Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fzisoeu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzisoeu 43524
Description: A finite ordered set has a unique order isomorphism to a generic finite sequence of integers. This theorem generalizes fz1iso 14361 for the base index and also states the uniqueness condition. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fzisoeu.h (𝜑𝐻 ∈ Fin)
fzisoeu.or (𝜑 → < Or 𝐻)
fzisoeu.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
fzisoeu.4 𝑁 = ((♯‘𝐻) + (𝑀 − 1))
Assertion
Ref Expression
fzisoeu (𝜑 → ∃!𝑓 𝑓 Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐻   𝑓,𝑀   𝑓,𝑁
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑓)

Proof of Theorem fzisoeu
Dummy variables 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzssz 13443 . . . . . . . . 9 (𝑀...𝑁) ⊆ ℤ
2 zssre 12506 . . . . . . . . 9 ℤ ⊆ ℝ
31, 2sstri 3953 . . . . . . . 8 (𝑀...𝑁) ⊆ ℝ
4 ltso 11235 . . . . . . . 8 < Or ℝ
5 soss 5565 . . . . . . . 8 ((𝑀...𝑁) ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or (𝑀...𝑁)))
63, 4, 5mp2 9 . . . . . . 7 < Or (𝑀...𝑁)
7 fzfi 13877 . . . . . . 7 (𝑀...𝑁) ∈ Fin
8 fz1iso 14361 . . . . . . 7 (( < Or (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀...𝑁) ∈ Fin) → ∃ Isom < , < ((1...(♯‘(𝑀...𝑁))), (𝑀...𝑁)))
96, 7, 8mp2an 690 . . . . . 6 Isom < , < ((1...(♯‘(𝑀...𝑁))), (𝑀...𝑁))
10 fzisoeu.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑁 = ((♯‘𝐻) + (𝑀 − 1))
11 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐻 = ∅ → (♯‘𝐻) = (♯‘∅))
12 hash0 14267 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (♯‘∅) = 0
1311, 12eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐻 = ∅ → (♯‘𝐻) = 0)
1413oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐻 = ∅ → ((♯‘𝐻) + (𝑀 − 1)) = (0 + (𝑀 − 1)))
1510, 14eqtrid 2788 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐻 = ∅ → 𝑁 = (0 + (𝑀 − 1)))
1615oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐻 = ∅ → (𝑀...𝑁) = (𝑀...(0 + (𝑀 − 1))))
1716adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐻 = ∅) → (𝑀...𝑁) = (𝑀...(0 + (𝑀 − 1))))
18 fzisoeu.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
1918zcnd 12608 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
20 1cnd 11150 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
2119, 20subcld 11512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℂ)
2221addid2d 11356 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (0 + (𝑀 − 1)) = (𝑀 − 1))
2322oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀...(0 + (𝑀 − 1))) = (𝑀...(𝑀 − 1)))
2418zred 12607 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
2524ltm1d 12087 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑀 − 1) < 𝑀)
26 peano2zm 12546 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
2718, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
28 fzn 13457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑀 − 1) < 𝑀 ↔ (𝑀...(𝑀 − 1)) = ∅))
2918, 27, 28syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑀 − 1) < 𝑀 ↔ (𝑀...(𝑀 − 1)) = ∅))
3025, 29mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀...(𝑀 − 1)) = ∅)
3123, 30eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀...(0 + (𝑀 − 1))) = ∅)
3231adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐻 = ∅) → (𝑀...(0 + (𝑀 − 1))) = ∅)
33 eqcom 2743 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐻 = ∅ ↔ ∅ = 𝐻)
3433biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐻 = ∅ → ∅ = 𝐻)
3534adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐻 = ∅) → ∅ = 𝐻)
3617, 32, 353eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐻 = ∅) → (𝑀...𝑁) = 𝐻)
3736fveq2d 6846 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐻 = ∅) → (♯‘(𝑀...𝑁)) = (♯‘𝐻))
3820, 19pncan3d 11515 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (1 + (𝑀 − 1)) = 𝑀)
3938eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑀 = (1 + (𝑀 − 1)))
4039adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → 𝑀 = (1 + (𝑀 − 1)))
41 1red 11156 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → 1 ∈ ℝ)
42 neqne 2951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐻 = ∅ → 𝐻 ≠ ∅)
4342adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → 𝐻 ≠ ∅)
44 fzisoeu.h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐻 ∈ Fin)
4544adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → 𝐻 ∈ Fin)
46 hashnncl 14266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐻 ∈ Fin → ((♯‘𝐻) ∈ ℕ ↔ 𝐻 ≠ ∅))
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → ((♯‘𝐻) ∈ ℕ ↔ 𝐻 ≠ ∅))
4843, 47mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → (♯‘𝐻) ∈ ℕ)
4948nnred 12168 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → (♯‘𝐻) ∈ ℝ)
5027zred 12607 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
5150adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
5248nnge1d 12201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → 1 ≤ (♯‘𝐻))
5341, 49, 51, 52leadd1dd 11769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → (1 + (𝑀 − 1)) ≤ ((♯‘𝐻) + (𝑀 − 1)))
5453, 10breqtrrdi 5147 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → (1 + (𝑀 − 1)) ≤ 𝑁)
5540, 54eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → 𝑀𝑁)
5618adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → 𝑀 ∈ ℤ)
57 hashcl 14256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐻 ∈ Fin → (♯‘𝐻) ∈ ℕ0)
58 nn0z 12524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((♯‘𝐻) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐻) ∈ ℤ)
5944, 57, 583syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℤ)
6059, 27zaddcld 12611 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((♯‘𝐻) + (𝑀 − 1)) ∈ ℤ)
6110, 60eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
6261adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → 𝑁 ∈ ℤ)
63 eluz 12777 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑀𝑁))
6456, 62, 63syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑀𝑁))
6555, 64mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
66 hashfz 14327 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (♯‘(𝑀...𝑁)) = ((𝑁𝑀) + 1))
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → (♯‘(𝑀...𝑁)) = ((𝑁𝑀) + 1))
6810oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁𝑀) = (((♯‘𝐻) + (𝑀 − 1)) − 𝑀)
6944, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℕ0)
7069nn0cnd 12475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℂ)
7170, 21, 19addsubassd 11532 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((♯‘𝐻) + (𝑀 − 1)) − 𝑀) = ((♯‘𝐻) + ((𝑀 − 1) − 𝑀)))
7268, 71eqtrid 2788 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁𝑀) = ((♯‘𝐻) + ((𝑀 − 1) − 𝑀)))
7320negcld 11499 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
7419, 20negsubd 11518 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑀 + -1) = (𝑀 − 1))
7574eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑀 − 1) = (𝑀 + -1))
7619, 73, 75mvrladdd 11568 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑀 − 1) − 𝑀) = -1)
7776oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((♯‘𝐻) + ((𝑀 − 1) − 𝑀)) = ((♯‘𝐻) + -1))
7872, 77eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑁𝑀) = ((♯‘𝐻) + -1))
7978oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑁𝑀) + 1) = (((♯‘𝐻) + -1) + 1))
8079adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → ((𝑁𝑀) + 1) = (((♯‘𝐻) + -1) + 1))
8170, 20negsubd 11518 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((♯‘𝐻) + -1) = ((♯‘𝐻) − 1))
8281oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((♯‘𝐻) + -1) + 1) = (((♯‘𝐻) − 1) + 1))
8370, 20npcand 11516 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((♯‘𝐻) − 1) + 1) = (♯‘𝐻))
8482, 83eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((♯‘𝐻) + -1) + 1) = (♯‘𝐻))
8584adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → (((♯‘𝐻) + -1) + 1) = (♯‘𝐻))
8667, 80, 853eqtrd 2780 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → (♯‘(𝑀...𝑁)) = (♯‘𝐻))
8737, 86pm2.61dan 811 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘(𝑀...𝑁)) = (♯‘𝐻))
8887oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1...(♯‘(𝑀...𝑁))) = (1...(♯‘𝐻)))
89 isoeq4 7265 . . . . . . . . 9 ((1...(♯‘(𝑀...𝑁))) = (1...(♯‘𝐻)) → ( Isom < , < ((1...(♯‘(𝑀...𝑁))), (𝑀...𝑁)) ↔ Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), (𝑀...𝑁))))
9088, 89syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ( Isom < , < ((1...(♯‘(𝑀...𝑁))), (𝑀...𝑁)) ↔ Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), (𝑀...𝑁))))
