Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem44 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem44 45677
Description: A condition for having (sin‘(𝐴 / 2)) nonzero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem44 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (sin‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)

Proof of Theorem fourierdlem44
StepHypRef Expression
1 0xr 11293 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
21a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ*)
3 2re 12319 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
4 pire 26438 . . . . . . . 8 π ∈ ℝ
53, 4remulcli 11262 . . . . . . 7 (2 · π) ∈ ℝ
65rexri 11304 . . . . . 6 (2 · π) ∈ ℝ*
76a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝐴) → (2 · π) ∈ ℝ*)
84renegcli 11553 . . . . . . . 8 -π ∈ ℝ
98a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → -π ∈ ℝ)
104a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → π ∈ ℝ)
11 id 22 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 𝐴 ∈ (-π[,]π))
12 eliccre 45028 . . . . . . 7 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ (-π[,]π)) → 𝐴 ∈ ℝ)
139, 10, 11, 12syl3anc 1368 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 𝐴 ∈ ℝ)
1413adantr 479 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
15 simpr 483 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
165a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (2 · π) ∈ ℝ)
179rexrd 11296 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → -π ∈ ℝ*)
1810rexrd 11296 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → π ∈ ℝ*)
19 iccleub 13414 . . . . . . . 8 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝐴 ∈ (-π[,]π)) → 𝐴 ≤ π)
2017, 18, 11, 19syl3anc 1368 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 𝐴 ≤ π)
21 pirp 26441 . . . . . . . . 9 π ∈ ℝ+
22 2timesgt 44808 . . . . . . . . 9 (π ∈ ℝ+ → π < (2 · π))
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . 8 π < (2 · π)
2423a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → π < (2 · π))
2513, 10, 16, 20, 24lelttrd 11404 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 𝐴 < (2 · π))
2625adantr 479 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 < (2 · π))
272, 7, 14, 15, 26eliood 45021 . . . 4 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)))
2827adantlr 713 . . 3 (((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)))
29 sinaover2ne0 45394 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → (sin‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)
3028, 29syl 17 . 2 (((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 0 < 𝐴) → (sin‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)
31 simpll 765 . . 3 (((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ (-π[,]π))
3231, 13syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
33 0red 11249 . . . 4 (((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
34 simplr 767 . . . 4 (((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
35 simpr 483 . . . 4 (((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → ¬ 0 < 𝐴)
3632, 33, 34, 35lttri5d 44819 . . 3 (((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 < 0)
3713recnd 11274 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 𝐴 ∈ ℂ)
3837halfcld 12490 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
39 sinneg 16126 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (sin‘-(𝐴 / 2)) = -(sin‘(𝐴 / 2)))
4038, 39syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (sin‘-(𝐴 / 2)) = -(sin‘(𝐴 / 2)))
41 2cnd 12323 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 2 ∈ ℂ)
42 2ne0 12349 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ 0
4342a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 2 ≠ 0)
4437, 41, 43divnegd 12036 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → -(𝐴 / 2) = (-𝐴 / 2))
4544fveq2d 6900 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (sin‘-(𝐴 / 2)) = (sin‘(-𝐴 / 2)))
4640, 45eqtr3d 2767 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → -(sin‘(𝐴 / 2)) = (sin‘(-𝐴 / 2)))
4746adantr 479 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -(sin‘(𝐴 / 2)) = (sin‘(-𝐴 / 2)))
481a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → 0 ∈ ℝ*)
496a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → (2 · π) ∈ ℝ*)
5013renegcld 11673 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → -𝐴 ∈ ℝ)
5150adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
52 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 < 0)
5313adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
5453lt0neg1d 11815 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
5552, 54mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → 0 < -𝐴)
565renegcli 11553 . . . . . . . . . . . . 13 -(2 · π) ∈ ℝ
