MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mirhl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mirhl 27920
Description: If two points 𝑋 and π‘Œ are on the same half-line from 𝑍, the same applies to the mirror points. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
mirval.d βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
mirval.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
mirval.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
mirval.s 𝑆 = (pInvGβ€˜πΊ)
mirval.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
mirhl.m 𝑀 = (π‘†β€˜π΄)
mirhl.k 𝐾 = (hlGβ€˜πΊ)
mirhl.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
mirhl.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
mirhl.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
mirhl.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑃)
mirhl.1 (πœ‘ β†’ 𝑋(πΎβ€˜π‘)π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
mirhl (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π‘‹)(πΎβ€˜(π‘€β€˜π‘))(π‘€β€˜π‘Œ))
Proof of Theorem mirhl
StepHypRef Expression
1 mirval.p . . . . 5 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 mirval.d . . . . 5 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
3 mirval.i . . . . 5 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
4 mirval.l . . . . 5 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
5 mirval.s . . . . 5 𝑆 = (pInvGβ€˜πΊ)
6 mirval.g . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
76adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜π‘‹) = (π‘€β€˜π‘)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
8 mirhl.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
98adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜π‘‹) = (π‘€β€˜π‘)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
10 mirhl.m . . . . 5 𝑀 = (π‘†β€˜π΄)
11 mirhl.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
1211adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜π‘‹) = (π‘€β€˜π‘)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
13 mirhl.z . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑃)
1413adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜π‘‹) = (π‘€β€˜π‘)) β†’ 𝑍 ∈ 𝑃)
15 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜π‘‹) = (π‘€β€˜π‘)) β†’ (π‘€β€˜π‘‹) = (π‘€β€˜π‘))
161, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 14, 15mireq 27906 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜π‘‹) = (π‘€β€˜π‘)) β†’ 𝑋 = 𝑍)
17 mirhl.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋(πΎβ€˜π‘)π‘Œ)
18 mirhl.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (hlGβ€˜πΊ)
19 mirhl.y . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
201, 3, 18, 11, 19, 13, 6ishlg 27843 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑋(πΎβ€˜π‘)π‘Œ ↔ (𝑋 β‰  𝑍 ∧ π‘Œ β‰  𝑍 ∧ (𝑋 ∈ (π‘πΌπ‘Œ) ∨ π‘Œ ∈ (𝑍𝐼𝑋)))))
2117, 20mpbid 231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑋 β‰  𝑍 ∧ π‘Œ β‰  𝑍 ∧ (𝑋 ∈ (π‘πΌπ‘Œ) ∨ π‘Œ ∈ (𝑍𝐼𝑋))))
2221simp1d 1143 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  𝑍)
2322adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜π‘‹) = (π‘€β€˜π‘)) β†’ 𝑋 β‰  𝑍)
2423neneqd 2946 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜π‘‹) = (π‘€β€˜π‘)) β†’ Β¬ 𝑋 = 𝑍)
2516, 24pm2.65da 816 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ (π‘€β€˜π‘‹) = (π‘€β€˜π‘))
2625neqned 2948 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π‘‹) β‰  (π‘€β€˜π‘))
276adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) = (π‘€β€˜π‘)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
288adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) = (π‘€β€˜π‘)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
2919adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) = (π‘€β€˜π‘)) β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
3013adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) = (π‘€β€˜π‘)) β†’ 𝑍 ∈ 𝑃)
31 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) = (π‘€β€˜π‘)) β†’ (π‘€β€˜π‘Œ) = (π‘€β€˜π‘))
321, 2, 3, 4, 5, 27, 28, 10, 29, 30, 31mireq 27906 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) = (π‘€β€˜π‘)) β†’ π‘Œ = 𝑍)
3321simp2d 1144 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ β‰  𝑍)
3433adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) = (π‘€β€˜π‘)) β†’ π‘Œ β‰  𝑍)
3534neneqd 2946 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) = (π‘€β€˜π‘)) β†’ Β¬ π‘Œ = 𝑍)
