Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fzisoeu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzisoeu 43945
Description: A finite ordered set has a unique order isomorphism to a generic finite sequence of integers. This theorem generalizes fz1iso 14419 for the base index and also states the uniqueness condition. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fzisoeu.h (𝜑𝐻 ∈ Fin)
fzisoeu.or (𝜑 → < Or 𝐻)
fzisoeu.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
fzisoeu.4 𝑁 = ((♯‘𝐻) + (𝑀 − 1))
Assertion
Ref Expression
fzisoeu (𝜑 → ∃!𝑓 𝑓 Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐻   𝑓,𝑀   𝑓,𝑁
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑓)

Proof of Theorem fzisoeu
Dummy variables 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzssz 13499 . . . . . . . . 9 (𝑀...𝑁) ⊆ ℤ
2 zssre 12561 . . . . . . . . 9 ℤ ⊆ ℝ
31, 2sstri 3990 . . . . . . . 8 (𝑀...𝑁) ⊆ ℝ
4 ltso 11290 . . . . . . . 8 < Or ℝ
5 soss 5607 . . . . . . . 8 ((𝑀...𝑁) ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or (𝑀...𝑁)))
63, 4, 5mp2 9 . . . . . . 7 < Or (𝑀...𝑁)
7 fzfi 13933 . . . . . . 7 (𝑀...𝑁) ∈ Fin
8 fz1iso 14419 . . . . . . 7 (( < Or (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀...𝑁) ∈ Fin) → ∃ Isom < , < ((1...(♯‘(𝑀...𝑁))), (𝑀...𝑁)))
96, 7, 8mp2an 691 . . . . . 6 Isom < , < ((1...(♯‘(𝑀...𝑁))), (𝑀...𝑁))
10 fzisoeu.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑁 = ((♯‘𝐻) + (𝑀 − 1))
11 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐻 = ∅ → (♯‘𝐻) = (♯‘∅))
12 hash0 14323 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (♯‘∅) = 0
1311, 12eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐻 = ∅ → (♯‘𝐻) = 0)
1413oveq1d 7419 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐻 = ∅ → ((♯‘𝐻) + (𝑀 − 1)) = (0 + (𝑀 − 1)))
1510, 14eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐻 = ∅ → 𝑁 = (0 + (𝑀 − 1)))
1615oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐻 = ∅ → (𝑀...𝑁) = (𝑀...(0 + (𝑀 − 1))))
1716adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐻 = ∅) → (𝑀...𝑁) = (𝑀...(0 + (𝑀 − 1))))
18 fzisoeu.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
1918zcnd 12663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
20 1cnd 11205 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
2119, 20subcld 11567 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℂ)
2221addlidd 11411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (0 + (𝑀 − 1)) = (𝑀 − 1))
2322oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀...(0 + (𝑀 − 1))) = (𝑀...(𝑀 − 1)))
2418zred 12662 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
2524ltm1d 12142 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑀 − 1) < 𝑀)
26 peano2zm 12601 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
2718, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
28 fzn 13513 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑀 − 1) < 𝑀 ↔ (𝑀...(𝑀 − 1)) = ∅))
2918, 27, 28syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑀 − 1) < 𝑀 ↔ (𝑀...(𝑀 − 1)) = ∅))
3025, 29mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀...(𝑀 − 1)) = ∅)
3123, 30eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀...(0 + (𝑀 − 1))) = ∅)
3231adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐻 = ∅) → (𝑀...(0 + (𝑀 − 1))) = ∅)
33 eqcom 2740 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐻 = ∅ ↔ ∅ = 𝐻)
3433biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐻 = ∅ → ∅ = 𝐻)
3534adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐻 = ∅) → ∅ = 𝐻)
3617, 32, 353eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐻 = ∅) → (𝑀...𝑁) = 𝐻)
3736fveq2d 6892 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐻 = ∅) → (♯‘(𝑀...𝑁)) = (♯‘𝐻))
3820, 19pncan3d 11570 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (1 + (𝑀 − 1)) = 𝑀)
3938eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑀 = (1 + (𝑀 − 1)))
4039adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → 𝑀 = (1 + (𝑀 − 1)))
41 1red 11211 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → 1 ∈ ℝ)
42 neqne 2949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐻 = ∅ → 𝐻 ≠ ∅)
4342adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → 𝐻 ≠ ∅)
44 fzisoeu.h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐻 ∈ Fin)
