Theorem fourierdlem109 47194

Description: The integral of a piecewise continuous periodic function 𝐹 is unchanged if the domain is shifted by any value 𝑋. This lemma generalizes fourierdlem92 47177 where the integral was shifted by the exact period. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem109.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem109.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem109.t	⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
fourierdlem109.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem109.p	⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem109.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem109.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
fourierdlem109.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
fourierdlem109.fper	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
fourierdlem109.fcn	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem109.r	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
fourierdlem109.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
fourierdlem109.o	⊢ 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴 − 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑚) = (𝐵 − 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem109.h	⊢ 𝐻 = ({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
fourierdlem109.n	⊢ 𝑁 = ((♯‘𝐻) − 1)
fourierdlem109.16	⊢ 𝑆 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻))
fourierdlem109.17	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
fourierdlem109.18	⊢ 𝐽 = (𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))
fourierdlem109.19	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) ≤ (𝐽‘(𝐸‘𝑥))}, ℝ, < ))

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem109	⊢ (𝜑 → ∫((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋))(𝐹‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) d𝑥)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑘,𝑗   𝑥,𝐴,𝑦,𝑗   𝑇,𝑖,𝑗,𝑘,𝑥,𝑦   𝑗,𝑁,𝑘,𝑥,𝑦   𝑇,𝑓   𝐵,𝑓,𝑦   𝑆,𝑖,𝑚,𝑝   𝑄,𝑓,𝑗   𝑆,𝑓,𝑗,𝑘   𝑥,𝑆,𝑦   𝑖,𝑀,𝑚,𝑝   𝑄,𝑖,𝑚,𝑝   𝑖,𝐸,𝑥   𝑖,𝐽,𝑗,𝑥,𝑦   𝑓,𝐼,𝑦   𝑖,𝐼,𝑘,𝑥   𝜑,𝑖,𝑥   𝑥,𝐿,𝑦   𝑓,𝑁   𝑗,𝑀,𝑥,𝑦   𝑗,𝑋,𝑥,𝑦   𝐴,𝑖,𝑚,𝑝   𝑥,𝑅,𝑦   𝑖,𝐹,𝑗,𝑥,𝑦   𝑓,𝐸,𝑗,𝑘,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝐵,𝑘,𝑥   𝑖,𝑁,𝑚,𝑝,𝑗   𝑇,𝑚,𝑝   𝜑,𝑓,𝑗,𝑘,𝑦   𝑖,𝑋,𝑚,𝑝   𝑄,𝑘,𝑥,𝑦   𝐵,𝑖,𝑗,𝑚,𝑝   𝑓,𝐻   𝑓,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚, 𝑝)   𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑓, 𝑖, 𝑗, 𝑘, 𝑚, 𝑝)   𝑅(𝑓, 𝑖, 𝑗, 𝑘, 𝑚, 𝑝)   𝐸(𝑚, 𝑝)   𝐹(𝑓, 𝑘, 𝑚, 𝑝)   𝐻(𝑖, 𝑗, 𝑘, 𝑚, 𝑝)   𝐼(𝑗, 𝑚, 𝑝)   𝐽(𝑓, 𝑘, 𝑚, 𝑝)   𝐿(𝑓, 𝑖, 𝑗, 𝑘, 𝑚, 𝑝)   𝑀(𝑓, 𝑘)   𝑂(𝑥, 𝑦, 𝑓, 𝑖, 𝑗, 𝑘, 𝑚, 𝑝)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem fourierdlem109

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem109.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		fourierdlem109.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		fourierdlem109.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
6		fourierdlem109.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
7	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
8		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑋) → 0 < 𝑋)
9	7, 8	elrpd 13154	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ+)
10		fourierdlem109.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
11		fourierdlem109.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
12	11	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑋) → 𝑀 ∈ ℕ)
13		fourierdlem109.q	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
14	13	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑋) → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
15		fourierdlem109.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
16	15	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑋) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
17		fourierdlem109.fper	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
18	17	adantlr 728	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
19		fourierdlem109.fcn	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
20	19	adantlr 728	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
21		fourierdlem109.r	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
22	21	adantlr 728	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
23		fourierdlem109.l	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
24	23	adantlr 728	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
25	2, 4, 5, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24	fourierdlem108 47193	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑋) → ∫((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋))(𝐹‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) d𝑥)
26		oveq2 7426	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = 0 → (𝐴 − 𝑋) = (𝐴 − 0))
