Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limcleqr Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem limcleqr 44346
Description: If the left and the right limits are equal, the limit of the function exits and the three limits coincide. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
limcleqr.k 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
limcleqr.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
limcleqr.j 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
limcleqr.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
limcleqr.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
limcleqr.l (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐡))
limcleqr.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞)) limβ„‚ 𝐡))
limcleqr.leqr (πœ‘ β†’ 𝐿 = 𝑅)
Assertion
Ref Expression
limcleqr (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
Proof of Theorem limcleqr
Dummy variables π‘Ž 𝑏 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl 25383 . . 3 ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐡) βŠ† β„‚
2 limcleqr.l . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐡))
31, 2sselid 3979 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ β„‚)
4 simp-4r 782 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) β†’ π‘Ž ∈ ℝ+)
5 simplr 767 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) β†’ 𝑏 ∈ ℝ+)
64, 5ifcld 4573 . . . . . 6 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏) ∈ ℝ+)
7 nfv 1917 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑧(πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+)
8 nfv 1917 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑧 π‘Ž ∈ ℝ+
97, 8nfan 1902 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑧((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+)
10 nfra1 3281 . . . . . . . . . 10 β„²π‘§βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)
119, 10nfan 1902 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑧(((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯))
12 nfv 1917 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑧 𝑏 ∈ ℝ+
1311, 12nfan 1902 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑧((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)
14 nfra1 3281 . . . . . . . 8 β„²π‘§βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)
1513, 14nfan 1902 . . . . . . 7 Ⅎ𝑧(((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯))
16 simp-6l 785 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 < 𝐡) β†’ πœ‘)
17163ad2antl1 1185 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐡) β†’ πœ‘)
18 simpl2 1192 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐡) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
19 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐡) β†’ 𝑧 < 𝐡)
20 mnfxr 11267 . . . . . . . . . . . . . 14 -∞ ∈ ℝ*
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 < 𝐡) β†’ -∞ ∈ ℝ*)
22 limcleqr.b . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
2322rexrd 11260 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
24233ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 < 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
25 limcleqr.a . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
2625sselda 3981 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
27263adant3 1132 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 < 𝐡) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
2827mnfltd 13100 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 < 𝐡) β†’ -∞ < 𝑧)
29 simp3 1138 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 < 𝐡) β†’ 𝑧 < 𝐡)
3021, 24, 27, 28, 29eliood 44197 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 < 𝐡) β†’ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐡))
3117, 18, 19, 30syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐡) β†’ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐡))
32 fvres 6907 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐡) β†’ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘§))
3332oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐡) β†’ (((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿) = ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿))
3433eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿) = (((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿))
3534fveq2d 6892 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐡) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) = (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)))
3631, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐡) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) = (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)))
37 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 < 𝐡) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯))
38373ad2antl1 1185 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐡) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯))
3918, 31elind 4193 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐡) β†’ 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡)))
4038, 39jca 512 . . . . . . . . . . 11 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐡) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))))
41 simpl3l 1228 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐡) β†’ 𝑧 β‰  𝐡)
424adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 < 𝐡) β†’ π‘Ž ∈ ℝ+)
43423ad2antl1 1185 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐡) β†’ π‘Ž ∈ ℝ+)
445adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 < 𝐡) β†’ 𝑏 ∈ ℝ+)
45443ad2antl1 1185 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐡) β†’ 𝑏 ∈ ℝ+)
46 simpl3r 1229 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐡) β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))
47 simpl1 1191 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ πœ‘)
48 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
4926recnd 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
5022recnd 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
5150adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
5249, 51subcld 11567 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (𝑧 βˆ’ 𝐡) ∈ β„‚)
5352abscld 15379 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) ∈ ℝ)
