Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ioodvbdlimc1lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioodvbdlimc1lem1 42078
Description: If 𝐹 has bounded derivative on (𝐴(,)𝐵) then a sequence of points in its image converges to its lim sup. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ioodvbdlimc1lem1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ioodvbdlimc1lem1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ioodvbdlimc1lem1.altb (𝜑𝐴 < 𝐵)
ioodvbdlimc1lem1.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
ioodvbdlimc1lem1.dmdv (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
ioodvbdlimc1lem1.dvbd (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
ioodvbdlimc1lem1.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
ioodvbdlimc1lem1.r (𝜑𝑅:(ℤ𝑀)⟶(𝐴(,)𝐵))
ioodvbdlimc1lem1.s 𝑆 = (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐹‘(𝑅𝑗)))
ioodvbdlimc1lem1.rcnv (𝜑𝑅 ∈ dom ⇝ )
ioodvbdlimc1lem1.k 𝐾 = inf({𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))}, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
ioodvbdlimc1lem1 (𝜑𝑆 ⇝ (lim sup‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑘,𝑥,𝑧   𝑦,𝐴,𝑖,𝑥,𝑧   𝐵,𝑖,𝑘,𝑥,𝑧   𝑦,𝐵   𝑖,𝐹,𝑗,𝑥   𝑘,𝐹,𝑧   𝑦,𝐹   𝑖,𝐾,𝑗   𝑘,𝐾   𝑦,𝐾   𝑖,𝑀,𝑗,𝑥   𝑘,𝑀   𝑅,𝑖,𝑗   𝑅,𝑘   𝑦,𝑅   𝑆,𝑖,𝑘,𝑥   𝜑,𝑖,𝑗,𝑥   𝜑,𝑘   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑗)   𝑅(𝑥,𝑧)   𝑆(𝑦,𝑧,𝑗)   𝐾(𝑥,𝑧)   𝑀(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ioodvbdlimc1lem1
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2824 . 2 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
2 ioodvbdlimc1lem1.f . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
3 cncff 23416 . . . . . 6 (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
54adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
6 ioodvbdlimc1lem1.r . . . . 5 (𝜑𝑅:(ℤ𝑀)⟶(𝐴(,)𝐵))
76ffvelrnda 6846 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑅𝑗) ∈ (𝐴(,)𝐵))
85, 7ffvelrnd 6847 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹‘(𝑅𝑗)) ∈ ℝ)
9 ioodvbdlimc1lem1.s . . 3 𝑆 = (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐹‘(𝑅𝑗)))
108, 9fmptd 6873 . 2 (𝜑𝑆:(ℤ𝑀)⟶ℝ)
11 ssrab2 4059 . . . . 5 {𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))} ⊆ (ℤ𝑀)
12 ioodvbdlimc1lem1.k . . . . . 6 𝐾 = inf({𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))}, ℝ, < )
13 rpre 12390 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
1413adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
15 2fveq3 6671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = 𝑥 → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧)) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
1615cbvmptv 5165 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
1716rneqi 5805 . . . . . . . . . . . . . . 15 ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) = ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
1817supeq1i 8903 . . . . . . . . . . . . . 14 sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < )
19 ioodvbdlimc1lem1.a . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
20 ioodvbdlimc1lem1.b . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
21 ioodvbdlimc1lem1.altb . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐴 < 𝐵)
22 ioomidp 41652 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵))
2319, 20, 21, 22syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵))
2423ne0d 4304 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
25 ioossre 12791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
27 dvfre 24463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
284, 26, 27syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
29 ioodvbdlimc1lem1.dmdv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
3029feq2d 6496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ ↔ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
3128, 30mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
32 ax-resscn 10586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℝ ⊆ ℂ
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
3431, 33fssd 6524 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
3534ffvelrnda 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
3635abscld 14789 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ∈ ℝ)
37 ioodvbdlimc1lem1.dvbd . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
38 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
39 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . . . . 16 sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < ) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < )
4024, 36, 37, 38, 39suprnmpt 41292 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < )))
4140simpld 495 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < ) ∈ ℝ)
4218, 41eqeltrid 2921 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) ∈ ℝ)
4342adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) ∈ ℝ)
44 peano2re 10805 . . . . . . . . . . . 12 (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) ∈ ℝ → (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1) ∈ ℝ)
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1) ∈ ℝ)
46 0red 10636 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
47 1red 10634 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
4846, 47readdcld 10662 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (0 + 1) ∈ ℝ)
4942, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1) ∈ ℝ)
5046ltp1d 11562 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < (0 + 1))
5134, 23ffvelrnd 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
5251abscld 14789 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ∈ ℝ)
5351absge0d 14797 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))))
5440simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < ))
55 2fveq3 6671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑥 → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
5618a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑥 → sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < ))
5755, 56breq12d 5075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑥 → ((abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) ↔ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < )))
5857cbvralv 3457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < ))
5954, 58sylibr 235 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ))
60 2fveq3 6671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = ((𝐴 + 𝐵) / 2) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))))
6160breq1d 5072 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = ((𝐴 + 𝐵) / 2) → ((abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) ↔ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ≤ sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < )))
6261rspcva 3624 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < )) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ≤ sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ))
6323, 59, 62syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ≤ sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ))
6446, 52, 42, 53, 63letrd 10789 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 ≤ sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ))
6546, 42, 47, 64leadd1dd 11246 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (0 + 1) ≤ (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))
6646, 48, 49, 50, 65ltletrd 10792 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))
6766gt0ne0d 11196 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1) ≠ 0)
6867adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1) ≠ 0)
6914, 45, 68redivcld 11460 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)) ∈ ℝ)
70 rpgt0 12394 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑥)
7170adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 0 < 𝑥)
7266adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 0 < (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))
7314, 45, 71, 72divgt0d 11567 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 0 < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)))
7469, 73elrpd 12421 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)) ∈ ℝ+)
75 ioodvbdlimc1lem1.m . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7675adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
77 ioodvbdlimc1lem1.rcnv . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ dom ⇝ )
7877adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑅 ∈ dom ⇝ )
791climcau 15020 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑘 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < 𝑤)
8076, 78, 79syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑘 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < 𝑤)
81 breq2 5066 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)) → ((abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < 𝑤 ↔ (abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))))
8281rexralbidv 3305 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)) → (∃𝑘 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < 𝑤 ↔ ∃𝑘 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))))