27	1	recnd 11330	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
28	27	subid1d 11651	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 0) = 𝐴)
29	26, 28	sylan9eqr 2818	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → (𝐴 − 𝑋) = 𝐴)
30		oveq2 7426	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = 0 → (𝐵 − 𝑋) = (𝐵 − 0))
31	3	recnd 11330	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
32	31	subid1d 11651	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 0) = 𝐵)
33	30, 32	sylan9eqr 2818	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → (𝐵 − 𝑋) = 𝐵)
34	29, 33	oveq12d 7436	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) = (𝐴[,]𝐵))
35	34	itgeq1d 46936	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → ∫((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋))(𝐹‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) d𝑥)
36	35	adantlr 728	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 0 < 𝑋) ∧ 𝑋 = 0) → ∫((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋))(𝐹‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) d𝑥)
37		simpll 779	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 0 < 𝑋) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → 𝜑)
38	37, 6	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 0 < 𝑋) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → 𝑋 ∈ ℝ)
39		0red 11304	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 0 < 𝑋) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → 0 ∈ ℝ)
40		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 0 < 𝑋) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → ¬ 𝑋 = 0)
41	40	neqned 2963	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 0 < 𝑋) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → 𝑋 ≠ 0)
42		simplr 781	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 0 < 𝑋) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → ¬ 0 < 𝑋)
43	38, 39, 41, 42	lttri5d 46284	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 0 < 𝑋) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → 𝑋 < 0)
44	6	recnd 11330	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
45	27, 44	subcld 11662	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝑋) ∈ ℂ)
46	45, 44	subnegd 11669	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝑋) − -𝑋) = ((𝐴 − 𝑋) + 𝑋))
47	27, 44	npcand 11666	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝑋) + 𝑋) = 𝐴)
48	46, 47	eqtrd 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝑋) − -𝑋) = 𝐴)
49	31, 44	subcld 11662	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑋) ∈ ℂ)
50	49, 44	subnegd 11669	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑋) − -𝑋) = ((𝐵 − 𝑋) + 𝑋))
51	31, 44	npcand 11666	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑋) + 𝑋) = 𝐵)
52	50, 51	eqtrd 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑋) − -𝑋) = 𝐵)
53	48, 52	oveq12d 7436	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝑋) − -𝑋)[,]((𝐵 − 𝑋) − -𝑋)) = (𝐴[,]𝐵))
54	53	eqcomd 2767	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = (((𝐴 − 𝑋) − -𝑋)[,]((𝐵 − 𝑋) − -𝑋)))
55	54	itgeq1d 46936	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) d𝑥 = ∫(((𝐴 − 𝑋) − -𝑋)[,]((𝐵 − 𝑋) − -𝑋))(𝐹‘𝑥) d𝑥)
56	55	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 0) → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) d𝑥 = ∫(((𝐴 − 𝑋) − -𝑋)[,]((𝐵 − 𝑋) − -𝑋))(𝐹‘𝑥) d𝑥)
57	1, 6	resubcld 11737	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝑋) ∈ ℝ)
58	57	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 0) → (𝐴 − 𝑋) ∈ ℝ)
59	3, 6	resubcld 11737	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑋) ∈ ℝ)
60	59	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 0) → (𝐵 − 𝑋) ∈ ℝ)
61		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 − 𝑋) − (𝐴 − 𝑋)) = ((𝐵 − 𝑋) − (𝐴 − 𝑋))
62	6	renegcld 11736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -𝑋 ∈ ℝ)
63	62	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 0) → -𝑋 ∈ ℝ)
64	6	lt0neg1d 11878	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 < 0 ↔ 0 < -𝑋))
65	64	biimpa 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 0) → 0 < -𝑋)
66	63, 65	elrpd 13154	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 0) → -𝑋 ∈ ℝ+)
67		fourierdlem109.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴 − 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑚) = (𝐵 − 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
68		fveq2 6883	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑝‘𝑖) = (𝑝‘𝑗))
69		oveq1 7425	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 + 1) = (𝑗 + 1))
70	69	fveq2d 6887	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑝‘(𝑖 + 1)) = (𝑝‘(𝑗 + 1)))
71	68, 70	breq12d 5116	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑝‘𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1))))
