limcleqr - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem limcleqr 45649

Description: If the left and the right limits are equal, the limit of the function exits and the three limits coincide. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
limcleqr.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂ_fld)
limcleqr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
limcleqr.j	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
limcleqr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
limcleqr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
limcleqr.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim_ℂ 𝐵))
limcleqr.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) lim_ℂ 𝐵))
limcleqr.leqr	⊢ (𝜑 → 𝐿 = 𝑅)

**Assertion**
Ref	Expression
limcleqr	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐹 lim_ℂ 𝐵))

Proof of Theorem limcleqr Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccl 25783	. . 3 ⊢ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim_ℂ 𝐵) ⊆ ℂ
2		limcleqr.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim_ℂ 𝐵))
3	1, 2	sselid 3947	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℂ)
4		simp-4r 783	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → 𝑎 ∈ ℝ⁺)
5		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → 𝑏 ∈ ℝ⁺)
6	4, 5	ifcld 4538	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ⁺)
7		nfv 1914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑧(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺)
8		nfv 1914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑎 ∈ ℝ⁺
9	7, 8	nfan 1899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑧((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺)
10		nfra1 3262	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑧∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
11	9, 10	nfan 1899	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑧(((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
12		nfv 1914	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑏 ∈ ℝ⁺
13	11, 12	nfan 1899	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)
14		nfra1 3262	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
15	13, 14	nfan 1899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
16		simp-6l 786	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝜑)
17	16	3ad2antl1 1186	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝜑)
18		simpl2 1193	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐴)
19		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑧 < 𝐵)
20		mnfxr 11238	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -∞ ∈ ℝ^*
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 < 𝐵) → -∞ ∈ ℝ^*)
22		limcleqr.b	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
23	22	rexrd 11231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ^*)
24	23	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
25		limcleqr.a	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
26	25	sselda 3949	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
27	26	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
28	27	mnfltd 13091	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 < 𝐵) → -∞ < 𝑧)
29		simp3 1138	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑧 < 𝐵)
30	21, 24, 27, 28, 29	eliood 45503	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵))
31	17, 18, 19, 30	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵))
32		fvres 6880	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
33	32	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵) → (((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿) = ((𝐹‘𝑧) − 𝐿))
34	33	eqcomd 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵) → ((𝐹‘𝑧) − 𝐿) = (((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿))
35	34	fveq2d 6865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)))
36	31, 35	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)))
37		simp-4r 783	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 < 𝐵) → ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
38	37	3ad2antl1 1186	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
39	18, 31	elind 4166	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)))
40	38, 39	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → (∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
41		simpl3l 1229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑧 ≠ 𝐵)
42	4	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑎 ∈ ℝ⁺)
43	42	3ad2antl1 1186	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑎 ∈ ℝ⁺)
44	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑏 ∈ ℝ⁺)
45	44	3ad2antl1 1186	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑏 ∈ ℝ⁺)
46		simpl3r 1230	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))
47		simpl1 1192	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ((abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝜑)
48		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ((abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
49	26	recnd 11209	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℂ)
50	22	recnd 11209	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
51	50	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
52	49, 51	subcld 11540	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑧 − 𝐵) ∈ ℂ)
53	52	abscld 15412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝑧 − 𝐵)) ∈ ℝ)
54	47, 48, 53	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ((abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (abs‘(𝑧 − 𝐵)) ∈ ℝ)
55		rpre 12967	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ⁺ → 𝑎 ∈ ℝ)
56	55	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) → 𝑎 ∈ ℝ)
57		rpre 12967	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ⁺ → 𝑏 ∈ ℝ)
58	57	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) → 𝑏 ∈ ℝ)
59	56, 58	ifcld 4538	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ)
60	59	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ)
61	60	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ((abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ)
62	56	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) → 𝑎 ∈ ℝ)
63	62	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ((abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑎 ∈ ℝ)
64		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ((abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))
65	58	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) → 𝑏 ∈ ℝ)
66		min1 13156	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑎)
67	62, 65, 66	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑎)
68	67	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ((abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑎)
69	54, 61, 63, 64, 68	ltletrd 11341	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ((abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎)
70	17, 43, 45, 46, 18, 69	syl32anc 1380	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎)
71	41, 70	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎))
72		rspa 3227	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) → ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
73	40, 71, 72	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
74	36, 73	eqbrtrd 5132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
75		simp-6l 786	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → 𝜑)
76	75	3ad2antl1 1186	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → 𝜑)
77	76, 22	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
78		simpl2 1193	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐴)
79	76, 78, 26	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
80		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ≠ 𝐵 → 𝑧 ≠ 𝐵)
81	80	necomd 2981	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ≠ 𝐵 → 𝐵 ≠ 𝑧)
82	81	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏)) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝑧)
83	82	3ad2antl3 1188	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝑧)
84		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → ¬ 𝑧 < 𝐵)
85	77, 79, 83, 84	lttri5d 45304	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → 𝐵 < 𝑧)
86		simp-6l 786	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝜑)
87	86	3ad2antl1 1186	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝜑)
