Theorem fourierdlem44 47269

Description: A condition for having (sin‘(𝐴 / 2)) nonzero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem44	⊢ ((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (sin‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)

Proof of Theorem fourierdlem44

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11363	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ*)
3		2re 12424	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
4		pire 26792	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
5	3, 4	remulcli 11332	. . . . . . 7 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
6	5	rexri 11374	. . . . . 6 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ*
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 0 < 𝐴) → (2 · π) ∈ ℝ*)
8	4	renegcli 11626	. . . . . . . 8 ⊢ -π ∈ ℝ
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ( -π[,]π) → -π ∈ ℝ)
10	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ( -π[,]π) → π ∈ ℝ)
11		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ( -π[,]π) → 𝐴 ∈ ( -π[,]π))
12		eliccre 46625	. . . . . . 7 ⊢ (( -π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ( -π[,]π)) → 𝐴 ∈ ℝ)
13	9, 10, 11, 12	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ( -π[,]π) → 𝐴 ∈ ℝ)
14	13	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
15		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
16	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ( -π[,]π) → (2 · π) ∈ ℝ)
17	9	rexrd 11366	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ( -π[,]π) → -π ∈ ℝ*)
18	10	rexrd 11366	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ( -π[,]π) → π ∈ ℝ*)
19		iccleub 13539	. . . . . . . 8 ⊢ (( -π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ( -π[,]π)) → 𝐴 ≤ π)
20	17, 18, 11, 19	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ( -π[,]π) → 𝐴 ≤ π)
21		pirp 26799	. . . . . . . . 9 ⊢ π ∈ ℝ+
22		2timesgt 46412	. . . . . . . . 9 ⊢ (π ∈ ℝ+ → π < (2 · π))
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ π < (2 · π)
24	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ( -π[,]π) → π < (2 · π))
25	13, 10, 16, 20, 24	lelttrd 11475	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ( -π[,]π) → 𝐴 < (2 · π))
26	25	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 < (2 · π))
27	2, 7, 14, 15, 26	eliood 46618	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)))
28	27	adantlr 728	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)))
29		sinaover2ne0 46986	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → (sin‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)
30	28, 29	syl 18	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 0 < 𝐴) → (sin‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)
31		simpll 779	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ( -π[,]π))
32	31, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
33		0red 11318	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
34		simplr 781	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
35		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → ¬ 0 < 𝐴)
36	32, 33, 34, 35	lttri5d 46423	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 < 0)
37	13	recnd 11344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ( -π[,]π) → 𝐴 ∈ ℂ)
38	37	halfcld 12598	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ( -π[,]π) → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
39		sinneg 16323	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (sin‘ -(𝐴 / 2)) = -(sin‘(𝐴 / 2)))
40	38, 39	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ( -π[,]π) → (sin‘ -(𝐴 / 2)) = -(sin‘(𝐴 / 2)))
41		2cnd 12428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ( -π[,]π) → 2 ∈ ℂ)
42		2ne0 12456	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ 0
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ( -π[,]π) → 2 ≠ 0)
44	37, 41, 43	divnegd 12113	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ( -π[,]π) → -(𝐴 / 2) = ( -𝐴 / 2))
45	44	fveq2d 6894	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ( -π[,]π) → (sin‘ -(𝐴 / 2)) = (sin‘( -𝐴 / 2)))
46	40, 45	eqtr3d 2797	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ( -π[,]π) → -(sin‘(𝐴 / 2)) = (sin‘( -𝐴 / 2)))
47	46	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -(sin‘(𝐴 / 2)) = (sin‘( -𝐴 / 2)))
48	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → 0 ∈ ℝ*)
49	6	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → (2 · π) ∈ ℝ*)
50	13	renegcld 11750	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ( -π[,]π) → -𝐴 ∈ ℝ)
51	50	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
52		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 < 0)
53	13	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
54	53	lt0neg1d 11892	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
55	52, 54	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → 0 < -𝐴)
56	5	renegcli 11626	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -(2 · π) ∈ ℝ
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -(2 · π) ∈ ℝ)
58	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -π ∈ ℝ)
59	4, 5	ltnegi 11867	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (π < (2 · π) ↔ -(2 · π) < -π)
60	23, 59	mpbi 233	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -(2 · π) < -π
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -(2 · π) < -π)
62		iccgelb 13540	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (( -π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ( -π[,]π)) → -π ≤ 𝐴)
63	17, 18, 11, 62	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ( -π[,]π) → -π ≤ 𝐴)
64	63	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -π ≤ 𝐴)
65	57, 58, 53, 61, 64	ltletrd 11477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -(2 · π) < 𝐴)
66	57, 53	ltnegd 11901	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → ( -(2 · π) < 𝐴 ↔ -𝐴 < - -(2 · π)))
67	65, 66	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 < - -(2 · π))
68	16	recnd 11344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ( -π[,]π) → (2 · π) ∈ ℂ)
69	68	negnegd 11667	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ( -π[,]π) → - -(2 · π) = (2 · π))
70	69	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → - -(2 · π) = (2 · π))
71	67, 70	breqtrd 5130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 < (2 · π))
72	48, 49, 51, 55, 71	eliood 46618	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)))
73		sinaover2ne0 46986	. . . . . . . 8 ⊢ ( -𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → (sin‘( -𝐴 / 2)) ≠ 0)
74	72, 73	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → (sin‘( -𝐴 / 2)) ≠ 0)
75	47, 74	eqnetrd 3022	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -(sin‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)
76	75	neneqd 2960	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → ¬ -(sin‘(𝐴 / 2)) = 0)
77	38	sincld 16307	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ( -π[,]π) → (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
78	77	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
79	78	negeq0d 11668	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → ((sin‘(𝐴 / 2)) = 0 ↔ -(sin‘(𝐴 / 2)) = 0))
80	76, 79	mtbird 328	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → ¬ (sin‘(𝐴 / 2)) = 0)
81	80	neqned 2962	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → (sin‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)
82	31, 36, 81	syl2anc 596	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → (sin‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)
83	30, 82	pm2.61dan 825	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (sin‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  ℂcc 11205  ℝcr 11206  0cc0 11207   · cmul 11212  ℝ^*cxr 11349   < clt 11350   ≤ cle 11351   -cneg 11549   / cdiv 11980  2c2 12404  ℝ⁺crp 13127  (,)cioo 13483  [,]cicc 13486  sincsin 16238  πcpi 16241

