Theorem fourierdlem44 43673

Description: A condition for having (sin‘(𝐴 / 2)) nonzero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem44	⊢ ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (sin‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)

Proof of Theorem fourierdlem44

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11032	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ*)
3		2re 12057	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
4		pire 25625	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
5	3, 4	remulcli 11001	. . . . . . 7 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
6	5	rexri 11043	. . . . . 6 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ*
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝐴) → (2 · π) ∈ ℝ*)
8	4	renegcli 11292	. . . . . . . 8 ⊢ -π ∈ ℝ
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → -π ∈ ℝ)
10	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → π ∈ ℝ)
11		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 𝐴 ∈ (-π[,]π))
12		eliccre 43024	. . . . . . 7 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ (-π[,]π)) → 𝐴 ∈ ℝ)
13	9, 10, 11, 12	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 𝐴 ∈ ℝ)
14	13	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
15		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
16	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (2 · π) ∈ ℝ)
17	9	rexrd 11035	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → -π ∈ ℝ*)
18	10	rexrd 11035	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → π ∈ ℝ*)
19		iccleub 13144	. . . . . . . 8 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (-π[,]π)) → 𝐴 ≤ π)
20	17, 18, 11, 19	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 𝐴 ≤ π)
21		pirp 25628	. . . . . . . . 9 ⊢ π ∈ ℝ+
22		2timesgt 42808	. . . . . . . . 9 ⊢ (π ∈ ℝ+ → π < (2 · π))
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ π < (2 · π)
24	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → π < (2 · π))
25	13, 10, 16, 20, 24	lelttrd 11143	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 𝐴 < (2 · π))
26	25	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 < (2 · π))
27	2, 7, 14, 15, 26	eliood 43017	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)))
28	27	adantlr 712	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)))
29		sinaover2ne0 43390	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → (sin‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)
30	28, 29	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 0 < 𝐴) → (sin‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)
31		simpll 764	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ (-π[,]π))
32	31, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
33		0red 10988	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
34		simplr 766	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
35		simpr 485	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → ¬ 0 < 𝐴)
36	32, 33, 34, 35	lttri5d 42819	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 < 0)
37	13	recnd 11013	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 𝐴 ∈ ℂ)
38	37	halfcld 12228	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
39		sinneg 15865	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (sin‘-(𝐴 / 2)) = -(sin‘(𝐴 / 2)))
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (sin‘-(𝐴 / 2)) = -(sin‘(𝐴 / 2)))
41		2cnd 12061	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 2 ∈ ℂ)
42		2ne0 12087	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ 0
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 2 ≠ 0)
44	37, 41, 43	divnegd 11774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → -(𝐴 / 2) = (-𝐴 / 2))
45	44	fveq2d 6770	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (sin‘-(𝐴 / 2)) = (sin‘(-𝐴 / 2)))
46	40, 45	eqtr3d 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → -(sin‘(𝐴 / 2)) = (sin‘(-𝐴 / 2)))
47	46	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -(sin‘(𝐴 / 2)) = (sin‘(-𝐴 / 2)))
48	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → 0 ∈ ℝ*)
49	6	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → (2 · π) ∈ ℝ*)
50	13	renegcld 11412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → -𝐴 ∈ ℝ)
51	50	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
52		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 < 0)
53	13	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
54	53	lt0neg1d 11554	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
55	52, 54	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → 0 < -𝐴)
56	5	renegcli 11292	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -(2 · π) ∈ ℝ
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -(2 · π) ∈ ℝ)
58	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -π ∈ ℝ)
59	4, 5	ltnegi 11529	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (π < (2 · π) ↔ -(2 · π) < -π)
60	23, 59	mpbi 229	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -(2 · π) < -π
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -(2 · π) < -π)
62		iccgelb 13145	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (-π[,]π)) → -π ≤ 𝐴)
63	17, 18, 11, 62	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → -π ≤ 𝐴)
64	63	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -π ≤ 𝐴)
65	57, 58, 53, 61, 64	ltletrd 11145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -(2 · π) < 𝐴)
66	57, 53	ltnegd 11563	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → (-(2 · π) < 𝐴 ↔ -𝐴 < --(2 · π)))
67	65, 66	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 < --(2 · π))
68	16	recnd 11013	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (2 · π) ∈ ℂ)
69	68	negnegd 11333	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → --(2 · π) = (2 · π))
70	69	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → --(2 · π) = (2 · π))
71	67, 70	breqtrd 5099	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 < (2 · π))
72	48, 49, 51, 55, 71	eliood 43017	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)))
73		sinaover2ne0 43390	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → (sin‘(-𝐴 / 2)) ≠ 0)
74	72, 73	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → (sin‘(-𝐴 / 2)) ≠ 0)
75	47, 74	eqnetrd 3011	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -(sin‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)
76	75	neneqd 2948	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → ¬ -(sin‘(𝐴 / 2)) = 0)
77	38	sincld 15849	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
78	77	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
79	78	negeq0d 11334	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → ((sin‘(𝐴 / 2)) = 0 ↔ -(sin‘(𝐴 / 2)) = 0))
80	76, 79	mtbird 325	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → ¬ (sin‘(𝐴 / 2)) = 0)
81	80	neqned 2950	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → (sin‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)
82	31, 36, 81	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → (sin‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)
83	30, 82	pm2.61dan 810	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (sin‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   class class class wbr 5073  ‘cfv 6426  (class class class)co 7267  ℂcc 10879  ℝcr 10880  0cc0 10881   · cmul 10886  ℝ^*cxr 11018   < clt 11019   ≤ cle 11020  -cneg 11216   / cdiv 11642  2c2 12038  ℝ⁺crp 12740  (,)cioo 13089  [,]cicc 13092  sincsin 15783  πcpi 15786

