Theorem pimrecltpos 46329

Description: The preimage of an unbounded below, open interval, with positive upper bound, for the reciprocal function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
pimrecltpos.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
pimrecltpos.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
pimrecltpos.n	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
pimrecltpos.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
pimrecltpos	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} = ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}))

Proof of Theorem pimrecltpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pimrecltpos.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		rabidim1 3441	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} → 𝑥 ∈ 𝐴)
3	2	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ∧ 𝐵 < 0) → 𝑥 ∈ 𝐴)
4		simpr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ∧ 𝐵 < 0) → 𝐵 < 0)
5	3, 4	jca 510	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ∧ 𝐵 < 0) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 0))
6		rabid 3440	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0} ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 0))
7	5, 6	sylibr 233	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ∧ 𝐵 < 0) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0})
8		elun2 4178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0} → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}))
9	7, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ∧ 𝐵 < 0) → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}))
10	9	adantll 712	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 𝐵 < 0) → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}))
11		0red 11267	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ ¬ 𝐵 < 0) → 0 ∈ ℝ)
12		pimrecltpos.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
13	2, 12	sylan2 591	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝐵 ∈ ℝ)
14	13	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ ¬ 𝐵 < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
15	2	adantl 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝑥 ∈ 𝐴)
16		pimrecltpos.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
17	16	necomd 2986	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≠ 𝐵)
18	15, 17	syldan 589	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 0 ≠ 𝐵)
19	18	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ ¬ 𝐵 < 0) → 0 ≠ 𝐵)
20		simpr 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ ¬ 𝐵 < 0) → ¬ 𝐵 < 0)
21	11, 14, 19, 20	lttri5d 44914	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ ¬ 𝐵 < 0) → 0 < 𝐵)
22	15	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐴)
23	13	adantr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
24		simpr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
25	23, 24	elrpd 13067	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ+)
26		pimrecltpos.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
27	26	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ+)
28		rabidim2 44703	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} → (1 / 𝐵) < 𝐶)
29	28	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → (1 / 𝐵) < 𝐶)
30	25, 27, 29	ltrec1d 13090	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → (1 / 𝐶) < 𝐵)
31	22, 30	jca 510	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (1 / 𝐶) < 𝐵))
32		rabid 3440	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (1 / 𝐶) < 𝐵))
33	31, 32	sylibr 233	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵})
34		elun1 4177	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}))
35	33, 34	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}))
36	21, 35	syldan 589	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ ¬ 𝐵 < 0) → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}))
37	10, 36	pm2.61dan 811	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}))
38	37	ex 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0})))
39	32	simplbi 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} → 𝑥 ∈ 𝐴)
40	39	adantl 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝑥 ∈ 𝐴)
41	26	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝐶 ∈ ℝ+)
42	40, 12	syldan 589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝐵 ∈ ℝ)
43		0red 11267	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 0 ∈ ℝ)
44	41	rprecred 13081	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
45	26	rpred 13070	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
46	26	rpgt0d 13073	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐶)
47	45, 46	recgt0d 12200	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 < (1 / 𝐶))
48	47	adantr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 0 < (1 / 𝐶))
49	32	simprbi 495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} → (1 / 𝐶) < 𝐵)
50	49	adantl 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → (1 / 𝐶) < 𝐵)
51	43, 44, 42, 48, 50	lttrd 11425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 0 < 𝐵)
52	42, 51	elrpd 13067	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝐵 ∈ ℝ+)
53	41, 52, 50	ltrec1d 13090	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → (1 / 𝐵) < 𝐶)
54	40, 53	jca 510	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (1 / 𝐵) < 𝐶))
55		rabid 3440	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (1 / 𝐵) < 𝐶))
56	54, 55	sylibr 233	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶})
57	56	adantlr 713	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0})) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶})
58		simpll 765	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝜑)
59		elunnel1 4149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0})
60	59	adantll 712	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0})
61	6	simplbi 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0} → 𝑥 ∈ 𝐴)
62	61	adantl 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}) → 𝑥 ∈ 𝐴)
63	12, 16	rereccld 12092	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ)
64	62, 63	syldan 589	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ)
65		0red 11267	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}) → 0 ∈ ℝ)
66	45	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}) → 𝐶 ∈ ℝ)
67	62, 12	syldan 589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}) → 𝐵 ∈ ℝ)
68	6	simprbi 495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0} → 𝐵 < 0)
69	68	adantl 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}) → 𝐵 < 0)
70	67, 69	reclt0d 45002	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}) → (1 / 𝐵) < 0)
71	46	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}) → 0 < 𝐶)
72	64, 65, 66, 70, 71	lttrd 11425	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}) → (1 / 𝐵) < 𝐶)
73	62, 72	jca 510	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (1 / 𝐵) < 𝐶))
74	73, 55	sylibr 233	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶})
75	58, 60, 74	syl2anc 582	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶})
76	57, 75	pm2.61dan 811	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0})) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶})
77	76	ex 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}))
78	38, 77	impbid 211	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0})))
79	1, 78	alrimi 2202	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥(𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0})))
80		nfrab1 3439	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}
81		nfrab1 3439	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}
82		nfrab1 3439	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}
83	81, 82	nfun 4165	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0})
84	80, 83	cleqf 2924	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} = ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0})))
85	79, 84	sylibr 233	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} = ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394  ∀wal 1532   = wceq 1534  Ⅎwnf 1778   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930  {crab 3419   ∪ cun 3945   class class class wbr 5153  (class class class)co 7424  ℝcr 11157  0cc0 11158  1c1 11159   < clt 11298   / cdiv 11921  ℝ⁺crp 13028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-rp 13029

This theorem is referenced by:  smfrec  46410