limcleqr - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem limcleqr 45659

Description: If the left and the right limits are equal, the limit of the function exits and the three limits coincide. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
limcleqr.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂ_fld)
limcleqr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
limcleqr.j	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
limcleqr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
limcleqr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
limcleqr.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim_ℂ 𝐵))
limcleqr.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) lim_ℂ 𝐵))
limcleqr.leqr	⊢ (𝜑 → 𝐿 = 𝑅)

**Assertion**
Ref	Expression
limcleqr	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐹 lim_ℂ 𝐵))

Proof of Theorem limcleqr Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccl 25910	. . 3 ⊢ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim_ℂ 𝐵) ⊆ ℂ
2		limcleqr.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim_ℂ 𝐵))
3	1, 2	sselid 3981	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℂ)
4		simp-4r 784	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → 𝑎 ∈ ℝ⁺)
5		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → 𝑏 ∈ ℝ⁺)
6	4, 5	ifcld 4572	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ⁺)
7		nfv 1914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑧(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺)
8		nfv 1914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑎 ∈ ℝ⁺
9	7, 8	nfan 1899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑧((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺)
10		nfra1 3284	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑧∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
11	9, 10	nfan 1899	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑧(((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
12		nfv 1914	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑏 ∈ ℝ⁺
13	11, 12	nfan 1899	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)
14		nfra1 3284	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
15	13, 14	nfan 1899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
16		simp-6l 787	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝜑)
17	16	3ad2antl1 1186	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝜑)
18		simpl2 1193	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐴)
19		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑧 < 𝐵)
20		mnfxr 11318	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -∞ ∈ ℝ^*
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 < 𝐵) → -∞ ∈ ℝ^*)
22		limcleqr.b	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
23	22	rexrd 11311	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ^*)
24	23	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
25		limcleqr.a	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
26	25	sselda 3983	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
27	26	3adant3 1133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
28	27	mnfltd 13166	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 < 𝐵) → -∞ < 𝑧)
29		simp3 1139	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑧 < 𝐵)
30	21, 24, 27, 28, 29	eliood 45511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵))
31	17, 18, 19, 30	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵))
32		fvres 6925	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
33	32	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵) → (((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿) = ((𝐹‘𝑧) − 𝐿))
34	33	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵) → ((𝐹‘𝑧) − 𝐿) = (((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿))
35	34	fveq2d 6910	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)))
36	31, 35	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)))
37		simp-4r 784	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 < 𝐵) → ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
38	37	3ad2antl1 1186	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
39	18, 31	elind 4200	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)))
40	38, 39	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → (∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
41		simpl3l 1229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑧 ≠ 𝐵)
42	4	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑎 ∈ ℝ⁺)
43	42	3ad2antl1 1186	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑎 ∈ ℝ⁺)
44	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑏 ∈ ℝ⁺)
45	44	3ad2antl1 1186	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑏 ∈ ℝ⁺)
46		simpl3r 1230	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))
47		simpl1 1192	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ((abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝜑)
48		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ((abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
49	26	recnd 11289	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℂ)
50	22	recnd 11289	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
51	50	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
52	49, 51	subcld 11620	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑧 − 𝐵) ∈ ℂ)
53	52	abscld 15475	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝑧 − 𝐵)) ∈ ℝ)
54	47, 48, 53	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ((abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (abs‘(𝑧 − 𝐵)) ∈ ℝ)
55		rpre 13043	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ⁺ → 𝑎 ∈ ℝ)
56	55	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) → 𝑎 ∈ ℝ)
57		rpre 13043	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ⁺ → 𝑏 ∈ ℝ)
58	57	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) → 𝑏 ∈ ℝ)
59	56, 58	ifcld 4572	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ)
60	59	3adant1 1131	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ)
61	60	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ((abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ)
62	56	3adant1 1131	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) → 𝑎 ∈ ℝ)
63	62	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ((abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑎 ∈ ℝ)
64		simprl 771	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ((abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))
65	58	3adant1 1131	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) → 𝑏 ∈ ℝ)
66		min1 13231	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑎)
67	62, 65, 66	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑎)
68	67	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ((abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑎)
69	54, 61, 63, 64, 68	ltletrd 11421	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ((abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎)
70	17, 43, 45, 46, 18, 69	syl32anc 1380	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎)
71	41, 70	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎))
72		rspa 3248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) → ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
73	40, 71, 72	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
74	36, 73	eqbrtrd 5165	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
75		simp-6l 787	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → 𝜑)
76	75	3ad2antl1 1186	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → 𝜑)
77	76, 22	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
78		simpl2 1193	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐴)
79	76, 78, 26	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
80		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ≠ 𝐵 → 𝑧 ≠ 𝐵)
81	80	necomd 2996	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ≠ 𝐵 → 𝐵 ≠ 𝑧)
82	81	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏)) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝑧)
83	82	3ad2antl3 1188	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝑧)
84		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → ¬ 𝑧 < 𝐵)
85	77, 79, 83, 84	lttri5d 45311	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → 𝐵 < 𝑧)
86		simp-6l 787	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝜑)
87	86	3ad2antl1 1186	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝜑)
