Theorem fourierdlem109 41931

Description: The integral of a piecewise continuous periodic function 𝐹 is unchanged if the domain is shifted by any value 𝑋. This lemma generalizes fourierdlem92 41914 where the integral was shifted by the exact period. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem109.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem109.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem109.t	⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
fourierdlem109.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem109.p	⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem109.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem109.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
fourierdlem109.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
fourierdlem109.fper	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
fourierdlem109.fcn	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem109.r	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
fourierdlem109.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
fourierdlem109.o	⊢ 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴 − 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑚) = (𝐵 − 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem109.h	⊢ 𝐻 = ({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
fourierdlem109.n	⊢ 𝑁 = ((♯‘𝐻) − 1)
fourierdlem109.16	⊢ 𝑆 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻))
fourierdlem109.17	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
fourierdlem109.18	⊢ 𝐽 = (𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))
fourierdlem109.19	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) ≤ (𝐽‘(𝐸‘𝑥))}, ℝ, < ))

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem109	⊢ (𝜑 → ∫((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋))(𝐹‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) d𝑥)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑗,𝑘,𝑦   𝐴,𝑖,𝑥,𝑗,𝑘,𝑦   𝐴,𝑚,𝑝,𝑖,𝑗   𝐵,𝑓,𝑗,𝑘,𝑦   𝐵,𝑖,𝑥   𝐵,𝑚,𝑝   𝑓,𝐸,𝑗,𝑘,𝑦   𝑖,𝐸,𝑥   𝑖,𝐹,𝑗,𝑥,𝑦   𝑓,𝐻,𝑦   𝑥,𝐻   𝑓,𝐼,𝑘,𝑦   𝑖,𝐼,𝑥   𝑖,𝐽,𝑗,𝑥,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝑖,𝑀,𝑥,𝑦,𝑗   𝑚,𝑀,𝑝   𝑓,𝑁,𝑗,𝑘,𝑦   𝑖,𝑁,𝑥   𝑚,𝑁,𝑝   𝑄,𝑓,𝑗,𝑘,𝑦   𝑄,𝑖,𝑥   𝑄,𝑚,𝑝   𝑥,𝑅,𝑦   𝑆,𝑓,𝑗,𝑘,𝑦   𝑆,𝑖,𝑥   𝑆,𝑚,𝑝   𝑇,𝑓,𝑗,𝑘,𝑦   𝑇,𝑖,𝑥   𝑇,𝑚,𝑝   𝑓,𝑋,𝑗,𝑦   𝑖,𝑋,𝑚,𝑝   𝑥,𝑋   𝜑,𝑓,𝑗,𝑘,𝑦   𝜑,𝑖,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑓,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑅(𝑓,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐸(𝑚,𝑝)   𝐹(𝑓,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐻(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐼(𝑗,𝑚,𝑝)   𝐽(𝑓,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐿(𝑓,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑀(𝑓,𝑘)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑓,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem fourierdlem109

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem109.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 473	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		fourierdlem109.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	adantr 473	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		fourierdlem109.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
6		fourierdlem109.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
7	6	adantr 473	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
8		simpr 477	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑋) → 0 < 𝑋)
9	7, 8	elrpd 12239	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ+)
10		fourierdlem109.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
11		fourierdlem109.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
12	11	adantr 473	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑋) → 𝑀 ∈ ℕ)
13		fourierdlem109.q	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
14	13	adantr 473	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑋) → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
15		fourierdlem109.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
16	15	adantr 473	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑋) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
17		fourierdlem109.fper	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
18	17	adantlr 702	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
19		fourierdlem109.fcn	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
20	19	adantlr 702	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
21		fourierdlem109.r	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
22	21	adantlr 702	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
23		fourierdlem109.l	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
24	23	adantlr 702	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
25	2, 4, 5, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24	fourierdlem108 41930	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑋) → ∫((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋))(𝐹‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) d𝑥)