5447, 48, 53syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) ∈ ℝ)
55 rpre 12978 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘Ž ∈ ℝ+ β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
5655adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
57 rpre 12978 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 ∈ ℝ+ β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
5857adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
5956, 58ifcld 4573 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏) ∈ ℝ)
60593adant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏) ∈ ℝ)
6160adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏) ∈ ℝ)
62563adant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
6362adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
64 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))
65583adant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
66 min1 13164 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏) ≀ π‘Ž)
6762, 65, 66syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏) ≀ π‘Ž)
6867adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏) ≀ π‘Ž)
6954, 61, 63, 64, 68ltletrd 11370 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž)
7017, 43, 45, 46, 18, 69syl32anc 1378 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐡) β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž)
7141, 70jca 512 . . . . . . . . . . 11 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐡) β†’ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž))
72 rspa 3245 . . . . . . . . . . 11 ((βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))) β†’ ((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯))
7340, 71, 72sylc 65 . . . . . . . . . 10 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐡) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)
7436, 73eqbrtrd 5169 . . . . . . . . 9 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐡) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)
75 simp-6l 785 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ Β¬ 𝑧 < 𝐡) β†’ πœ‘)
76753ad2antl1 1185 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ Β¬ 𝑧 < 𝐡) β†’ πœ‘)
7776, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ Β¬ 𝑧 < 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
78 simpl2 1192 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ Β¬ 𝑧 < 𝐡) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
7976, 78, 26syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ Β¬ 𝑧 < 𝐡) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
80 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 β‰  𝐡 β†’ 𝑧 β‰  𝐡)
8180necomd 2996 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 β‰  𝐡 β†’ 𝐡 β‰  𝑧)
8281ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏)) ∧ Β¬ 𝑧 < 𝐡) β†’ 𝐡 β‰  𝑧)
83823ad2antl3 1187 . . . . . . . . . . 11 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ Β¬ 𝑧 < 𝐡) β†’ 𝐡 β‰  𝑧)
84 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ Β¬ 𝑧 < 𝐡) β†’ Β¬ 𝑧 < 𝐡)
8577, 79, 83, 84lttri5d 43995 . . . . . . . . . 10 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ Β¬ 𝑧 < 𝐡) β†’ 𝐡 < 𝑧)
86 simp-6l 785 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝐡 < 𝑧) β†’ πœ‘)
87863ad2antl1 1185 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ 𝐡 < 𝑧) β†’ πœ‘)
88 simpl2 1192 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ 𝐡 < 𝑧) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
89 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ 𝐡 < 𝑧) β†’ 𝐡 < 𝑧)
90233ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐡 < 𝑧) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
91 pnfxr 11264 . . . . . . . . . . . . . . 15 +∞ ∈ ℝ*
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐡 < 𝑧) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
93263adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐡 < 𝑧) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
94 simp3 1138 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐡 < 𝑧) β†’ 𝐡 < 𝑧)
9593ltpnfd 13097 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐡 < 𝑧) β†’ 𝑧 < +∞)
9690, 92, 93, 94, 95eliood 44197 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐡 < 𝑧) β†’ 𝑧 ∈ (𝐡(,)+∞))
9787, 88, 89, 96syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ 𝐡 < 𝑧) β†’ 𝑧 ∈ (𝐡(,)+∞))
98 fvres 6907 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (𝐡(,)+∞) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘§))
9998eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (𝐡(,)+∞) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = ((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§))
10099fvoveq1d 7427 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (𝐡(,)+∞) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) = (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)))
10197, 100syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ 𝐡 < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) = (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)))
102 simpl1r 1225 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ 𝐡 < 𝑧) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯))
10388, 97elind 4193 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ 𝐡 < 𝑧) β†’ 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞)))
104102, 103jca 512 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ 𝐡 < 𝑧) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))))
105 simpl3l 1228 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ 𝐡 < 𝑧) β†’ 𝑧 β‰  𝐡)
1064adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝐡 < 𝑧) β†’ π‘Ž ∈ ℝ+)
1071063ad2antl1 1185 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ 𝐡 < 𝑧) β†’ π‘Ž ∈ ℝ+)
1085adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝐡 < 𝑧) β†’ 𝑏 ∈ ℝ+)
1091083ad2antl1 1185 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ 𝐡 < 𝑧) β†’ 𝑏 ∈ ℝ+)
110 simpl3r 1229 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ 𝐡 < 𝑧) β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))
11165adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
112 min2 13165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏) ≀ 𝑏)
11362, 65, 112syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏) ≀ 𝑏)
114113adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏) ≀ 𝑏)
11554, 61, 111, 64, 114ltletrd 11370 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏)
