limcleqr - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem limcleqr 45752

Description: If the left and the right limits are equal, the limit of the function exits and the three limits coincide. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
limcleqr.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂ_fld)
limcleqr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
limcleqr.j	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
limcleqr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
limcleqr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
limcleqr.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim_ℂ 𝐵))
limcleqr.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) lim_ℂ 𝐵))
limcleqr.leqr	⊢ (𝜑 → 𝐿 = 𝑅)

**Assertion**
Ref	Expression
limcleqr	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐹 lim_ℂ 𝐵))

Proof of Theorem limcleqr Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccl 25803	. . 3 ⊢ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim_ℂ 𝐵) ⊆ ℂ
2		limcleqr.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim_ℂ 𝐵))
3	1, 2	sselid 3927	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℂ)
4		simp-4r 783	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → 𝑎 ∈ ℝ⁺)
5		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → 𝑏 ∈ ℝ⁺)
6	4, 5	ifcld 4519	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ⁺)
7		nfv 1915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑧(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺)
8		nfv 1915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑎 ∈ ℝ⁺
9	7, 8	nfan 1900	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑧((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺)
10		nfra1 3256	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑧∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
11	9, 10	nfan 1900	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑧(((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
12		nfv 1915	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑏 ∈ ℝ⁺
13	11, 12	nfan 1900	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)
14		nfra1 3256	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
15	13, 14	nfan 1900	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
16		simp-6l 786	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝜑)
17	16	3ad2antl1 1186	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝜑)
18		simpl2 1193	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐴)
19		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑧 < 𝐵)
20		mnfxr 11169	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -∞ ∈ ℝ^*
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 < 𝐵) → -∞ ∈ ℝ^*)
22		limcleqr.b	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
23	22	rexrd 11162	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ^*)
24	23	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
25		limcleqr.a	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
26	25	sselda 3929	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
27	26	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
28	27	mnfltd 13023	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 < 𝐵) → -∞ < 𝑧)
29		simp3 1138	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑧 < 𝐵)
30	21, 24, 27, 28, 29	eliood 45608	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵))
31	17, 18, 19, 30	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵))
32		fvres 6841	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
33	32	oveq1d 7361	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵) → (((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿) = ((𝐹‘𝑧) − 𝐿))
34	33	eqcomd 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵) → ((𝐹‘𝑧) − 𝐿) = (((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿))
35	34	fveq2d 6826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)))
36	31, 35	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)))
37		simp-4r 783	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 < 𝐵) → ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
38	37	3ad2antl1 1186	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
39	18, 31	elind 4147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)))
40	38, 39	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → (∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
41		simpl3l 1229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑧 ≠ 𝐵)
42	4	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑎 ∈ ℝ⁺)
43	42	3ad2antl1 1186	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑎 ∈ ℝ⁺)
44	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑏 ∈ ℝ⁺)
45	44	3ad2antl1 1186	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑏 ∈ ℝ⁺)
46		simpl3r 1230	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))
47		simpl1 1192	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ((abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝜑)
48		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ((abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
49	26	recnd 11140	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℂ)
50	22	recnd 11140	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
51	50	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
52	49, 51	subcld 11472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑧 − 𝐵) ∈ ℂ)
53	52	abscld 15346	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝑧 − 𝐵)) ∈ ℝ)
54	47, 48, 53	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ((abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (abs‘(𝑧 − 𝐵)) ∈ ℝ)
55		rpre 12899	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ⁺ → 𝑎 ∈ ℝ)
56	55	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) → 𝑎 ∈ ℝ)
57		rpre 12899	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ⁺ → 𝑏 ∈ ℝ)
58	57	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) → 𝑏 ∈ ℝ)
59	56, 58	ifcld 4519	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ)
60	59	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ)
61	60	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ((abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ)
62	56	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) → 𝑎 ∈ ℝ)
63	62	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ((abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑎 ∈ ℝ)
64		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ((abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))
65	58	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) → 𝑏 ∈ ℝ)
66		min1 13088	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑎)
67	62, 65, 66	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑎)
68	67	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ((abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑎)
69	54, 61, 63, 64, 68	ltletrd 11273	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ((abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎)
70	17, 43, 45, 46, 18, 69	syl32anc 1380	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎)
71	41, 70	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎))
72		rspa 3221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) → ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
73	40, 71, 72	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
74	36, 73	eqbrtrd 5111	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
75		simp-6l 786	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → 𝜑)
76	75	3ad2antl1 1186	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → 𝜑)
77	76, 22	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
78		simpl2 1193	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐴)
79	76, 78, 26	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
80		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ≠ 𝐵 → 𝑧 ≠ 𝐵)
81	80	necomd 2983	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ≠ 𝐵 → 𝐵 ≠ 𝑧)
82	81	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏)) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝑧)
83	82	3ad2antl3 1188	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝑧)
84		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → ¬ 𝑧 < 𝐵)
85	77, 79, 83, 84	lttri5d 45410	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → 𝐵 < 𝑧)
86		simp-6l 786	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝜑)
87	86	3ad2antl1 1186	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝜑)