72	71	cbvralvw 3241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)) ↔ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))
73	72	anbi2i 635	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑝‘0) = (𝐴 − 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑚) = (𝐵 − 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1))) ↔ (((𝑝‘0) = (𝐴 − 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑚) = (𝐵 − 𝑋)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1))))
74	73	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) → ((((𝑝‘0) = (𝐴 − 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑚) = (𝐵 − 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1))) ↔ (((𝑝‘0) = (𝐴 − 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑚) = (𝐵 − 𝑋)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))))
75	74	rabbiia 3417	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴 − 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑚) = (𝐵 − 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))} = {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴 − 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑚) = (𝐵 − 𝑋)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))}
76	75	mpteq2i 5201	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴 − 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑚) = (𝐵 − 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))}) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴 − 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑚) = (𝐵 − 𝑋)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))})
77	67, 76	eqtri 2784	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴 − 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑚) = (𝐵 − 𝑋)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))})
78	10, 11, 13	fourierdlem11 47097	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵))
79	78	simp3d 1162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
80	1, 3, 6, 79	ltsub1dd 11921	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝑋) < (𝐵 − 𝑋))
81		fourierdlem109.h	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻 = ({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
82		fourierdlem109.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = ((♯‘𝐻) − 1)
83		fourierdlem109.16	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻))
84	5, 10, 11, 13, 57, 59, 80, 67, 81, 82, 83	fourierdlem54 47139	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ (𝑂‘𝑁)) ∧ 𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻)))
85	84	simpld 500	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ (𝑂‘𝑁)))
86	85	simpld 500	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
87	86	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
88	85	simprd 501	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝑂‘𝑁))
89	88	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 0) → 𝑆 ∈ (𝑂‘𝑁))
90	15	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 0) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
91	31, 27, 44	nnncan2d 11697	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑋) − (𝐴 − 𝑋)) = (𝐵 − 𝐴))
92	91, 5	eqtr4di 2814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑋) − (𝐴 − 𝑋)) = 𝑇)
93	92	oveq2d 7434	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 + ((𝐵 − 𝑋) − (𝐴 − 𝑋))) = (𝑥 + 𝑇))
94	93	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((𝐵 − 𝑋) − (𝐴 − 𝑋))) = (𝑥 + 𝑇))
95	94	fveq2d 6887	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + ((𝐵 − 𝑋) − (𝐴 − 𝑋)))) = (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)))
96	95, 17	eqtrd 2796	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + ((𝐵 − 𝑋) − (𝐴 − 𝑋)))) = (𝐹‘𝑥))
97	96	adantlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 < 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + ((𝐵 − 𝑋) − (𝐴 − 𝑋)))) = (𝐹‘𝑥))
98	11	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
99	13	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
100	15	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
101	17	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
102	19	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
103	57	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐴 − 𝑋) ∈ ℝ)
104	57	rexrd 11352	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝑋) ∈ ℝ*)
105		pnfxr 11356	. . . . . . . . . . 11 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
106	105	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
107	59	ltpnfd 13243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑋) < +∞)
108	104, 106, 59, 80, 107	eliood 46479	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑋) ∈ ((𝐴 − 𝑋)(,)+∞))
109	108	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐵 − 𝑋) ∈ ((𝐴 − 𝑋)(,)+∞))