11687, 107, 109, 110, 88, 115syl32anc 1378 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ 𝐡 < 𝑧) β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏)
117105, 116jca 512 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ 𝐡 < 𝑧) β†’ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏))
118 rspa 3245 . . . . . . . . . . . 12 ((βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))) β†’ ((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯))
119104, 117, 118sylc 65 . . . . . . . . . . 11 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ 𝐡 < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)
120101, 119eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . 10 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ 𝐡 < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)
12185, 120syldan 591 . . . . . . . . 9 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ Β¬ 𝑧 < 𝐡) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)
12274, 121pm2.61dan 811 . . . . . . . 8 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)
1231223exp 1119 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ 𝐴 β†’ ((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)))
12415, 123ralrimi 3254 . . . . . 6 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯))
125 brimralrspcev 5208 . . . . . 6 ((if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏) ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯))
1266, 124, 125syl2anc 584 . . . . 5 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯))
127 limcleqr.r . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞)) limβ„‚ 𝐡))
128 limcleqr.f . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
129 fresin 6757 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞)):(𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))βŸΆβ„‚)
130128, 129syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞)):(𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))βŸΆβ„‚)
131 inss2 4228 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞)) βŠ† (𝐡(,)+∞)
132 ioosscn 13382 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐡(,)+∞) βŠ† β„‚
133131, 132sstri 3990 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞)) βŠ† β„‚
134133a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞)) βŠ† β„‚)
135130, 134, 50ellimc3 25387 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞)) limβ„‚ 𝐡) ↔ (𝑅 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝑅)) < π‘₯))))
136127, 135mpbid 231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑅 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝑅)) < π‘₯)))
137136simprd 496 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝑅)) < π‘₯))
138137r19.21bi 3248 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝑅)) < π‘₯))
139 limcleqr.leqr . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐿 = 𝑅)
140139oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿) = (((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝑅))
141140fveq2d 6892 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) = (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝑅)))
142141breq1d 5157 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯ ↔ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝑅)) < π‘₯))
143142imbi2d 340 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯) ↔ ((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝑅)) < π‘₯)))
144143rexralbidv 3220 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯) ↔ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝑅)) < π‘₯)))
145144adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯) ↔ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝑅)) < π‘₯)))
146138, 145mpbird 256 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯))
147146ad2antrr 724 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯))
148126, 147r19.29a 3162 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯))
149 fresin 6757 . . . . . . . . 9 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡)):(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))βŸΆβ„‚)
150128, 149syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡)):(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))βŸΆβ„‚)
151 inss2 4228 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡)) βŠ† (-∞(,)𝐡)
152 ioossre 13381 . . . . . . . . . 10 (-∞(,)𝐡) βŠ† ℝ
153151, 152sstri 3990 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡)) βŠ† ℝ
154 ax-resscn 11163 . . . . . . . . . 10 ℝ βŠ† β„‚
155154a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
156153, 155sstrid 3992 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡)) βŠ† β„‚)
157150, 156, 50ellimc3 25387 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐡) ↔ (𝐿 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯))))
1582, 157mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐿 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)))
159158simprd 496 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯))
160159r19.21bi 3248 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯))
161148, 160r19.29a 3162 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯))
162161ralrimiva 3146 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯))
16325, 154sstrdi 3993 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
164128, 163, 50ellimc3 25387 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐿 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ↔ (𝐿 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯))))
1653, 162, 164mpbir2and 711 1 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  ifcif 4527   class class class wbr 5147  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104  β„cr 11105  +∞cpnf 11241  -∞cmnf 11242  β„*cxr 11243   < clt 11244   ≀ cle 11245   βˆ’ cmin 11440  β„+crp 12970  (,)cioo 13320  abscabs 15177  TopOpenctopn 17363  topGenctg 17379  β„‚fldccnfld 20936   limβ„‚ climc 25370
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-fz 13481  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-rest 17364  df-topn 17365  df-topgen 17385  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cnp 22723  df-xms 23817  df-ms 23818  df-limc 25374
This theorem is referenced by:  limclr  44357
  Copyright terms: Public domain W3C validator