9190biimpd 228 . . . . . . 7 (𝜑 → ( Isom < , < ((1...(♯‘(𝑀...𝑁))), (𝑀...𝑁)) → Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), (𝑀...𝑁))))
9291eximdv 1920 . . . . . 6 (𝜑 → (∃ Isom < , < ((1...(♯‘(𝑀...𝑁))), (𝑀...𝑁)) → ∃ Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), (𝑀...𝑁))))
939, 92mpi 20 . . . . 5 (𝜑 → ∃ Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), (𝑀...𝑁)))
94 fzisoeu.or . . . . . 6 (𝜑 → < Or 𝐻)
95 fz1iso 14361 . . . . . 6 (( < Or 𝐻𝐻 ∈ Fin) → ∃𝑔 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), 𝐻))
9694, 44, 95syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑔 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), 𝐻))
97 exdistrv 1959 . . . . 5 (∃𝑔( Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), 𝐻)) ↔ (∃ Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), (𝑀...𝑁)) ∧ ∃𝑔 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), 𝐻)))
9893, 96, 97sylanbrc 583 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑔( Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), 𝐻)))
99 isocnv 7275 . . . . . . . 8 ( Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), (𝑀...𝑁)) → Isom < , < ((𝑀...𝑁), (1...(♯‘𝐻))))
10099ad2antrl 726 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ( Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), 𝐻))) → Isom < , < ((𝑀...𝑁), (1...(♯‘𝐻))))
101 simprr 771 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ( Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), 𝐻))) → 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), 𝐻))
102 isotr 7281 . . . . . . 7 (( Isom < , < ((𝑀...𝑁), (1...(♯‘𝐻))) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), 𝐻)) → (𝑔) Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻))
103100, 101, 102syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ( Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), 𝐻))) → (𝑔) Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻))
104103ex 413 . . . . 5 (𝜑 → (( Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), 𝐻)) → (𝑔) Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻)))
1051042eximdv 1922 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑔( Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), 𝐻)) → ∃𝑔(𝑔) Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻)))
10698, 105mpd 15 . . 3 (𝜑 → ∃𝑔(𝑔) Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻))
107 vex 3449 . . . . . . 7 𝑔 ∈ V
108 vex 3449 . . . . . . . 8 ∈ V
109108cnvex 7862 . . . . . . 7 ∈ V
110107, 109coex 7867 . . . . . 6 (𝑔) ∈ V
111 isoeq1 7262 . . . . . 6 (𝑓 = (𝑔) → (𝑓 Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻) ↔ (𝑔) Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻)))
112110, 111spcev 3565 . . . . 5 ((𝑔) Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻) → ∃𝑓 𝑓 Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻))
113112a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((𝑔) Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻) → ∃𝑓 𝑓 Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻)))
114113exlimdvv 1937 . . 3 (𝜑 → (∃𝑔(𝑔) Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻) → ∃𝑓 𝑓 Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻)))
115106, 114mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑓 𝑓 Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻))
116 ltwefz 13868 . . 3 < We (𝑀...𝑁)
117 wemoiso 7906 . . 3 ( < We (𝑀...𝑁) → ∃*𝑓 𝑓 Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻))
118116, 117mp1i 13 . 2 (𝜑 → ∃*𝑓 𝑓 Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻))
119 df-eu 2567 . 2 (∃!𝑓 𝑓 Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻) ↔ (∃𝑓 𝑓 Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻) ∧ ∃*𝑓 𝑓 Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻)))
120115, 118, 119sylanbrc 583 1 (𝜑 → ∃!𝑓 𝑓 Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  ∃*wmo 2536  ∃!weu 2566  wne 2943  wss 3910  c0 4282   class class class wbr 5105   Or wor 5544   We wwe 5587  ccnv 5632  ccom 5637  cfv 6496   Isom wiso 6497  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  -cneg 11386  cn 12153  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  ...cfz 13424  chash 14230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-hash 14231
This theorem is referenced by:  fourierdlem36  44374
  Copyright terms: Public domain W3C validator