26		oveq2 6978	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = 0 → (𝐴 − 𝑋) = (𝐴 − 0))
27	1	recnd 10462	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
28	27	subid1d 10781	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 0) = 𝐴)
29	26, 28	sylan9eqr 2830	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → (𝐴 − 𝑋) = 𝐴)
30		oveq2 6978	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = 0 → (𝐵 − 𝑋) = (𝐵 − 0))
31	3	recnd 10462	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
32	31	subid1d 10781	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 0) = 𝐵)
33	30, 32	sylan9eqr 2830	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → (𝐵 − 𝑋) = 𝐵)
34	29, 33	oveq12d 6988	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) = (𝐴[,]𝐵))
35	34	itgeq1d 41672	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → ∫((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋))(𝐹‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) d𝑥)
36	35	adantlr 702	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 0 < 𝑋) ∧ 𝑋 = 0) → ∫((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋))(𝐹‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) d𝑥)
37		simpll 754	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 0 < 𝑋) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → 𝜑)
38	37, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 0 < 𝑋) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → 𝑋 ∈ ℝ)
39		0red 10437	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 0 < 𝑋) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → 0 ∈ ℝ)
40		simpr 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 0 < 𝑋) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → ¬ 𝑋 = 0)
41	40	neqned 2968	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 0 < 𝑋) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → 𝑋 ≠ 0)
42		simplr 756	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 0 < 𝑋) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → ¬ 0 < 𝑋)
43	38, 39, 41, 42	lttri5d 40995	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 0 < 𝑋) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → 𝑋 < 0)
44	6	recnd 10462	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
45	27, 44	subcld 10792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝑋) ∈ ℂ)
46	45, 44	subnegd 10799	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝑋) − -𝑋) = ((𝐴 − 𝑋) + 𝑋))
47	27, 44	npcand 10796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝑋) + 𝑋) = 𝐴)
48	46, 47	eqtrd 2808	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝑋) − -𝑋) = 𝐴)
49	31, 44	subcld 10792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑋) ∈ ℂ)
50	49, 44	subnegd 10799	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑋) − -𝑋) = ((𝐵 − 𝑋) + 𝑋))
51	31, 44	npcand 10796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑋) + 𝑋) = 𝐵)
52	50, 51	eqtrd 2808	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑋) − -𝑋) = 𝐵)
53	48, 52	oveq12d 6988	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝑋) − -𝑋)[,]((𝐵 − 𝑋) − -𝑋)) = (𝐴[,]𝐵))
54	53	eqcomd 2778	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = (((𝐴 − 𝑋) − -𝑋)[,]((𝐵 − 𝑋) − -𝑋)))
55	54	itgeq1d 41672	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) d𝑥 = ∫(((𝐴 − 𝑋) − -𝑋)[,]((𝐵 − 𝑋) − -𝑋))(𝐹‘𝑥) d𝑥)
56	55	adantr 473	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 0) → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) d𝑥 = ∫(((𝐴 − 𝑋) − -𝑋)[,]((𝐵 − 𝑋) − -𝑋))(𝐹‘𝑥) d𝑥)
57	1, 6	resubcld 10863	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝑋) ∈ ℝ)
58	57	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 0) → (𝐴 − 𝑋) ∈ ℝ)
59	3, 6	resubcld 10863	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑋) ∈ ℝ)
60	59	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 0) → (𝐵 − 𝑋) ∈ ℝ)
61		eqid 2772	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 − 𝑋) − (𝐴 − 𝑋)) = ((𝐵 − 𝑋) − (𝐴 − 𝑋))
62	6	renegcld 10862	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -𝑋 ∈ ℝ)
63	62	adantr 473	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 0) → -𝑋 ∈ ℝ)
64	6	lt0neg1d 11004	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 < 0 ↔ 0 < -𝑋))
65	64	biimpa 469	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 0) → 0 < -𝑋)
66	63, 65	elrpd 12239	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 0) → -𝑋 ∈ ℝ+)
67		fourierdlem109.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴 − 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑚) = (𝐵 − 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
68		fveq2 6493	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑝‘𝑖) = (𝑝‘𝑗))
69		oveq1 6977	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 + 1) = (𝑗 + 1))
70	69	fveq2d 6497	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑝‘(𝑖 + 1)) = (𝑝‘(𝑗 + 1)))
71	68, 70	breq12d 4936	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑝‘𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1))))
72	71	cbvralv 3377	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)) ↔ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))
