Theorem fourierdlem109 46171

Description: The integral of a piecewise continuous periodic function 𝐹 is unchanged if the domain is shifted by any value 𝑋. This lemma generalizes fourierdlem92 46154 where the integral was shifted by the exact period. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem109.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem109.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem109.t	⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
fourierdlem109.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem109.p	⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem109.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem109.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
fourierdlem109.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
fourierdlem109.fper	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
fourierdlem109.fcn	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem109.r	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
fourierdlem109.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
fourierdlem109.o	⊢ 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴 − 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑚) = (𝐵 − 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem109.h	⊢ 𝐻 = ({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
fourierdlem109.n	⊢ 𝑁 = ((♯‘𝐻) − 1)
fourierdlem109.16	⊢ 𝑆 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻))
fourierdlem109.17	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
fourierdlem109.18	⊢ 𝐽 = (𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))
fourierdlem109.19	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) ≤ (𝐽‘(𝐸‘𝑥))}, ℝ, < ))

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem109	⊢ (𝜑 → ∫((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋))(𝐹‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) d𝑥)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑗,𝑘,𝑦   𝐴,𝑖,𝑥,𝑗,𝑘,𝑦   𝐴,𝑚,𝑝,𝑖,𝑗   𝐵,𝑓,𝑗,𝑘,𝑦   𝐵,𝑖,𝑥   𝐵,𝑚,𝑝   𝑓,𝐸,𝑗,𝑘,𝑦   𝑖,𝐸,𝑥   𝑖,𝐹,𝑗,𝑥,𝑦   𝑓,𝐻,𝑦   𝑥,𝐻   𝑓,𝐼,𝑘,𝑦   𝑖,𝐼,𝑥   𝑖,𝐽,𝑗,𝑥,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝑖,𝑀,𝑥,𝑦,𝑗   𝑚,𝑀,𝑝   𝑓,𝑁,𝑗,𝑘,𝑦   𝑖,𝑁,𝑥   𝑚,𝑁,𝑝   𝑄,𝑓,𝑗,𝑘,𝑦   𝑄,𝑖,𝑥   𝑄,𝑚,𝑝   𝑥,𝑅,𝑦   𝑆,𝑓,𝑗,𝑘,𝑦   𝑆,𝑖,𝑥   𝑆,𝑚,𝑝   𝑇,𝑓,𝑗,𝑘,𝑦   𝑇,𝑖,𝑥   𝑇,𝑚,𝑝   𝑓,𝑋,𝑗,𝑦   𝑖,𝑋,𝑚,𝑝   𝑥,𝑋   𝜑,𝑓,𝑗,𝑘,𝑦   𝜑,𝑖,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑓,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑅(𝑓,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐸(𝑚,𝑝)   𝐹(𝑓,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐻(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐼(𝑗,𝑚,𝑝)   𝐽(𝑓,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐿(𝑓,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑀(𝑓,𝑘)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑓,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem fourierdlem109

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem109.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		fourierdlem109.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		fourierdlem109.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
6		fourierdlem109.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
8		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑋) → 0 < 𝑋)
9	7, 8	elrpd 13072	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ+)
10		fourierdlem109.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
11		fourierdlem109.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
12	11	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑋) → 𝑀 ∈ ℕ)
13		fourierdlem109.q	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
14	13	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑋) → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
15		fourierdlem109.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
16	15	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑋) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
17		fourierdlem109.fper	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
18	17	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
19		fourierdlem109.fcn	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
20	19	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
21		fourierdlem109.r	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
22	21	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
23		fourierdlem109.l	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
24	23	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
25	2, 4, 5, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24	fourierdlem108 46170	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑋) → ∫((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋))(𝐹‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) d𝑥)
26		oveq2 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = 0 → (𝐴 − 𝑋) = (𝐴 − 0))
27	1	recnd 11287	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
28	27	subid1d 11607	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 0) = 𝐴)
29	26, 28	sylan9eqr 2797	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → (𝐴 − 𝑋) = 𝐴)
30		oveq2 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = 0 → (𝐵 − 𝑋) = (𝐵 − 0))
31	3	recnd 11287	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
32	31	subid1d 11607	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 0) = 𝐵)
33	30, 32	sylan9eqr 2797	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → (𝐵 − 𝑋) = 𝐵)
34	29, 33	oveq12d 7449	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) = (𝐴[,]𝐵))
