Theorem pimrecltpos 46664

Description: The preimage of an unbounded below, open interval, with positive upper bound, for the reciprocal function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
pimrecltpos.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
pimrecltpos.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
pimrecltpos.n	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
pimrecltpos.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
pimrecltpos	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} = ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}))

Proof of Theorem pimrecltpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pimrecltpos.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		rabidim1 3456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} → 𝑥 ∈ 𝐴)
3	2	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ∧ 𝐵 < 0) → 𝑥 ∈ 𝐴)
4		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ∧ 𝐵 < 0) → 𝐵 < 0)
5	3, 4	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ∧ 𝐵 < 0) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 0))
6		rabid 3455	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0} ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 0))
7	5, 6	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ∧ 𝐵 < 0) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0})
8		elun2 4193	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0} → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}))
9	7, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ∧ 𝐵 < 0) → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}))
10	9	adantll 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 𝐵 < 0) → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}))
11		0red 11262	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ ¬ 𝐵 < 0) → 0 ∈ ℝ)
12		pimrecltpos.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
13	2, 12	sylan2 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝐵 ∈ ℝ)
14	13	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ ¬ 𝐵 < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
15	2	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝑥 ∈ 𝐴)
16		pimrecltpos.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
17	16	necomd 2994	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≠ 𝐵)
18	15, 17	syldan 591	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 0 ≠ 𝐵)
19	18	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ ¬ 𝐵 < 0) → 0 ≠ 𝐵)
20		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ ¬ 𝐵 < 0) → ¬ 𝐵 < 0)
21	11, 14, 19, 20	lttri5d 45250	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ ¬ 𝐵 < 0) → 0 < 𝐵)
22	15	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐴)
23	13	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
24		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
25	23, 24	elrpd 13072	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ+)
26		pimrecltpos.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
27	26	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ+)
28		rabidim2 45042	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} → (1 / 𝐵) < 𝐶)
29	28	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → (1 / 𝐵) < 𝐶)
30	25, 27, 29	ltrec1d 13095	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → (1 / 𝐶) < 𝐵)
31	22, 30	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (1 / 𝐶) < 𝐵))
32		rabid 3455	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (1 / 𝐶) < 𝐵))
33	31, 32	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵})
34		elun1 4192	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}))
35	33, 34	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}))
36	21, 35	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ ¬ 𝐵 < 0) → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}))
37	10, 36	pm2.61dan 813	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}))
38	37	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0})))
39	32	simplbi 497	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} → 𝑥 ∈ 𝐴)
40	39	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝑥 ∈ 𝐴)
41	26	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝐶 ∈ ℝ+)
42	40, 12	syldan 591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝐵 ∈ ℝ)
43		0red 11262	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 0 ∈ ℝ)
44	41	rprecred 13086	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
45	26	rpred 13075	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
46	26	rpgt0d 13078	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐶)
47	45, 46	recgt0d 12200	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 < (1 / 𝐶))
48	47	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 0 < (1 / 𝐶))
49	32	simprbi 496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} → (1 / 𝐶) < 𝐵)
50	49	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → (1 / 𝐶) < 𝐵)
51	43, 44, 42, 48, 50	lttrd 11420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 0 < 𝐵)
52	42, 51	elrpd 13072	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝐵 ∈ ℝ+)
53	41, 52, 50	ltrec1d 13095	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → (1 / 𝐵) < 𝐶)
54	40, 53	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (1 / 𝐵) < 𝐶))
55		rabid 3455	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (1 / 𝐵) < 𝐶))
56	54, 55	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶})
57	56	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0})) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶})
58		simpll 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝜑)
59		elunnel1 4164	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0})
60	59	adantll 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0})
61	6	simplbi 497	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0} → 𝑥 ∈ 𝐴)
62	61	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}) → 𝑥 ∈ 𝐴)
63	12, 16	rereccld 12092	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ)
64	62, 63	syldan 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ)
65		0red 11262	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}) → 0 ∈ ℝ)
66	45	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}) → 𝐶 ∈ ℝ)
67	62, 12	syldan 591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}) → 𝐵 ∈ ℝ)
68	6	simprbi 496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0} → 𝐵 < 0)
69	68	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}) → 𝐵 < 0)
70	67, 69	reclt0d 45337	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}) → (1 / 𝐵) < 0)
71	46	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}) → 0 < 𝐶)
72	64, 65, 66, 70, 71	lttrd 11420	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}) → (1 / 𝐵) < 𝐶)
73	62, 72	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (1 / 𝐵) < 𝐶))
74	73, 55	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶})
75	58, 60, 74	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶})
76	57, 75	pm2.61dan 813	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0})) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶})
77	76	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}))
78	38, 77	impbid 212	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0})))
79	1, 78	alrimi 2211	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥(𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0})))
80		nfrab1 3454	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}
81		nfrab1 3454	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}
82		nfrab1 3454	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}
83	81, 82	nfun 4180	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0})
84	80, 83	cleqf 2932	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} = ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0})))
85	79, 84	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} = ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1535   = wceq 1537  Ⅎwnf 1780   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  {crab 3433   ∪ cun 3961   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   < clt 11293   / cdiv 11918  ℝ⁺crp 13032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-rp 13033

This theorem is referenced by:  smfrec  46745