8382rspcva 3624 . . . . . . . . 9 (((𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑘 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < 𝑤) → ∃𝑘 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)))
8474, 80, 83syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑘 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)))
85 rabn0 4342 . . . . . . . 8 ({𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))} ≠ ∅ ↔ ∃𝑘 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)))
8684, 85sylibr 235 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → {𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))} ≠ ∅)
87 infssuzcl 12324 . . . . . . 7 (({𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))} ⊆ (ℤ𝑀) ∧ {𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))} ≠ ∅) → inf({𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))}, ℝ, < ) ∈ {𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))})
8811, 86, 87sylancr 587 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → inf({𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))}, ℝ, < ) ∈ {𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))})
8912, 88eqeltrid 2921 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐾 ∈ {𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))})
9011, 89sseldi 3968 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
91 2fveq3 6671 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑖 → (𝐹‘(𝑅𝑗)) = (𝐹‘(𝑅𝑖)))
92 uzss 12257 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝐾) ⊆ (ℤ𝑀))
9390, 92syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (ℤ𝐾) ⊆ (ℤ𝑀))
9493sselda 3970 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑀))
954ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
966ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑅:(ℤ𝑀)⟶(𝐴(,)𝐵))
9796, 94ffvelrnd 6847 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑅𝑖) ∈ (𝐴(,)𝐵))
9895, 97ffvelrnd 6847 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐹‘(𝑅𝑖)) ∈ ℝ)
999, 91, 94, 98fvmptd3 6786 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑆𝑖) = (𝐹‘(𝑅𝑖)))
100 2fveq3 6671 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝐾 → (𝐹‘(𝑅𝑗)) = (𝐹‘(𝑅𝐾)))
10190adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
10296, 101ffvelrnd 6847 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑅𝐾) ∈ (𝐴(,)𝐵))
10395, 102ffvelrnd 6847 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐹‘(𝑅𝐾)) ∈ ℝ)
1049, 100, 101, 103fvmptd3 6786 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑆𝐾) = (𝐹‘(𝑅𝐾)))
10599, 104oveq12d 7169 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝑆𝑖) − (𝑆𝐾)) = ((𝐹‘(𝑅𝑖)) − (𝐹‘(𝑅𝐾))))
106105fveq2d 6670 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) → (abs‘((𝑆𝑖) − (𝑆𝐾))) = (abs‘((𝐹‘(𝑅𝑖)) − (𝐹‘(𝑅𝐾)))))
10798recnd 10661 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐹‘(𝑅𝑖)) ∈ ℂ)
108103recnd 10661 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐹‘(𝑅𝐾)) ∈ ℂ)
109107, 108subcld 10989 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝐹‘(𝑅𝑖)) − (𝐹‘(𝑅𝐾))) ∈ ℂ)
110109abscld 14789 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) → (abs‘((𝐹‘(𝑅𝑖)) − (𝐹‘(𝑅𝐾)))) ∈ ℝ)
111110adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → (abs‘((𝐹‘(𝑅𝑖)) − (𝐹‘(𝑅𝐾)))) ∈ ℝ)
11242ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) → sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) ∈ ℝ)
113112adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) ∈ ℝ)
1146adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑅:(ℤ𝑀)⟶(𝐴(,)𝐵))
115114, 90ffvelrnd 6847 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑅𝐾) ∈ (𝐴(,)𝐵))
11625, 115sseldi 3968 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑅𝐾) ∈ ℝ)
117116ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → (𝑅𝐾) ∈ ℝ)
11825, 97sseldi 3968 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑅𝑖) ∈ ℝ)
119118adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → (𝑅𝑖) ∈ ℝ)
120117, 119resubcld 11060 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → ((𝑅𝐾) − (𝑅𝑖)) ∈ ℝ)
121113, 120remulcld 10663 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) · ((𝑅𝐾) − (𝑅𝑖))) ∈ ℝ)
12213ad3antlr 727 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → 𝑥 ∈ ℝ)
123107adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → (𝐹‘(𝑅𝑖)) ∈ ℂ)
124108adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → (𝐹‘(𝑅𝐾)) ∈ ℂ)
125123, 124abssubd 14806 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → (abs‘((𝐹‘(𝑅𝑖)) − (𝐹‘(𝑅𝐾)))) = (abs‘((𝐹‘(𝑅𝐾)) − (𝐹‘(𝑅𝑖)))))
