Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem44 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem44 42584
Description: A condition for having (sin‘(𝐴 / 2)) nonzero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem44 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (sin‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)

Proof of Theorem fourierdlem44
StepHypRef Expression
1 0xr 10666 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
21a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ*)
3 2re 11690 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
4 pire 25030 . . . . . . . 8 π ∈ ℝ
53, 4remulcli 10635 . . . . . . 7 (2 · π) ∈ ℝ
65rexri 10677 . . . . . 6 (2 · π) ∈ ℝ*
76a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝐴) → (2 · π) ∈ ℝ*)
84renegcli 10925 . . . . . . . 8 -π ∈ ℝ
98a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → -π ∈ ℝ)
104a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → π ∈ ℝ)
11 id 22 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 𝐴 ∈ (-π[,]π))
12 eliccre 41933 . . . . . . 7 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ (-π[,]π)) → 𝐴 ∈ ℝ)
139, 10, 11, 12syl3anc 1367 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 𝐴 ∈ ℝ)
1413adantr 483 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
15 simpr 487 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
165a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (2 · π) ∈ ℝ)
179rexrd 10669 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → -π ∈ ℝ*)
1810rexrd 10669 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → π ∈ ℝ*)
19 iccleub 12771 . . . . . . . 8 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝐴 ∈ (-π[,]π)) → 𝐴 ≤ π)
2017, 18, 11, 19syl3anc 1367 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 𝐴 ≤ π)
21 pirp 25033 . . . . . . . . 9 π ∈ ℝ+
22 2timesgt 41708 . . . . . . . . 9 (π ∈ ℝ+ → π < (2 · π))
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . 8 π < (2 · π)
2423a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → π < (2 · π))
2513, 10, 16, 20, 24lelttrd 10776 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 𝐴 < (2 · π))
2625adantr 483 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 < (2 · π))
272, 7, 14, 15, 26eliood 41926 . . . 4 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)))
2827adantlr 713 . . 3 (((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)))
29 sinaover2ne0 42301 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → (sin‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)
3028, 29syl 17 . 2 (((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 0 < 𝐴) → (sin‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)
31 simpll 765 . . 3 (((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ (-π[,]π))
3231, 13syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
33 0red 10622 . . . 4 (((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
34 simplr 767 . . . 4 (((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
35 simpr 487 . . . 4 (((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → ¬ 0 < 𝐴)
3632, 33, 34, 35lttri5d 41720 . . 3 (((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 < 0)
3713recnd 10647 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 𝐴 ∈ ℂ)
3837halfcld 11861 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
39 sinneg 15479 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (sin‘-(𝐴 / 2)) = -(sin‘(𝐴 / 2)))
4038, 39syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (sin‘-(𝐴 / 2)) = -(sin‘(𝐴 / 2)))
41 2cnd 11694 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 2 ∈ ℂ)
42 2ne0 11720 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ 0
4342a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 2 ≠ 0)
4437, 41, 43divnegd 11407 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → -(𝐴 / 2) = (-𝐴 / 2))
4544fveq2d 6650 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (sin‘-(𝐴 / 2)) = (sin‘(-𝐴 / 2)))
4640, 45eqtr3d 2857 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → -(sin‘(𝐴 / 2)) = (sin‘(-𝐴 / 2)))
4746adantr 483 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -(sin‘(𝐴 / 2)) = (sin‘(-𝐴 / 2)))
481a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → 0 ∈ ℝ*)
496a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → (2 · π) ∈ ℝ*)
5013renegcld 11045 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → -𝐴 ∈ ℝ)
5150adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
52 simpr 487 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 < 0)
5313adantr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
5453lt0neg1d 11187 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
5552, 54mpbid 234 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → 0 < -𝐴)
565renegcli 10925 . . . . . . . . . . . . 13 -(2 · π) ∈ ℝ
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -(2 · π) ∈ ℝ)
588a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -π ∈ ℝ)
594, 5ltnegi 11162 . . . . . . . . . . . . . 14 (π < (2 · π) ↔ -(2 · π) < -π)
6023, 59mpbi 232 . . . . . . . . . . . . 13 -(2 · π) < -π
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -(2 · π) < -π)
62 iccgelb 12772 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝐴 ∈ (-π[,]π)) → -π ≤ 𝐴)
