Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pimrecltpos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pimrecltpos 44939
Description: The preimage of an unbounded below, open interval, with positive upper bound, for the reciprocal function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
pimrecltpos.x 𝑥𝜑
pimrecltpos.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
pimrecltpos.n ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
pimrecltpos.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
pimrecltpos (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} = ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0}))

Proof of Theorem pimrecltpos
StepHypRef Expression
1 pimrecltpos.x . . 3 𝑥𝜑
2 rabidim1 3428 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} → 𝑥𝐴)
32adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ∧ 𝐵 < 0) → 𝑥𝐴)
4 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ∧ 𝐵 < 0) → 𝐵 < 0)
53, 4jca 512 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ∧ 𝐵 < 0) → (𝑥𝐴𝐵 < 0))
6 rabid 3427 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0} ↔ (𝑥𝐴𝐵 < 0))
75, 6sylibr 233 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ∧ 𝐵 < 0) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0})
8 elun2 4137 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0} → 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0}))
97, 8syl 17 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ∧ 𝐵 < 0) → 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0}))
109adantll 712 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 𝐵 < 0) → 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0}))
11 0red 11158 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ ¬ 𝐵 < 0) → 0 ∈ ℝ)
12 pimrecltpos.b . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
132, 12sylan2 593 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝐵 ∈ ℝ)
1413adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ ¬ 𝐵 < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
152adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝑥𝐴)
16 pimrecltpos.n . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
1716necomd 2999 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≠ 𝐵)
1815, 17syldan 591 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 0 ≠ 𝐵)
1918adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ ¬ 𝐵 < 0) → 0 ≠ 𝐵)
20 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ ¬ 𝐵 < 0) → ¬ 𝐵 < 0)
2111, 14, 19, 20lttri5d 43523 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ ¬ 𝐵 < 0) → 0 < 𝐵)
2215adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → 𝑥𝐴)
2313adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
24 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
2523, 24elrpd 12954 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ+)
26 pimrecltpos.c . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
2726ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ+)
28 rabidim2 43302 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} → (1 / 𝐵) < 𝐶)
2928ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → (1 / 𝐵) < 𝐶)
3025, 27, 29ltrec1d 12977 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → (1 / 𝐶) < 𝐵)
3122, 30jca 512 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → (𝑥𝐴 ∧ (1 / 𝐶) < 𝐵))
32 rabid 3427 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ↔ (𝑥𝐴 ∧ (1 / 𝐶) < 𝐵))
3331, 32sylibr 233 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵})
34 elun1 4136 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} → 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0}))
3533, 34syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0}))
3621, 35syldan 591 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ ¬ 𝐵 < 0) → 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0}))
3710, 36pm2.61dan 811 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0}))
3837ex 413 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} → 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0})))
3932simplbi 498 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} → 𝑥𝐴)
4039adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝑥𝐴)
4126adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝐶 ∈ ℝ+)
4240, 12syldan 591 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝐵 ∈ ℝ)
43 0red 11158 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 0 ∈ ℝ)
4441rprecred 12968 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
4526rpred 12957 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
4626rpgt0d 12960 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < 𝐶)
4745, 46recgt0d 12089 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < (1 / 𝐶))
4847adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 0 < (1 / 𝐶))
4932simprbi 497 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} → (1 / 𝐶) < 𝐵)
5049adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → (1 / 𝐶) < 𝐵)
5143, 44, 42, 48, 50lttrd 11316 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 0 < 𝐵)
5242, 51elrpd 12954 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝐵 ∈ ℝ+)
5341, 52, 50ltrec1d 12977 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → (1 / 𝐵) < 𝐶)
5440, 53jca 512 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → (𝑥𝐴 ∧ (1 / 𝐵) < 𝐶))
55 rabid 3427 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ (𝑥𝐴 ∧ (1 / 𝐵) < 𝐶))
5654, 55sylibr 233 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶})
5756adantlr 713 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0})) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶})
58 simpll 765 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝜑)
59 elunnel1 4109 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0}) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0})
6059adantll 712 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0})
616simplbi 498 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0} → 𝑥𝐴)
6261adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0}) → 𝑥𝐴)
6312, 16rereccld 11982 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ)
6462, 63syldan 591 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0}) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ)
65 0red 11158 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0}) → 0 ∈ ℝ)
6645adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0}) → 𝐶 ∈ ℝ)
6762, 12syldan 591 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0}) → 𝐵 ∈ ℝ)
686simprbi 497 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0} → 𝐵 < 0)
6968adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0}) → 𝐵 < 0)
7067, 69reclt0d 43611 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0}) → (1 / 𝐵) < 0)
7146adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0}) → 0 < 𝐶)
7264, 65, 66, 70, 71lttrd 11316 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0}) → (1 / 𝐵) < 𝐶)
7362, 72jca 512 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0}) → (𝑥𝐴 ∧ (1 / 𝐵) < 𝐶))
7473, 55sylibr 233 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0}) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶})
7558, 60, 74syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶})
7657, 75pm2.61dan 811 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0})) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶})
7776ex 413 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0}) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}))
7838, 77impbid 211 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0})))
791, 78alrimi 2206 . 2 (𝜑 → ∀𝑥(𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0})))
80 nfrab1 3426 . . 3 𝑥{𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}
81 nfrab1 3426 . . . 4 𝑥{𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}
82 nfrab1 3426 . . . 4 𝑥{𝑥𝐴𝐵 < 0}
8381, 82nfun 4125 . . 3 𝑥({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0})
8480, 83cleqf 2938 . 2 ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} = ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0}) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0})))
8579, 84sylibr 233 1 (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} = ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wal 1539   = wceq 1541  wnf 1785  wcel 2106  wne 2943  {crab 3407  cun 3908   class class class wbr 5105  (class class class)co 7357  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   < clt 11189   / cdiv 11812  +crp 12915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-rp 12916
This theorem is referenced by:  smfrec  45020
  Copyright terms: Public domain W3C validator