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Theorem limcleqr 45659
Description: If the left and the right limits are equal, the limit of the function exits and the three limits coincide. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
limcleqr.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
limcleqr.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
limcleqr.j 𝐽 = (topGen‘ran (,))
limcleqr.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
limcleqr.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
limcleqr.l (𝜑𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim 𝐵))
limcleqr.r (𝜑𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) lim 𝐵))
limcleqr.leqr (𝜑𝐿 = 𝑅)
Assertion
Ref Expression
limcleqr (𝜑𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵))

Proof of Theorem limcleqr
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl 25910 . . 3 ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim 𝐵) ⊆ ℂ
2 limcleqr.l . . 3 (𝜑𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim 𝐵))
31, 2sselid 3981 . 2 (𝜑𝐿 ∈ ℂ)
4 simp-4r 784 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → 𝑎 ∈ ℝ+)
5 simplr 769 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → 𝑏 ∈ ℝ+)
64, 5ifcld 4572 . . . . . 6 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ+)
7 nfv 1914 . . . . . . . . . . 11 𝑧(𝜑𝑥 ∈ ℝ+)
8 nfv 1914 . . . . . . . . . . 11 𝑧 𝑎 ∈ ℝ+
97, 8nfan 1899 . . . . . . . . . 10 𝑧((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+)
10 nfra1 3284 . . . . . . . . . 10 𝑧𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
119, 10nfan 1899 . . . . . . . . 9 𝑧(((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
12 nfv 1914 . . . . . . . . 9 𝑧 𝑏 ∈ ℝ+
1311, 12nfan 1899 . . . . . . . 8 𝑧((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)
14 nfra1 3284 . . . . . . . 8 𝑧𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
1513, 14nfan 1899 . . . . . . 7 𝑧(((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
16 simp-6l 787 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝜑)
17163ad2antl1 1186 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝜑)
18 simpl2 1193 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑧𝐴)
19 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑧 < 𝐵)
20 mnfxr 11318 . . . . . . . . . . . . . 14 -∞ ∈ ℝ*
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧𝐴𝑧 < 𝐵) → -∞ ∈ ℝ*)
22 limcleqr.b . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
2322rexrd 11311 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
24233ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧𝐴𝑧 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
25 limcleqr.a . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
2625sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
27263adant3 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧𝐴𝑧 < 𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
2827mnfltd 13166 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧𝐴𝑧 < 𝐵) → -∞ < 𝑧)
29 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧𝐴𝑧 < 𝐵) → 𝑧 < 𝐵)
3021, 24, 27, 28, 29eliood 45511 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧𝐴𝑧 < 𝐵) → 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵))
3117, 18, 19, 30syl3anc 1373 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵))
32 fvres 6925 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) = (𝐹𝑧))
3332oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵) → (((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿) = ((𝐹𝑧) − 𝐿))
3433eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵) → ((𝐹𝑧) − 𝐿) = (((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿))
3534fveq2d 6910 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)))
3631, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)))
37 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 < 𝐵) → ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
38373ad2antl1 1186 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
3918, 31elind 4200 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)))
4038, 39jca 511 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → (∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
41 simpl3l 1229 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑧𝐵)
424adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑎 ∈ ℝ+)
43423ad2antl1 1186 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑎 ∈ ℝ+)
445adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑏 ∈ ℝ+)
45443ad2antl1 1186 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑏 ∈ ℝ+)
46 simpl3r 1230 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))
47 simpl1 1192 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧𝐴)) → 𝜑)
48 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧𝐴)) → 𝑧𝐴)
4926recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ ℂ)
5022recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
5150adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
5249, 51subcld 11620 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝑧𝐵) ∈ ℂ)
5352abscld 15475 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧𝐴) → (abs‘(𝑧𝐵)) ∈ ℝ)
5447, 48, 53syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧𝐴)) → (abs‘(𝑧𝐵)) ∈ ℝ)
55 rpre 13043 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℝ)
5655adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → 𝑎 ∈ ℝ)
57 rpre 13043 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ)
5857adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → 𝑏 ∈ ℝ)
5956, 58ifcld 4572 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ)
60593adant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ)
6160adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧𝐴)) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ)
62563adant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → 𝑎 ∈ ℝ)
6362adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧𝐴)) → 𝑎 ∈ ℝ)
64 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧𝐴)) → (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))
65583adant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → 𝑏 ∈ ℝ)
66 min1 13231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑎)
6762, 65, 66syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑎)
6867adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧𝐴)) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑎)
6954, 61, 63, 64, 68ltletrd 11421 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧𝐴)) → (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎)
7017, 43, 45, 46, 18, 69syl32anc 1380 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎)
7141, 70jca 511 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎))
72 rspa 3248 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) → ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
7340, 71, 72sylc 65 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
7436, 73eqbrtrd 5165 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
75 simp-6l 787 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → 𝜑)
76753ad2antl1 1186 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → 𝜑)
7776, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
78 simpl2 1193 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → 𝑧𝐴)
7976, 78, 26syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
80 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧𝐵𝑧𝐵)
8180necomd 2996 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧𝐵𝐵𝑧)
8281ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏)) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → 𝐵𝑧)
83823ad2antl3 1188 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → 𝐵𝑧)
84 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → ¬ 𝑧 < 𝐵)
8577, 79, 83, 84lttri5d 45311 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → 𝐵 < 𝑧)
86 simp-6l 787 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝜑)
87863ad2antl1 1186 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝜑)
88 simpl2 1193 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑧𝐴)
