Theorem pimrecltpos 46894

Description: The preimage of an unbounded below, open interval, with positive upper bound, for the reciprocal function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
pimrecltpos.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
pimrecltpos.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
pimrecltpos.n	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
pimrecltpos.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
pimrecltpos	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} = ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}))

Proof of Theorem pimrecltpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pimrecltpos.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		rabidim1 3419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} → 𝑥 ∈ 𝐴)
3	2	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ∧ 𝐵 < 0) → 𝑥 ∈ 𝐴)
4		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ∧ 𝐵 < 0) → 𝐵 < 0)
5	3, 4	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ∧ 𝐵 < 0) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 0))
6		rabid 3418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0} ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 0))
7	5, 6	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ∧ 𝐵 < 0) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0})
8		elun2 4133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0} → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}))
9	7, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ∧ 𝐵 < 0) → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}))
10	9	adantll 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 𝐵 < 0) → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}))
11		0red 11133	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ ¬ 𝐵 < 0) → 0 ∈ ℝ)
12		pimrecltpos.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
13	2, 12	sylan2 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝐵 ∈ ℝ)
14	13	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ ¬ 𝐵 < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
15	2	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝑥 ∈ 𝐴)
16		pimrecltpos.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
17	16	necomd 2985	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≠ 𝐵)
18	15, 17	syldan 591	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 0 ≠ 𝐵)
19	18	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ ¬ 𝐵 < 0) → 0 ≠ 𝐵)
20		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ ¬ 𝐵 < 0) → ¬ 𝐵 < 0)
21	11, 14, 19, 20	lttri5d 45489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ ¬ 𝐵 < 0) → 0 < 𝐵)
22	15	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐴)
23	13	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
24		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
25	23, 24	elrpd 12944	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ+)
26		pimrecltpos.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
27	26	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ+)
28		rabidim2 45288	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} → (1 / 𝐵) < 𝐶)
29	28	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → (1 / 𝐵) < 𝐶)
30	25, 27, 29	ltrec1d 12967	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → (1 / 𝐶) < 𝐵)
31	22, 30	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (1 / 𝐶) < 𝐵))
32		rabid 3418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (1 / 𝐶) < 𝐵))
33	31, 32	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵})
34		elun1 4132	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}))
35	33, 34	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}))
36	21, 35	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ ¬ 𝐵 < 0) → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}))
37	10, 36	pm2.61dan 812	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}))
38	37	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0})))
39	32	simplbi 497	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} → 𝑥 ∈ 𝐴)
40	39	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝑥 ∈ 𝐴)
41	26	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝐶 ∈ ℝ+)
42	40, 12	syldan 591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝐵 ∈ ℝ)
43		0red 11133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 0 ∈ ℝ)
44	41	rprecred 12958	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
45	26	rpred 12947	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
46	26	rpgt0d 12950	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐶)
47	45, 46	recgt0d 12074	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 < (1 / 𝐶))
48	47	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 0 < (1 / 𝐶))
49	32	simprbi 496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} → (1 / 𝐶) < 𝐵)
50	49	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → (1 / 𝐶) < 𝐵)
51	43, 44, 42, 48, 50	lttrd 11292	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 0 < 𝐵)
52	42, 51	elrpd 12944	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝐵 ∈ ℝ+)
53	41, 52, 50	ltrec1d 12967	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → (1 / 𝐵) < 𝐶)
54	40, 53	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (1 / 𝐵) < 𝐶))
55		rabid 3418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (1 / 𝐵) < 𝐶))
56	54, 55	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶})
57	56	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0})) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶})
58		simpll 766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝜑)
59		elunnel1 4104	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0})
60	59	adantll 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0})
61	6	simplbi 497	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0} → 𝑥 ∈ 𝐴)
62	61	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}) → 𝑥 ∈ 𝐴)
63	12, 16	rereccld 11966	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ)
64	62, 63	syldan 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ)
65		0red 11133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}) → 0 ∈ ℝ)
66	45	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}) → 𝐶 ∈ ℝ)
67	62, 12	syldan 591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}) → 𝐵 ∈ ℝ)
68	6	simprbi 496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0} → 𝐵 < 0)
69	68	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}) → 𝐵 < 0)
70	67, 69	reclt0d 45573	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}) → (1 / 𝐵) < 0)
71	46	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}) → 0 < 𝐶)
72	64, 65, 66, 70, 71	lttrd 11292	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}) → (1 / 𝐵) < 𝐶)
73	62, 72	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (1 / 𝐵) < 𝐶))
74	73, 55	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶})
75	58, 60, 74	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶})
76	57, 75	pm2.61dan 812	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0})) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶})
77	76	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}))
78	38, 77	impbid 212	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0})))
79	1, 78	alrimi 2218	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥(𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0})))
80		nfrab1 3417	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}
81		nfrab1 3417	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}
82		nfrab1 3417	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}
83	81, 82	nfun 4120	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0})
84	80, 83	cleqf 2925	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} = ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0})))
85	79, 84	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} = ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1539   = wceq 1541  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  {crab 3397   ∪ cun 3897   class class class wbr 5096  (class class class)co 7356  ℝcr 11023  0cc0 11024  1c1 11025   < clt 11164   / cdiv 11792  ℝ⁺crp 12903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-po 5530  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-rp 12904

This theorem is referenced by:  smfrec  46975