Theorem pimrecltpos 47136

Description: The preimage of an unbounded below, open interval, with positive upper bound, for the reciprocal function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
pimrecltpos.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
pimrecltpos.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
pimrecltpos.n	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
pimrecltpos.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
pimrecltpos	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} = ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}))

Proof of Theorem pimrecltpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pimrecltpos.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		rabidim1 3411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} → 𝑥 ∈ 𝐴)
3	2	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ∧ 𝐵 < 0) → 𝑥 ∈ 𝐴)
4		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ∧ 𝐵 < 0) → 𝐵 < 0)
5	3, 4	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ∧ 𝐵 < 0) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 0))
6		rabid 3410	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0} ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 0))
7	5, 6	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ∧ 𝐵 < 0) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0})
8		elun2 4123	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0} → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}))
9	7, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ∧ 𝐵 < 0) → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}))
10	9	adantll 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 𝐵 < 0) → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}))
11		0red 11147	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ ¬ 𝐵 < 0) → 0 ∈ ℝ)
12		pimrecltpos.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
13	2, 12	sylan2 594	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝐵 ∈ ℝ)
14	13	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ ¬ 𝐵 < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
15	2	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝑥 ∈ 𝐴)
16		pimrecltpos.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
17	16	necomd 2987	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≠ 𝐵)
18	15, 17	syldan 592	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 0 ≠ 𝐵)
19	18	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ ¬ 𝐵 < 0) → 0 ≠ 𝐵)
20		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ ¬ 𝐵 < 0) → ¬ 𝐵 < 0)
21	11, 14, 19, 20	lttri5d 45732	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ ¬ 𝐵 < 0) → 0 < 𝐵)
22	15	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐴)
23	13	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
24		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
25	23, 24	elrpd 12983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ+)
26		pimrecltpos.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
27	26	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ+)
28		rabidim2 45532	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} → (1 / 𝐵) < 𝐶)
29	28	ad2antlr 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → (1 / 𝐵) < 𝐶)
30	25, 27, 29	ltrec1d 13006	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → (1 / 𝐶) < 𝐵)
31	22, 30	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (1 / 𝐶) < 𝐵))
32		rabid 3410	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (1 / 𝐶) < 𝐵))
33	31, 32	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵})
34		elun1 4122	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}))
35	33, 34	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}))
36	21, 35	syldan 592	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ ¬ 𝐵 < 0) → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}))
37	10, 36	pm2.61dan 813	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}))
38	37	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0})))
39	32	simplbi 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} → 𝑥 ∈ 𝐴)
40	39	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝑥 ∈ 𝐴)
41	26	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝐶 ∈ ℝ+)
42	40, 12	syldan 592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝐵 ∈ ℝ)
43		0red 11147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 0 ∈ ℝ)
44	41	rprecred 12997	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
45	26	rpred 12986	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
46	26	rpgt0d 12989	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐶)
47	45, 46	recgt0d 12090	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 < (1 / 𝐶))
48	47	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 0 < (1 / 𝐶))
49	32	simprbi 497	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} → (1 / 𝐶) < 𝐵)
50	49	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → (1 / 𝐶) < 𝐵)
51	43, 44, 42, 48, 50	lttrd 11307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 0 < 𝐵)
52	42, 51	elrpd 12983	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝐵 ∈ ℝ+)
53	41, 52, 50	ltrec1d 13006	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → (1 / 𝐵) < 𝐶)
54	40, 53	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (1 / 𝐵) < 𝐶))
55		rabid 3410	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (1 / 𝐵) < 𝐶))
56	54, 55	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶})
57	56	adantlr 716	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0})) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶})
58		simpll 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝜑)
59		elunnel1 4094	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0})
60	59	adantll 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0})
61	6	simplbi 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0} → 𝑥 ∈ 𝐴)
62	61	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}) → 𝑥 ∈ 𝐴)
63	12, 16	rereccld 11982	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ)
64	62, 63	syldan 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ)
65		0red 11147	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}) → 0 ∈ ℝ)
66	45	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}) → 𝐶 ∈ ℝ)
67	62, 12	syldan 592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}) → 𝐵 ∈ ℝ)
68	6	simprbi 497	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0} → 𝐵 < 0)
69	68	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}) → 𝐵 < 0)
70	67, 69	reclt0d 45816	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}) → (1 / 𝐵) < 0)
71	46	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}) → 0 < 𝐶)
72	64, 65, 66, 70, 71	lttrd 11307	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}) → (1 / 𝐵) < 𝐶)
73	62, 72	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (1 / 𝐵) < 𝐶))
74	73, 55	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶})
75	58, 60, 74	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶})
76	57, 75	pm2.61dan 813	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0})) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶})
77	76	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}))
78	38, 77	impbid 212	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0})))
79	1, 78	alrimi 2221	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥(𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0})))
80		nfrab1 3409	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}
81		nfrab1 3409	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}
82		nfrab1 3409	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}
83	81, 82	nfun 4110	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0})
84	80, 83	cleqf 2927	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} = ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0})))
85	79, 84	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} = ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1540   = wceq 1542  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  {crab 3389   ∪ cun 3887   class class class wbr 5085  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   < clt 11179   / cdiv 11807  ℝ⁺crp 12942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-rp 12943

This theorem is referenced by:  smfrec  47217