4544adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → 𝐻 ∈ Fin)
46 hashnncl 14322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐻 ∈ Fin → ((♯‘𝐻) ∈ ℕ ↔ 𝐻 ≠ ∅))
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → ((♯‘𝐻) ∈ ℕ ↔ 𝐻 ≠ ∅))
4843, 47mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → (♯‘𝐻) ∈ ℕ)
4948nnred 12223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → (♯‘𝐻) ∈ ℝ)
5027zred 12662 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
5150adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
5248nnge1d 12256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → 1 ≤ (♯‘𝐻))
5341, 49, 51, 52leadd1dd 11824 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → (1 + (𝑀 − 1)) ≤ ((♯‘𝐻) + (𝑀 − 1)))
5453, 10breqtrrdi 5189 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → (1 + (𝑀 − 1)) ≤ 𝑁)
5540, 54eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → 𝑀𝑁)
5618adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → 𝑀 ∈ ℤ)
57 hashcl 14312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐻 ∈ Fin → (♯‘𝐻) ∈ ℕ0)
58 nn0z 12579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((♯‘𝐻) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐻) ∈ ℤ)
5944, 57, 583syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℤ)
6059, 27zaddcld 12666 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((♯‘𝐻) + (𝑀 − 1)) ∈ ℤ)
6110, 60eqeltrid 2838 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
6261adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → 𝑁 ∈ ℤ)
63 eluz 12832 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑀𝑁))
6456, 62, 63syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑀𝑁))
6555, 64mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
66 hashfz 14383 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (♯‘(𝑀...𝑁)) = ((𝑁𝑀) + 1))
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → (♯‘(𝑀...𝑁)) = ((𝑁𝑀) + 1))
6810oveq1i 7414 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁𝑀) = (((♯‘𝐻) + (𝑀 − 1)) − 𝑀)
6944, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℕ0)
7069nn0cnd 12530 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℂ)
7170, 21, 19addsubassd 11587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((♯‘𝐻) + (𝑀 − 1)) − 𝑀) = ((♯‘𝐻) + ((𝑀 − 1) − 𝑀)))
7268, 71eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁𝑀) = ((♯‘𝐻) + ((𝑀 − 1) − 𝑀)))
7320negcld 11554 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
7419, 20negsubd 11573 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑀 + -1) = (𝑀 − 1))
7574eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑀 − 1) = (𝑀 + -1))
7619, 73, 75mvrladdd 11623 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑀 − 1) − 𝑀) = -1)
7776oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((♯‘𝐻) + ((𝑀 − 1) − 𝑀)) = ((♯‘𝐻) + -1))
7872, 77eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑁𝑀) = ((♯‘𝐻) + -1))
7978oveq1d 7419 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑁𝑀) + 1) = (((♯‘𝐻) + -1) + 1))
8079adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → ((𝑁𝑀) + 1) = (((♯‘𝐻) + -1) + 1))
8170, 20negsubd 11573 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((♯‘𝐻) + -1) = ((♯‘𝐻) − 1))
8281oveq1d 7419 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((♯‘𝐻) + -1) + 1) = (((♯‘𝐻) − 1) + 1))
8370, 20npcand 11571 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((♯‘𝐻) − 1) + 1) = (♯‘𝐻))
8482, 83eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((♯‘𝐻) + -1) + 1) = (♯‘𝐻))
8584adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → (((♯‘𝐻) + -1) + 1) = (♯‘𝐻))
8667, 80, 853eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → (♯‘(𝑀...𝑁)) = (♯‘𝐻))
8737, 86pm2.61dan 812 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘(𝑀...𝑁)) = (♯‘𝐻))
8887oveq2d 7420 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1...(♯‘(𝑀...𝑁))) = (1...(♯‘𝐻)))
89 isoeq4 7312 . . . . . . . . 9 ((1...(♯‘(𝑀...𝑁))) = (1...(♯‘𝐻)) → ( Isom < , < ((1...(♯‘(𝑀...𝑁))), (𝑀...𝑁)) ↔ Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), (𝑀...𝑁))))
9088, 89syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ( Isom < , < ((1...(♯‘(𝑀...𝑁))), (𝑀...𝑁)) ↔ Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), (𝑀...𝑁))))
9190biimpd 228 . . . . . . 7 (𝜑 → ( Isom < , < ((1...(♯‘(𝑀...𝑁))), (𝑀...𝑁)) → Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), (𝑀...𝑁))))