88		simpl2 1193	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝐴)
89		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝐵 < 𝑧)
90	23	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
91		pnfxr 11315	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ +∞ ∈ ℝ^*
92	91	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝑧) → +∞ ∈ ℝ^*)
93	26	3adant3 1133	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ)
94		simp3 1139	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝐵 < 𝑧)
95	93	ltpnfd 13163	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑧 < +∞)
96	90, 92, 93, 94, 95	eliood 45511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞))
97	87, 88, 89, 96	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞))
98		fvres 6925	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) → ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
99	98	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) → (𝐹‘𝑧) = ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧))
100	99	fvoveq1d 7453	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)))
101	97, 100	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)))
102		simpl1r 1226	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
103	88, 97	elind 4200	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)))
104	102, 103	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → (∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
105		simpl3l 1229	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑧 ≠ 𝐵)
106	4	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑎 ∈ ℝ⁺)
107	106	3ad2antl1 1186	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑎 ∈ ℝ⁺)
108	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑏 ∈ ℝ⁺)
109	108	3ad2antl1 1186	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑏 ∈ ℝ⁺)
110		simpl3r 1230	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))
111	65	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ((abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑏 ∈ ℝ)
112		min2 13232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑏)
113	62, 65, 112	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑏)
114	113	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ((abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑏)
115	54, 61, 111, 64, 114	ltletrd 11421	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ((abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏)
116	87, 107, 109, 110, 88, 115	syl32anc 1380	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏)
117	105, 116	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏))
118		rspa 3248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) → ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
119	104, 117, 118	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
120	101, 119	eqbrtrd 5165	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
121	85, 120	syldan 591	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
122	74, 121	pm2.61dan 813	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
123	122	3exp 1120	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → (𝑧 ∈ 𝐴 → ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏)) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)))
124	15, 123	ralrimi 3257	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏)) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
125		brimralrspcev 5204	. . . . . 6 ⊢ ((if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏)) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
126	6, 124, 125	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
127		limcleqr.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) lim_ℂ 𝐵))
128		limcleqr.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
129		fresin 6777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)):(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))⟶ℂ)
130	128, 129	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)):(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))⟶ℂ)
131		inss2 4238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ (𝐵(,)+∞)
132		ioosscn 13449	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵(,)+∞) ⊆ ℂ
133	131, 132	sstri 3993	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ ℂ
134	133	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ ℂ)
135	130, 134, 50	ellimc3 25914	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) lim_ℂ 𝐵) ↔ (𝑅 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑏 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)) < 𝑥))))
136	127, 135	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑏 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)) < 𝑥)))
137	136	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑏 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)) < 𝑥))
138	137	r19.21bi 3251	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑏 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)) < 𝑥))
139		limcleqr.leqr	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = 𝑅)
140	139	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿) = (((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅))
141	140	fveq2d 6910	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)))
142	141	breq1d 5153	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥 ↔ (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)) < 𝑥))
143	142	imbi2d 340	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ↔ ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)) < 𝑥)))
144	143	rexralbidv 3223	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∃𝑏 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ↔ ∃𝑏 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)) < 𝑥)))
145	144	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (∃𝑏 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ↔ ∃𝑏 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)) < 𝑥)))
146	138, 145	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑏 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
147	146	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → ∃𝑏 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
148	126, 147	r19.29a 3162	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
149		fresin 6777	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)):(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))⟶ℂ)
150	128, 149	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)):(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))⟶ℂ)
151		inss2 4238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ (-∞(,)𝐵)
152		ioossre 13448	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-∞(,)𝐵) ⊆ ℝ
153	151, 152	sstri 3993	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ
154		ax-resscn 11212	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
155	154	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
156	153, 155	sstrid 3995	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℂ)
157	150, 156, 50	ellimc3 25914	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim_ℂ 𝐵) ↔ (𝐿 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑎 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))))
158	2, 157	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑎 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)))
159	158	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑎 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
160	159	r19.21bi 3251	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑎 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
161	148, 160	r19.29a 3162	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
162	161	ralrimiva 3146	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
163	25, 154	sstrdi 3996	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
164	128, 163, 50	ellimc3 25914	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∈ (𝐹 lim_ℂ 𝐵) ↔ (𝐿 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))))
165	3, 162, 164	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐹 lim_ℂ 𝐵))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1087 = wceq 1540 ∈ wcel 2108 ≠ wne 2940 ∀wral 3061 ∃wrex 3070 ∩ cin 3950 ⊆ wss 3951 ifcif 4525 class class class wbr 5143 ran crn 5686 ↾ cres 5687 ⟶wf 6557 ‘cfv 6561 (class class class)co 7431 ℂcc 11153 ℝcr 11154 +∞cpnf 11292 -∞cmnf 11293 ℝ^*cxr 11294 < clt 11295 ≤ cle 11296 − cmin 11492 ℝ⁺crp 13034 (,)cioo 13387 abscabs 15273 TopOpenctopn 17466 topGenctg 17482 ℂ_fldccnfld 21364 lim_ℂ climc 25897