35	34	itgeq1d 45913	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → ∫((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋))(𝐹‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) d𝑥)
36	35	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 0 < 𝑋) ∧ 𝑋 = 0) → ∫((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋))(𝐹‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) d𝑥)
37		simpll 767	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 0 < 𝑋) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → 𝜑)
38	37, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 0 < 𝑋) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → 𝑋 ∈ ℝ)
39		0red 11262	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 0 < 𝑋) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → 0 ∈ ℝ)
40		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 0 < 𝑋) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → ¬ 𝑋 = 0)
41	40	neqned 2945	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 0 < 𝑋) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → 𝑋 ≠ 0)
42		simplr 769	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 0 < 𝑋) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → ¬ 0 < 𝑋)
43	38, 39, 41, 42	lttri5d 45250	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 0 < 𝑋) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → 𝑋 < 0)
44	6	recnd 11287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
45	27, 44	subcld 11618	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝑋) ∈ ℂ)
46	45, 44	subnegd 11625	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝑋) − -𝑋) = ((𝐴 − 𝑋) + 𝑋))
47	27, 44	npcand 11622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝑋) + 𝑋) = 𝐴)
48	46, 47	eqtrd 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝑋) − -𝑋) = 𝐴)
49	31, 44	subcld 11618	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑋) ∈ ℂ)
50	49, 44	subnegd 11625	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑋) − -𝑋) = ((𝐵 − 𝑋) + 𝑋))
51	31, 44	npcand 11622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑋) + 𝑋) = 𝐵)
52	50, 51	eqtrd 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑋) − -𝑋) = 𝐵)
53	48, 52	oveq12d 7449	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝑋) − -𝑋)[,]((𝐵 − 𝑋) − -𝑋)) = (𝐴[,]𝐵))
54	53	eqcomd 2741	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = (((𝐴 − 𝑋) − -𝑋)[,]((𝐵 − 𝑋) − -𝑋)))
55	54	itgeq1d 45913	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) d𝑥 = ∫(((𝐴 − 𝑋) − -𝑋)[,]((𝐵 − 𝑋) − -𝑋))(𝐹‘𝑥) d𝑥)
56	55	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 0) → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) d𝑥 = ∫(((𝐴 − 𝑋) − -𝑋)[,]((𝐵 − 𝑋) − -𝑋))(𝐹‘𝑥) d𝑥)
57	1, 6	resubcld 11689	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝑋) ∈ ℝ)
58	57	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 0) → (𝐴 − 𝑋) ∈ ℝ)
59	3, 6	resubcld 11689	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑋) ∈ ℝ)
60	59	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 0) → (𝐵 − 𝑋) ∈ ℝ)
61		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 − 𝑋) − (𝐴 − 𝑋)) = ((𝐵 − 𝑋) − (𝐴 − 𝑋))
62	6	renegcld 11688	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -𝑋 ∈ ℝ)
63	62	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 0) → -𝑋 ∈ ℝ)
64	6	lt0neg1d 11830	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 < 0 ↔ 0 < -𝑋))
65	64	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 0) → 0 < -𝑋)
66	63, 65	elrpd 13072	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 0) → -𝑋 ∈ ℝ+)
67		fourierdlem109.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴 − 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑚) = (𝐵 − 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
68		fveq2 6907	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑝‘𝑖) = (𝑝‘𝑗))
69		oveq1 7438	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 + 1) = (𝑗 + 1))
70	69	fveq2d 6911	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑝‘(𝑖 + 1)) = (𝑝‘(𝑗 + 1)))
71	68, 70	breq12d 5161	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑝‘𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1))))
72	71	cbvralvw 3235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)) ↔ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))
73	72	anbi2i 623	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑝‘0) = (𝐴 − 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑚) = (𝐵 − 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1))) ↔ (((𝑝‘0) = (𝐴 − 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑚) = (𝐵 − 𝑋)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1))))
74	73	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) → ((((𝑝‘0) = (𝐴 − 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑚) = (𝐵 − 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1))) ↔ (((𝑝‘0) = (𝐴 − 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑚) = (𝐵 − 𝑋)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))))
75	74	rabbiia 3437	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴 − 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑚) = (𝐵 − 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))} = {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴 − 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑚) = (𝐵 − 𝑋)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))}
76	75	mpteq2i 5253	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴 − 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑚) = (𝐵 − 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))}) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴 − 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑚) = (𝐵 − 𝑋)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))})
