limcleqr - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem limcleqr 46653

Description: If the left and the right limits are equal, the limit of the function exits and the three limits coincide. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
limcleqr.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂ_fld)
limcleqr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
limcleqr.j	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
limcleqr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
limcleqr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
limcleqr.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim_ℂ 𝐵))
limcleqr.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) lim_ℂ 𝐵))
limcleqr.leqr	⊢ (𝜑 → 𝐿 = 𝑅)

**Assertion**
Ref	Expression
limcleqr	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐹 lim_ℂ 𝐵))

Proof of Theorem limcleqr Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccl 26195	. . 3 ⊢ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim_ℂ 𝐵) ⊆ ℂ
2		limcleqr.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim_ℂ 𝐵))
3	1, 2	sselid 3929	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℂ)
4		simp-4r 796	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → 𝑎 ∈ ℝ⁺)
5		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → 𝑏 ∈ ℝ⁺)
6	4, 5	ifcld 4529	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ⁺)
7		nfv 1947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑧(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺)
8		nfv 1947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑎 ∈ ℝ⁺
9	7, 8	nfan 1932	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑧((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺)
10		nfra1 3287	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑧∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
11	9, 10	nfan 1932	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑧(((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
12		nfv 1947	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑏 ∈ ℝ⁺
13	11, 12	nfan 1932	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)
14		nfra1 3287	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
15	13, 14	nfan 1932	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
16		simp-6l 799	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝜑)
17	16	3ad2antl1 1204	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝜑)
18		simpl2 1211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐴)
19		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑧 < 𝐵)
20		mnfxr 11366	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -∞ ∈ ℝ^*
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 < 𝐵) → -∞ ∈ ℝ^*)
22		limcleqr.b	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
23	22	rexrd 11359	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ^*)
24	23	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
25		limcleqr.a	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
26	25	sselda 3931	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
27	26	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
28	27	mnfltd 13253	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 < 𝐵) → -∞ < 𝑧)
29		simp3 1156	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑧 < 𝐵)
30	21, 24, 27, 28, 29	eliood 46509	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵))
31	17, 18, 19, 30	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵))
32		fvres 6904	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
33	32	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵) → (((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿) = ((𝐹‘𝑧) − 𝐿))
34	33	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵) → ((𝐹‘𝑧) − 𝐿) = (((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿))
35	34	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)))
36	31, 35	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)))
37		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 < 𝐵) → ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
38	37	3ad2antl1 1204	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
39	18, 31	elind 4146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)))
40	38, 39	jca 521	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → (∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
41		simpl3l 1247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑧 ≠ 𝐵)
42	4	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑎 ∈ ℝ⁺)
43	42	3ad2antl1 1204	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑎 ∈ ℝ⁺)
44	5	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑏 ∈ ℝ⁺)
45	44	3ad2antl1 1204	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑏 ∈ ℝ⁺)
46		simpl3r 1248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))
47		simpl1 1210	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ((abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝜑)
48		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ((abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
49	26	recnd 11337	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℂ)
50	22	recnd 11337	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
51	50	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
52	49, 51	subcld 11669	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑧 − 𝐵) ∈ ℂ)
53	52	abscld 15606	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝑧 − 𝐵)) ∈ ℝ)
54	47, 48, 53	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ((abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (abs‘(𝑧 − 𝐵)) ∈ ℝ)
55		rpre 13129	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ⁺ → 𝑎 ∈ ℝ)
56	55	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) → 𝑎 ∈ ℝ)
57		rpre 13129	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ⁺ → 𝑏 ∈ ℝ)
58	57	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) → 𝑏 ∈ ℝ)
59	56, 58	ifcld 4529	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ)
60	59	3adant1 1148	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ)
61	60	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ((abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ)
62	56	3adant1 1148	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) → 𝑎 ∈ ℝ)
63	62	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ((abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑎 ∈ ℝ)
64		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ((abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))
65	58	3adant1 1148	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) → 𝑏 ∈ ℝ)
66		min1 13319	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑎)
67	62, 65, 66	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑎)
68	67	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ((abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑎)
69	54, 61, 63, 64, 68	ltletrd 11470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ((abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎)
70	17, 43, 45, 46, 18, 69	syl32anc 1405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎)
71	41, 70	jca 521	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎))
72		rspa 3252	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) → ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
73	40, 71, 72	sylc 66	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
74	36, 73	eqbrtrd 5127	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
75		simp-6l 799	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → 𝜑)
76	75	3ad2antl1 1204	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → 𝜑)
77	76, 22	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
78		simpl2 1211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐴)
79	76, 78, 26	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
80		id 23	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ≠ 𝐵 → 𝑧 ≠ 𝐵)
81	80	necomd 3011	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ≠ 𝐵 → 𝐵 ≠ 𝑧)
82	81	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏)) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝑧)
83	82	3ad2antl3 1206	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝑧)
84		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → ¬ 𝑧 < 𝐵)
85	77, 79, 83, 84	lttri5d 46314	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → 𝐵 < 𝑧)
86		simp-6l 799	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝜑)
87	86	3ad2antl1 1204	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝜑)
