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Theorem limcleqr 43875
Description: If the left and the right limits are equal, the limit of the function exits and the three limits coincide. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
limcleqr.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
limcleqr.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
limcleqr.j 𝐽 = (topGen‘ran (,))
limcleqr.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
limcleqr.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
limcleqr.l (𝜑𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim 𝐵))
limcleqr.r (𝜑𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) lim 𝐵))
limcleqr.leqr (𝜑𝐿 = 𝑅)
Assertion
Ref Expression
limcleqr (𝜑𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵))

Proof of Theorem limcleqr
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl 25239 . . 3 ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim 𝐵) ⊆ ℂ
2 limcleqr.l . . 3 (𝜑𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim 𝐵))
31, 2sselid 3942 . 2 (𝜑𝐿 ∈ ℂ)
4 simp-4r 782 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → 𝑎 ∈ ℝ+)
5 simplr 767 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → 𝑏 ∈ ℝ+)
64, 5ifcld 4532 . . . . . 6 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ+)
7 nfv 1917 . . . . . . . . . . 11 𝑧(𝜑𝑥 ∈ ℝ+)
8 nfv 1917 . . . . . . . . . . 11 𝑧 𝑎 ∈ ℝ+
97, 8nfan 1902 . . . . . . . . . 10 𝑧((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+)
10 nfra1 3267 . . . . . . . . . 10 𝑧𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
119, 10nfan 1902 . . . . . . . . 9 𝑧(((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
12 nfv 1917 . . . . . . . . 9 𝑧 𝑏 ∈ ℝ+
1311, 12nfan 1902 . . . . . . . 8 𝑧((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)
14 nfra1 3267 . . . . . . . 8 𝑧𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
1513, 14nfan 1902 . . . . . . 7 𝑧(((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
16 simp-6l 785 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝜑)
17163ad2antl1 1185 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝜑)
18 simpl2 1192 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑧𝐴)
19 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑧 < 𝐵)
20 mnfxr 11212 . . . . . . . . . . . . . 14 -∞ ∈ ℝ*
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧𝐴𝑧 < 𝐵) → -∞ ∈ ℝ*)
22 limcleqr.b . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
2322rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
24233ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧𝐴𝑧 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
25 limcleqr.a . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
2625sselda 3944 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
27263adant3 1132 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧𝐴𝑧 < 𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
2827mnfltd 13045 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧𝐴𝑧 < 𝐵) → -∞ < 𝑧)
29 simp3 1138 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧𝐴𝑧 < 𝐵) → 𝑧 < 𝐵)
3021, 24, 27, 28, 29eliood 43726 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧𝐴𝑧 < 𝐵) → 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵))
3117, 18, 19, 30syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵))
32 fvres 6861 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) = (𝐹𝑧))
3332oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵) → (((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿) = ((𝐹𝑧) − 𝐿))
3433eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵) → ((𝐹𝑧) − 𝐿) = (((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿))
3534fveq2d 6846 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)))
3631, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)))
37 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 < 𝐵) → ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
38373ad2antl1 1185 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
3918, 31elind 4154 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)))
4038, 39jca 512 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → (∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
41 simpl3l 1228 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑧𝐵)
424adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑎 ∈ ℝ+)
43423ad2antl1 1185 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑎 ∈ ℝ+)
445adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑏 ∈ ℝ+)
45443ad2antl1 1185 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑏 ∈ ℝ+)
46 simpl3r 1229 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))
47 simpl1 1191 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧𝐴)) → 𝜑)
48 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧𝐴)) → 𝑧𝐴)
4926recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ ℂ)
5022recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
5150adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
5249, 51subcld 11512 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝑧𝐵) ∈ ℂ)
5352abscld 15321 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧𝐴) → (abs‘(𝑧𝐵)) ∈ ℝ)
5447, 48, 53syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧𝐴)) → (abs‘(𝑧𝐵)) ∈ ℝ)
55 rpre 12923 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℝ)
5655adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → 𝑎 ∈ ℝ)
57 rpre 12923 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ)
5857adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → 𝑏 ∈ ℝ)
5956, 58ifcld 4532 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ)
60593adant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ)
6160adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧𝐴)) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ)
62563adant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → 𝑎 ∈ ℝ)
6362adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧𝐴)) → 𝑎 ∈ ℝ)
64 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧𝐴)) → (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))
65583adant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → 𝑏 ∈ ℝ)
66 min1 13108 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑎)
6762, 65, 66syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑎)
6867adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧𝐴)) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑎)
6954, 61, 63, 64, 68ltletrd 11315 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧𝐴)) → (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎)
7017, 43, 45, 46, 18, 69syl32anc 1378 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎)
7141, 70jca 512 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎))
72 rspa 3231 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) → ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
7340, 71, 72sylc 65 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
7436, 73eqbrtrd 5127 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
75 simp-6l 785 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → 𝜑)
76753ad2antl1 1185 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → 𝜑)
7776, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
78 simpl2 1192 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → 𝑧𝐴)
7976, 78, 26syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
80 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧𝐵𝑧𝐵)
8180necomd 2999 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧𝐵𝐵𝑧)
8281ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏)) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → 𝐵𝑧)
83823ad2antl3 1187 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → 𝐵𝑧)
84 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → ¬ 𝑧 < 𝐵)
8577, 79, 83, 84lttri5d 43523 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → 𝐵 < 𝑧)
86 simp-6l 785 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝜑)
87863ad2antl1 1185 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝜑)
88 simpl2 1192 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑧𝐴)
89 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝐵 < 𝑧)
90233ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧𝐴𝐵 < 𝑧) → 𝐵 ∈ ℝ*)
91 pnfxr 11209 . . . . . . . . . . . . . . 15 +∞ ∈ ℝ*
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧𝐴𝐵 < 𝑧) → +∞ ∈ ℝ*)
93263adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧𝐴𝐵 < 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ)
94 simp3 1138 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧𝐴𝐵 < 𝑧) → 𝐵 < 𝑧)
9593ltpnfd 13042 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧𝐴𝐵 < 𝑧) → 𝑧 < +∞)
9690, 92, 93, 94, 95eliood 43726 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧𝐴𝐵 < 𝑧) → 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞))
9787, 88, 89, 96syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞))
98 fvres 6861 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) → ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) = (𝐹𝑧))
9998eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) → (𝐹𝑧) = ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧))
10099fvoveq1d 7379 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)))
10197, 100syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)))
102 simpl1r 1225 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
10388, 97elind 4154 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)))
104102, 103jca 512 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → (∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
105 simpl3l 1228 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑧𝐵)
1064adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑎 ∈ ℝ+)
1071063ad2antl1 1185 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑎 ∈ ℝ+)
1085adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑏 ∈ ℝ+)
1091083ad2antl1 1185 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑏 ∈ ℝ+)
110 simpl3r 1229 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))
11165adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧𝐴)) → 𝑏 ∈ ℝ)
112 min2 13109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑏)
11362, 65, 112syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑏)
114113adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧𝐴)) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑏)
11554, 61, 111, 64, 114ltletrd 11315 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧𝐴)) → (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏)
11687, 107, 109, 110, 88, 115syl32anc 1378 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏)
117105, 116jca 512 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏))
118 rspa 3231 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) → ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
119104, 117, 118sylc 65 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
120101, 119eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
12185, 120syldan 591 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
12274, 121pm2.61dan 811 . . . . . . . 8 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
1231223exp 1119 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → (𝑧𝐴 → ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏)) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)))
12415, 123ralrimi 3240 . . . . . 6 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏)) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
125 brimralrspcev 5166 . . . . . 6 ((if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏)) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
1266, 124, 125syl2anc 584 . . . . 5 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
127 limcleqr.r . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) lim 𝐵))
128 limcleqr.f . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
129 fresin 6711 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)):(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))⟶ℂ)
130128, 129syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)):(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))⟶ℂ)
131 inss2 4189 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ (𝐵(,)+∞)
132 ioosscn 13326 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵(,)+∞) ⊆ ℂ
133131, 132sstri 3953 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ ℂ
134133a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ ℂ)
135130, 134, 50ellimc3 25243 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) lim 𝐵) ↔ (𝑅 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)) < 𝑥))))
136127, 135mpbid 231 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)) < 𝑥)))
137136simprd 496 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)) < 𝑥))
138137r19.21bi 3234 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)) < 𝑥))
139 limcleqr.leqr . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐿 = 𝑅)
140139oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿) = (((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅))
141140fveq2d 6846 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)))
142141breq1d 5115 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥 ↔ (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)) < 𝑥))
143142imbi2d 340 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ↔ ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)) < 𝑥)))
144143rexralbidv 3214 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑏 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ↔ ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)) < 𝑥)))
145144adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑏 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ↔ ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)) < 𝑥)))
146138, 145mpbird 256 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
147146ad2antrr 724 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
148126, 147r19.29a 3159 . . . 4 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
149 fresin 6711 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)):(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))⟶ℂ)
150128, 149syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)):(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))⟶ℂ)
151 inss2 4189 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ (-∞(,)𝐵)
152 ioossre 13325 . . . . . . . . . 10 (-∞(,)𝐵) ⊆ ℝ
153151, 152sstri 3953 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ
154 ax-resscn 11108 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℂ
155154a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
156153, 155sstrid 3955 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℂ)
157150, 156, 50ellimc3 25243 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim 𝐵) ↔ (𝐿 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))))
1582, 157mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)))
159158simprd 496 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
160159r19.21bi 3234 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
161148, 160r19.29a 3159 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
162161ralrimiva 3143 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
16325, 154sstrdi 3956 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
164128, 163, 50ellimc3 25243 . 2 (𝜑 → (𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ (𝐿 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))))
1653, 162, 164mpbir2and 711 1 (𝜑𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  cin 3909  wss 3910  ifcif 4486   class class class wbr 5105  ran crn 5634  cres 5635  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  +∞cpnf 11186  -∞cmnf 11187  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  +crp 12915  (,)cioo 13264  abscabs 15119  TopOpenctopn 17303  topGenctg 17319  fldccnfld 20796   lim climc 25226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-fz 13425  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-struct 17019  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-rest 17304  df-topn 17305  df-topgen 17325  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cnp 22579  df-xms 23673  df-ms 23674  df-limc 25230
This theorem is referenced by:  limclr  43886
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