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Theorem limcleqr 44658
Description: If the left and the right limits are equal, the limit of the function exits and the three limits coincide. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
limcleqr.k 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
limcleqr.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
limcleqr.j 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
limcleqr.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
limcleqr.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
limcleqr.l (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐡))
limcleqr.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞)) limβ„‚ 𝐡))
limcleqr.leqr (πœ‘ β†’ 𝐿 = 𝑅)
Assertion
Ref Expression
limcleqr (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
Proof of Theorem limcleqr
Dummy variables π‘Ž 𝑏 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl 25624 . . 3 ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐡) βŠ† β„‚
2 limcleqr.l . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐡))
31, 2sselid 3979 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ β„‚)
4 simp-4r 780 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) β†’ π‘Ž ∈ ℝ+)
5 simplr 765 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) β†’ 𝑏 ∈ ℝ+)
64, 5ifcld 4573 . . . . . 6 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏) ∈ ℝ+)
7 nfv 1915 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑧(πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+)
8 nfv 1915 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑧 π‘Ž ∈ ℝ+
97, 8nfan 1900 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑧((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+)
10 nfra1 3279 . . . . . . . . . 10 β„²π‘§βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)
119, 10nfan 1900 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑧(((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯))
12 nfv 1915 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑧 𝑏 ∈ ℝ+
1311, 12nfan 1900 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑧((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)
14 nfra1 3279 . . . . . . . 8 β„²π‘§βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)
1513, 14nfan 1900 . . . . . . 7 Ⅎ𝑧(((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯))
16 simp-6l 783 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 < 𝐡) β†’ πœ‘)
17163ad2antl1 1183 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐡) β†’ πœ‘)
18 simpl2 1190 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐡) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
19 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐡) β†’ 𝑧 < 𝐡)
20 mnfxr 11275 . . . . . . . . . . . . . 14 -∞ ∈ ℝ*
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 < 𝐡) β†’ -∞ ∈ ℝ*)
22 limcleqr.b . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
2322rexrd 11268 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
24233ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 < 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
25 limcleqr.a . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
2625sselda 3981 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
27263adant3 1130 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 < 𝐡) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
2827mnfltd 13108 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 < 𝐡) β†’ -∞ < 𝑧)
29 simp3 1136 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 < 𝐡) β†’ 𝑧 < 𝐡)
3021, 24, 27, 28, 29eliood 44509 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 < 𝐡) β†’ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐡))
3117, 18, 19, 30syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐡) β†’ 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐡))
32 fvres 6909 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐡) β†’ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘§))
3332oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐡) β†’ (((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿) = ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿))
3433eqcomd 2736 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿) = (((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿))
3534fveq2d 6894 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐡) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) = (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)))
3631, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐡) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) = (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)))
37 simp-4r 780 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 < 𝐡) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯))
38373ad2antl1 1183 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐡) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯))
3918, 31elind 4193 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐡) β†’ 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡)))
4038, 39jca 510 . . . . . . . . . . 11 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐡) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))))
41 simpl3l 1226 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐡) β†’ 𝑧 β‰  𝐡)
424adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 < 𝐡) β†’ π‘Ž ∈ ℝ+)
43423ad2antl1 1183 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐡) β†’ π‘Ž ∈ ℝ+)
445adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 < 𝐡) β†’ 𝑏 ∈ ℝ+)
45443ad2antl1 1183 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐡) β†’ 𝑏 ∈ ℝ+)
46 simpl3r 1227 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐡) β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))
47 simpl1 1189 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ πœ‘)
48 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
4926recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
5022recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
5150adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
5249, 51subcld 11575 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (𝑧 βˆ’ 𝐡) ∈ β„‚)
5352abscld 15387 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) ∈ ℝ)
5447, 48, 53syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) ∈ ℝ)