77	67, 76	eqtri 2763	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴 − 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑚) = (𝐵 − 𝑋)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))})
78	10, 11, 13	fourierdlem11 46074	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵))
79	78	simp3d 1143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
80	1, 3, 6, 79	ltsub1dd 11873	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝑋) < (𝐵 − 𝑋))
81		fourierdlem109.h	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻 = ({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
82		fourierdlem109.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = ((♯‘𝐻) − 1)
83		fourierdlem109.16	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻))
84	5, 10, 11, 13, 57, 59, 80, 67, 81, 82, 83	fourierdlem54 46116	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ (𝑂‘𝑁)) ∧ 𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻)))
85	84	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ (𝑂‘𝑁)))
86	85	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
87	86	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
88	85	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝑂‘𝑁))
89	88	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 0) → 𝑆 ∈ (𝑂‘𝑁))
90	15	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 0) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
91	31, 27, 44	nnncan2d 11653	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑋) − (𝐴 − 𝑋)) = (𝐵 − 𝐴))
92	91, 5	eqtr4di 2793	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑋) − (𝐴 − 𝑋)) = 𝑇)
93	92	oveq2d 7447	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 + ((𝐵 − 𝑋) − (𝐴 − 𝑋))) = (𝑥 + 𝑇))
94	93	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((𝐵 − 𝑋) − (𝐴 − 𝑋))) = (𝑥 + 𝑇))
95	94	fveq2d 6911	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + ((𝐵 − 𝑋) − (𝐴 − 𝑋)))) = (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)))
96	95, 17	eqtrd 2775	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + ((𝐵 − 𝑋) − (𝐴 − 𝑋)))) = (𝐹‘𝑥))
97	96	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 < 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + ((𝐵 − 𝑋) − (𝐴 − 𝑋)))) = (𝐹‘𝑥))
98	11	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
99	13	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
100	15	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
101	17	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
102	19	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
103	57	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐴 − 𝑋) ∈ ℝ)
104	57	rexrd 11309	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝑋) ∈ ℝ*)
105		pnfxr 11313	. . . . . . . . . . 11 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
106	105	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
107	59	ltpnfd 13161	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑋) < +∞)
108	104, 106, 59, 80, 107	eliood 45451	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑋) ∈ ((𝐴 − 𝑋)(,)+∞))
109	108	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐵 − 𝑋) ∈ ((𝐴 − 𝑋)(,)+∞))
110		oveq1 7438	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)))
111	110	eleq1d 2824	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
112	111	rexbidv 3177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
113	112	cbvrabv 3444	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
114	113	uneq2i 4175	. . . . . . . . 9 ⊢ ({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
115	81, 114	eqtri 2763	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = ({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
116		fourierdlem109.17	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
117		fourierdlem109.18	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))
118		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑗 ∈ (0..^𝑁))
119		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))) = ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))))
120		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ↾ ((𝐽‘(𝐸‘(𝑆‘𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))))) = (𝐹 ↾ ((𝐽‘(𝐸‘(𝑆‘𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))
121		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (((𝐽‘(𝐸‘(𝑆‘𝑗))) + ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))(,)((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) + ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))) ↦ ((𝐹 ↾ ((𝐽‘(𝐸‘(𝑆‘𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))‘(𝑦 − ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))))))) = (𝑦 ∈ (((𝐽‘(𝐸‘(𝑆‘𝑗))) + ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))(,)((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) + ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))) ↦ ((𝐹 ↾ ((𝐽‘(𝐸‘(𝑆‘𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))‘(𝑦 − ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))))
122		fourierdlem109.19	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) ≤ (𝐽‘(𝐸‘𝑥))}, ℝ, < ))
123		fveq2 6907	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑄‘𝑗) = (𝑄‘𝑖))
124	123	breq1d 5158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝑄‘𝑗) ≤ (𝐽‘(𝐸‘𝑥)) ↔ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐽‘(𝐸‘𝑥))))
125	124	cbvrabv 3444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) ≤ (𝐽‘(𝐸‘𝑥))} = {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐽‘(𝐸‘𝑥))}