6317, 18, 11, 62syl3anc 1367 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → -π ≤ 𝐴)
6463adantr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -π ≤ 𝐴)
6557, 58, 53, 61, 64ltletrd 10778 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -(2 · π) < 𝐴)
6657, 53ltnegd 11196 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → (-(2 · π) < 𝐴 ↔ -𝐴 < --(2 · π)))
6765, 66mpbid 234 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 < --(2 · π))
6816recnd 10647 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (2 · π) ∈ ℂ)
6968negnegd 10966 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → --(2 · π) = (2 · π))
7069adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → --(2 · π) = (2 · π))
7167, 70breqtrd 5068 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 < (2 · π))
7248, 49, 51, 55, 71eliood 41926 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)))
73 sinaover2ne0 42301 . . . . . . . 8 (-𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → (sin‘(-𝐴 / 2)) ≠ 0)
7472, 73syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → (sin‘(-𝐴 / 2)) ≠ 0)
7547, 74eqnetrd 3073 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -(sin‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)
7675neneqd 3011 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → ¬ -(sin‘(𝐴 / 2)) = 0)
7738sincld 15463 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
7877adantr 483 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
7978negeq0d 10967 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → ((sin‘(𝐴 / 2)) = 0 ↔ -(sin‘(𝐴 / 2)) = 0))
8076, 79mtbird 327 . . . 4 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → ¬ (sin‘(𝐴 / 2)) = 0)
8180neqned 3013 . . 3 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → (sin‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)
8231, 36, 81syl2anc 586 . 2 (((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → (sin‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)
8330, 82pm2.61dan 811 1 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (sin‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  wne 3006   class class class wbr 5042  cfv 6331  (class class class)co 7133  cc 10513  cr 10514  0cc0 10515   · cmul 10520  *cxr 10652   < clt 10653  cle 10654  -cneg 10849   / cdiv 11275  2c2 11671  +crp 12368  (,)cioo 12717  [,]cicc 12720  sincsin 15397  πcpi 15400
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-inf2 9082  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592  ax-pre-sup 10593  ax-addf 10594  ax-mulf 10595
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-iin 4898  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-se 5491  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-isom 6340  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-of 7387  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-supp 7809  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-2o 8081  df-oadd 8084  df-er 8267  df-map 8386  df-pm 8387  df-ixp 8440  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-fsupp 8812  df-fi 8853  df-sup 8884  df-inf 8885  df-oi 8952  df-card 9346  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-div 11276  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-4 11681  df-5 11682  df-6 11683  df-7 11684  df-8 11685  df-9 11686  df-n0 11877  df-z 11961  df-dec 12078  df-uz 12223  df-q 12328  df-rp 12369  df-xneg 12486  df-xadd 12487  df-xmul 12488  df-ioo 12721  df-ioc 12722  df-ico 12723  df-icc 12724  df-fz 12877  df-fzo 13018  df-fl 13146  df-mod 13222  df-seq 13354  df-exp 13415  df-fac 13619  df-bc 13648  df-hash 13676  df-shft 14406  df-cj 14438  df-re 14439  df-im 14440  df-sqrt 14574  df-abs 14575  df-limsup 14808  df-clim 14825  df-rlim 14826  df-sum 15023  df-ef 15401  df-sin 15403  df-cos 15404  df-pi 15406  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-starv 16559  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-ip 16562  df-tset 16563  df-ple 16564  df-ds 16566  df-unif 16567  df-hom 16568  df-cco 16569  df-rest 16675  df-topn 16676  df-0g 16694  df-gsum 16695  df-topgen 16696  df-pt 16697  df-prds 16700  df-xrs 16754  df-qtop 16759  df-imas 16760  df-xps 16762  df-mre 16836  df-mrc 16837  df-acs 16839  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-submnd 17936  df-mulg 18204  df-cntz 18426  df-cmn 18887  df-psmet 20513  df-xmet 20514  df-met 20515  df-bl 20516  df-mopn 20517  df-fbas 20518  df-fg 20519  df-cnfld 20522  df-top 21478  df-topon 21495  df-topsp 21517  df-bases 21530  df-cld 21603  df-ntr 21604  df-cls 21605  df-nei 21682  df-lp 21720  df-perf 21721  df-cn 21811  df-cnp 21812  df-haus 21899  df-tx 22146  df-hmeo 22339  df-fil 22430  df-fm 22522  df-flim 22523  df-flf 22524  df-xms 22906  df-ms 22907  df-tms 22908  df-cncf 23462  df-limc 24448  df-dv 24449
This theorem is referenced by:  fourierdlem56  42595  fourierdlem57  42596  fourierdlem58  42597  fourierdlem62  42601  fourierdlem66  42605  fourierdlem68  42607  fourierdlem72  42611  fourierdlem76  42615  fourierdlem78  42617  fourierdlem80  42619  fourierdlem103  42642  fourierdlem104  42643
  Copyright terms: Public domain W3C validator