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5208  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-inf2 9386  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958  ax-pre-sup 10959  ax-addf 10960  ax-mulf 10961

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-se 5540  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-isom 6435  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-of 7523  df-om 7703  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-supp 7965  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-1o 8284  df-2o 8285  df-er 8485  df-map 8604  df-pm 8605  df-ixp 8673  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-fin 8724  df-fsupp 9116  df-fi 9157  df-sup 9188  df-inf 9189  df-oi 9256  df-card 9707  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-div 11643  df-nn 11984  df-2 12046  df-3 12047  df-4 12048  df-5 12049  df-6 12050  df-7 12051  df-8 12052  df-9 12053  df-n0 12244  df-z 12330  df-dec 12448  df-uz 12593  df-q 12699  df-rp 12741  df-xneg 12858  df-xadd 12859  df-xmul 12860  df-ioo 13093  df-ioc 13094  df-ico 13095  df-icc 13096  df-fz 13250  df-fzo 13393  df-fl 13522  df-mod 13600  df-seq 13732  df-exp 13793  df-fac 13998  df-bc 14027  df-hash 14055  df-shft 14788  df-cj 14820  df-re 14821  df-im 14822  df-sqrt 14956  df-abs 14957  df-limsup 15190  df-clim 15207  df-rlim 15208  df-sum 15408  df-ef 15787  df-sin 15789  df-cos 15790  df-pi 15792  df-struct 16858  df-sets 16875  df-slot 16893  df-ndx 16905  df-base 16923  df-ress 16952  df-plusg 16985  df-mulr 16986  df-starv 16987  df-sca 16988  df-vsca 16989  df-ip 16990  df-tset 16991  df-ple 16992  df-ds 16994  df-unif 16995  df-hom 16996  df-cco 16997  df-rest 17143  df-topn 17144  df-0g 17162  df-gsum 17163  df-topgen 17164  df-pt 17165  df-prds 17168  df-xrs 17223  df-qtop 17228  df-imas 17229  df-xps 17231  df-mre 17305  df-mrc 17306  df-acs 17308  df-mgm 18336  df-sgrp 18385  df-mnd 18396  df-submnd 18441  df-mulg 18711  df-cntz 18933  df-cmn 19398  df-psmet 20599  df-xmet 20600  df-met 20601  df-bl 20602  df-mopn 20603  df-fbas 20604  df-fg 20605  df-cnfld 20608  df-top 22053  df-topon 22070  df-topsp 22092  df-bases 22106  df-cld 22180  df-ntr 22181  df-cls 22182  df-nei 22259  df-lp 22297  df-perf 22298  df-cn 22388  df-cnp 22389  df-haus 22476  df-tx 22723  df-hmeo 22916  df-fil 23007  df-fm 23099  df-flim 23100  df-flf 23101  df-xms 23483  df-ms 23484  df-tms 23485  df-cncf 24051  df-limc 25040  df-dv 25041

This theorem is referenced by:  fourierdlem56  43684  fourierdlem57  43685  fourierdlem58  43686  fourierdlem62  43690  fourierdlem66  43694  fourierdlem68  43696  fourierdlem72  43700  fourierdlem76  43704  fourierdlem78  43706  fourierdlem80  43708  fourierdlem103  43731  fourierdlem104  43732