Theorem fourierdlem44 47434

Description: A condition for having (sin‘(𝐴 / 2)) nonzero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem44	⊢ ((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (sin‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)

Proof of Theorem fourierdlem44

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11395	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ*)
3		2re 12457	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
4		pire 26840	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
5	3, 4	remulcli 11364	. . . . . . 7 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
6	5	rexri 11406	. . . . . 6 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ*
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 0 < 𝐴) → (2 · π) ∈ ℝ*)
8	4	renegcli 11658	. . . . . . . 8 ⊢ -π ∈ ℝ
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ( -π[,]π) → -π ∈ ℝ)
10	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ( -π[,]π) → π ∈ ℝ)
11		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ( -π[,]π) → 𝐴 ∈ ( -π[,]π))
12		eliccre 46790	. . . . . . 7 ⊢ (( -π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ( -π[,]π)) → 𝐴 ∈ ℝ)
13	9, 10, 11, 12	syl3anc 1399	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ( -π[,]π) → 𝐴 ∈ ℝ)
14	13	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
15		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
16	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ( -π[,]π) → (2 · π) ∈ ℝ)
17	9	rexrd 11398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ( -π[,]π) → -π ∈ ℝ*)
18	10	rexrd 11398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ( -π[,]π) → π ∈ ℝ*)
19		iccleub 13572	. . . . . . . 8 ⊢ (( -π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ( -π[,]π)) → 𝐴 ≤ π)
20	17, 18, 11, 19	syl3anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ( -π[,]π) → 𝐴 ≤ π)
21		pirp 26847	. . . . . . . . 9 ⊢ π ∈ ℝ+
22		2timesgt 46577	. . . . . . . . 9 ⊢ (π ∈ ℝ+ → π < (2 · π))
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ π < (2 · π)
24	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ( -π[,]π) → π < (2 · π))
25	13, 10, 16, 20, 24	lelttrd 11507	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ( -π[,]π) → 𝐴 < (2 · π))
26	25	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 < (2 · π))
27	2, 7, 14, 15, 26	eliood 46783	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)))
28	27	adantlr 728	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)))
29		sinaover2ne0 47151	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → (sin‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)
30	28, 29	syl 18	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 0 < 𝐴) → (sin‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)
31		simpll 779	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ( -π[,]π))
32	31, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
33		0red 11350	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
34		simplr 781	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
35		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → ¬ 0 < 𝐴)
36	32, 33, 34, 35	lttri5d 46588	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 < 0)
37	13	recnd 11376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ( -π[,]π) → 𝐴 ∈ ℂ)
38	37	halfcld 12631	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ( -π[,]π) → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
39		sinneg 16358	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (sin‘ -(𝐴 / 2)) = -(sin‘(𝐴 / 2)))
40	38, 39	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ( -π[,]π) → (sin‘ -(𝐴 / 2)) = -(sin‘(𝐴 / 2)))
41		2cnd 12461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ( -π[,]π) → 2 ∈ ℂ)
42		2ne0 12489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ 0
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ( -π[,]π) → 2 ≠ 0)
44	37, 41, 43	divnegd 12146	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ( -π[,]π) → -(𝐴 / 2) = ( -𝐴 / 2))
45	44	fveq2d 6920	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ( -π[,]π) → (sin‘ -(𝐴 / 2)) = (sin‘( -𝐴 / 2)))
46	40, 45	eqtr3d 2800	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ( -π[,]π) → -(sin‘(𝐴 / 2)) = (sin‘( -𝐴 / 2)))
47	46	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -(sin‘(𝐴 / 2)) = (sin‘( -𝐴 / 2)))
48	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → 0 ∈ ℝ*)
49	6	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → (2 · π) ∈ ℝ*)
50	13	renegcld 11782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ( -π[,]π) → -𝐴 ∈ ℝ)
51	50	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
52		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 < 0)
53	13	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
54	53	lt0neg1d 11925	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
55	52, 54	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → 0 < -𝐴)
56	5	renegcli 11658	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -(2 · π) ∈ ℝ
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -(2 · π) ∈ ℝ)
58	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -π ∈ ℝ)
59	4, 5	ltnegi 11900	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (π < (2 · π) ↔ -(2 · π) < -π)
60	23, 59	mpbi 233	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -(2 · π) < -π
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -(2 · π) < -π)
62		iccgelb 13573	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (( -π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ( -π[,]π)) → -π ≤ 𝐴)
63	17, 18, 11, 62	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ( -π[,]π) → -π ≤ 𝐴)
64	63	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -π ≤ 𝐴)
65	57, 58, 53, 61, 64	ltletrd 11509	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -(2 · π) < 𝐴)
66	57, 53	ltnegd 11934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → ( -(2 · π) < 𝐴 ↔ -𝐴 < - -(2 · π)))
67	65, 66	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 < - -(2 · π))
68	16	recnd 11376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ( -π[,]π) → (2 · π) ∈ ℂ)
69	68	negnegd 11699	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ( -π[,]π) → - -(2 · π) = (2 · π))
70	69	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → - -(2 · π) = (2 · π))
71	67, 70	breqtrd 5137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 < (2 · π))
72	48, 49, 51, 55, 71	eliood 46783	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)))
73		sinaover2ne0 47151	. . . . . . . 8 ⊢ ( -𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → (sin‘( -𝐴 / 2)) ≠ 0)
74	72, 73	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → (sin‘( -𝐴 / 2)) ≠ 0)
75	47, 74	eqnetrd 3026	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -(sin‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)
76	75	neneqd 2964	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → ¬ -(sin‘(𝐴 / 2)) = 0)
77	38	sincld 16342	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ( -π[,]π) → (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
78	77	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
79	78	negeq0d 11700	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → ((sin‘(𝐴 / 2)) = 0 ↔ -(sin‘(𝐴 / 2)) = 0))
80	76, 79	mtbird 328	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → ¬ (sin‘(𝐴 / 2)) = 0)
81	80	neqned 2966	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → (sin‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)
82	31, 36, 81	syl2anc 596	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → (sin‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)
83	30, 82	pm2.61dan 825	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (sin‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  ℝcr 11238  0cc0 11239   · cmul 11244  ℝ^*cxr 11381   < clt 11382   ≤ cle 11383   -cneg 11581   / cdiv 12013  2c2 12437  ℝ⁺crp 13160  (,)cioo 13516  [,]cicc 13519  sincsin 16273  πcpi 16276