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2007 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2141 ax-11 2157 ax-12 2177 ax-ext 2708 ax-rep 5279 ax-sep 5296 ax-nul 5306 ax-pow 5365 ax-pr 5432 ax-un 7755 ax-cnex 11211 ax-resscn 11212 ax-1cn 11213 ax-icn 11214 ax-addcl 11215 ax-addrcl 11216 ax-mulcl 11217 ax-mulrcl 11218 ax-mulcom 11219 ax-addass 11220 ax-mulass 11221 ax-distr 11222 ax-i2m1 11223 ax-1ne0 11224 ax-1rid 11225 ax-rnegex 11226 ax-rrecex 11227 ax-cnre 11228 ax-pre-lttri 11229 ax-pre-lttrn 11230 ax-pre-ltadd 11231 ax-pre-mulgt0 11232 ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2065 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2816 df-nfc 2892 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3380 df-reu 3381 df-rab 3437 df-v 3482 df-sbc 3789 df-csb 3900 df-dif 3954 df-un 3956 df-in 3958 df-ss 3968 df-pss 3971 df-nul 4334 df-if 4526 df-pw 4602 df-sn 4627 df-pr 4629 df-tp 4631 df-op 4633 df-uni 4908 df-int 4947 df-iun 4993 df-br 5144 df-opab 5206 df-mpt 5226 df-tr 5260 df-id 5578 df-eprel 5584 df-po 5592 df-so 5593 df-fr 5637 df-we 5639 df-xp 5691 df-rel 5692 df-cnv 5693 df-co 5694 df-dm 5695 df-rn 5696 df-res 5697 df-ima 5698 df-pred 6321 df-ord 6387 df-on 6388 df-lim 6389 df-suc 6390 df-iota 6514 df-fun 6563 df-fn 6564 df-f 6565 df-f1 6566 df-fo 6567 df-f1o 6568 df-fv 6569 df-riota 7388 df-ov 7434 df-oprab 7435 df-mpo 7436 df-om 7888 df-1st 8014 df-2nd 8015 df-frecs 8306 df-wrecs 8337 df-recs 8411 df-rdg 8450 df-1o 8506 df-er 8745 df-map 8868 df-pm 8869 df-en 8986 df-dom 8987 df-sdom 8988 df-fin 8989 df-fi 9451 df-sup 9482 df-inf 9483 df-pnf 11297 df-mnf 11298 df-xr 11299 df-ltxr 11300 df-le 11301 df-sub 11494 df-neg 11495 df-div 11921 df-nn 12267 df-2 12329 df-3 12330 df-4 12331 df-5 12332 df-6 12333 df-7 12334 df-8 12335 df-9 12336 df-n0 12527 df-z 12614 df-dec 12734 df-uz 12879 df-q 12991 df-rp 13035 df-xneg 13154 df-xadd 13155 df-xmul 13156 df-ioo 13391 df-fz 13548 df-seq 14043 df-exp 14103 df-cj 15138 df-re 15139 df-im 15140 df-sqrt 15274 df-abs 15275 df-struct 17184 df-slot 17219 df-ndx 17231 df-base 17248 df-plusg 17310 df-mulr 17311 df-starv 17312 df-tset 17316 df-ple 17317 df-ds 17319 df-unif 17320 df-rest 17467 df-topn 17468 df-topgen 17488 df-psmet 21356 df-xmet 21357 df-met 21358 df-bl 21359 df-mopn 21360 df-cnfld 21365 df-top 22900 df-topon 22917 df-topsp 22939 df-bases 22953 df-cnp 23236 df-xms 24330 df-ms 24331 df-limc 25901

This theorem is referenced by: limclr 45670

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