88		simpl2 1193	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝐴)
89		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝐵 < 𝑧)
90	23	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
91		pnfxr 11235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ +∞ ∈ ℝ^*
92	91	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝑧) → +∞ ∈ ℝ^*)
93	26	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ)
94		simp3 1138	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝐵 < 𝑧)
95	93	ltpnfd 13088	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑧 < +∞)
96	90, 92, 93, 94, 95	eliood 45503	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞))
97	87, 88, 89, 96	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞))
98		fvres 6880	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) → ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
99	98	eqcomd 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) → (𝐹‘𝑧) = ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧))
100	99	fvoveq1d 7412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)))
101	97, 100	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)))
102		simpl1r 1226	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
103	88, 97	elind 4166	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)))
104	102, 103	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → (∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
105		simpl3l 1229	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑧 ≠ 𝐵)
106	4	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑎 ∈ ℝ⁺)
107	106	3ad2antl1 1186	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑎 ∈ ℝ⁺)
108	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑏 ∈ ℝ⁺)
109	108	3ad2antl1 1186	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑏 ∈ ℝ⁺)
110		simpl3r 1230	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))
111	65	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ((abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑏 ∈ ℝ)
112		min2 13157	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑏)
113	62, 65, 112	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑏)
114	113	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ((abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑏)
115	54, 61, 111, 64, 114	ltletrd 11341	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ((abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏)
116	87, 107, 109, 110, 88, 115	syl32anc 1380	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏)
117	105, 116	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏))
118		rspa 3227	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) → ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
119	104, 117, 118	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
120	101, 119	eqbrtrd 5132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
121	85, 120	syldan 591	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
122	74, 121	pm2.61dan 812	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
123	122	3exp 1119	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → (𝑧 ∈ 𝐴 → ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏)) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)))
124	15, 123	ralrimi 3236	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏)) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
125		brimralrspcev 5171	. . . . . 6 ⊢ ((if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏)) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
126	6, 124, 125	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
127		limcleqr.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) lim_ℂ 𝐵))
128		limcleqr.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
129		fresin 6732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)):(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))⟶ℂ)
130	128, 129	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)):(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))⟶ℂ)
131		inss2 4204	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ (𝐵(,)+∞)
132		ioosscn 13376	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵(,)+∞) ⊆ ℂ
133	131, 132	sstri 3959	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ ℂ
134	133	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ ℂ)
135	130, 134, 50	ellimc3 25787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) lim_ℂ 𝐵) ↔ (𝑅 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑏 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)) < 𝑥))))
136	127, 135	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑏 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)) < 𝑥)))
137	136	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑏 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)) < 𝑥))
138	137	r19.21bi 3230	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑏 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)) < 𝑥))
139		limcleqr.leqr	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = 𝑅)
140	139	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿) = (((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅))
141	140	fveq2d 6865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)))
142	141	breq1d 5120	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥 ↔ (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)) < 𝑥))
143	142	imbi2d 340	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ↔ ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)) < 𝑥)))
144	143	rexralbidv 3204	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∃𝑏 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ↔ ∃𝑏 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)) < 𝑥)))
145	144	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (∃𝑏 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ↔ ∃𝑏 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)) < 𝑥)))
146	138, 145	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑏 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
147	146	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → ∃𝑏 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
148	126, 147	r19.29a 3142	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
149		fresin 6732	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)):(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))⟶ℂ)
150	128, 149	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)):(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))⟶ℂ)
151		inss2 4204	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ (-∞(,)𝐵)
152		ioossre 13375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-∞(,)𝐵) ⊆ ℝ
153	151, 152	sstri 3959	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ
154		ax-resscn 11132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
155	154	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
156	153, 155	sstrid 3961	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℂ)
157	150, 156, 50	ellimc3 25787	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim_ℂ 𝐵) ↔ (𝐿 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑎 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))))
158	2, 157	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑎 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)))
159	158	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑎 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
160	159	r19.21bi 3230	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑎 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
161	148, 160	r19.29a 3142	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
162	161	ralrimiva 3126	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
163	25, 154	sstrdi 3962	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
164	128, 163, 50	ellimc3 25787	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∈ (𝐹 lim_ℂ 𝐵) ↔ (𝐿 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))))
165	3, 162, 164	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐹 lim_ℂ 𝐵))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ≠ wne 2926 ∀wral 3045 ∃wrex 3054 ∩ cin 3916 ⊆ wss 3917 ifcif 4491 class class class wbr 5110 ran crn 5642 ↾ cres 5643 ⟶wf 6510 ‘cfv 6514 (class class class)co 7390 ℂcc 11073 ℝcr 11074 +∞cpnf 11212 -∞cmnf 11213 ℝ^*cxr 11214 < clt 11215 ≤ cle 11216 − cmin 11412 ℝ⁺crp 12958 (,)cioo 13313 abscabs 15207 TopOpenctopn 17391 topGenctg 17407 ℂ_fldccnfld 21271 lim_ℂ climc 25770

