Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem44 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem44 45167
Description: A condition for having (sinβ€˜(𝐴 / 2)) nonzero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem44 ((𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (sinβ€˜(𝐴 / 2)) β‰  0)

Proof of Theorem fourierdlem44
StepHypRef Expression
1 0xr 11266 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
21a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ 0 < 𝐴) β†’ 0 ∈ ℝ*)
3 2re 12291 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
4 pire 26201 . . . . . . . 8 Ο€ ∈ ℝ
53, 4remulcli 11235 . . . . . . 7 (2 Β· Ο€) ∈ ℝ
65rexri 11277 . . . . . 6 (2 Β· Ο€) ∈ ℝ*
76a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ 0 < 𝐴) β†’ (2 Β· Ο€) ∈ ℝ*)
84renegcli 11526 . . . . . . . 8 -Ο€ ∈ ℝ
98a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
104a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
11 id 22 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) β†’ 𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€))
12 eliccre 44518 . . . . . . 7 ((-Ο€ ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
139, 10, 11, 12syl3anc 1370 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1413adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ 0 < 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
15 simpr 484 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ 0 < 𝐴) β†’ 0 < 𝐴)
165a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) β†’ (2 Β· Ο€) ∈ ℝ)
179rexrd 11269 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) β†’ -Ο€ ∈ ℝ*)
1810rexrd 11269 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) β†’ Ο€ ∈ ℝ*)
19 iccleub 13384 . . . . . . . 8 ((-Ο€ ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ 𝐴 ≀ Ο€)
2017, 18, 11, 19syl3anc 1370 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) β†’ 𝐴 ≀ Ο€)
21 pirp 26204 . . . . . . . . 9 Ο€ ∈ ℝ+
22 2timesgt 44298 . . . . . . . . 9 (Ο€ ∈ ℝ+ β†’ Ο€ < (2 Β· Ο€))
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . 8 Ο€ < (2 Β· Ο€)
2423a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) β†’ Ο€ < (2 Β· Ο€))
2513, 10, 16, 20, 24lelttrd 11377 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) β†’ 𝐴 < (2 Β· Ο€))
2625adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ 0 < 𝐴) β†’ 𝐴 < (2 Β· Ο€))
272, 7, 14, 15, 26eliood 44511 . . . 4 ((𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ 0 < 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ (0(,)(2 Β· Ο€)))
2827adantlr 712 . . 3 (((𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 0 < 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ (0(,)(2 Β· Ο€)))
29 sinaover2ne0 44884 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,)(2 Β· Ο€)) β†’ (sinβ€˜(𝐴 / 2)) β‰  0)
3028, 29syl 17 . 2 (((𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 0 < 𝐴) β†’ (sinβ€˜(𝐴 / 2)) β‰  0)
31 simpll 764 . . 3 (((𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ Β¬ 0 < 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€))
3231, 13syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ Β¬ 0 < 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
33 0red 11222 . . . 4 (((𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ Β¬ 0 < 𝐴) β†’ 0 ∈ ℝ)
34 simplr 766 . . . 4 (((𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ Β¬ 0 < 𝐴) β†’ 𝐴 β‰  0)
35 simpr 484 . . . 4 (((𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ Β¬ 0 < 𝐴) β†’ Β¬ 0 < 𝐴)
3632, 33, 34, 35lttri5d 44309 . . 3 (((𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ Β¬ 0 < 𝐴) β†’ 𝐴 < 0)
3713recnd 11247 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
3837halfcld 12462 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) β†’ (𝐴 / 2) ∈ β„‚)
39 sinneg 16094 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 / 2) ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜-(𝐴 / 2)) = -(sinβ€˜(𝐴 / 2)))
4038, 39syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) β†’ (sinβ€˜-(𝐴 / 2)) = -(sinβ€˜(𝐴 / 2)))
41 2cnd 12295 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) β†’ 2 ∈ β„‚)
42 2ne0 12321 . . . . . . . . . . . 12 2 β‰  0
4342a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) β†’ 2 β‰  0)
4437, 41, 43divnegd 12008 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) β†’ -(𝐴 / 2) = (-𝐴 / 2))
4544fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) β†’ (sinβ€˜-(𝐴 / 2)) = (sinβ€˜(-𝐴 / 2)))
4640, 45eqtr3d 2773 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) β†’ -(sinβ€˜(𝐴 / 2)) = (sinβ€˜(-𝐴 / 2)))
