Theorem reclt0 45841

Description: The reciprocal of a negative number is negative. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
reclt0.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
reclt0.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
reclt0	⊢ (𝜑 → (𝐴 < 0 ↔ (1 / 𝐴) < 0))

Proof of Theorem reclt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reclt0.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 < 0)
4	2, 3	reclt0d 45837	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → (1 / 𝐴) < 0)
5	4	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 0 → (1 / 𝐴) < 0))
6		0red 11141	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 0) → 0 ∈ ℝ)
7	1	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
8		reclt0.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
9	8	necomd 2988	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 𝐴)
10	9	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 0) → 0 ≠ 𝐴)
11		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 0) → ¬ 𝐴 < 0)
12	6, 7, 10, 11	lttri5d 45753	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 0) → 0 < 𝐴)
13		0red 11141	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
14	1, 8	rereccld 11976	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
15	14	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
16	1	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
17		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
18	16, 17	recgt0d 12084	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (1 / 𝐴))
19	13, 15, 18	ltled 11288	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ (1 / 𝐴))
20	13, 15	lenltd 11286	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (0 ≤ (1 / 𝐴) ↔ ¬ (1 / 𝐴) < 0))
21	19, 20	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ¬ (1 / 𝐴) < 0)
22	12, 21	syldan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 0) → ¬ (1 / 𝐴) < 0)
23	22	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 < 0 → ¬ (1 / 𝐴) < 0))
24	23	con4d 115	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴) < 0 → 𝐴 < 0))
25	24	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (1 / 𝐴) < 0) → 𝐴 < 0)
26	25	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴) < 0 → 𝐴 < 0))
27	5, 26	impbid 212	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 0 ↔ (1 / 𝐴) < 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086  (class class class)co 7361  ℝcr 11031  0cc0 11032  1c1 11033   < clt 11173   ≤ cle 11174   / cdiv 11801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802

This theorem is referenced by:  pimrecltneg  47173  smfrec  47238