Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  reclt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reclt0 44036
Description: The reciprocal of a negative number is negative. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
reclt0.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
reclt0.2 (𝜑𝐴 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
reclt0 (𝜑 → (𝐴 < 0 ↔ (1 / 𝐴) < 0))

Proof of Theorem reclt0
StepHypRef Expression
1 reclt0.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
21adantr 482 . . . 4 ((𝜑𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
3 simpr 486 . . . 4 ((𝜑𝐴 < 0) → 𝐴 < 0)
42, 3reclt0d 44032 . . 3 ((𝜑𝐴 < 0) → (1 / 𝐴) < 0)
54ex 414 . 2 (𝜑 → (𝐴 < 0 → (1 / 𝐴) < 0))
6 0red 11213 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 0) → 0 ∈ ℝ)
71adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
8 reclt0.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ≠ 0)
98necomd 2997 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≠ 𝐴)
109adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 0) → 0 ≠ 𝐴)
11 simpr 486 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 0) → ¬ 𝐴 < 0)
126, 7, 10, 11lttri5d 43944 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 0) → 0 < 𝐴)
13 0red 11213 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
141, 8rereccld 12037 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
1514adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
161adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
17 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
1816, 17recgt0d 12144 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (1 / 𝐴))
1913, 15, 18ltled 11358 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ (1 / 𝐴))
2013, 15lenltd 11356 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (0 ≤ (1 / 𝐴) ↔ ¬ (1 / 𝐴) < 0))
2119, 20mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ¬ (1 / 𝐴) < 0)
2212, 21syldan 592 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 0) → ¬ (1 / 𝐴) < 0)
2322ex 414 . . . . 5 (𝜑 → (¬ 𝐴 < 0 → ¬ (1 / 𝐴) < 0))
2423con4d 115 . . . 4 (𝜑 → ((1 / 𝐴) < 0 → 𝐴 < 0))
2524imp 408 . . 3 ((𝜑 ∧ (1 / 𝐴) < 0) → 𝐴 < 0)
2625ex 414 . 2 (𝜑 → ((1 / 𝐴) < 0 → 𝐴 < 0))
275, 26impbid 211 1 (𝜑 → (𝐴 < 0 ↔ (1 / 𝐴) < 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wcel 2107  wne 2941   class class class wbr 5147  (class class class)co 7404  cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   < clt 11244  cle 11245   / cdiv 11867
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868
This theorem is referenced by:  pimrecltneg  45375  smfrec  45440
  Copyright terms: Public domain W3C validator