9291eximdv 1921 . . . . . 6 (𝜑 → (∃ Isom < , < ((1...(♯‘(𝑀...𝑁))), (𝑀...𝑁)) → ∃ Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), (𝑀...𝑁))))
939, 92mpi 20 . . . . 5 (𝜑 → ∃ Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), (𝑀...𝑁)))
94 fzisoeu.or . . . . . 6 (𝜑 → < Or 𝐻)
95 fz1iso 14419 . . . . . 6 (( < Or 𝐻𝐻 ∈ Fin) → ∃𝑔 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), 𝐻))
9694, 44, 95syl2anc 585 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑔 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), 𝐻))
97 exdistrv 1960 . . . . 5 (∃𝑔( Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), 𝐻)) ↔ (∃ Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), (𝑀...𝑁)) ∧ ∃𝑔 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), 𝐻)))
9893, 96, 97sylanbrc 584 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑔( Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), 𝐻)))
99 isocnv 7322 . . . . . . . 8 ( Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), (𝑀...𝑁)) → Isom < , < ((𝑀...𝑁), (1...(♯‘𝐻))))
10099ad2antrl 727 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ( Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), 𝐻))) → Isom < , < ((𝑀...𝑁), (1...(♯‘𝐻))))
101 simprr 772 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ( Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), 𝐻))) → 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), 𝐻))
102 isotr 7328 . . . . . . 7 (( Isom < , < ((𝑀...𝑁), (1...(♯‘𝐻))) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), 𝐻)) → (𝑔) Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻))
103100, 101, 102syl2anc 585 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ( Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), 𝐻))) → (𝑔) Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻))
104103ex 414 . . . . 5 (𝜑 → (( Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), 𝐻)) → (𝑔) Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻)))
1051042eximdv 1923 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑔( Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), 𝐻)) → ∃𝑔(𝑔) Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻)))
10698, 105mpd 15 . . 3 (𝜑 → ∃𝑔(𝑔) Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻))
107 vex 3479 . . . . . . 7 𝑔 ∈ V
108 vex 3479 . . . . . . . 8 ∈ V
109108cnvex 7911 . . . . . . 7 ∈ V
110107, 109coex 7916 . . . . . 6 (𝑔) ∈ V
111 isoeq1 7309 . . . . . 6 (𝑓 = (𝑔) → (𝑓 Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻) ↔ (𝑔) Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻)))
112110, 111spcev 3596 . . . . 5 ((𝑔) Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻) → ∃𝑓 𝑓 Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻))
113112a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((𝑔) Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻) → ∃𝑓 𝑓 Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻)))
114113exlimdvv 1938 . . 3 (𝜑 → (∃𝑔(𝑔) Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻) → ∃𝑓 𝑓 Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻)))
115106, 114mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑓 𝑓 Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻))
116 ltwefz 13924 . . 3 < We (𝑀...𝑁)
117 wemoiso 7955 . . 3 ( < We (𝑀...𝑁) → ∃*𝑓 𝑓 Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻))
118116, 117mp1i 13 . 2 (𝜑 → ∃*𝑓 𝑓 Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻))
119 df-eu 2564 . 2 (∃!𝑓 𝑓 Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻) ↔ (∃𝑓 𝑓 Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻) ∧ ∃*𝑓 𝑓 Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻)))
120115, 118, 119sylanbrc 584 1 (𝜑 → ∃!𝑓 𝑓 Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  ∃*wmo 2533  ∃!weu 2563  wne 2941  wss 3947  c0 4321   class class class wbr 5147   Or wor 5586   We wwe 5629  ccnv 5674  ccom 5679  cfv 6540   Isom wiso 6541  (class class class)co 7404  Fincfn 8935  cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   < clt 11244  cle 11245  cmin 11440  -cneg 11441  cn 12208  0cn0 12468  cz 12554  cuz 12818  ...cfz 13480  chash 14286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-hash 14287
This theorem is referenced by:  fourierdlem36  44794
  Copyright terms: Public domain W3C validator