12619ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → 𝐴 ∈ ℝ)
12720ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → 𝐵 ∈ ℝ)
12895adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
12929ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
13059ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ))
13197adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → (𝑅𝑖) ∈ (𝐴(,)𝐵))
132118rexrd 10683 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑅𝑖) ∈ ℝ*)
133132adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → (𝑅𝑖) ∈ ℝ*)
13420rexrd 10683 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
135134ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
136135adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
137 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾))
13819rexrd 10683 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
139138adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ*)
140134adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ*)
141 iooltub 41648 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑅𝐾) ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑅𝐾) < 𝐵)
142139, 140, 115, 141syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑅𝐾) < 𝐵)
143142ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → (𝑅𝐾) < 𝐵)
144133, 136, 117, 137, 143eliood 41635 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → (𝑅𝐾) ∈ ((𝑅𝑖)(,)𝐵))
145126, 127, 128, 129, 113, 130, 131, 144dvbdfbdioolem1 42075 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → ((abs‘((𝐹‘(𝑅𝐾)) − (𝐹‘(𝑅𝑖)))) ≤ (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) · ((𝑅𝐾) − (𝑅𝑖))) ∧ (abs‘((𝐹‘(𝑅𝐾)) − (𝐹‘(𝑅𝑖)))) ≤ (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) · (𝐵𝐴))))
146145simpld 495 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → (abs‘((𝐹‘(𝑅𝐾)) − (𝐹‘(𝑅𝑖)))) ≤ (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) · ((𝑅𝐾) − (𝑅𝑖))))
147125, 146eqbrtrd 5084 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → (abs‘((𝐹‘(𝑅𝑖)) − (𝐹‘(𝑅𝐾)))) ≤ (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) · ((𝑅𝐾) − (𝑅𝑖))))
148113, 44syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1) ∈ ℝ)
149148, 120remulcld 10663 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → ((sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1) · ((𝑅𝐾) − (𝑅𝑖))) ∈ ℝ)
150119, 117posdifd 11219 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → ((𝑅𝑖) < (𝑅𝐾) ↔ 0 < ((𝑅𝐾) − (𝑅𝑖))))
151137, 150mpbid 233 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → 0 < ((𝑅𝐾) − (𝑅𝑖)))
152120, 151elrpd 12421 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → ((𝑅𝐾) − (𝑅𝑖)) ∈ ℝ+)
153113ltp1d 11562 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) < (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))
154113, 148, 152, 153ltmul1dd 12479 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) · ((𝑅𝐾) − (𝑅𝑖))) < ((sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1) · ((𝑅𝐾) − (𝑅𝑖))))
15525, 102sseldi 3968 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑅𝐾) ∈ ℝ)
156118, 155resubcld 11060 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝑅𝑖) − (𝑅𝐾)) ∈ ℝ)
157156recnd 10661 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝑅𝑖) − (𝑅𝐾)) ∈ ℂ)
158157abscld 14789 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) → (abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝐾))) ∈ ℝ)
159158adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → (abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝐾))) ∈ ℝ)
16069ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)) ∈ ℝ)
161120leabsd 14767 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → ((𝑅𝐾) − (𝑅𝑖)) ≤ (abs‘((𝑅𝐾) − (𝑅𝑖))))
162117recnd 10661 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → (𝑅𝐾) ∈ ℂ)
163118recnd 10661 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑅𝑖) ∈ ℂ)
164163adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → (𝑅𝑖) ∈ ℂ)
165162, 164abssubd 14806 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → (abs‘((𝑅𝐾) − (𝑅𝑖))) = (abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝐾))))
166161, 165breqtrd 5088 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → ((𝑅𝐾) − (𝑅𝑖)) ≤ (abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝐾))))
167 fveq2 6666 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝐾 → (ℤ𝑘) = (ℤ𝐾))
168 fveq2 6666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝐾 → (𝑅𝑘) = (𝑅𝐾))
169168oveq2d 7167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝐾 → ((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘)) = ((𝑅𝑖) − (𝑅𝐾)))