88		simpl2 1193	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝐴)
89		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝐵 < 𝑧)
90	23	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
91		pnfxr 11166	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ +∞ ∈ ℝ^*
92	91	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝑧) → +∞ ∈ ℝ^*)
93	26	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ)
94		simp3 1138	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝐵 < 𝑧)
95	93	ltpnfd 13020	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑧 < +∞)
96	90, 92, 93, 94, 95	eliood 45608	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞))
97	87, 88, 89, 96	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞))
98		fvres 6841	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) → ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
99	98	eqcomd 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) → (𝐹‘𝑧) = ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧))
100	99	fvoveq1d 7368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)))
101	97, 100	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)))
102		simpl1r 1226	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
103	88, 97	elind 4147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)))
104	102, 103	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → (∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
105		simpl3l 1229	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑧 ≠ 𝐵)
106	4	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑎 ∈ ℝ⁺)
107	106	3ad2antl1 1186	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑎 ∈ ℝ⁺)
108	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑏 ∈ ℝ⁺)
109	108	3ad2antl1 1186	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑏 ∈ ℝ⁺)
110		simpl3r 1230	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))
111	65	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ((abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑏 ∈ ℝ)
112		min2 13089	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑏)
113	62, 65, 112	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑏)
114	113	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ((abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑏)
115	54, 61, 111, 64, 114	ltletrd 11273	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ((abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏)
116	87, 107, 109, 110, 88, 115	syl32anc 1380	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏)
117	105, 116	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏))
118		rspa 3221	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) → ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
119	104, 117, 118	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
120	101, 119	eqbrtrd 5111	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
121	85, 120	syldan 591	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
122	74, 121	pm2.61dan 812	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
123	122	3exp 1119	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → (𝑧 ∈ 𝐴 → ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏)) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)))
124	15, 123	ralrimi 3230	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏)) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
125		brimralrspcev 5150	. . . . . 6 ⊢ ((if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏)) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
126	6, 124, 125	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
127		limcleqr.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) lim_ℂ 𝐵))
128		limcleqr.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
129		fresin 6692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)):(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))⟶ℂ)
130	128, 129	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)):(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))⟶ℂ)
131		inss2 4185	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ (𝐵(,)+∞)
132		ioosscn 13308	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵(,)+∞) ⊆ ℂ
133	131, 132	sstri 3939	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ ℂ
134	133	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ ℂ)
135	130, 134, 50	ellimc3 25807	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) lim_ℂ 𝐵) ↔ (𝑅 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑏 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)) < 𝑥))))
136	127, 135	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑏 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)) < 𝑥)))
137	136	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑏 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)) < 𝑥))
138	137	r19.21bi 3224	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑏 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)) < 𝑥))
139		limcleqr.leqr	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = 𝑅)
140	139	oveq2d 7362	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿) = (((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅))
141	140	fveq2d 6826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)))
142	141	breq1d 5099	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥 ↔ (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)) < 𝑥))
143	142	imbi2d 340	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ↔ ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)) < 𝑥)))
144	143	rexralbidv 3198	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∃𝑏 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ↔ ∃𝑏 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)) < 𝑥)))
145	144	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (∃𝑏 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ↔ ∃𝑏 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)) < 𝑥)))
146	138, 145	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑏 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
147	146	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → ∃𝑏 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
148	126, 147	r19.29a 3140	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
149		fresin 6692	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)):(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))⟶ℂ)
150	128, 149	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)):(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))⟶ℂ)
151		inss2 4185	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ (-∞(,)𝐵)
152		ioossre 13307	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-∞(,)𝐵) ⊆ ℝ
153	151, 152	sstri 3939	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ
154		ax-resscn 11063	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
155	154	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
156	153, 155	sstrid 3941	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℂ)
157	150, 156, 50	ellimc3 25807	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim_ℂ 𝐵) ↔ (𝐿 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑎 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))))
158	2, 157	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑎 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)))
159	158	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑎 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
160	159	r19.21bi 3224	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑎 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
161	148, 160	r19.29a 3140	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
162	161	ralrimiva 3124	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
163	25, 154	sstrdi 3942	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
164	128, 163, 50	ellimc3 25807	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∈ (𝐹 lim_ℂ 𝐵) ↔ (𝐿 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))))
165	3, 162, 164	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐹 lim_ℂ 𝐵))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1541 ∈ wcel 2111 ≠ wne 2928 ∀wral 3047 ∃wrex 3056 ∩ cin 3896 ⊆ wss 3897 ifcif 4472 class class class wbr 5089 ran crn 5615 ↾ cres 5616 ⟶wf 6477 ‘cfv 6481 (class class class)co 7346 ℂcc 11004 ℝcr 11005 +∞cpnf 11143 -∞cmnf 11144 ℝ^*cxr 11145 < clt 11146 ≤ cle 11147 − cmin 11344 ℝ⁺crp 12890 (,)cioo 13245 abscabs 15141 TopOpenctopn 17325 topGenctg 17341 ℂ_fldccnfld 21291 lim_ℂ climc 25790