4746adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ 𝐴 < 0) β†’ -(sinβ€˜(𝐴 / 2)) = (sinβ€˜(-𝐴 / 2)))
481a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ 𝐴 < 0) β†’ 0 ∈ ℝ*)
496a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ 𝐴 < 0) β†’ (2 Β· Ο€) ∈ ℝ*)
5013renegcld 11646 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) β†’ -𝐴 ∈ ℝ)
5150adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ 𝐴 < 0) β†’ -𝐴 ∈ ℝ)
52 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ 𝐴 < 0) β†’ 𝐴 < 0)
5313adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ 𝐴 < 0) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
5453lt0neg1d 11788 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ 𝐴 < 0) β†’ (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
5552, 54mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ 𝐴 < 0) β†’ 0 < -𝐴)
565renegcli 11526 . . . . . . . . . . . . 13 -(2 Β· Ο€) ∈ ℝ
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ 𝐴 < 0) β†’ -(2 Β· Ο€) ∈ ℝ)
588a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ 𝐴 < 0) β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
594, 5ltnegi 11763 . . . . . . . . . . . . . 14 (Ο€ < (2 Β· Ο€) ↔ -(2 Β· Ο€) < -Ο€)
6023, 59mpbi 229 . . . . . . . . . . . . 13 -(2 Β· Ο€) < -Ο€
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ 𝐴 < 0) β†’ -(2 Β· Ο€) < -Ο€)
62 iccgelb 13385 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-Ο€ ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ -Ο€ ≀ 𝐴)
6317, 18, 11, 62syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) β†’ -Ο€ ≀ 𝐴)
6463adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ 𝐴 < 0) β†’ -Ο€ ≀ 𝐴)
6557, 58, 53, 61, 64ltletrd 11379 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ 𝐴 < 0) β†’ -(2 Β· Ο€) < 𝐴)
6657, 53ltnegd 11797 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ 𝐴 < 0) β†’ (-(2 Β· Ο€) < 𝐴 ↔ -𝐴 < --(2 Β· Ο€)))
6765, 66mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ 𝐴 < 0) β†’ -𝐴 < --(2 Β· Ο€))
6816recnd 11247 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) β†’ (2 Β· Ο€) ∈ β„‚)
6968negnegd 11567 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) β†’ --(2 Β· Ο€) = (2 Β· Ο€))
7069adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ 𝐴 < 0) β†’ --(2 Β· Ο€) = (2 Β· Ο€))
7167, 70breqtrd 5175 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ 𝐴 < 0) β†’ -𝐴 < (2 Β· Ο€))
7248, 49, 51, 55, 71eliood 44511 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ 𝐴 < 0) β†’ -𝐴 ∈ (0(,)(2 Β· Ο€)))
73 sinaover2ne0 44884 . . . . . . . 8 (-𝐴 ∈ (0(,)(2 Β· Ο€)) β†’ (sinβ€˜(-𝐴 / 2)) β‰  0)
7472, 73syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ 𝐴 < 0) β†’ (sinβ€˜(-𝐴 / 2)) β‰  0)
7547, 74eqnetrd 3007 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ 𝐴 < 0) β†’ -(sinβ€˜(𝐴 / 2)) β‰  0)
7675neneqd 2944 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ 𝐴 < 0) β†’ Β¬ -(sinβ€˜(𝐴 / 2)) = 0)
7738sincld 16078 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) β†’ (sinβ€˜(𝐴 / 2)) ∈ β„‚)
7877adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ 𝐴 < 0) β†’ (sinβ€˜(𝐴 / 2)) ∈ β„‚)
7978negeq0d 11568 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ 𝐴 < 0) β†’ ((sinβ€˜(𝐴 / 2)) = 0 ↔ -(sinβ€˜(𝐴 / 2)) = 0))
8076, 79mtbird 324 . . . 4 ((𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ 𝐴 < 0) β†’ Β¬ (sinβ€˜(𝐴 / 2)) = 0)
8180neqned 2946 . . 3 ((𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ 𝐴 < 0) β†’ (sinβ€˜(𝐴 / 2)) β‰  0)
8231, 36, 81syl2anc 583 . 2 (((𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ Β¬ 0 < 𝐴) β†’ (sinβ€˜(𝐴 / 2)) β‰  0)
8330, 82pm2.61dan 810 1 ((𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (sinβ€˜(𝐴 / 2)) β‰  0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  β„‚cc 11111  β„cr 11112  0cc0 11113   Β· cmul 11118  β„*cxr 11252   < clt 11253   ≀ cle 11254  -cneg 11450   / cdiv 11876  2c2 12272  β„+crp 12979  (,)cioo 13329  [,]cicc 13332  sincsin 16012  Ο€cpi 16015
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191  ax-addf 11192  ax-mulf 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-ef 16016  df-sin 16018  df-cos 16019  df-pi 16021  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-limc 25616  df-dv 25617
This theorem is referenced by:  fourierdlem56  45178  fourierdlem57  45179  fourierdlem58  45180  fourierdlem62  45184  fourierdlem66  45188  fourierdlem68  45190  fourierdlem72  45194  fourierdlem76  45198  fourierdlem78  45200  fourierdlem80  45202  fourierdlem103  45225  fourierdlem104  45226
  Copyright terms: Public domain W3C validator