170169fveq2d 6670 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝐾 → (abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) = (abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝐾))))
171170breq1d 5072 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝐾 → ((abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)) ↔ (abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝐾))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))))
172167, 171raleqbidv 3406 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝐾 → (∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)) ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝐾)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝐾))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))))
173172elrab 3683 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ {𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))} ↔ (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝐾)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝐾))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))))
17489, 173sylib 219 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝐾)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝐾))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))))
175174simprd 496 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑖 ∈ (ℤ𝐾)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝐾))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)))
176175r19.21bi 3212 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) → (abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝐾))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)))
177176adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → (abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝐾))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)))
178120, 159, 160, 166, 177lelttrd 10790 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → ((𝑅𝐾) − (𝑅𝑖)) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)))
17949, 66elrpd 12421 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1) ∈ ℝ+)
180179ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1) ∈ ℝ+)
181120, 122, 180ltmuldiv2d 12472 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → (((sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1) · ((𝑅𝐾) − (𝑅𝑖))) < 𝑥 ↔ ((𝑅𝐾) − (𝑅𝑖)) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))))
182178, 181mpbird 258 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → ((sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1) · ((𝑅𝐾) − (𝑅𝑖))) < 𝑥)
183121, 149, 122, 154, 182lttrd 10793 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) · ((𝑅𝐾) − (𝑅𝑖))) < 𝑥)
184111, 121, 122, 147, 183lelttrd 10790 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → (abs‘((𝐹‘(𝑅𝑖)) − (𝐹‘(𝑅𝐾)))) < 𝑥)
185 fveq2 6666 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅𝑖) = (𝑅𝐾) → (𝐹‘(𝑅𝑖)) = (𝐹‘(𝑅𝐾)))
186185oveq1d 7166 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅𝑖) = (𝑅𝐾) → ((𝐹‘(𝑅𝑖)) − (𝐹‘(𝑅𝐾))) = ((𝐹‘(𝑅𝐾)) − (𝐹‘(𝑅𝐾))))
187108subidd 10977 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝐹‘(𝑅𝐾)) − (𝐹‘(𝑅𝐾))) = 0)
188186, 187sylan9eqr 2882 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) = (𝑅𝐾)) → ((𝐹‘(𝑅𝑖)) − (𝐹‘(𝑅𝐾))) = 0)
189188abs00bd 14644 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) = (𝑅𝐾)) → (abs‘((𝐹‘(𝑅𝑖)) − (𝐹‘(𝑅𝐾)))) = 0)
19070ad3antlr 727 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) = (𝑅𝐾)) → 0 < 𝑥)
191189, 190eqbrtrd 5084 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) = (𝑅𝐾)) → (abs‘((𝐹‘(𝑅𝑖)) − (𝐹‘(𝑅𝐾)))) < 𝑥)
192191adantlr 711 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ ¬ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) = (𝑅𝐾)) → (abs‘((𝐹‘(𝑅𝑖)) − (𝐹‘(𝑅𝐾)))) < 𝑥)
193 simpll 763 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ ¬ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) ∧ ¬ (𝑅𝑖) = (𝑅𝐾)) → ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)))
194155ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ ¬ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) ∧ ¬ (𝑅𝑖) = (𝑅𝐾)) → (𝑅𝐾) ∈ ℝ)
195118ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ ¬ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) ∧ ¬ (𝑅𝑖) = (𝑅𝐾)) → (𝑅𝑖) ∈ ℝ)
196 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅𝐾) = (𝑅𝑖) → (𝑅𝐾) = (𝑅𝑖))
197196eqcomd 2830 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅𝐾) = (𝑅𝑖) → (𝑅𝑖) = (𝑅𝐾))
198197necon3bi 3046 . . . . . . . . . . 11 (¬ (𝑅𝑖) = (𝑅𝐾) → (𝑅𝐾) ≠ (𝑅𝑖))