73	72	anbi2i 613	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑝‘0) = (𝐴 − 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑚) = (𝐵 − 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1))) ↔ (((𝑝‘0) = (𝐴 − 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑚) = (𝐵 − 𝑋)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1))))
74	73	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) → ((((𝑝‘0) = (𝐴 − 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑚) = (𝐵 − 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1))) ↔ (((𝑝‘0) = (𝐴 − 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑚) = (𝐵 − 𝑋)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))))
75	74	rabbiia 3392	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴 − 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑚) = (𝐵 − 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))} = {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴 − 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑚) = (𝐵 − 𝑋)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))}
76	75	mpteq2i 5013	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴 − 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑚) = (𝐵 − 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))}) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴 − 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑚) = (𝐵 − 𝑋)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))})
77	67, 76	eqtri 2796	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴 − 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑚) = (𝐵 − 𝑋)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))})
78	10, 11, 13	fourierdlem11 41834	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵))
79	78	simp3d 1124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
80	1, 3, 6, 79	ltsub1dd 11047	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝑋) < (𝐵 − 𝑋))
81		fourierdlem109.h	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻 = ({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
82		fourierdlem109.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = ((♯‘𝐻) − 1)
83		fourierdlem109.16	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻))
84	5, 10, 11, 13, 57, 59, 80, 67, 81, 82, 83	fourierdlem54 41876	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ (𝑂‘𝑁)) ∧ 𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻)))
85	84	simpld 487	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ (𝑂‘𝑁)))
86	85	simpld 487	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
87	86	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
88	85	simprd 488	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝑂‘𝑁))
89	88	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 0) → 𝑆 ∈ (𝑂‘𝑁))
90	15	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 0) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
91	31, 27, 44	nnncan2d 10827	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑋) − (𝐴 − 𝑋)) = (𝐵 − 𝐴))
92	91, 5	syl6eqr 2826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑋) − (𝐴 − 𝑋)) = 𝑇)
93	92	oveq2d 6986	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 + ((𝐵 − 𝑋) − (𝐴 − 𝑋))) = (𝑥 + 𝑇))
94	93	adantr 473	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((𝐵 − 𝑋) − (𝐴 − 𝑋))) = (𝑥 + 𝑇))
95	94	fveq2d 6497	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + ((𝐵 − 𝑋) − (𝐴 − 𝑋)))) = (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)))
96	95, 17	eqtrd 2808	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + ((𝐵 − 𝑋) − (𝐴 − 𝑋)))) = (𝐹‘𝑥))
97	96	adantlr 702	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 < 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + ((𝐵 − 𝑋) − (𝐴 − 𝑋)))) = (𝐹‘𝑥))
98	11	adantr 473	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
99	13	adantr 473	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
100	15	adantr 473	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
101	17	adantlr 702	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
102	19	adantlr 702	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
103	57	adantr 473	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐴 − 𝑋) ∈ ℝ)
104	57	rexrd 10484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝑋) ∈ ℝ*)
105		pnfxr 10488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
106	105	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
107	59	ltpnfd 12327	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑋) < +∞)
108	104, 106, 59, 80, 107	eliood 41204	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑋) ∈ ((𝐴 − 𝑋)(,)+∞))
109	108	adantr 473	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐵 − 𝑋) ∈ ((𝐴 − 𝑋)(,)+∞))
110		oveq1 6977	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)))
111	110	eleq1d 2844	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
112	111	rexbidv 3236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
113	112	cbvrabv 3406	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
114	113	uneq2i 4019	. . . . . . . . 9 ⊢ ({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