88		simpl2 1211	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝐴)
89		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝐵 < 𝑧)
90	23	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
91		pnfxr 11363	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ +∞ ∈ ℝ^*
92	91	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝑧) → +∞ ∈ ℝ^*)
93	26	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ)
94		simp3 1156	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝐵 < 𝑧)
95	93	ltpnfd 13250	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑧 < +∞)
96	90, 92, 93, 94, 95	eliood 46509	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞))
97	87, 88, 89, 96	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞))
98		fvres 6904	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) → ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
99	98	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) → (𝐹‘𝑧) = ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧))
100	99	fvoveq1d 7442	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)))
101	97, 100	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)))
102		simpl1r 1244	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
103	88, 97	elind 4146	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)))
104	102, 103	jca 521	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → (∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
105		simpl3l 1247	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑧 ≠ 𝐵)
106	4	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑎 ∈ ℝ⁺)
107	106	3ad2antl1 1204	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑎 ∈ ℝ⁺)
108	5	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑏 ∈ ℝ⁺)
109	108	3ad2antl1 1204	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑏 ∈ ℝ⁺)
110		simpl3r 1248	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))
111	65	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ((abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑏 ∈ ℝ)
112		min2 13320	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑏)
113	62, 65, 112	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑏)
114	113	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ((abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑏)
115	54, 61, 111, 64, 114	ltletrd 11470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ((abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏)
116	87, 107, 109, 110, 88, 115	syl32anc 1405	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏)
117	105, 116	jca 521	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏))
118		rspa 3252	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) → ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
119	104, 117, 118	sylc 66	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
120	101, 119	eqbrtrd 5127	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
121	85, 120	syldan 603	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
122	74, 121	pm2.61dan 825	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
123	122	3exp 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → (𝑧 ∈ 𝐴 → ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏)) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)))
124	15, 123	ralrimi 3261	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏)) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
125		brimralrspcev 5166	. . . . . 6 ⊢ ((if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏)) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
126	6, 124, 125	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
127		limcleqr.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) lim_ℂ 𝐵))
128		limcleqr.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
129		fresin 6751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)):(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))⟶ℂ)
130	128, 129	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)):(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))⟶ℂ)
131		inss2 4183	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ (𝐵(,)+∞)
132		ioosscn 13539	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵(,)+∞) ⊆ ℂ
133	131, 132	sstri 3940	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ ℂ
134	133	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ ℂ)
135	130, 134, 50	ellimc3 26199	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) lim_ℂ 𝐵) ↔ (𝑅 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑏 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)) < 𝑥))))
136	127, 135	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑏 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)) < 𝑥)))
137	136	simprd 501	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑏 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)) < 𝑥))
138	137	r19.21bi 3255	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑏 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)) < 𝑥))
139		limcleqr.leqr	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = 𝑅)
140	139	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿) = (((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅))
141	140	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)))
142	141	breq1d 5113	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥 ↔ (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)) < 𝑥))
143	142	imbi2d 343	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ↔ ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)) < 𝑥)))
144	143	rexralbidv 3229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∃𝑏 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ↔ ∃𝑏 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)) < 𝑥)))
145	144	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (∃𝑏 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ↔ ∃𝑏 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)) < 𝑥)))
146	138, 145	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑏 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
147	146	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → ∃𝑏 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
148	126, 147	r19.29a 3171	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
149		fresin 6751	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)):(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))⟶ℂ)
150	128, 149	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)):(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))⟶ℂ)
151		inss2 4183	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ (-∞(,)𝐵)
152		ioossre 13538	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-∞(,)𝐵) ⊆ ℝ
153	151, 152	sstri 3940	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ
154		ax-resscn 11257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
155	154	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
156	153, 155	sstrid 3942	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℂ)
157	150, 156, 50	ellimc3 26199	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim_ℂ 𝐵) ↔ (𝐿 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑎 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))))
158	2, 157	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑎 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)))
159	158	simprd 501	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑎 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
160	159	r19.21bi 3255	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑎 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
161	148, 160	r19.29a 3171	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
162	161	ralrimiva 3155	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
163	25, 154	sstrdi 3943	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
164	128, 163, 50	ellimc3 26199	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∈ (𝐹 lim_ℂ 𝐵) ↔ (𝐿 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))))
165	3, 162, 164	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐹 lim_ℂ 𝐵))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∈ wcel 2145 ≠ wne 2956 ∀wral 3077 ∃wrex 3087 ∩ cin 3898 ⊆ wss 3899 ifcif 4482 class class class wbr 5103 ran crn 5652 ↾ cres 5653 ⟶wf 6534 ‘cfv 6538 (class class class)co 7420 ℂcc 11198 ℝcr 11199 +∞cpnf 11340 -∞cmnf 11341 ℝ^*cxr 11342 < clt 11343 ≤ cle 11344 − cmin 11541 ℝ⁺crp 13120 (,)cioo 13476 abscabs 15401 TopOpenctopn 17592 topGenctg 17608 ℂ_fldccnfld 21678 lim_ℂ climc 26182

