Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pimrecltpos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pimrecltpos 45509
Description: The preimage of an unbounded below, open interval, with positive upper bound, for the reciprocal function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
pimrecltpos.x 𝑥𝜑
pimrecltpos.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
pimrecltpos.n ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
pimrecltpos.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
pimrecltpos (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} = ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0}))

Proof of Theorem pimrecltpos
StepHypRef Expression
1 pimrecltpos.x . . 3 𝑥𝜑
2 rabidim1 3453 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} → 𝑥𝐴)
32adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ∧ 𝐵 < 0) → 𝑥𝐴)
4 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ∧ 𝐵 < 0) → 𝐵 < 0)
53, 4jca 512 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ∧ 𝐵 < 0) → (𝑥𝐴𝐵 < 0))
6 rabid 3452 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0} ↔ (𝑥𝐴𝐵 < 0))
75, 6sylibr 233 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ∧ 𝐵 < 0) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0})
8 elun2 4177 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0} → 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0}))
97, 8syl 17 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ∧ 𝐵 < 0) → 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0}))
109adantll 712 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 𝐵 < 0) → 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0}))
11 0red 11219 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ ¬ 𝐵 < 0) → 0 ∈ ℝ)
12 pimrecltpos.b . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
132, 12sylan2 593 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝐵 ∈ ℝ)
1413adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ ¬ 𝐵 < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
152adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝑥𝐴)
16 pimrecltpos.n . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
1716necomd 2996 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≠ 𝐵)
1815, 17syldan 591 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 0 ≠ 𝐵)
1918adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ ¬ 𝐵 < 0) → 0 ≠ 𝐵)
20 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ ¬ 𝐵 < 0) → ¬ 𝐵 < 0)
2111, 14, 19, 20lttri5d 44094 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ ¬ 𝐵 < 0) → 0 < 𝐵)
2215adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → 𝑥𝐴)
2313adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
24 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
2523, 24elrpd 13015 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ+)
26 pimrecltpos.c . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
2726ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ+)
28 rabidim2 43879 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} → (1 / 𝐵) < 𝐶)
2928ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → (1 / 𝐵) < 𝐶)
3025, 27, 29ltrec1d 13038 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → (1 / 𝐶) < 𝐵)
3122, 30jca 512 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → (𝑥𝐴 ∧ (1 / 𝐶) < 𝐵))
32 rabid 3452 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ↔ (𝑥𝐴 ∧ (1 / 𝐶) < 𝐵))
3331, 32sylibr 233 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵})
34 elun1 4176 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} → 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0}))
3533, 34syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0}))
3621, 35syldan 591 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ ¬ 𝐵 < 0) → 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0}))
3710, 36pm2.61dan 811 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0}))
3837ex 413 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} → 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0})))
3932simplbi 498 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} → 𝑥𝐴)
4039adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝑥𝐴)
4126adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝐶 ∈ ℝ+)
4240, 12syldan 591 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝐵 ∈ ℝ)
43 0red 11219 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 0 ∈ ℝ)
4441rprecred 13029 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
4526rpred 13018 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
4626rpgt0d 13021 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < 𝐶)
4745, 46recgt0d 12150 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < (1 / 𝐶))
4847adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 0 < (1 / 𝐶))
4932simprbi 497 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} → (1 / 𝐶) < 𝐵)
5049adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → (1 / 𝐶) < 𝐵)
5143, 44, 42, 48, 50lttrd 11377 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 0 < 𝐵)
5242, 51elrpd 13015 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝐵 ∈ ℝ+)
5341, 52, 50ltrec1d 13038 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → (1 / 𝐵) < 𝐶)
5440, 53jca 512 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → (𝑥𝐴 ∧ (1 / 𝐵) < 𝐶))
55 rabid 3452 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ (𝑥𝐴 ∧ (1 / 𝐵) < 𝐶))
5654, 55sylibr 233 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶})
5756adantlr 713 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0})) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶})
58 simpll 765 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝜑)
59 elunnel1 4149 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0}) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0})
6059adantll 712 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0})
616simplbi 498 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0} → 𝑥𝐴)
6261adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0}) → 𝑥𝐴)
6312, 16rereccld 12043 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ)
6462, 63syldan 591 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0}) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ)
65 0red 11219 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0}) → 0 ∈ ℝ)
6645adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0}) → 𝐶 ∈ ℝ)
6762, 12syldan 591 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0}) → 𝐵 ∈ ℝ)
686simprbi 497 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0} → 𝐵 < 0)
6968adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0}) → 𝐵 < 0)
7067, 69reclt0d 44182 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0}) → (1 / 𝐵) < 0)
7146adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0}) → 0 < 𝐶)
7264, 65, 66, 70, 71lttrd 11377 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0}) → (1 / 𝐵) < 𝐶)
7362, 72jca 512 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0}) → (𝑥𝐴 ∧ (1 / 𝐵) < 𝐶))
7473, 55sylibr 233 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0}) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶})
7558, 60, 74syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶})
7657, 75pm2.61dan 811 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0})) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶})
7776ex 413 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0}) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}))
7838, 77impbid 211 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0})))
791, 78alrimi 2206 . 2 (𝜑 → ∀𝑥(𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0})))
80 nfrab1 3451 . . 3 𝑥{𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}
81 nfrab1 3451 . . . 4 𝑥{𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}
82 nfrab1 3451 . . . 4 𝑥{𝑥𝐴𝐵 < 0}
8381, 82nfun 4165 . . 3 𝑥({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0})
8480, 83cleqf 2934 . 2 ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} = ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0}) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0})))
8579, 84sylibr 233 1 (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} = ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wal 1539   = wceq 1541  wnf 1785  wcel 2106  wne 2940  {crab 3432  cun 3946   class class class wbr 5148  (class class class)co 7411  cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   < clt 11250   / cdiv 11873  +crp 12976
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-rp 12977
This theorem is referenced by:  smfrec  45590
  Copyright terms: Public domain W3C validator