110		oveq1 7425	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)))
111	110	eleq1d 2846	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
112	111	rexbidv 3187	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
113	112	cbvrabv 3423	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
114	113	uneq2i 4112	. . . . . . . . 9 ⊢ ({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
115	81, 114	eqtri 2784	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = ({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
116		fourierdlem109.17	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
117		fourierdlem109.18	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))
118		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑗 ∈ (0..^𝑁))
119		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))) = ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))))
120		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ↾ ((𝐽‘(𝐸‘(𝑆‘𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))))) = (𝐹 ↾ ((𝐽‘(𝐸‘(𝑆‘𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))
121		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (((𝐽‘(𝐸‘(𝑆‘𝑗))) + ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))(,)((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) + ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))) ↦ ((𝐹 ↾ ((𝐽‘(𝐸‘(𝑆‘𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))‘(𝑦 − ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))))))) = (𝑦 ∈ (((𝐽‘(𝐸‘(𝑆‘𝑗))) + ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))(,)((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) + ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))) ↦ ((𝐹 ↾ ((𝐽‘(𝐸‘(𝑆‘𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))‘(𝑦 − ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))))
122		fourierdlem109.19	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) ≤ (𝐽‘(𝐸‘𝑥))}, ℝ, < ))
123		fveq2 6883	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑄‘𝑗) = (𝑄‘𝑖))
124	123	breq1d 5113	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝑄‘𝑗) ≤ (𝐽‘(𝐸‘𝑥)) ↔ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐽‘(𝐸‘𝑥))))
125	124	cbvrabv 3423	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) ≤ (𝐽‘(𝐸‘𝑥))} = {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐽‘(𝐸‘𝑥))}
126	125	supeq1i 9432	. . . . . . . . . 10 ⊢ sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) ≤ (𝐽‘(𝐸‘𝑥))}, ℝ, < ) = sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐽‘(𝐸‘𝑥))}, ℝ, < )
127	126	mpteq2i 5201	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) ≤ (𝐽‘(𝐸‘𝑥))}, ℝ, < )) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐽‘(𝐸‘𝑥))}, ℝ, < ))
128	122, 127	eqtri 2784	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐽‘(𝐸‘𝑥))}, ℝ, < ))
129	10, 5, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 109, 67, 115, 82, 83, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 128	fourierdlem90 47175	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 ↾ ((𝑆‘𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) ∈ (((𝑆‘𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))–cn→ℂ))
130	129	adantlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 < 0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 ↾ ((𝑆‘𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) ∈ (((𝑆‘𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))–cn→ℂ))
131	21	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
132		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝑅) = (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝑅)
133	10, 5, 98, 99, 100, 101, 102, 131, 103, 109, 67, 115, 82, 83, 116, 117, 118, 119, 128, 132	fourierdlem89 47174	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → if((𝐽‘(𝐸‘(𝑆‘𝑗))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆‘𝑗))), ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝑅)‘(𝐼‘(𝑆‘𝑗))), (𝐹‘(𝐽‘(𝐸‘(𝑆‘𝑗))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑆‘𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑆‘𝑗)))
134	133	adantlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 < 0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → if((𝐽‘(𝐸‘(𝑆‘𝑗))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆‘𝑗))), ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝑅)‘(𝐼‘(𝑆‘𝑗))), (𝐹‘(𝐽‘(𝐸‘(𝑆‘𝑗))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑆‘𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑆‘𝑗)))
135	23	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
136		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝐿) = (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝐿)