89 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝐵 < 𝑧)
90233ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧𝐴𝐵 < 𝑧) → 𝐵 ∈ ℝ*)
91 pnfxr 11315 . . . . . . . . . . . . . . 15 +∞ ∈ ℝ*
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧𝐴𝐵 < 𝑧) → +∞ ∈ ℝ*)
93263adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧𝐴𝐵 < 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ)
94 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧𝐴𝐵 < 𝑧) → 𝐵 < 𝑧)
9593ltpnfd 13163 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧𝐴𝐵 < 𝑧) → 𝑧 < +∞)
9690, 92, 93, 94, 95eliood 45511 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧𝐴𝐵 < 𝑧) → 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞))
9787, 88, 89, 96syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞))
98 fvres 6925 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) → ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) = (𝐹𝑧))
9998eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) → (𝐹𝑧) = ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧))
10099fvoveq1d 7453 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)))
10197, 100syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)))
102 simpl1r 1226 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
10388, 97elind 4200 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)))
104102, 103jca 511 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → (∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
105 simpl3l 1229 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑧𝐵)
1064adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑎 ∈ ℝ+)
1071063ad2antl1 1186 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑎 ∈ ℝ+)
1085adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑏 ∈ ℝ+)
1091083ad2antl1 1186 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑏 ∈ ℝ+)
110 simpl3r 1230 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))
11165adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧𝐴)) → 𝑏 ∈ ℝ)
112 min2 13232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑏)
11362, 65, 112syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑏)
114113adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧𝐴)) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑏)
11554, 61, 111, 64, 114ltletrd 11421 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧𝐴)) → (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏)
11687, 107, 109, 110, 88, 115syl32anc 1380 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏)
117105, 116jca 511 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏))
118 rspa 3248 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) → ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
119104, 117, 118sylc 65 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
120101, 119eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
12185, 120syldan 591 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
12274, 121pm2.61dan 813 . . . . . . . 8 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
1231223exp 1120 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → (𝑧𝐴 → ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏)) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)))
12415, 123ralrimi 3257 . . . . . 6 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏)) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
125 brimralrspcev 5204 . . . . . 6 ((if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏)) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
1266, 124, 125syl2anc 584 . . . . 5 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
127 limcleqr.r . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) lim 𝐵))
128 limcleqr.f . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
129 fresin 6777 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)):(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))⟶ℂ)
130128, 129syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)):(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))⟶ℂ)
131 inss2 4238 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ (𝐵(,)+∞)
132 ioosscn 13449 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵(,)+∞) ⊆ ℂ
133131, 132sstri 3993 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ ℂ
134133a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ ℂ)
135130, 134, 50ellimc3 25914 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) lim 𝐵) ↔ (𝑅 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)) < 𝑥))))
136127, 135mpbid 232 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)) < 𝑥)))
137136simprd 495 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)) < 𝑥))
138137r19.21bi 3251 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)) < 𝑥))
139 limcleqr.leqr . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐿 = 𝑅)
140139oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿) = (((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅))
141140fveq2d 6910 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)))
142141breq1d 5153 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥 ↔ (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)) < 𝑥))
143142imbi2d 340 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ↔ ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)) < 𝑥)))
144143rexralbidv 3223 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑏 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ↔ ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)) < 𝑥)))
145144adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑏 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ↔ ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)) < 𝑥)))
146138, 145mpbird 257 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
147146ad2antrr 726 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
148126, 147r19.29a 3162 . . . 4 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
149 fresin 6777 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)):(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))⟶ℂ)
150128, 149syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)):(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))⟶ℂ)
151 inss2 4238 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ (-∞(,)𝐵)
152 ioossre 13448 . . . . . . . . . 10 (-∞(,)𝐵) ⊆ ℝ
153151, 152sstri 3993 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ
154 ax-resscn 11212 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℂ
155154a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
156153, 155sstrid 3995 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℂ)
157150, 156, 50ellimc3 25914 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim 𝐵) ↔ (𝐿 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))))
1582, 157mpbid 232 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)))
159158simprd 495 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
160159r19.21bi 3251 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
161148, 160r19.29a 3162 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
162161ralrimiva 3146 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
16325, 154sstrdi 3996 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
164128, 163, 50ellimc3 25914 . 2 (𝜑 → (𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ (𝐿 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))))
1653, 162, 164mpbir2and 713 1 (𝜑𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  cin 3950  wss 3951  ifcif 4525   class class class wbr 5143  ran crn 5686  cres 5687  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  +∞cpnf 11292  -∞cmnf 11293  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  +crp 13034  (,)cioo 13387  abscabs 15273  TopOpenctopn 17466  topGenctg 17482  fldccnfld 21364   lim climc 25897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-rest 17467  df-topn 17468  df-topgen 17488  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cnp 23236  df-xms 24330  df-ms 24331  df-limc 25901
This theorem is referenced by:  limclr  45670
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