Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem34 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem34 44857
Description: A partition is one to one. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem34.p 𝑃 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘β€˜π‘š) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
fourierdlem34.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
fourierdlem34.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem34 (πœ‘ β†’ 𝑄:(0...𝑀)–1-1→ℝ)
Distinct variable groups:   𝐴,π‘š,𝑝   𝐡,π‘š,𝑝   𝑖,𝑀,π‘š,𝑝   𝑄,𝑖,𝑝   πœ‘,𝑖
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘š,𝑝)   𝐴(𝑖)   𝐡(𝑖)   𝑃(𝑖,π‘š,𝑝)   𝑄(π‘š)

Proof of Theorem fourierdlem34
Dummy variables 𝑗 π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem34.q . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
2 fourierdlem34.m . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
3 fourierdlem34.p . . . . . . 7 𝑃 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘β€˜π‘š) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
43fourierdlem2 44825 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑄 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((π‘„β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘„β€˜π‘€) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))))
52, 4syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑄 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((π‘„β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘„β€˜π‘€) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))))
61, 5mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((π‘„β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘„β€˜π‘€) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
76simpld 496 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)))
8 elmapi 8843 . . 3 (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) β†’ 𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„)
97, 8syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„)
10 simplr 768 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (π‘„β€˜π‘–) = (π‘„β€˜π‘—)) ∧ Β¬ 𝑖 = 𝑗) β†’ (π‘„β€˜π‘–) = (π‘„β€˜π‘—))
119ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ)
1211ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ)
139ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
1413ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
1514adantllr 718 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
16 eleq1w 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = π‘˜ β†’ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ π‘˜ ∈ (0..^𝑀)))
1716anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = π‘˜ β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑀))))
18 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = π‘˜ β†’ (π‘„β€˜π‘–) = (π‘„β€˜π‘˜))
19 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = π‘˜ β†’ (𝑖 + 1) = (π‘˜ + 1))
2019fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = π‘˜ β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)))
2118, 20breq12d 5162 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = π‘˜ β†’ ((π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ↔ (π‘„β€˜π‘˜) < (π‘„β€˜(π‘˜ + 1))))
2217, 21imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = π‘˜ β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↔ ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘˜) < (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)))))
236simprrd 773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
2423r19.21bi 3249 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
2522, 24chvarvv 2003 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘˜) < (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)))
2625ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘˜) < (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)))
2726adantllr 718 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘˜) < (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)))
28 simpllr 775 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
29 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) β†’ 𝑗 ∈ (0...𝑀))
30 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) β†’ 𝑖 < 𝑗)
3115, 27, 28, 29, 30monoords 44007 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) β†’ (π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜π‘—))
3212, 31ltned 11350 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) β†’ (π‘„β€˜π‘–) β‰  (π‘„β€˜π‘—))
3332neneqd 2946 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) β†’ Β¬ (π‘„β€˜π‘–) = (π‘„β€˜π‘—))
3433adantlr 714 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑖 = 𝑗) ∧ 𝑖 < 𝑗) β†’ Β¬ (π‘„β€˜π‘–) = (π‘„β€˜π‘—))
35 simpll 766 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑖 = 𝑗) ∧ Β¬ 𝑖 < 𝑗) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)))
36 elfzelz 13501 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
3736zred 12666 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
3837ad3antlr 730 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑖 = 𝑗) ∧ Β¬ 𝑖 < 𝑗) β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
39 elfzelz 13501 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (0...𝑀) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
4039zred 12666 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (0...𝑀) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
4140ad4antlr 732 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑖 = 𝑗) ∧ Β¬ 𝑖 < 𝑗) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
42 neqne 2949 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ 𝑖 = 𝑗 β†’ 𝑖 β‰  𝑗)
4342necomd 2997 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ 𝑖 = 𝑗 β†’ 𝑗 β‰  𝑖)
4443ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑖 = 𝑗) ∧ Β¬ 𝑖 < 𝑗) β†’ 𝑗 β‰  𝑖)
45 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑖 = 𝑗) ∧ Β¬ 𝑖 < 𝑗) β†’ Β¬ 𝑖 < 𝑗)
4638, 41, 44, 45lttri5d 44009 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑖 = 𝑗) ∧ Β¬ 𝑖 < 𝑗) β†’ 𝑗 < 𝑖)
479ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘—) ∈ ℝ)
4847adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 < 𝑖) β†’ (π‘„β€˜π‘—) ∈ ℝ)
4948adantllr 718 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 < 𝑖) β†’ (π‘„β€˜π‘—) ∈ ℝ)
50 simp-4l 782 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 < 𝑖) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ πœ‘)
5150, 13sylancom 589 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 < 𝑖) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
52 simp-4l 782 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 < 𝑖) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑀)) β†’ πœ‘)
5352, 25sylancom 589 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 < 𝑖) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘˜) < (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)))
54 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 < 𝑖) β†’ 𝑗 ∈ (0...𝑀))
55 simpllr 775 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 < 𝑖) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
56 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 < 𝑖) β†’ 𝑗 < 𝑖)
5751, 53, 54, 55, 56monoords 44007 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 < 𝑖) β†’ (π‘„β€˜π‘—) < (π‘„β€˜π‘–))
5849, 57gtned 11349 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 < 𝑖) β†’ (π‘„β€˜π‘–) β‰  (π‘„β€˜π‘—))
5958neneqd 2946 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 < 𝑖) β†’ Β¬ (π‘„β€˜π‘–) = (π‘„β€˜π‘—))
6035, 46, 59syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑖 = 𝑗) ∧ Β¬ 𝑖 < 𝑗) β†’ Β¬ (π‘„β€˜π‘–) = (π‘„β€˜π‘—))
6134, 60pm2.61dan 812 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑖 = 𝑗) β†’ Β¬ (π‘„β€˜π‘–) = (π‘„β€˜π‘—))
6261adantlr 714 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (π‘„β€˜π‘–) = (π‘„β€˜π‘—)) ∧ Β¬ 𝑖 = 𝑗) β†’ Β¬ (π‘„β€˜π‘–) = (π‘„β€˜π‘—))
6310, 62condan 817 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (π‘„β€˜π‘–) = (π‘„β€˜π‘—)) β†’ 𝑖 = 𝑗)
6463ex 414 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–) = (π‘„β€˜π‘—) β†’ 𝑖 = 𝑗))
6564ralrimiva 3147 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ βˆ€π‘— ∈ (0...𝑀)((π‘„β€˜π‘–) = (π‘„β€˜π‘—) β†’ 𝑖 = 𝑗))
6665ralrimiva 3147 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (0...𝑀)βˆ€π‘— ∈ (0...𝑀)((π‘„β€˜π‘–) = (π‘„β€˜π‘—) β†’ 𝑖 = 𝑗))
67 dff13 7254 . 2 (𝑄:(0...𝑀)–1-1→ℝ ↔ (𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘– ∈ (0...𝑀)βˆ€π‘— ∈ (0...𝑀)((π‘„β€˜π‘–) = (π‘„β€˜π‘—) β†’ 𝑖 = 𝑗)))
689, 66, 67sylanbrc 584 1 (πœ‘ β†’ 𝑄:(0...𝑀)–1-1→ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  {crab 3433   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  βŸΆwf 6540  β€“1-1β†’wf1 6541  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑m cmap 8820  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   < clt 11248  β„•cn 12212  ...cfz 13484  ..^cfzo 13627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628
This theorem is referenced by:  fourierdlem50  44872
  Copyright terms: Public domain W3C validator