115	81, 114	eqtri 2796	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = ({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
116		fourierdlem109.17	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
117		fourierdlem109.18	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))
118		simpr 477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑗 ∈ (0..^𝑁))
119		eqid 2772	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))) = ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))))
120		eqid 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ↾ ((𝐽‘(𝐸‘(𝑆‘𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))))) = (𝐹 ↾ ((𝐽‘(𝐸‘(𝑆‘𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))
121		eqid 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (((𝐽‘(𝐸‘(𝑆‘𝑗))) + ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))(,)((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) + ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))) ↦ ((𝐹 ↾ ((𝐽‘(𝐸‘(𝑆‘𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))‘(𝑦 − ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))))))) = (𝑦 ∈ (((𝐽‘(𝐸‘(𝑆‘𝑗))) + ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))(,)((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) + ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))) ↦ ((𝐹 ↾ ((𝐽‘(𝐸‘(𝑆‘𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))‘(𝑦 − ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))))
122		fourierdlem109.19	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) ≤ (𝐽‘(𝐸‘𝑥))}, ℝ, < ))
123		fveq2 6493	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑄‘𝑗) = (𝑄‘𝑖))
124	123	breq1d 4933	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝑄‘𝑗) ≤ (𝐽‘(𝐸‘𝑥)) ↔ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐽‘(𝐸‘𝑥))))
125	124	cbvrabv 3406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) ≤ (𝐽‘(𝐸‘𝑥))} = {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐽‘(𝐸‘𝑥))}
126	125	supeq1i 8700	. . . . . . . . . 10 ⊢ sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) ≤ (𝐽‘(𝐸‘𝑥))}, ℝ, < ) = sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐽‘(𝐸‘𝑥))}, ℝ, < )
127	126	mpteq2i 5013	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) ≤ (𝐽‘(𝐸‘𝑥))}, ℝ, < )) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐽‘(𝐸‘𝑥))}, ℝ, < ))
128	122, 127	eqtri 2796	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐽‘(𝐸‘𝑥))}, ℝ, < ))
129	10, 5, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 109, 67, 115, 82, 83, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 128	fourierdlem90 41912	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 ↾ ((𝑆‘𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) ∈ (((𝑆‘𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))–cn→ℂ))
130	129	adantlr 702	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 < 0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 ↾ ((𝑆‘𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) ∈ (((𝑆‘𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))–cn→ℂ))
131	21	adantlr 702	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
132		eqid 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝑅) = (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝑅)
133	10, 5, 98, 99, 100, 101, 102, 131, 103, 109, 67, 115, 82, 83, 116, 117, 118, 119, 128, 132	fourierdlem89 41911	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → if((𝐽‘(𝐸‘(𝑆‘𝑗))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆‘𝑗))), ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝑅)‘(𝐼‘(𝑆‘𝑗))), (𝐹‘(𝐽‘(𝐸‘(𝑆‘𝑗))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑆‘𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑆‘𝑗)))
134	133	adantlr 702	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 < 0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → if((𝐽‘(𝐸‘(𝑆‘𝑗))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆‘𝑗))), ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝑅)‘(𝐼‘(𝑆‘𝑗))), (𝐹‘(𝐽‘(𝐸‘(𝑆‘𝑗))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑆‘𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑆‘𝑗)))
135	23	adantlr 702	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
136		eqid 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝐿) = (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝐿)
137	10, 5, 98, 99, 100, 101, 102, 135, 103, 109, 67, 115, 82, 83, 116, 117, 118, 119, 128, 136	fourierdlem91 41913	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → if((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) = (𝑄‘((𝐼‘(𝑆‘𝑗)) + 1)), ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝐿)‘(𝐼‘(𝑆‘𝑗))), (𝐹‘(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑆‘𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑆‘(𝑗 + 1))))
138	137	adantlr 702	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 < 0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → if((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) = (𝑄‘((𝐼‘(𝑆‘𝑗)) + 1)), ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝐿)‘(𝐼‘(𝑆‘𝑗))), (𝐹‘(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑆‘𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑆‘(𝑗 + 1))))
