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Theorem limcleqr 44845
Description: If the left and the right limits are equal, the limit of the function exits and the three limits coincide. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
limcleqr.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
limcleqr.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
limcleqr.j 𝐽 = (topGen‘ran (,))
limcleqr.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
limcleqr.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
limcleqr.l (𝜑𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim 𝐵))
limcleqr.r (𝜑𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) lim 𝐵))
limcleqr.leqr (𝜑𝐿 = 𝑅)
Assertion
Ref Expression
limcleqr (𝜑𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵))

Proof of Theorem limcleqr
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl 25726 . . 3 ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim 𝐵) ⊆ ℂ
2 limcleqr.l . . 3 (𝜑𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim 𝐵))
31, 2sselid 3972 . 2 (𝜑𝐿 ∈ ℂ)
4 simp-4r 781 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → 𝑎 ∈ ℝ+)
5 simplr 766 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → 𝑏 ∈ ℝ+)
64, 5ifcld 4566 . . . . . 6 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ+)
7 nfv 1909 . . . . . . . . . . 11 𝑧(𝜑𝑥 ∈ ℝ+)
8 nfv 1909 . . . . . . . . . . 11 𝑧 𝑎 ∈ ℝ+
97, 8nfan 1894 . . . . . . . . . 10 𝑧((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+)
10 nfra1 3273 . . . . . . . . . 10 𝑧𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
119, 10nfan 1894 . . . . . . . . 9 𝑧(((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
12 nfv 1909 . . . . . . . . 9 𝑧 𝑏 ∈ ℝ+
1311, 12nfan 1894 . . . . . . . 8 𝑧((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)
14 nfra1 3273 . . . . . . . 8 𝑧𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
1513, 14nfan 1894 . . . . . . 7 𝑧(((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
16 simp-6l 784 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝜑)
17163ad2antl1 1182 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝜑)
18 simpl2 1189 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑧𝐴)
19 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑧 < 𝐵)
20 mnfxr 11268 . . . . . . . . . . . . . 14 -∞ ∈ ℝ*
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧𝐴𝑧 < 𝐵) → -∞ ∈ ℝ*)
22 limcleqr.b . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
2322rexrd 11261 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
24233ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧𝐴𝑧 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
25 limcleqr.a . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
2625sselda 3974 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
27263adant3 1129 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧𝐴𝑧 < 𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
2827mnfltd 13101 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧𝐴𝑧 < 𝐵) → -∞ < 𝑧)
29 simp3 1135 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧𝐴𝑧 < 𝐵) → 𝑧 < 𝐵)
3021, 24, 27, 28, 29eliood 44696 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧𝐴𝑧 < 𝐵) → 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵))
3117, 18, 19, 30syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵))
32 fvres 6900 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) = (𝐹𝑧))
3332oveq1d 7416 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵) → (((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿) = ((𝐹𝑧) − 𝐿))
3433eqcomd 2730 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵) → ((𝐹𝑧) − 𝐿) = (((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿))
3534fveq2d 6885 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)))
3631, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)))
37 simp-4r 781 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 < 𝐵) → ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
38373ad2antl1 1182 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
3918, 31elind 4186 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)))
4038, 39jca 511 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → (∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
41 simpl3l 1225 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑧𝐵)
424adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑎 ∈ ℝ+)
43423ad2antl1 1182 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑎 ∈ ℝ+)
445adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑏 ∈ ℝ+)
45443ad2antl1 1182 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑏 ∈ ℝ+)
46 simpl3r 1226 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))
47 simpl1 1188 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧𝐴)) → 𝜑)
48 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧𝐴)) → 𝑧𝐴)
4926recnd 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ ℂ)
5022recnd 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
5150adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
5249, 51subcld 11568 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝑧𝐵) ∈ ℂ)
5352abscld 15380 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧𝐴) → (abs‘(𝑧𝐵)) ∈ ℝ)
5447, 48, 53syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧𝐴)) → (abs‘(𝑧𝐵)) ∈ ℝ)
55 rpre 12979 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℝ)
5655adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → 𝑎 ∈ ℝ)
57 rpre 12979 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ)
5857adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → 𝑏 ∈ ℝ)
5956, 58ifcld 4566 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ)
60593adant1 1127 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ)
6160adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧𝐴)) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ)
62563adant1 1127 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → 𝑎 ∈ ℝ)
6362adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧𝐴)) → 𝑎 ∈ ℝ)
64 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧𝐴)) → (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))
65583adant1 1127 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → 𝑏 ∈ ℝ)
66 min1 13165 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑎)
6762, 65, 66syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑎)
6867adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧𝐴)) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑎)
6954, 61, 63, 64, 68ltletrd 11371 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧𝐴)) → (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎)
7017, 43, 45, 46, 18, 69syl32anc 1375 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎)
7141, 70jca 511 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎))
72 rspa 3237 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) → ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
7340, 71, 72sylc 65 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
7436, 73eqbrtrd 5160 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
75 simp-6l 784 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → 𝜑)
76753ad2antl1 1182 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → 𝜑)
7776, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
78 simpl2 1189 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → 𝑧𝐴)
7976, 78, 26syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
80 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧𝐵𝑧𝐵)
8180necomd 2988 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧𝐵𝐵𝑧)
8281ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏)) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → 𝐵𝑧)
83823ad2antl3 1184 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → 𝐵𝑧)
84 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → ¬ 𝑧 < 𝐵)
8577, 79, 83, 84lttri5d 44494 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → 𝐵 < 𝑧)
86 simp-6l 784 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝜑)
87863ad2antl1 1182 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝜑)
88 simpl2 1189 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑧𝐴)
89 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝐵 < 𝑧)
90233ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧𝐴𝐵 < 𝑧) → 𝐵 ∈ ℝ*)