55 rpre 12986 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘Ž ∈ ℝ+ β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
5655adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
57 rpre 12986 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 ∈ ℝ+ β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
5857adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
5956, 58ifcld 4573 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏) ∈ ℝ)
60593adant1 1128 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏) ∈ ℝ)
6160adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏) ∈ ℝ)
62563adant1 1128 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
6362adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
64 simprl 767 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))
65583adant1 1128 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
66 min1 13172 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏) ≀ π‘Ž)
6762, 65, 66syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏) ≀ π‘Ž)
6867adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏) ≀ π‘Ž)
6954, 61, 63, 64, 68ltletrd 11378 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž)
7017, 43, 45, 46, 18, 69syl32anc 1376 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐡) β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž)
7141, 70jca 510 . . . . . . . . . . 11 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐡) β†’ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž))
72 rspa 3243 . . . . . . . . . . 11 ((βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))) β†’ ((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯))
7340, 71, 72sylc 65 . . . . . . . . . 10 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐡) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)
7436, 73eqbrtrd 5169 . . . . . . . . 9 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐡) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)
75 simp-6l 783 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ Β¬ 𝑧 < 𝐡) β†’ πœ‘)
76753ad2antl1 1183 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ Β¬ 𝑧 < 𝐡) β†’ πœ‘)
7776, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ Β¬ 𝑧 < 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
78 simpl2 1190 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ Β¬ 𝑧 < 𝐡) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
7976, 78, 26syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ Β¬ 𝑧 < 𝐡) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
80 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 β‰  𝐡 β†’ 𝑧 β‰  𝐡)
8180necomd 2994 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 β‰  𝐡 β†’ 𝐡 β‰  𝑧)
8281ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏)) ∧ Β¬ 𝑧 < 𝐡) β†’ 𝐡 β‰  𝑧)
83823ad2antl3 1185 . . . . . . . . . . 11 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ Β¬ 𝑧 < 𝐡) β†’ 𝐡 β‰  𝑧)
84 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ Β¬ 𝑧 < 𝐡) β†’ Β¬ 𝑧 < 𝐡)
8577, 79, 83, 84lttri5d 44307 . . . . . . . . . 10 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ Β¬ 𝑧 < 𝐡) β†’ 𝐡 < 𝑧)
86 simp-6l 783 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝐡 < 𝑧) β†’ πœ‘)
87863ad2antl1 1183 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ 𝐡 < 𝑧) β†’ πœ‘)
88 simpl2 1190 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ 𝐡 < 𝑧) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
89 simpr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ 𝐡 < 𝑧) β†’ 𝐡 < 𝑧)
90233ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐡 < 𝑧) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
91 pnfxr 11272 . . . . . . . . . . . . . . 15 +∞ ∈ ℝ*
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐡 < 𝑧) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
93263adant3 1130 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐡 < 𝑧) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
94 simp3 1136 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐡 < 𝑧) β†’ 𝐡 < 𝑧)
9593ltpnfd 13105 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐡 < 𝑧) β†’ 𝑧 < +∞)
9690, 92, 93, 94, 95eliood 44509 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐡 < 𝑧) β†’ 𝑧 ∈ (𝐡(,)+∞))
9787, 88, 89, 96syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ 𝐡 < 𝑧) β†’ 𝑧 ∈ (𝐡(,)+∞))
98 fvres 6909 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (𝐡(,)+∞) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘§))
9998eqcomd 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (𝐡(,)+∞) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = ((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§))
10099fvoveq1d 7433 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (𝐡(,)+∞) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) = (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)))
10197, 100syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ 𝐡 < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) = (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)))
102 simpl1r 1223 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ 𝐡 < 𝑧) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯))
10388, 97elind 4193 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ 𝐡 < 𝑧) β†’ 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞)))
104102, 103jca 510 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ 𝐡 < 𝑧) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))))
105 simpl3l 1226 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ 𝐡 < 𝑧) β†’ 𝑧 β‰  𝐡)
1064adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝐡 < 𝑧) β†’ π‘Ž ∈ ℝ+)
1071063ad2antl1 1183 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ 𝐡 < 𝑧) β†’ π‘Ž ∈ ℝ+)
1085adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝐡 < 𝑧) β†’ 𝑏 ∈ ℝ+)
1091083ad2antl1 1183 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ 𝐡 < 𝑧) β†’ 𝑏 ∈ ℝ+)
110 simpl3r 1227 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ 𝐡 < 𝑧) β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))
11165adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
112 min2 13173 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏) ≀ 𝑏)
11362, 65, 112syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏) ≀ 𝑏)
114113adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏) ≀ 𝑏)
11554, 61, 111, 64, 114ltletrd 11378 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏)