139	58, 60, 61, 66, 77, 87, 89, 90, 97, 130, 134, 138	fourierdlem108 41930	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 0) → ∫(((𝐴 − 𝑋) − -𝑋)[,]((𝐵 − 𝑋) − -𝑋))(𝐹‘𝑥) d𝑥 = ∫((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋))(𝐹‘𝑥) d𝑥)
140	56, 139	eqtr2d 2809	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 0) → ∫((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋))(𝐹‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) d𝑥)
141	37, 43, 140	syl2anc 576	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 0 < 𝑋) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → ∫((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋))(𝐹‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) d𝑥)
142	36, 141	pm2.61dan 800	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 < 𝑋) → ∫((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋))(𝐹‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) d𝑥)
143	25, 142	pm2.61dan 800	1 ⊢ (𝜑 → ∫((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋))(𝐹‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) d𝑥)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  ∀wral 3082  ∃wrex 3083  {crab 3086   ∪ cun 3821  ifcif 4344  {cpr 4437   class class class wbr 4923   ↦ cmpt 5002  ran crn 5402   ↾ cres 5403  ℩cio 6144  ⟶wf 6178  ‘cfv 6182   Isom wiso 6183  (class class class)co 6970   ↑_𝑚 cmap 8200  supcsup 8693  ℂcc 10327  ℝcr 10328  0cc0 10329  1c1 10330   + caddc 10332   · cmul 10334  +∞cpnf 10465  ℝ^*cxr 10467   < clt 10468   ≤ cle 10469   − cmin 10664  -cneg 10665   / cdiv 11092  ℕcn 11433  ℤcz 11787  (,)cioo 12548  (,]cioc 12549  [,]cicc 12551  ...cfz 12702  ..^cfzo 12843  ⌊cfl 12969  ♯chash 13499  –cn→ccncf 23181  ∫citg 23916   lim_ℂ climc 24157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-inf2 8892  ax-cc 9649  ax-cnex 10385  ax-resscn 10386  ax-1cn 10387  ax-icn 10388  ax-addcl 10389  ax-addrcl 10390  ax-mulcl 10391  ax-mulrcl 10392  ax-mulcom 10393  ax-addass 10394  ax-mulass 10395  ax-distr 10396  ax-i2m1 10397  ax-1ne0 10398  ax-1rid 10399  ax-rnegex 10400  ax-rrecex 10401  ax-cnre 10402  ax-pre-lttri 10403  ax-pre-lttrn 10404  ax-pre-ltadd 10405  ax-pre-mulgt0 10406  ax-pre-sup 10407  ax-addf 10408  ax-mulf 10409

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-symdif 4100  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-iin 4789  df-disj 4892  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5306  df-eprel 5311  df-po 5320  df-so 5321  df-fr 5360  df-se 5361  df-we 5362  df-xp 5407  df-rel 5408  df-cnv 5409  df-co 5410  df-dm 5411  df-rn 5412  df-res 5413  df-ima 5414  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-isom 6191  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-of 7221  df-ofr 7222  df-om 7391  df-1st 7495  df-2nd 7496  df-supp 7628  df-wrecs 7744  df-recs 7806  df-rdg 7844  df-1o 7899  df-2o 7900  df-oadd 7903  df-omul 7904  df-er 8083  df-map 8202  df-pm 8203  df-ixp 8254  df-en 8301  df-dom 8302  df-sdom 8303  df-fin 8304  df-fsupp 8623  df-fi 8664  df-sup 8695  df-inf 8696  df-oi 8763  df-dju 9118  df-card 9156  df-acn 9159  df-cda 9382  df-pnf 10470  df-mnf 10471  df-xr 10472  df-ltxr 10473  df-le 10474  df-sub 10666  df-neg 10667  df-div 11093  df-nn 11434  df-2 11497  df-3 11498  df-4 11499  df-5 11500  df-6 11501  df-7 11502  df-8 11503  df-9 11504  df-n0 11702  df-xnn0 11774  df-z 11788  df-dec 11906  df-uz 12053  df-q 12157  df-rp 12199  df-xneg 12318  df-xadd 12319  df-xmul 12320  df-ioo 12552  df-ioc 12553  df-ico 12554  df-icc 12555  df-fz 12703  df-fzo 12844  df-fl 12971  df-mod 13047  df-seq 13179  df-exp 13239  df-hash 13500  df-cj 14313  df-re 14314  df-im 14315  df-sqrt 14449  df-abs 14450  df-limsup 14683  df-clim 14700  df-rlim 14701  df-sum 14898  df-struct 16335  df-ndx 16336  df-slot 16337  df-base 16339  df-sets 16340  df-ress 16341  df-plusg 16428  df-mulr 16429  df-starv 16430  df-sca 16431  df-vsca 16432  df-ip 16433  df-tset 16434  df-ple 16435  df-ds 16437  df-unif 16438  df-hom 16439  df-cco 16440  df-rest 16546  df-topn 16547  df-0g 16565  df-gsum 16566  df-topgen 16567  df-pt 16568  df-prds 16571  df-xrs 16625  df-qtop 16630  df-imas 16631  df-xps 16633  df-mre 16709  df-mrc 16710  df-acs 16712  df-mgm 17704  df-sgrp 17746  df-mnd 17757  df-submnd 17798  df-mulg 18006  df-cntz 18212  df-cmn 18662  df-psmet 20233  df-xmet 20234  df-met 20235  df-bl 20236  df-mopn 20237  df-fbas 20238  df-fg 20239  df-cnfld 20242  df-top 21200  df-topon 21217  df-topsp 21239  df-bases 21252  df-cld 21325  df-ntr 21326  df-cls 21327  df-nei 21404  df-lp 21442  df-perf 21443  df-cn 21533  df-cnp 21534  df-haus 21621  df-cmp 21693  df-tx 21868  df-hmeo 22061  df-fil 22152  df-fm 22244  df-flim 22245  df-flf 22246  df-xms 22627  df-ms 22628  df-tms 22629  df-cncf 23183  df-ovol 23762  df-vol 23763  df-mbf 23917  df-itg1 23918  df-itg2 23919  df-ibl 23920  df-itg 23921  df-0p 23968  df-ditg 24142  df-limc 24161  df-dv 24162

This theorem is referenced by:  fourierdlem110  41932