 5, 98, 99, 100, 101, 102, 135, 103, 109, 67, 115, 82, 83, 116, 117, 118, 119, 128, 136fourierdlem91 46217 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → if((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) = (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝑗)) + 1)), ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝐿)‘(𝐼‘(𝑆𝑗))), (𝐹‘(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) lim (𝑆‘(𝑗 + 1))))
138137adantlr 715 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 < 0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → if((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) = (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝑗)) + 1)), ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝐿)‘(𝐼‘(𝑆𝑗))), (𝐹‘(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) lim (𝑆‘(𝑗 + 1))))
13958, 60, 61, 66, 77, 87, 89, 90, 97, 130, 134, 138fourierdlem108 46234 . . . . 5 ((𝜑𝑋 < 0) → ∫(((𝐴𝑋) − -𝑋)[,]((𝐵𝑋) − -𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥)
14056, 139eqtr2d 2777 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 0) → ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
14137, 43, 140syl2anc 584 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ 0 < 𝑋) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
14236, 141pm2.61dan 812 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 0 < 𝑋) → ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
14325, 142pm2.61dan 812 1 (𝜑 → ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wral 3060  wrex 3069  {crab 3435  cun 3948  ifcif 4524  {cpr 4627   class class class wbr 5142  cmpt 5224  ran crn 5685  cres 5686  cio 6511  wf 6556  cfv 6560   Isom wiso 6561  (class class class)co 7432  m cmap 8867  supcsup 9481  cc 11154  cr 11155  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   · cmul 11161  +∞cpnf 11293  *cxr 11295   < clt 11296  cle 11297  cmin 11493  -cneg 11494   / cdiv 11921  cn 12267  cz 12615  (,)cioo 13388  (,]cioc 13389  [,]cicc 13391  ...cfz 13548  ..^cfzo 13695  cfl 13831  chash 14370  cnccncf 24903  citg 25654   lim climc 25898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cc 10476  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-addf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-symdif 4252  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-disj 5110  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-ofr 7699  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-oadd 8511  df-omul 8512  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-fi 9452  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-dju 9942  df-card 9980  df-acn 9983  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13392  df-ioc 13393  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-mod 13911  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-limsup 15508  df-clim 15525  df-rlim 15526  df-sum 15724  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-mulg 19087  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360  df-mopn 21361  df-fbas 21362  df-fg 21363  df-cnfld 21366  df-top 22901  df-topon 22918  df-topsp 22940  df-bases 22954  df-cld 23028  df-ntr 23029  df-cls 23030  df-nei 23107  df-lp 23145  df-perf 23146  df-cn 23236  df-cnp 23237  df-haus 23324  df-cmp 23396  df-tx 23571  df-hmeo 23764  df-fil 23855  df-fm 23947  df-flim 23948  df-flf 23949  df-xms 24331  df-ms 24332  df-tms 24333  df-cncf 24905  df-ovol 25500  df-vol 25501  df-mbf 25655  df-itg1 25656  df-itg2 25657  df-ibl 25658  df-itg 25659  df-0p 25706  df-ditg 25883  df-limc 25902  df-dv 25903
This theorem is referenced by:  fourierdlem110  46236
  Copyright terms: Public domain W3C validator