Theorem reclt0 45394

Description: The reciprocal of a negative number is negative. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
reclt0.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
reclt0.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
reclt0	⊢ (𝜑 → (𝐴 < 0 ↔ (1 / 𝐴) < 0))

Proof of Theorem reclt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reclt0.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 < 0)
4	2, 3	reclt0d 45390	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → (1 / 𝐴) < 0)
5	4	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 0 → (1 / 𝐴) < 0))
6		0red 11184	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 0) → 0 ∈ ℝ)
7	1	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
8		reclt0.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
9	8	necomd 2981	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 𝐴)
10	9	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 0) → 0 ≠ 𝐴)
11		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 0) → ¬ 𝐴 < 0)
12	6, 7, 10, 11	lttri5d 45304	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 0) → 0 < 𝐴)
13		0red 11184	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
14	1, 8	rereccld 12016	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
15	14	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
16	1	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
17		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
18	16, 17	recgt0d 12124	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (1 / 𝐴))
19	13, 15, 18	ltled 11329	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ (1 / 𝐴))
20	13, 15	lenltd 11327	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (0 ≤ (1 / 𝐴) ↔ ¬ (1 / 𝐴) < 0))
21	19, 20	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ¬ (1 / 𝐴) < 0)
22	12, 21	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 0) → ¬ (1 / 𝐴) < 0)
23	22	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 < 0 → ¬ (1 / 𝐴) < 0))
24	23	con4d 115	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴) < 0 → 𝐴 < 0))
25	24	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (1 / 𝐴) < 0) → 𝐴 < 0)
26	25	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴) < 0 → 𝐴 < 0))
27	5, 26	impbid 212	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 0 ↔ (1 / 𝐴) < 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   class class class wbr 5110  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   < clt 11215   ≤ cle 11216   / cdiv 11842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843

This theorem is referenced by:  pimrecltneg  46729  smfrec  46794