126	125	supeq1i 9485	. . . . . . . . . 10 ⊢ sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) ≤ (𝐽‘(𝐸‘𝑥))}, ℝ, < ) = sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐽‘(𝐸‘𝑥))}, ℝ, < )
127	126	mpteq2i 5253	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) ≤ (𝐽‘(𝐸‘𝑥))}, ℝ, < )) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐽‘(𝐸‘𝑥))}, ℝ, < ))
128	122, 127	eqtri 2763	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐽‘(𝐸‘𝑥))}, ℝ, < ))
129	10, 5, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 109, 67, 115, 82, 83, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 128	fourierdlem90 46152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 ↾ ((𝑆‘𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) ∈ (((𝑆‘𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))–cn→ℂ))
130	129	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 < 0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 ↾ ((𝑆‘𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) ∈ (((𝑆‘𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))–cn→ℂ))
131	21	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
132		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝑅) = (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝑅)
133	10, 5, 98, 99, 100, 101, 102, 131, 103, 109, 67, 115, 82, 83, 116, 117, 118, 119, 128, 132	fourierdlem89 46151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → if((𝐽‘(𝐸‘(𝑆‘𝑗))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆‘𝑗))), ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝑅)‘(𝐼‘(𝑆‘𝑗))), (𝐹‘(𝐽‘(𝐸‘(𝑆‘𝑗))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑆‘𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑆‘𝑗)))
134	133	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 < 0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → if((𝐽‘(𝐸‘(𝑆‘𝑗))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆‘𝑗))), ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝑅)‘(𝐼‘(𝑆‘𝑗))), (𝐹‘(𝐽‘(𝐸‘(𝑆‘𝑗))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑆‘𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑆‘𝑗)))
135	23	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
136		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝐿) = (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝐿)
137	10, 5, 98, 99, 100, 101, 102, 135, 103, 109, 67, 115, 82, 83, 116, 117, 118, 119, 128, 136	fourierdlem91 46153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → if((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) = (𝑄‘((𝐼‘(𝑆‘𝑗)) + 1)), ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝐿)‘(𝐼‘(𝑆‘𝑗))), (𝐹‘(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑆‘𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑆‘(𝑗 + 1))))
138	137	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 < 0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → if((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) = (𝑄‘((𝐼‘(𝑆‘𝑗)) + 1)), ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝐿)‘(𝐼‘(𝑆‘𝑗))), (𝐹‘(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑆‘𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑆‘(𝑗 + 1))))
139	58, 60, 61, 66, 77, 87, 89, 90, 97, 130, 134, 138	fourierdlem108 46170	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 0) → ∫(((𝐴 − 𝑋) − -𝑋)[,]((𝐵 − 𝑋) − -𝑋))(𝐹‘𝑥) d𝑥 = ∫((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋))(𝐹‘𝑥) d𝑥)
140	56, 139	eqtr2d 2776	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 0) → ∫((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋))(𝐹‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) d𝑥)
141	37, 43, 140	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 0 < 𝑋) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → ∫((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋))(𝐹‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) d𝑥)
142	36, 141	pm2.61dan 813	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 < 𝑋) → ∫((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋))(𝐹‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) d𝑥)
143	25, 142	pm2.61dan 813	1 ⊢ (𝜑 → ∫((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋))(𝐹‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) d𝑥)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  ∃wrex 3068  {crab 3433   ∪ cun 3961  ifcif 4531  {cpr 4633   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ran crn 5690   ↾ cres 5691  ℩cio 6514  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563   Isom wiso 6564  (class class class)co 7431   ↑_m cmap 8865  supcsup 9478  ℂcc 11151  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  +∞cpnf 11290  ℝ^*cxr 11292   < clt 11293   ≤ cle 11294   − cmin 11490  -cneg 11491   / cdiv 11918  ℕcn 12264  ℤcz 12611  (,)cioo 13384  (,]cioc 13385  [,]cicc 13387  ...cfz 13544  ..^cfzo 13691  ⌊cfl 13827  ♯chash 14366  –cn→ccncf 24916  ∫citg 25667   lim_ℂ climc 25912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cc 10473  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-symdif 4259  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5116  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-acn 9980  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-cmp 23411  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-ovol 25513  df-vol 25514  df-mbf 25668  df-itg1 25669  df-itg2 25670  df-ibl 25671  df-itg 25672  df-0p 25719  df-ditg 25897  df-limc 25916  df-dv 25917

This theorem is referenced by:  fourierdlem110  46172