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317  ax-addf 11318

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-fi 9440  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-q 13116  df-rp 13161  df-xneg 13281  df-xadd 13282  df-xmul 13283  df-ioo 13520  df-ioc 13521  df-ico 13522  df-icc 13523  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-fl 13972  df-mod 14050  df-seq 14185  df-exp 14245  df-fac 14459  df-bc 14488  df-hash 14516  df-shft 15263  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-limsup 15682  df-clim 15699  df-rlim 15700  df-sum 15898  df-ef 16277  df-sin 16279  df-cos 16280  df-pi 16282  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-starv 17488  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-unif 17496  df-hom 17497  df-cco 17498  df-euf 17499  df-rest 17643  df-topn 17644  df-0g 17662  df-gsum 17663  df-topgen 17664  df-pt 17665  df-prds 17668  df-xrs 17724  df-qtop 17729  df-imas 17730  df-xps 17732  df-mre 17806  df-mrc 17807  df-acs 17809  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-submnd 19029  df-mulg 19328  df-cntz 19582  df-cmn 20047  df-psmet 21721  df-xmet 21722  df-met 21723  df-bl 21724  df-mopn 21725  df-fbas 21726  df-fg 21727  df-cnfld 21730  df-top 23267  df-topon 23284  df-topsp 23306  df-bases 23319  df-cld 23392  df-ntr 23393  df-cls 23394  df-nei 23471  df-lp 23509  df-perf 23510  df-cn 23600  df-cnp 23601  df-haus 23688  df-tx 23936  df-hmeo 24129  df-fil 24220  df-fm 24312  df-flim 24313  df-flf 24314  df-xms 24694  df-ms 24695  df-tms 24696  df-cncf 25254  df-limc 26241  df-dv 26242

This theorem is used by:  fourierdlem56  47445  fourierdlem57  47446  fourierdlem58  47447  fourierdlem62  47451  fourierdlem66  47455  fourierdlem68  47457  fourierdlem72  47461  fourierdlem76  47465  fourierdlem78  47467  fourierdlem80  47469  fourierdlem103  47492  fourierdlem104  47493