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-inf2 9649  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285  ax-addf 11286

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7697  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8184  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8724  df-map 8856  df-pm 8857  df-ixp 8933  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-fsupp 9361  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9511  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-q 13083  df-rp 13128  df-xneg 13248  df-xadd 13249  df-xmul 13250  df-ioo 13487  df-ioc 13488  df-ico 13489  df-icc 13490  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-fl 13939  df-mod 14017  df-seq 14152  df-exp 14212  df-fac 14425  df-bc 14454  df-hash 14482  df-shft 15229  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-limsup 15647  df-clim 15664  df-rlim 15665  df-sum 15863  df-ef 16242  df-sin 16244  df-cos 16245  df-pi 16247  df-struct 17334  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-starv 17452  df-sca 17453  df-vsca 17454  df-ip 17455  df-tset 17456  df-ple 17457  df-ds 17459  df-unif 17460  df-hom 17461  df-cco 17462  df-rest 17602  df-topn 17603  df-0g 17621  df-gsum 17622  df-topgen 17623  df-pt 17624  df-prds 17627  df-xrs 17683  df-qtop 17688  df-imas 17689  df-xps 17691  df-mre 17765  df-mrc 17766  df-acs 17768  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-submnd 18988  df-mulg 19287  df-cntz 19540  df-cmn 20005  df-psmet 21679  df-xmet 21680  df-met 21681  df-bl 21682  df-mopn 21683  df-fbas 21684  df-fg 21685  df-cnfld 21688  df-top 23221  df-topon 23238  df-topsp 23260  df-bases 23273  df-cld 23346  df-ntr 23347  df-cls 23348  df-nei 23425  df-lp 23463  df-perf 23464  df-cn 23554  df-cnp 23555  df-haus 23642  df-tx 23890  df-hmeo 24083  df-fil 24174  df-fm 24266  df-flim 24267  df-flf 24268  df-xms 24648  df-ms 24649  df-tms 24650  df-cncf 25208  df-limc 26195  df-dv 26196

This theorem is used by:  fourierdlem56  47280  fourierdlem57  47281  fourierdlem58  47282  fourierdlem62  47286  fourierdlem66  47290  fourierdlem68  47292  fourierdlem72  47296  fourierdlem76  47300  fourierdlem78  47302  fourierdlem80  47304  fourierdlem103  47327  fourierdlem104  47328