Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem34 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem34 44942
Description: A partition is one to one. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem34.p 𝑃 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘β€˜π‘š) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
fourierdlem34.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
fourierdlem34.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem34 (πœ‘ β†’ 𝑄:(0...𝑀)–1-1→ℝ)
Distinct variable groups:   𝐴,π‘š,𝑝   𝐡,π‘š,𝑝   𝑖,𝑀,π‘š,𝑝   𝑄,𝑖,𝑝   πœ‘,𝑖
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘š,𝑝)   𝐴(𝑖)   𝐡(𝑖)   𝑃(𝑖,π‘š,𝑝)   𝑄(π‘š)

Proof of Theorem fourierdlem34
Dummy variables 𝑗 π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem34.q . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
2 fourierdlem34.m . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
3 fourierdlem34.p . . . . . . 7 𝑃 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘β€˜π‘š) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
43fourierdlem2 44910 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑄 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((π‘„β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘„β€˜π‘€) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))))
52, 4syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑄 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((π‘„β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘„β€˜π‘€) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))))
61, 5mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((π‘„β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘„β€˜π‘€) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
76simpld 495 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)))
8 elmapi 8845 . . 3 (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) β†’ 𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„)
97, 8syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„)
10 simplr 767 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (π‘„β€˜π‘–) = (π‘„β€˜π‘—)) ∧ Β¬ 𝑖 = 𝑗) β†’ (π‘„β€˜π‘–) = (π‘„β€˜π‘—))
119ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ)
1211ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ)
139ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
1413ad4ant14 750 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
1514adantllr 717 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
16 eleq1w 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = π‘˜ β†’ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ π‘˜ ∈ (0..^𝑀)))
1716anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = π‘˜ β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑀))))
18 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = π‘˜ β†’ (π‘„β€˜π‘–) = (π‘„β€˜π‘˜))
19 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = π‘˜ β†’ (𝑖 + 1) = (π‘˜ + 1))
2019fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = π‘˜ β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)))
2118, 20breq12d 5161 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = π‘˜ β†’ ((π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ↔ (π‘„β€˜π‘˜) < (π‘„β€˜(π‘˜ + 1))))
2217, 21imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = π‘˜ β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↔ ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘˜) < (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)))))
236simprrd 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
2423r19.21bi 3248 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
2522, 24chvarvv 2002 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘˜) < (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)))
2625ad4ant14 750 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘˜) < (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)))
2726adantllr 717 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘˜) < (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)))
28 simpllr 774 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
29 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) β†’ 𝑗 ∈ (0...𝑀))
30 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) β†’ 𝑖 < 𝑗)
3115, 27, 28, 29, 30monoords 44092 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) β†’ (π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜π‘—))
3212, 31ltned 11352 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) β†’ (π‘„β€˜π‘–) β‰  (π‘„β€˜π‘—))
3332neneqd 2945 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) β†’ Β¬ (π‘„β€˜π‘–) = (π‘„β€˜π‘—))
3433adantlr 713 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑖 = 𝑗) ∧ 𝑖 < 𝑗) β†’ Β¬ (π‘„β€˜π‘–) = (π‘„β€˜π‘—))
35 simpll 765 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑖 = 𝑗) ∧ Β¬ 𝑖 < 𝑗) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)))
36 elfzelz 13503 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
3736zred 12668 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
3837ad3antlr 729 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑖 = 𝑗) ∧ Β¬ 𝑖 < 𝑗) β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
39 elfzelz 13503 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (0...𝑀) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
4039zred 12668 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (0...𝑀) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
4140ad4antlr 731 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑖 = 𝑗) ∧ Β¬ 𝑖 < 𝑗) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
42 neqne 2948 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ 𝑖 = 𝑗 β†’ 𝑖 β‰  𝑗)
4342necomd 2996 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ 𝑖 = 𝑗 β†’ 𝑗 β‰  𝑖)
4443ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑖 = 𝑗) ∧ Β¬ 𝑖 < 𝑗) β†’ 𝑗 β‰  𝑖)
45 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑖 = 𝑗) ∧ Β¬ 𝑖 < 𝑗) β†’ Β¬ 𝑖 < 𝑗)
4638, 41, 44, 45lttri5d 44094 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑖 = 𝑗) ∧ Β¬ 𝑖 < 𝑗) β†’ 𝑗 < 𝑖)
479ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘—) ∈ ℝ)
4847adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 < 𝑖) β†’ (π‘„β€˜π‘—) ∈ ℝ)
4948adantllr 717 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 < 𝑖) β†’ (π‘„β€˜π‘—) ∈ ℝ)
50 simp-4l 781 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 < 𝑖) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ πœ‘)
5150, 13sylancom 588 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 < 𝑖) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
52 simp-4l 781 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 < 𝑖) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑀)) β†’ πœ‘)
5352, 25sylancom 588 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 < 𝑖) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘˜) < (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)))
54 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 < 𝑖) β†’ 𝑗 ∈ (0...𝑀))
55 simpllr 774 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 < 𝑖) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
56 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 < 𝑖) β†’ 𝑗 < 𝑖)
5751, 53, 54, 55, 56monoords 44092 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 < 𝑖) β†’ (π‘„β€˜π‘—) < (π‘„β€˜π‘–))
5849, 57gtned 11351 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 < 𝑖) β†’ (π‘„β€˜π‘–) β‰  (π‘„β€˜π‘—))
5958neneqd 2945 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 < 𝑖) β†’ Β¬ (π‘„β€˜π‘–) = (π‘„β€˜π‘—))
6035, 46, 59syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑖 = 𝑗) ∧ Β¬ 𝑖 < 𝑗) β†’ Β¬ (π‘„β€˜π‘–) = (π‘„β€˜π‘—))
6134, 60pm2.61dan 811 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑖 = 𝑗) β†’ Β¬ (π‘„β€˜π‘–) = (π‘„β€˜π‘—))
6261adantlr 713 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (π‘„β€˜π‘–) = (π‘„β€˜π‘—)) ∧ Β¬ 𝑖 = 𝑗) β†’ Β¬ (π‘„β€˜π‘–) = (π‘„β€˜π‘—))
6310, 62condan 816 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (π‘„β€˜π‘–) = (π‘„β€˜π‘—)) β†’ 𝑖 = 𝑗)
6463ex 413 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–) = (π‘„β€˜π‘—) β†’ 𝑖 = 𝑗))
6564ralrimiva 3146 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ βˆ€π‘— ∈ (0...𝑀)((π‘„β€˜π‘–) = (π‘„β€˜π‘—) β†’ 𝑖 = 𝑗))
6665ralrimiva 3146 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (0...𝑀)βˆ€π‘— ∈ (0...𝑀)((π‘„β€˜π‘–) = (π‘„β€˜π‘—) β†’ 𝑖 = 𝑗))
67 dff13 7256 . 2 (𝑄:(0...𝑀)–1-1→ℝ ↔ (𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘– ∈ (0...𝑀)βˆ€π‘— ∈ (0...𝑀)((π‘„β€˜π‘–) = (π‘„β€˜π‘—) β†’ 𝑖 = 𝑗)))
689, 66, 67sylanbrc 583 1 (πœ‘ β†’ 𝑄:(0...𝑀)–1-1→ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  {crab 3432   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  βŸΆwf 6539  β€“1-1β†’wf1 6540  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ↑m cmap 8822  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11250  β„•cn 12214  ...cfz 13486  ..^cfzo 13629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487  df-fzo 13630
This theorem is referenced by:  fourierdlem50  44957
  Copyright terms: Public domain W3C validator