11687, 107, 109, 110, 88, 115syl32anc 1376 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ 𝐡 < 𝑧) β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏)
117105, 116jca 510 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ 𝐡 < 𝑧) β†’ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏))
118 rspa 3243 . . . . . . . . . . . 12 ((βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))) β†’ ((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯))
119104, 117, 118sylc 65 . . . . . . . . . . 11 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ 𝐡 < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)
120101, 119eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . 10 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ 𝐡 < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)
12185, 120syldan 589 . . . . . . . . 9 ((((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) ∧ Β¬ 𝑧 < 𝐡) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)
12274, 121pm2.61dan 809 . . . . . . . 8 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)
1231223exp 1117 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ 𝐴 β†’ ((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)))
12415, 123ralrimi 3252 . . . . . 6 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯))
125 brimralrspcev 5208 . . . . . 6 ((if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏) ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯))
1266, 124, 125syl2anc 582 . . . . 5 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯))
127 limcleqr.r . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞)) limβ„‚ 𝐡))
128 limcleqr.f . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
129 fresin 6759 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞)):(𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))βŸΆβ„‚)
130128, 129syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞)):(𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))βŸΆβ„‚)
131 inss2 4228 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞)) βŠ† (𝐡(,)+∞)
132 ioosscn 13390 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐡(,)+∞) βŠ† β„‚
133131, 132sstri 3990 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞)) βŠ† β„‚
134133a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞)) βŠ† β„‚)
135130, 134, 50ellimc3 25628 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞)) limβ„‚ 𝐡) ↔ (𝑅 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝑅)) < π‘₯))))
136127, 135mpbid 231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑅 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝑅)) < π‘₯)))
137136simprd 494 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝑅)) < π‘₯))
138137r19.21bi 3246 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝑅)) < π‘₯))
139 limcleqr.leqr . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐿 = 𝑅)
140139oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿) = (((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝑅))
141140fveq2d 6894 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) = (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝑅)))
142141breq1d 5157 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯ ↔ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝑅)) < π‘₯))
143142imbi2d 339 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯) ↔ ((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝑅)) < π‘₯)))
144143rexralbidv 3218 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯) ↔ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝑅)) < π‘₯)))
145144adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯) ↔ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝑅)) < π‘₯)))
146138, 145mpbird 256 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯))
147146ad2antrr 722 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯))
148126, 147r19.29a 3160 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯))
149 fresin 6759 . . . . . . . . 9 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡)):(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))βŸΆβ„‚)
150128, 149syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡)):(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))βŸΆβ„‚)
151 inss2 4228 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡)) βŠ† (-∞(,)𝐡)
152 ioossre 13389 . . . . . . . . . 10 (-∞(,)𝐡) βŠ† ℝ
153151, 152sstri 3990 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡)) βŠ† ℝ
154 ax-resscn 11169 . . . . . . . . . 10 ℝ βŠ† β„‚
155154a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
156153, 155sstrid 3992 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡)) βŠ† β„‚)
157150, 156, 50ellimc3 25628 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐡) ↔ (𝐿 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯))))
1582, 157mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐿 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)))
159158simprd 494 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯))
160159r19.21bi 3246 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯))
161148, 160r19.29a 3160 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯))
162161ralrimiva 3144 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯))
16325, 154sstrdi 3993 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
164128, 163, 50ellimc3 25628 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐿 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ↔ (𝐿 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯))))
1653, 162, 164mpbir2and 709 1 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  ifcif 4527   class class class wbr 5147  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  +∞cpnf 11249  -∞cmnf 11250  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  β„+crp 12978  (,)cioo 13328  abscabs 15185  TopOpenctopn 17371  topGenctg 17387  β„‚fldccnfld 21144   limβ„‚ climc 25611
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-fz 13489  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-struct 17084  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-rest 17372  df-topn 17373  df-topgen 17393  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cnp 22952  df-xms 24046  df-ms 24047  df-limc 25615
This theorem is referenced by:  limclr  44669
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