Theorem pimrecltpos 45424

Description: The preimage of an unbounded below, open interval, with positive upper bound, for the reciprocal function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
pimrecltpos.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
pimrecltpos.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
pimrecltpos.n	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
pimrecltpos.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
pimrecltpos	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} = ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}))

Proof of Theorem pimrecltpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pimrecltpos.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		rabidim1 3454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} → 𝑥 ∈ 𝐴)
3	2	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ∧ 𝐵 < 0) → 𝑥 ∈ 𝐴)
4		simpr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ∧ 𝐵 < 0) → 𝐵 < 0)
5	3, 4	jca 513	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ∧ 𝐵 < 0) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 0))
6		rabid 3453	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0} ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 0))
7	5, 6	sylibr 233	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ∧ 𝐵 < 0) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0})
8		elun2 4178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0} → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}))
9	7, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ∧ 𝐵 < 0) → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}))
10	9	adantll 713	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 𝐵 < 0) → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}))
11		0red 11217	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ ¬ 𝐵 < 0) → 0 ∈ ℝ)
12		pimrecltpos.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
13	2, 12	sylan2 594	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝐵 ∈ ℝ)
14	13	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ ¬ 𝐵 < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
15	2	adantl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝑥 ∈ 𝐴)
16		pimrecltpos.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
17	16	necomd 2997	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≠ 𝐵)
18	15, 17	syldan 592	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 0 ≠ 𝐵)
19	18	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ ¬ 𝐵 < 0) → 0 ≠ 𝐵)
20		simpr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ ¬ 𝐵 < 0) → ¬ 𝐵 < 0)
21	11, 14, 19, 20	lttri5d 44009	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ ¬ 𝐵 < 0) → 0 < 𝐵)
22	15	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐴)
23	13	adantr 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
24		simpr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
25	23, 24	elrpd 13013	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ+)
26		pimrecltpos.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
27	26	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ+)
28		rabidim2 43791	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} → (1 / 𝐵) < 𝐶)
29	28	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → (1 / 𝐵) < 𝐶)
30	25, 27, 29	ltrec1d 13036	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → (1 / 𝐶) < 𝐵)
31	22, 30	jca 513	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (1 / 𝐶) < 𝐵))
32		rabid 3453	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (1 / 𝐶) < 𝐵))
33	31, 32	sylibr 233	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵})
34		elun1 4177	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}))
35	33, 34	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}))
36	21, 35	syldan 592	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ ¬ 𝐵 < 0) → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}))
37	10, 36	pm2.61dan 812	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}))
38	37	ex 414	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0})))
39	32	simplbi 499	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} → 𝑥 ∈ 𝐴)
40	39	adantl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝑥 ∈ 𝐴)
41	26	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝐶 ∈ ℝ+)
42	40, 12	syldan 592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝐵 ∈ ℝ)
43		0red 11217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 0 ∈ ℝ)
44	41	rprecred 13027	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
45	26	rpred 13016	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
46	26	rpgt0d 13019	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐶)
47	45, 46	recgt0d 12148	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 < (1 / 𝐶))
48	47	adantr 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 0 < (1 / 𝐶))
49	32	simprbi 498	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} → (1 / 𝐶) < 𝐵)
50	49	adantl 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → (1 / 𝐶) < 𝐵)
51	43, 44, 42, 48, 50	lttrd 11375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 0 < 𝐵)
52	42, 51	elrpd 13013	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝐵 ∈ ℝ+)
53	41, 52, 50	ltrec1d 13036	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → (1 / 𝐵) < 𝐶)
54	40, 53	jca 513	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (1 / 𝐵) < 𝐶))
55		rabid 3453	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (1 / 𝐵) < 𝐶))
56	54, 55	sylibr 233	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶})
57	56	adantlr 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0})) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶})
58		simpll 766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝜑)
59		elunnel1 4150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0})
60	59	adantll 713	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0})
61	6	simplbi 499	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0} → 𝑥 ∈ 𝐴)
62	61	adantl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}) → 𝑥 ∈ 𝐴)
63	12, 16	rereccld 12041	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ)
64	62, 63	syldan 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ)
65		0red 11217	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}) → 0 ∈ ℝ)
66	45	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}) → 𝐶 ∈ ℝ)
67	62, 12	syldan 592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}) → 𝐵 ∈ ℝ)
68	6	simprbi 498	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0} → 𝐵 < 0)
69	68	adantl 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}) → 𝐵 < 0)
70	67, 69	reclt0d 44097	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}) → (1 / 𝐵) < 0)
71	46	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}) → 0 < 𝐶)
72	64, 65, 66, 70, 71	lttrd 11375	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}) → (1 / 𝐵) < 𝐶)
73	62, 72	jca 513	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (1 / 𝐵) < 𝐶))
74	73, 55	sylibr 233	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶})
75	58, 60, 74	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶})
76	57, 75	pm2.61dan 812	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0})) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶})
77	76	ex 414	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}))
78	38, 77	impbid 211	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0})))
79	1, 78	alrimi 2207	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥(𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0})))
80		nfrab1 3452	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}
81		nfrab1 3452	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}
82		nfrab1 3452	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}
83	81, 82	nfun 4166	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0})
84	80, 83	cleqf 2935	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} = ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0})))
85	79, 84	sylibr 233	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} = ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 0}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397  ∀wal 1540   = wceq 1542  Ⅎwnf 1786   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  {crab 3433   ∪ cun 3947   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  ℝcr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   < clt 11248   / cdiv 11871  ℝ⁺crp 12974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-rp 12975

This theorem is referenced by:  smfrec  45505