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2702 ax-rep 5237 ax-sep 5254 ax-nul 5264 ax-pow 5323 ax-pr 5390 ax-un 7714 ax-cnex 11131 ax-resscn 11132 ax-1cn 11133 ax-icn 11134 ax-addcl 11135 ax-addrcl 11136 ax-mulcl 11137 ax-mulrcl 11138 ax-mulcom 11139 ax-addass 11140 ax-mulass 11141 ax-distr 11142 ax-i2m1 11143 ax-1ne0 11144 ax-1rid 11145 ax-rnegex 11146 ax-rrecex 11147 ax-cnre 11148 ax-pre-lttri 11149 ax-pre-lttrn 11150 ax-pre-ltadd 11151 ax-pre-mulgt0 11152 ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2709 df-cleq 2722 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2927 df-nel 3031 df-ral 3046 df-rex 3055 df-rmo 3356 df-reu 3357 df-rab 3409 df-v 3452 df-sbc 3757 df-csb 3866 df-dif 3920 df-un 3922 df-in 3924 df-ss 3934 df-pss 3937 df-nul 4300 df-if 4492 df-pw 4568 df-sn 4593 df-pr 4595 df-tp 4597 df-op 4599 df-uni 4875 df-int 4914 df-iun 4960 df-br 5111 df-opab 5173 df-mpt 5192 df-tr 5218 df-id 5536 df-eprel 5541 df-po 5549 df-so 5550 df-fr 5594 df-we 5596 df-xp 5647 df-rel 5648 df-cnv 5649 df-co 5650 df-dm 5651 df-rn 5652 df-res 5653 df-ima 5654 df-pred 6277 df-ord 6338 df-on 6339 df-lim 6340 df-suc 6341 df-iota 6467 df-fun 6516 df-fn 6517 df-f 6518 df-f1 6519 df-fo 6520 df-f1o 6521 df-fv 6522 df-riota 7347 df-ov 7393 df-oprab 7394 df-mpo 7395 df-om 7846 df-1st 7971 df-2nd 7972 df-frecs 8263 df-wrecs 8294 df-recs 8343 df-rdg 8381 df-1o 8437 df-er 8674 df-map 8804 df-pm 8805 df-en 8922 df-dom 8923 df-sdom 8924 df-fin 8925 df-fi 9369 df-sup 9400 df-inf 9401 df-pnf 11217 df-mnf 11218 df-xr 11219 df-ltxr 11220 df-le 11221 df-sub 11414 df-neg 11415 df-div 11843 df-nn 12194 df-2 12256 df-3 12257 df-4 12258 df-5 12259 df-6 12260 df-7 12261 df-8 12262 df-9 12263 df-n0 12450 df-z 12537 df-dec 12657 df-uz 12801 df-q 12915 df-rp 12959 df-xneg 13079 df-xadd 13080 df-xmul 13081 df-ioo 13317 df-fz 13476 df-seq 13974 df-exp 14034 df-cj 15072 df-re 15073 df-im 15074 df-sqrt 15208 df-abs 15209 df-struct 17124 df-slot 17159 df-ndx 17171 df-base 17187 df-plusg 17240 df-mulr 17241 df-starv 17242 df-tset 17246 df-ple 17247 df-ds 17249 df-unif 17250 df-rest 17392 df-topn 17393 df-topgen 17413 df-psmet 21263 df-xmet 21264 df-met 21265 df-bl 21266 df-mopn 21267 df-cnfld 21272 df-top 22788 df-topon 22805 df-topsp 22827 df-bases 22840 df-cnp 23122 df-xms 24215 df-ms 24216 df-limc 25774

This theorem is referenced by: limclr 45660

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