199198adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ ¬ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) ∧ ¬ (𝑅𝑖) = (𝑅𝐾)) → (𝑅𝐾) ≠ (𝑅𝑖))
200 simplr 765 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ ¬ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) ∧ ¬ (𝑅𝑖) = (𝑅𝐾)) → ¬ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾))
201194, 195, 199, 200lttri5d 41428 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ ¬ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) ∧ ¬ (𝑅𝑖) = (𝑅𝐾)) → (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖))
202110adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → (abs‘((𝐹‘(𝑅𝑖)) − (𝐹‘(𝑅𝐾)))) ∈ ℝ)
203112, 156remulcld 10663 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) → (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) · ((𝑅𝑖) − (𝑅𝐾))) ∈ ℝ)
204203adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) · ((𝑅𝑖) − (𝑅𝐾))) ∈ ℝ)
20513ad3antlr 727 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → 𝑥 ∈ ℝ)
20619ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → 𝐴 ∈ ℝ)
20720ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → 𝐵 ∈ ℝ)
20895adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
20929ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
21042ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) ∈ ℝ)
21159ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ))
212102adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → (𝑅𝐾) ∈ (𝐴(,)𝐵))
213116rexrd 10683 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑅𝐾) ∈ ℝ*)
214213ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → (𝑅𝐾) ∈ ℝ*)
215207rexrd 10683 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
216118adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → (𝑅𝑖) ∈ ℝ)
217 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖))
218138ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
219 iooltub 41648 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑅𝑖) ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑅𝑖) < 𝐵)
220218, 135, 97, 219syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑅𝑖) < 𝐵)
221220adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → (𝑅𝑖) < 𝐵)
222214, 215, 216, 217, 221eliood 41635 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → (𝑅𝑖) ∈ ((𝑅𝐾)(,)𝐵))
223206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 222dvbdfbdioolem1 42075 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → ((abs‘((𝐹‘(𝑅𝑖)) − (𝐹‘(𝑅𝐾)))) ≤ (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) · ((𝑅𝑖) − (𝑅𝐾))) ∧ (abs‘((𝐹‘(𝑅𝑖)) − (𝐹‘(𝑅𝐾)))) ≤ (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) · (𝐵𝐴))))
224223simpld 495 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → (abs‘((𝐹‘(𝑅𝑖)) − (𝐹‘(𝑅𝐾)))) ≤ (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) · ((𝑅𝑖) − (𝑅𝐾))))
225 1red 10634 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → 1 ∈ ℝ)
226210, 225readdcld 10662 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1) ∈ ℝ)
227155adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → (𝑅𝐾) ∈ ℝ)
228216, 227resubcld 11060 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → ((𝑅𝑖) − (𝑅𝐾)) ∈ ℝ)
229226, 228remulcld 10663 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → ((sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1) · ((𝑅𝑖) − (𝑅𝐾))) ∈ ℝ)
230210, 44syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1) ∈ ℝ)
231227, 216posdifd 11219 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → ((𝑅𝐾) < (𝑅𝑖) ↔ 0 < ((𝑅𝑖) − (𝑅𝐾))))
232217, 231mpbid 233 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → 0 < ((𝑅𝑖) − (𝑅𝐾)))
233228, 232elrpd 12421 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → ((𝑅𝑖) − (𝑅𝐾)) ∈ ℝ+)
234210ltp1d 11562 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) < (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))
235210, 230, 233, 234ltmul1dd 12479 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) · ((𝑅𝑖) − (𝑅𝐾))) < ((sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1) · ((𝑅𝑖) − (𝑅𝐾))))
236158adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → (abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝐾))) ∈ ℝ)
23769ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)) ∈ ℝ)
238228leabsd 14767 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → ((𝑅𝑖) − (𝑅𝐾)) ≤ (abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝐾))))
239176adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → (abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝐾))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)))
