Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pimrecltpos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pimrecltpos 44491
Description: The preimage of an unbounded below, open interval, with positive upper bound, for the reciprocal function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
pimrecltpos.x 𝑥𝜑
pimrecltpos.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
pimrecltpos.n ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
pimrecltpos.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
pimrecltpos (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} = ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0}))

Proof of Theorem pimrecltpos
StepHypRef Expression
1 pimrecltpos.x . . 3 𝑥𝜑
2 rabidim1 3425 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} → 𝑥𝐴)
32adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ∧ 𝐵 < 0) → 𝑥𝐴)
4 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ∧ 𝐵 < 0) → 𝐵 < 0)
53, 4jca 512 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ∧ 𝐵 < 0) → (𝑥𝐴𝐵 < 0))
6 rabid 3422 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0} ↔ (𝑥𝐴𝐵 < 0))
75, 6sylibr 233 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ∧ 𝐵 < 0) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0})
8 elun2 4121 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0} → 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0}))
97, 8syl 17 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ∧ 𝐵 < 0) → 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0}))
109adantll 711 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 𝐵 < 0) → 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0}))
11 0red 11048 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ ¬ 𝐵 < 0) → 0 ∈ ℝ)
12 pimrecltpos.b . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
132, 12sylan2 593 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝐵 ∈ ℝ)
1413adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ ¬ 𝐵 < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
152adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝑥𝐴)
16 pimrecltpos.n . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
1716necomd 2997 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≠ 𝐵)
1815, 17syldan 591 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 0 ≠ 𝐵)
1918adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ ¬ 𝐵 < 0) → 0 ≠ 𝐵)
20 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ ¬ 𝐵 < 0) → ¬ 𝐵 < 0)
2111, 14, 19, 20lttri5d 43081 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ ¬ 𝐵 < 0) → 0 < 𝐵)
2215adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → 𝑥𝐴)
2313adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
24 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
2523, 24elrpd 12839 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ+)
26 pimrecltpos.c . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
2726ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ+)
28 rabidim2 42880 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} → (1 / 𝐵) < 𝐶)
2928ad2antlr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → (1 / 𝐵) < 𝐶)
3025, 27, 29ltrec1d 12862 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → (1 / 𝐶) < 𝐵)
3122, 30jca 512 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → (𝑥𝐴 ∧ (1 / 𝐶) < 𝐵))
32 rabid 3422 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ↔ (𝑥𝐴 ∧ (1 / 𝐶) < 𝐵))
3331, 32sylibr 233 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵})
34 elun1 4120 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} → 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0}))
3533, 34syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0}))
3621, 35syldan 591 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ ¬ 𝐵 < 0) → 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0}))
3710, 36pm2.61dan 810 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0}))
3837ex 413 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} → 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0})))
3932simplbi 498 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} → 𝑥𝐴)
4039adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝑥𝐴)
4126adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝐶 ∈ ℝ+)
4240, 12syldan 591 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝐵 ∈ ℝ)
43 0red 11048 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 0 ∈ ℝ)
4441rprecred 12853 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
4526rpred 12842 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
4626rpgt0d 12845 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < 𝐶)
4745, 46recgt0d 11979 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < (1 / 𝐶))
4847adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 0 < (1 / 𝐶))
4932simprbi 497 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} → (1 / 𝐶) < 𝐵)
5049adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → (1 / 𝐶) < 𝐵)
5143, 44, 42, 48, 50lttrd 11206 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 0 < 𝐵)
5242, 51elrpd 12839 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝐵 ∈ ℝ+)
5341, 52, 50ltrec1d 12862 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → (1 / 𝐵) < 𝐶)
5440, 53jca 512 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → (𝑥𝐴 ∧ (1 / 𝐵) < 𝐶))
55 rabid 3422 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ (𝑥𝐴 ∧ (1 / 𝐵) < 𝐶))
5654, 55sylibr 233 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶})
5756adantlr 712 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0})) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶})
58 simpll 764 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝜑)
59 elunnel1 4094 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0}) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0})
6059adantll 711 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0})
616simplbi 498 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0} → 𝑥𝐴)
6261adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0}) → 𝑥𝐴)
6312, 16rereccld 11872 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ)
6462, 63syldan 591 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0}) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ)
65 0red 11048 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0}) → 0 ∈ ℝ)
6645adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0}) → 𝐶 ∈ ℝ)
6762, 12syldan 591 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0}) → 𝐵 ∈ ℝ)
686simprbi 497 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0} → 𝐵 < 0)
6968adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0}) → 𝐵 < 0)
7067, 69reclt0d 43169 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0}) → (1 / 𝐵) < 0)
7146adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0}) → 0 < 𝐶)
7264, 65, 66, 70, 71lttrd 11206 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0}) → (1 / 𝐵) < 𝐶)
7362, 72jca 512 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0}) → (𝑥𝐴 ∧ (1 / 𝐵) < 𝐶))
7473, 55sylibr 233 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0}) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶})
7558, 60, 74syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶})
7657, 75pm2.61dan 810 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0})) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶})
7776ex 413 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0}) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}))
7838, 77impbid 211 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0})))
791, 78alrimi 2205 . 2 (𝜑 → ∀𝑥(𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0})))
80 nfrab1 3421 . . 3 𝑥{𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}
81 nfrab1 3421 . . . 4 𝑥{𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}
82 nfrab1 3421 . . . 4 𝑥{𝑥𝐴𝐵 < 0}
8381, 82nfun 4109 . . 3 𝑥({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0})
8480, 83cleqf 2936 . 2 ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} = ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0}) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0})))
8579, 84sylibr 233 1 (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} = ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wal 1538   = wceq 1540  wnf 1784  wcel 2105  wne 2941  {crab 3404  cun 3894   class class class wbr 5085  (class class class)co 7313  cr 10940  0cc0 10941  1c1 10942   < clt 11079   / cdiv 11702  +crp 12800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-sep 5236  ax-nul 5243  ax-pow 5301  ax-pr 5365  ax-un 7626  ax-cnex 10997  ax-resscn 10998  ax-1cn 10999  ax-icn 11000  ax-addcl 11001  ax-addrcl 11002  ax-mulcl 11003  ax-mulrcl 11004  ax-mulcom 11005  ax-addass 11006  ax-mulass 11007  ax-distr 11008  ax-i2m1 11009  ax-1ne0 11010  ax-1rid 11011  ax-rnegex 11012  ax-rrecex 11013  ax-cnre 11014  ax-pre-lttri 11015  ax-pre-lttrn 11016  ax-pre-ltadd 11017  ax-pre-mulgt0 11018
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-nul 4267  df-if 4470  df-pw 4545  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4849  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5169  df-id 5505  df-po 5519  df-so 5520  df-xp 5611  df-rel 5612  df-cnv 5613  df-co 5614  df-dm 5615  df-rn 5616  df-res 5617  df-ima 5618  df-iota 6415  df-fun 6465  df-fn 6466  df-f 6467  df-f1 6468  df-fo 6469  df-f1o 6470  df-fv 6471  df-riota 7270  df-ov 7316  df-oprab 7317  df-mpo 7318  df-er 8544  df-en 8780  df-dom 8781  df-sdom 8782  df-pnf 11081  df-mnf 11082  df-xr 11083  df-ltxr 11084  df-le 11085  df-sub 11277  df-neg 11278  df-div 11703  df-rp 12801
This theorem is referenced by:  smfrec  44572
  Copyright terms: Public domain W3C validator