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1968 ax-7 2009 ax-8 2113 ax-9 2121 ax-10 2144 ax-11 2160 ax-12 2180 ax-ext 2703 ax-rep 5215 ax-sep 5232 ax-nul 5242 ax-pow 5301 ax-pr 5368 ax-un 7668 ax-cnex 11062 ax-resscn 11063 ax-1cn 11064 ax-icn 11065 ax-addcl 11066 ax-addrcl 11067 ax-mulcl 11068 ax-mulrcl 11069 ax-mulcom 11070 ax-addass 11071 ax-mulass 11072 ax-distr 11073 ax-i2m1 11074 ax-1ne0 11075 ax-1rid 11076 ax-rnegex 11077 ax-rrecex 11078 ax-cnre 11079 ax-pre-lttri 11080 ax-pre-lttrn 11081 ax-pre-ltadd 11082 ax-pre-mulgt0 11083 ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2068 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2710 df-cleq 2723 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2929 df-nel 3033 df-ral 3048 df-rex 3057 df-rmo 3346 df-reu 3347 df-rab 3396 df-v 3438 df-sbc 3737 df-csb 3846 df-dif 3900 df-un 3902 df-in 3904 df-ss 3914 df-pss 3917 df-nul 4281 df-if 4473 df-pw 4549 df-sn 4574 df-pr 4576 df-tp 4578 df-op 4580 df-uni 4857 df-int 4896 df-iun 4941 df-br 5090 df-opab 5152 df-mpt 5171 df-tr 5197 df-id 5509 df-eprel 5514 df-po 5522 df-so 5523 df-fr 5567 df-we 5569 df-xp 5620 df-rel 5621 df-cnv 5622 df-co 5623 df-dm 5624 df-rn 5625 df-res 5626 df-ima 5627 df-pred 6248 df-ord 6309 df-on 6310 df-lim 6311 df-suc 6312 df-iota 6437 df-fun 6483 df-fn 6484 df-f 6485 df-f1 6486 df-fo 6487 df-f1o 6488 df-fv 6489 df-riota 7303 df-ov 7349 df-oprab 7350 df-mpo 7351 df-om 7797 df-1st 7921 df-2nd 7922 df-frecs 8211 df-wrecs 8242 df-recs 8291 df-rdg 8329 df-1o 8385 df-er 8622 df-map 8752 df-pm 8753 df-en 8870 df-dom 8871 df-sdom 8872 df-fin 8873 df-fi 9295 df-sup 9326 df-inf 9327 df-pnf 11148 df-mnf 11149 df-xr 11150 df-ltxr 11151 df-le 11152 df-sub 11346 df-neg 11347 df-div 11775 df-nn 12126 df-2 12188 df-3 12189 df-4 12190 df-5 12191 df-6 12192 df-7 12193 df-8 12194 df-9 12195 df-n0 12382 df-z 12469 df-dec 12589 df-uz 12733 df-q 12847 df-rp 12891 df-xneg 13011 df-xadd 13012 df-xmul 13013 df-ioo 13249 df-fz 13408 df-seq 13909 df-exp 13969 df-cj 15006 df-re 15007 df-im 15008 df-sqrt 15142 df-abs 15143 df-struct 17058 df-slot 17093 df-ndx 17105 df-base 17121 df-plusg 17174 df-mulr 17175 df-starv 17176 df-tset 17180 df-ple 17181 df-ds 17183 df-unif 17184 df-rest 17326 df-topn 17327 df-topgen 17347 df-psmet 21283 df-xmet 21284 df-met 21285 df-bl 21286 df-mopn 21287 df-cnfld 21292 df-top 22809 df-topon 22826 df-topsp 22848 df-bases 22861 df-cnp 23143 df-xms 24235 df-ms 24236 df-limc 25794

This theorem is referenced by: limclr 45763

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