240228, 236, 237, 238, 239lelttrd 10790 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → ((𝑅𝑖) − (𝑅𝐾)) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)))
241179ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1) ∈ ℝ+)
242228, 205, 241ltmuldiv2d 12472 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → (((sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1) · ((𝑅𝑖) − (𝑅𝐾))) < 𝑥 ↔ ((𝑅𝑖) − (𝑅𝐾)) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))))
243240, 242mpbird 258 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → ((sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1) · ((𝑅𝑖) − (𝑅𝐾))) < 𝑥)
244204, 229, 205, 235, 243lttrd 10793 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) · ((𝑅𝑖) − (𝑅𝐾))) < 𝑥)
245202, 204, 205, 224, 244lelttrd 10790 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → (abs‘((𝐹‘(𝑅𝑖)) − (𝐹‘(𝑅𝐾)))) < 𝑥)
246193, 201, 245syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ ¬ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) ∧ ¬ (𝑅𝑖) = (𝑅𝐾)) → (abs‘((𝐹‘(𝑅𝑖)) − (𝐹‘(𝑅𝐾)))) < 𝑥)
247192, 246pm2.61dan 809 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ ¬ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → (abs‘((𝐹‘(𝑅𝑖)) − (𝐹‘(𝑅𝐾)))) < 𝑥)
248184, 247pm2.61dan 809 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) → (abs‘((𝐹‘(𝑅𝑖)) − (𝐹‘(𝑅𝐾)))) < 𝑥)
249106, 248eqbrtrd 5084 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) → (abs‘((𝑆𝑖) − (𝑆𝐾))) < 𝑥)
250249ralrimiva 3186 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑖 ∈ (ℤ𝐾)(abs‘((𝑆𝑖) − (𝑆𝐾))) < 𝑥)
251 fveq2 6666 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐾 → (𝑆𝑘) = (𝑆𝐾))
252251oveq2d 7167 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐾 → ((𝑆𝑖) − (𝑆𝑘)) = ((𝑆𝑖) − (𝑆𝐾)))
253252fveq2d 6670 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐾 → (abs‘((𝑆𝑖) − (𝑆𝑘))) = (abs‘((𝑆𝑖) − (𝑆𝐾))))
254253breq1d 5072 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐾 → ((abs‘((𝑆𝑖) − (𝑆𝑘))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝑆𝑖) − (𝑆𝐾))) < 𝑥))
255167, 254raleqbidv 3406 . . . . 5 (𝑘 = 𝐾 → (∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑆𝑖) − (𝑆𝑘))) < 𝑥 ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝐾)(abs‘((𝑆𝑖) − (𝑆𝐾))) < 𝑥))
256255rspcev 3626 . . . 4 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝐾)(abs‘((𝑆𝑖) − (𝑆𝐾))) < 𝑥) → ∃𝑘 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑆𝑖) − (𝑆𝑘))) < 𝑥)
25790, 250, 256syl2anc 584 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑘 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑆𝑖) − (𝑆𝑘))) < 𝑥)
258257ralrimiva 3186 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑆𝑖) − (𝑆𝑘))) < 𝑥)
2591, 10, 258caurcvg 15026 1 (𝜑𝑆 ⇝ (lim sup‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2106  wne 3020  wral 3142  wrex 3143  {crab 3146  wss 3939  c0 4294   class class class wbr 5062  cmpt 5142  dom cdm 5553  ran crn 5554  wf 6347  cfv 6351  (class class class)co 7151  supcsup 8896  infcinf 8897  cc 10527  cr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534  *cxr 10666   < clt 10667  cle 10668  cmin 10862   / cdiv 11289  2c2 11684  cz 11973  cuz 12235  +crp 12382  (,)cioo 12731  abscabs 14586  lim supclsp 14820  cli 14834  cnccncf 23399   D cdv 24376
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-13 2385  ax-ext 2796  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-iin 4919  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7402  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8282  df-map 8401  df-pm 8402  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12383  df-xneg 12500  df-xadd 12501  df-xmul 12502  df-ioo 12735  df-ico 12737  df-icc 12738  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-fl 13155  df-seq 13363  df-exp 13423  df-hash 13684  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-limsup 14821  df-clim 14838  df-rlim 14839  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17947  df-mulg 18157  df-cntz 18379  df-cmn 18830  df-psmet 20453  df-xmet 20454  df-met 20455  df-bl 20456  df-mopn 20457  df-fbas 20458  df-fg 20459  df-cnfld 20462  df-top 21418  df-topon 21435  df-topsp 21457  df-bases 21470  df-cld 21543  df-ntr 21544  df-cls 21545  df-nei 21622  df-lp 21660  df-perf 21661  df-cn 21751  df-cnp 21752  df-haus 21839  df-cmp 21911  df-tx 22086  df-hmeo 22279  df-fil 22370  df-fm 22462  df-flim 22463  df-flf 22464  df-xms 22845  df-ms 22846  df-tms 22847  df-cncf 23401  df-limc 24379  df-dv 24380
This theorem is referenced by:  ioodvbdlimc1lem2  42079  ioodvbdlimc2lem  42081
  Copyright terms: Public domain W3C validator