Theorem reclt0 42821

Description: The reciprocal of a negative number is negative. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
reclt0.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
reclt0.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
reclt0	⊢ (𝜑 → (𝐴 < 0 ↔ (1 / 𝐴) < 0))

Proof of Theorem reclt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reclt0.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 < 0)
4	2, 3	reclt0d 42816	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → (1 / 𝐴) < 0)
5	4	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 0 → (1 / 𝐴) < 0))
6		0red 10909	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 0) → 0 ∈ ℝ)
7	1	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
8		reclt0.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
9	8	necomd 2998	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 𝐴)
10	9	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 0) → 0 ≠ 𝐴)
11		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 0) → ¬ 𝐴 < 0)
12	6, 7, 10, 11	lttri5d 42728	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 0) → 0 < 𝐴)
13		0red 10909	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
14	1, 8	rereccld 11732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
15	14	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
16	1	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
17		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
18	16, 17	recgt0d 11839	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (1 / 𝐴))
19	13, 15, 18	ltled 11053	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ (1 / 𝐴))
20	13, 15	lenltd 11051	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (0 ≤ (1 / 𝐴) ↔ ¬ (1 / 𝐴) < 0))
21	19, 20	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ¬ (1 / 𝐴) < 0)
22	12, 21	syldan 590	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 0) → ¬ (1 / 𝐴) < 0)
23	22	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 < 0 → ¬ (1 / 𝐴) < 0))
24	23	con4d 115	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴) < 0 → 𝐴 < 0))
25	24	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (1 / 𝐴) < 0) → 𝐴 < 0)
26	25	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴) < 0 → 𝐴 < 0))
27	5, 26	impbid 211	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 0 ↔ (1 / 𝐴) < 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   < clt 10940   ≤ cle 10941   / cdiv 11562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563

This theorem is referenced by:  pimrecltneg  44147  smfrec  44210