137	10, 5, 98, 99, 100, 101, 102, 135, 103, 109, 67, 115, 82, 83, 116, 117, 118, 119, 128, 136	fourierdlem91 47176	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → if((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) = (𝑄‘((𝐼‘(𝑆‘𝑗)) + 1)), ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝐿)‘(𝐼‘(𝑆‘𝑗))), (𝐹‘(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑆‘𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑆‘(𝑗 + 1))))
138	137	adantlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 < 0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → if((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) = (𝑄‘((𝐼‘(𝑆‘𝑗)) + 1)), ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝐿)‘(𝐼‘(𝑆‘𝑗))), (𝐹‘(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑆‘𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑆‘(𝑗 + 1))))
139	58, 60, 61, 66, 77, 87, 89, 90, 97, 130, 134, 138	fourierdlem108 47193	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 0) → ∫(((𝐴 − 𝑋) − -𝑋)[,]((𝐵 − 𝑋) − -𝑋))(𝐹‘𝑥) d𝑥 = ∫((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋))(𝐹‘𝑥) d𝑥)
140	56, 139	eqtr2d 2797	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 0) → ∫((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋))(𝐹‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) d𝑥)
141	37, 43, 140	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 0 < 𝑋) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → ∫((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋))(𝐹‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) d𝑥)
142	36, 141	pm2.61dan 825	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 < 𝑋) → ∫((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋))(𝐹‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) d𝑥)
143	25, 142	pm2.61dan 825	1 ⊢ (𝜑 → ∫((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋))(𝐹‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) d𝑥)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  {crab 3413   ∪ cun 3897  ifcif 4482  {cpr 4586   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ran crn 5652   ↾ cres 5653  ℩cio 6491  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537   Isom wiso 6538  (class class class)co 7418   ↑_m cmap 8840  supcsup 9425  ℂcc 11191  ℝcr 11192  0cc0 11193  1c1 11194   + caddc 11196   · cmul 11198  +∞cpnf 11333  ℝ^*cxr 11335   < clt 11336   ≤ cle 11337   − cmin 11534  -cneg 11535   / cdiv 11966  ℕcn 12328  ℤcz 12686  (,)cioo 13469  (,]cioc 13470  [,]cicc 13472  ...cfz 13632  ..^cfzo 13781  ⌊cfl 13923  ♯chash 14467  –cn→ccncf 25190  ∫citg 25932   lim_ℂ climc 26175

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-inf2 9635  ax-cc 10506  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271  ax-addf 11272

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-symdif 4199  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-disj 5071  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-of 7691  df-ofr 7692  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8171  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-omul 8474  df-er 8710  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9347  df-fi 9396  df-sup 9427  df-inf 9428  df-oi 9497  df-dju 9975  df-card 10013  df-acn 10016  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-xnn0 12673  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-q 13069  df-rp 13114  df-xneg 13234  df-xadd 13235  df-xmul 13236  df-ioo 13473  df-ioc 13474  df-ico 13475  df-icc 13476  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-fl 13925  df-mod 14003  df-seq 14138  df-exp 14198  df-hash 14468  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-limsup 15631  df-clim 15648  df-rlim 15649  df-sum 15847  df-struct 17318  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-starv 17436  df-sca 17437  df-vsca 17438  df-ip 17439  df-tset 17440  df-ple 17441  df-ds 17443  df-unif 17444  df-hom 17445  df-cco 17446  df-rest 17586  df-topn 17587  df-0g 17605  df-gsum 17606  df-topgen 17607  df-pt 17608  df-prds 17611  df-xrs 17667  df-qtop 17672  df-imas 17673  df-xps 17675  df-mre 17749  df-mrc 17750  df-acs 17752  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-submnd 18972  df-mulg 19271  df-cntz 19524  df-cmn 19989  df-psmet 21663  df-xmet 21664  df-met 21665  df-bl 21666  df-mopn 21667  df-fbas 21668  df-fg 21669  df-cnfld 21672  df-top 23205  df-topon 23222  df-topsp 23244  df-bases 23257  df-cld 23330  df-ntr 23331  df-cls 23332  df-nei 23409  df-lp 23447  df-perf 23448  df-cn 23538  df-cnp 23539  df-haus 23626  df-cmp 23698  df-tx 23874  df-hmeo 24067  df-fil 24158  df-fm 24250  df-flim 24251  df-flf 24252  df-xms 24632  df-ms 24633  df-tms 24634  df-cncf 25192  df-ovol 25778  df-vol 25779  df-mbf 25933  df-itg1 25934  df-itg2 25935  df-ibl 25936  df-itg 25937  df-0p 25984  df-ditg 26160  df-limc 26179  df-dv 26180

This theorem is used by:  fourierdlem110  47195