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2147 ax-9 2155 ax-10 2178 ax-11 2194 ax-12 2213 ax-ext 2733 ax-rep 5232 ax-sep 5249 ax-nul 5260 ax-pow 5327 ax-pr 5391 ax-un 7751 ax-cnex 11256 ax-resscn 11257 ax-1cn 11258 ax-icn 11259 ax-addcl 11260 ax-addrcl 11261 ax-mulcl 11262 ax-mulrcl 11263 ax-mulcom 11264 ax-addass 11265 ax-mulass 11266 ax-distr 11267 ax-i2m1 11268 ax-1ne0 11269 ax-1rid 11270 ax-rnegex 11271 ax-rrecex 11272 ax-cnre 11273 ax-pre-lttri 11274 ax-pre-lttrn 11275 ax-pre-ltadd 11276 ax-pre-mulgt0 11277 ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2565 df-eu 2595 df-clab 2740 df-cleq 2753 df-clel 2836 df-nfc 2910 df-ne 2957 df-nel 3063 df-ral 3078 df-rex 3088 df-rmo 3366 df-reu 3367 df-rab 3414 df-v 3453 df-sbc 3740 df-csb 3848 df-dif 3902 df-un 3904 df-in 3906 df-ss 3916 df-pss 3919 df-nul 4280 df-if 4483 df-pw 4559 df-sn 4585 df-pr 4587 df-tp 4589 df-op 4591 df-uni 4868 df-int 4908 df-iun 4953 df-br 5104 df-opab 5168 df-mpt 5187 df-tr 5213 df-id 5546 df-eprel 5551 df-po 5559 df-so 5560 df-fr 5604 df-we 5606 df-xp 5657 df-rel 5658 df-cnv 5659 df-co 5660 df-dm 5661 df-rn 5662 df-res 5663 df-ima 5664 df-pred 6304 df-ord 6365 df-on 6366 df-lim 6367 df-suc 6368 df-iota 6494 df-fun 6540 df-fn 6541 df-f 6542 df-f1 6543 df-fo 6544 df-f1o 6545 df-fv 6546 df-riota 7377 df-ov 7423 df-oprab 7424 df-mpo 7425 df-om 7878 df-1st 8001 df-2nd 8002 df-frecs 8299 df-wrecs 8330 df-recs 8379 df-rdg 8418 df-1o 8476 df-er 8717 df-map 8849 df-pm 8850 df-en 8974 df-dom 8975 df-sdom 8976 df-fin 8977 df-fi 9403 df-sup 9434 df-inf 9435 df-pnf 11345 df-mnf 11346 df-xr 11347 df-ltxr 11348 df-le 11349 df-sub 11543 df-neg 11544 df-div 11974 df-nn 12336 df-2 12405 df-3 12406 df-4 12407 df-5 12408 df-6 12409 df-7 12410 df-8 12411 df-9 12412 df-n0 12607 df-z 12694 df-dec 12815 df-uz 12966 df-q 13076 df-rp 13121 df-xneg 13241 df-xadd 13242 df-xmul 13243 df-ioo 13480 df-fz 13640 df-seq 14145 df-exp 14205 df-cj 15266 df-re 15267 df-im 15268 df-sqrt 15402 df-abs 15403 df-struct 17325 df-slot 17360 df-ndx 17372 df-base 17388 df-plusg 17441 df-mulr 17442 df-starv 17443 df-tset 17447 df-ple 17448 df-ds 17450 df-unif 17451 df-rest 17593 df-topn 17594 df-topgen 17614 df-psmet 21670 df-xmet 21671 df-met 21672 df-bl 21673 df-mopn 21674 df-cnfld 21679 df-top 23212 df-topon 23229 df-topsp 23251 df-bases 23264 df-cnp 23546 df-xms 24639 df-ms 24640 df-limc 26186

This theorem is used by: limclr 46664

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