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -(2 · π) ∈ ℝ)
588a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -π ∈ ℝ)
594, 5ltnegi 11790 . . . . . . . . . . . . . 14 (π < (2 · π) ↔ -(2 · π) < -π)
6023, 59mpbi 229 . . . . . . . . . . . . 13 -(2 · π) < -π
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -(2 · π) < -π)
62 iccgelb 13415 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝐴 ∈ (-π[,]π)) → -π ≤ 𝐴)
6317, 18, 11, 62syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → -π ≤ 𝐴)
6463adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -π ≤ 𝐴)
6557, 58, 53, 61, 64ltletrd 11406 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -(2 · π) < 𝐴)
6657, 53ltnegd 11824 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → (-(2 · π) < 𝐴 ↔ -𝐴 < --(2 · π)))
6765, 66mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 < --(2 · π))
6816recnd 11274 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (2 · π) ∈ ℂ)
6968negnegd 11594 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → --(2 · π) = (2 · π))
7069adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → --(2 · π) = (2 · π))
7167, 70breqtrd 5175 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 < (2 · π))
7248, 49, 51, 55, 71eliood 45021 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)))
73 sinaover2ne0 45394 . . . . . . . 8 (-𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → (sin‘(-𝐴 / 2)) ≠ 0)
7472, 73syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → (sin‘(-𝐴 / 2)) ≠ 0)
7547, 74eqnetrd 2997 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -(sin‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)
7675neneqd 2934 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → ¬ -(sin‘(𝐴 / 2)) = 0)
7738sincld 16110 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
7877adantr 479 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
7978negeq0d 11595 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → ((sin‘(𝐴 / 2)) = 0 ↔ -(sin‘(𝐴 / 2)) = 0))
8076, 79mtbird 324 . . . 4 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → ¬ (sin‘(𝐴 / 2)) = 0)
8180neqned 2936 . . 3 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → (sin‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)
8231, 36, 81syl2anc 582 . 2 (((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → (sin‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)
8330, 82pm2.61dan 811 1 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (sin‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929   class class class wbr 5149  cfv 6549  (class class class)co 7419  cc 11138  cr 11139  0cc0 11140   · cmul 11145  *cxr 11279   < clt 11280  cle 11281  -cneg 11477   / cdiv 11903  2c2 12300  +crp 13009  (,)cioo 13359  [,]cicc 13362  sincsin 16043  πcpi 16046
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218  ax-addf 11219
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-fi 9436  df-sup 9467  df-inf 9468  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-q 12966  df-rp 13010  df-xneg 13127  df-xadd 13128  df-xmul 13129  df-ioo 13363  df-ioc 13364  df-ico 13365  df-icc 13366  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-fl 13793  df-mod 13871  df-seq 14003  df-exp 14063  df-fac 14269  df-bc 14298  df-hash 14326  df-shft 15050  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-limsup 15451  df-clim 15468  df-rlim 15469  df-sum 15669  df-ef 16047  df-sin 16049  df-cos 16050  df-pi 16052  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-starv 17251  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ip 17254  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-unif 17259  df-hom 17260  df-cco 17261  df-rest 17407  df-topn 17408  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-topgen 17428  df-pt 17429  df-prds 17432  df-xrs 17487  df-qtop 17492  df-imas 17493  df-xps 17495  df-mre 17569  df-mrc 17570  df-acs 17572  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18744  df-mulg 19032  df-cntz 19280  df-cmn 19749  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-fbas 21293  df-fg 21294  df-cnfld 21297  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22893  df-cld 22967  df-ntr 22968  df-cls 22969  df-nei 23046  df-lp 23084  df-perf 23085  df-cn 23175  df-cnp 23176  df-haus 23263  df-tx 23510  df-hmeo 23703  df-fil 23794  df-fm 23886  df-flim 23887  df-flf 23888  df-xms 24270  df-ms 24271  df-tms 24272  df-cncf 24842  df-limc 25839  df-dv 25840
This theorem is referenced by:  fourierdlem56  45688  fourierdlem57  45689  fourierdlem58  45690  fourierdlem62  45694  fourierdlem66  45698  fourierdlem68  45700  fourierdlem72  45704  fourierdlem76  45708  fourierdlem78  45710  fourierdlem80  45712  fourierdlem103  45735  fourierdlem104  45736
  Copyright terms: Public domain W3C validator