91 pnfxr 11265 . . . . . . . . . . . . . . 15 +∞ ∈ ℝ*
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧𝐴𝐵 < 𝑧) → +∞ ∈ ℝ*)
93263adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧𝐴𝐵 < 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ)
94 simp3 1135 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧𝐴𝐵 < 𝑧) → 𝐵 < 𝑧)
9593ltpnfd 13098 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧𝐴𝐵 < 𝑧) → 𝑧 < +∞)
9690, 92, 93, 94, 95eliood 44696 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧𝐴𝐵 < 𝑧) → 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞))
9787, 88, 89, 96syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞))
98 fvres 6900 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) → ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) = (𝐹𝑧))
9998eqcomd 2730 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) → (𝐹𝑧) = ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧))
10099fvoveq1d 7423 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)))
10197, 100syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)))
102 simpl1r 1222 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
10388, 97elind 4186 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)))
104102, 103jca 511 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → (∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
105 simpl3l 1225 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑧𝐵)
1064adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑎 ∈ ℝ+)
1071063ad2antl1 1182 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑎 ∈ ℝ+)
1085adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑏 ∈ ℝ+)
1091083ad2antl1 1182 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑏 ∈ ℝ+)
110 simpl3r 1226 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))
11165adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧𝐴)) → 𝑏 ∈ ℝ)
112 min2 13166 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑏)
11362, 65, 112syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑏)
114113adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧𝐴)) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑏)
11554, 61, 111, 64, 114ltletrd 11371 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧𝐴)) → (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏)
11687, 107, 109, 110, 88, 115syl32anc 1375 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏)
117105, 116jca 511 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏))
118 rspa 3237 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) → ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
119104, 117, 118sylc 65 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
120101, 119eqbrtrd 5160 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
12185, 120syldan 590 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
12274, 121pm2.61dan 810 . . . . . . . 8 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
1231223exp 1116 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → (𝑧𝐴 → ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏)) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)))
12415, 123ralrimi 3246 . . . . . 6 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏)) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
125 brimralrspcev 5199 . . . . . 6 ((if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏)) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
1266, 124, 125syl2anc 583 . . . . 5 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
127 limcleqr.r . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) lim 𝐵))
128 limcleqr.f . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
129 fresin 6750 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)):(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))⟶ℂ)
130128, 129syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)):(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))⟶ℂ)
131 inss2 4221 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ (𝐵(,)+∞)
132 ioosscn 13383 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵(,)+∞) ⊆ ℂ
133131, 132sstri 3983 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ ℂ
134133a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ ℂ)
135130, 134, 50ellimc3 25730 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) lim 𝐵) ↔ (𝑅 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)) < 𝑥))))
136127, 135mpbid 231 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)) < 𝑥)))
137136simprd 495 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)) < 𝑥))
138137r19.21bi 3240 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)) < 𝑥))
139 limcleqr.leqr . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐿 = 𝑅)
140139oveq2d 7417 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿) = (((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅))
141140fveq2d 6885 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)))
142141breq1d 5148 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥 ↔ (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)) < 𝑥))
143142imbi2d 340 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ↔ ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)) < 𝑥)))
144143rexralbidv 3212 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑏 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ↔ ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)) < 𝑥)))
145144adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑏 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ↔ ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)) < 𝑥)))
146138, 145mpbird 257 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
147146ad2antrr 723 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
148126, 147r19.29a 3154 . . . 4 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
149 fresin 6750 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)):(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))⟶ℂ)
150128, 149syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)):(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))⟶ℂ)
151 inss2 4221 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ (-∞(,)𝐵)
152 ioossre 13382 . . . . . . . . . 10 (-∞(,)𝐵) ⊆ ℝ
153151, 152sstri 3983 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ
154 ax-resscn 11163 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℂ
155154a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
156153, 155sstrid 3985 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℂ)
157150, 156, 50ellimc3 25730 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim 𝐵) ↔ (𝐿 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))))
1582, 157mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)))
159158simprd 495 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
160159r19.21bi 3240 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
161148, 160r19.29a 3154 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
162161ralrimiva 3138 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
16325, 154sstrdi 3986 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
164128, 163, 50ellimc3 25730 . 2 (𝜑 → (𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ (𝐿 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))))
1653, 162, 164mpbir2and 710 1 (𝜑𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2932  wral 3053  wrex 3062  cin 3939  wss 3940  ifcif 4520   class class class wbr 5138  ran crn 5667  cres 5668  wf 6529  cfv 6533  (class class class)co 7401  cc 11104  cr 11105  +∞cpnf 11242  -∞cmnf 11243  *cxr 11244   < clt 11245  cle 11246  cmin 11441  +crp 12971  (,)cioo 13321  abscabs 15178  TopOpenctopn 17366  topGenctg 17382  fldccnfld 21228   lim climc 25713
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-fz 13482  df-seq 13964  df-exp 14025  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-struct 17079  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-rest 17367  df-topn 17368  df-topgen 17388  df-psmet 21220  df-xmet 21221  df-met 21222  df-bl 21223  df-mopn 21224  df-cnfld 21229  df-top 22718  df-topon 22735  df-topsp 22757  df-bases 22771  df-cnp 23054  df-xms 24148  df-ms 24149  df-limc 25717
This theorem is referenced by:  limclr  44856
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