Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pimrecltpos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pimrecltpos 46329
Description: The preimage of an unbounded below, open interval, with positive upper bound, for the reciprocal function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
pimrecltpos.x 𝑥𝜑
pimrecltpos.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
pimrecltpos.n ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
pimrecltpos.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
pimrecltpos (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} = ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0}))

Proof of Theorem pimrecltpos
StepHypRef Expression
1 pimrecltpos.x . . 3 𝑥𝜑
2 rabidim1 3441 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} → 𝑥𝐴)
32adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ∧ 𝐵 < 0) → 𝑥𝐴)
4 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ∧ 𝐵 < 0) → 𝐵 < 0)
53, 4jca 510 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ∧ 𝐵 < 0) → (𝑥𝐴𝐵 < 0))
6 rabid 3440 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0} ↔ (𝑥𝐴𝐵 < 0))
75, 6sylibr 233 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ∧ 𝐵 < 0) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0})
8 elun2 4178 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0} → 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0}))
97, 8syl 17 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ∧ 𝐵 < 0) → 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0}))
109adantll 712 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 𝐵 < 0) → 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0}))
11 0red 11267 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ ¬ 𝐵 < 0) → 0 ∈ ℝ)
12 pimrecltpos.b . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
132, 12sylan2 591 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝐵 ∈ ℝ)
1413adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ ¬ 𝐵 < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
152adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝑥𝐴)
16 pimrecltpos.n . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
1716necomd 2986 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≠ 𝐵)
1815, 17syldan 589 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 0 ≠ 𝐵)
1918adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ ¬ 𝐵 < 0) → 0 ≠ 𝐵)
20 simpr 483 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ ¬ 𝐵 < 0) → ¬ 𝐵 < 0)
2111, 14, 19, 20lttri5d 44914 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ ¬ 𝐵 < 0) → 0 < 𝐵)
2215adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → 𝑥𝐴)
2313adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
24 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
2523, 24elrpd 13067 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ+)
26 pimrecltpos.c . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
2726ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ+)
28 rabidim2 44703 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} → (1 / 𝐵) < 𝐶)
2928ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → (1 / 𝐵) < 𝐶)
3025, 27, 29ltrec1d 13090 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → (1 / 𝐶) < 𝐵)
3122, 30jca 510 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → (𝑥𝐴 ∧ (1 / 𝐶) < 𝐵))
32 rabid 3440 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ↔ (𝑥𝐴 ∧ (1 / 𝐶) < 𝐵))
3331, 32sylibr 233 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵})
34 elun1 4177 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} → 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0}))
3533, 34syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0}))
3621, 35syldan 589 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ ¬ 𝐵 < 0) → 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0}))
3710, 36pm2.61dan 811 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0}))
3837ex 411 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} → 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0})))
3932simplbi 496 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} → 𝑥𝐴)
4039adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝑥𝐴)
4126adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝐶 ∈ ℝ+)
4240, 12syldan 589 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝐵 ∈ ℝ)
43 0red 11267 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 0 ∈ ℝ)
4441rprecred 13081 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
4526rpred 13070 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
4626rpgt0d 13073 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < 𝐶)
4745, 46recgt0d 12200 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < (1 / 𝐶))
4847adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 0 < (1 / 𝐶))
4932simprbi 495 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} → (1 / 𝐶) < 𝐵)
5049adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → (1 / 𝐶) < 𝐵)
5143, 44, 42, 48, 50lttrd 11425 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 0 < 𝐵)
5242, 51elrpd 13067 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝐵 ∈ ℝ+)
5341, 52, 50ltrec1d 13090 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → (1 / 𝐵) < 𝐶)
5440, 53jca 510 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → (𝑥𝐴 ∧ (1 / 𝐵) < 𝐶))
55 rabid 3440 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ (𝑥𝐴 ∧ (1 / 𝐵) < 𝐶))
5654, 55sylibr 233 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶})
5756adantlr 713 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0})) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶})
58 simpll 765 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝜑)
59 elunnel1 4149 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0}) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0})
6059adantll 712 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0})
616simplbi 496 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0} → 𝑥𝐴)
6261adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0}) → 𝑥𝐴)
6312, 16rereccld 12092 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ)
6462, 63syldan 589 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0}) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ)
65 0red 11267 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0}) → 0 ∈ ℝ)
6645adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0}) → 𝐶 ∈ ℝ)
6762, 12syldan 589 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0}) → 𝐵 ∈ ℝ)
686simprbi 495 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0} → 𝐵 < 0)
6968adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0}) → 𝐵 < 0)
7067, 69reclt0d 45002 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0}) → (1 / 𝐵) < 0)
7146adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0}) → 0 < 𝐶)
7264, 65, 66, 70, 71lttrd 11425 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0}) → (1 / 𝐵) < 𝐶)
7362, 72jca 510 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0}) → (𝑥𝐴 ∧ (1 / 𝐵) < 𝐶))
7473, 55sylibr 233 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0}) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶})
7558, 60, 74syl2anc 582 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶})
7657, 75pm2.61dan 811 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0})) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶})
7776ex 411 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0}) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}))
7838, 77impbid 211 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0})))
791, 78alrimi 2202 . 2 (𝜑 → ∀𝑥(𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0})))
80 nfrab1 3439 . . 3 𝑥{𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}
81 nfrab1 3439 . . . 4 𝑥{𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}
82 nfrab1 3439 . . . 4 𝑥{𝑥𝐴𝐵 < 0}
8381, 82nfun 4165 . . 3 𝑥({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0})
8480, 83cleqf 2924 . 2 ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} = ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0}) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0})))
8579, 84sylibr 233 1 (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} = ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wal 1532   = wceq 1534  wnf 1778  wcel 2099  wne 2930  {crab 3419  cun 3945   class class class wbr 5153  (class class class)co 7424  cr 11157  0cc0 11158  1c1 11159   < clt 11298   / cdiv 11921  +crp 13028
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-rp 13029
This theorem is referenced by:  smfrec  46410
  Copyright terms: Public domain W3C validator