3632, 35pm2.65da 816 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ (π‘€β€˜π‘Œ) = (π‘€β€˜π‘))
3736neqned 2948 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π‘Œ) β‰  (π‘€β€˜π‘))
3821simp3d 1145 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (π‘πΌπ‘Œ) ∨ π‘Œ ∈ (𝑍𝐼𝑋)))
396adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘πΌπ‘Œ)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
408adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘πΌπ‘Œ)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
4113adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘πΌπ‘Œ)) β†’ 𝑍 ∈ 𝑃)
4211adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘πΌπ‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
4319adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘πΌπ‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
44 simpr 486 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘πΌπ‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ (π‘πΌπ‘Œ))
451, 2, 3, 4, 5, 39, 40, 10, 41, 42, 43, 44mirbtwni 27912 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘πΌπ‘Œ)) β†’ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ ((π‘€β€˜π‘)𝐼(π‘€β€˜π‘Œ)))
4645ex 414 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (π‘πΌπ‘Œ) β†’ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ ((π‘€β€˜π‘)𝐼(π‘€β€˜π‘Œ))))
476adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝑍𝐼𝑋)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
488adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝑍𝐼𝑋)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
4913adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝑍𝐼𝑋)) β†’ 𝑍 ∈ 𝑃)
5019adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝑍𝐼𝑋)) β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
5111adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝑍𝐼𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
52 simpr 486 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝑍𝐼𝑋)) β†’ π‘Œ ∈ (𝑍𝐼𝑋))
531, 2, 3, 4, 5, 47, 48, 10, 49, 50, 51, 52mirbtwni 27912 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝑍𝐼𝑋)) β†’ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ ((π‘€β€˜π‘)𝐼(π‘€β€˜π‘‹)))
5453ex 414 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ (𝑍𝐼𝑋) β†’ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ ((π‘€β€˜π‘)𝐼(π‘€β€˜π‘‹))))
5546, 54orim12d 964 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑋 ∈ (π‘πΌπ‘Œ) ∨ π‘Œ ∈ (𝑍𝐼𝑋)) β†’ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ ((π‘€β€˜π‘)𝐼(π‘€β€˜π‘Œ)) ∨ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ ((π‘€β€˜π‘)𝐼(π‘€β€˜π‘‹)))))
5638, 55mpd 15 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ ((π‘€β€˜π‘)𝐼(π‘€β€˜π‘Œ)) ∨ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ ((π‘€β€˜π‘)𝐼(π‘€β€˜π‘‹))))
571, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11mircl 27902 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑃)
581, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 19mircl 27902 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑃)
591, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 13mircl 27902 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π‘) ∈ 𝑃)
601, 3, 18, 57, 58, 59, 6ishlg 27843 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π‘‹)(πΎβ€˜(π‘€β€˜π‘))(π‘€β€˜π‘Œ) ↔ ((π‘€β€˜π‘‹) β‰  (π‘€β€˜π‘) ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) β‰  (π‘€β€˜π‘) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ ((π‘€β€˜π‘)𝐼(π‘€β€˜π‘Œ)) ∨ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ ((π‘€β€˜π‘)𝐼(π‘€β€˜π‘‹))))))
6126, 37, 56, 60mpbir3and 1343 1 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π‘‹)(πΎβ€˜(π‘€β€˜π‘))(π‘€β€˜π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  Basecbs 17141  distcds 17203  TarskiGcstrkg 27668  Itvcitv 27674  LineGclng 27675  hlGchlg 27841  pInvGcmir 27893
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-oadd 8467  df-er 8700  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-dju 9893  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-xnn0 12542  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-hash 14288  df-word 14462  df-concat 14518  df-s1 14543  df-s2 14796  df-s3 14797  df-trkgc 27689  df-trkgb 27690  df-trkgcb 27691  df-trkg 27694  df-cgrg 27752  df-hlg 27842  df-mir 27894
This theorem is referenced by:  opphllem3  27990
  Copyright terms: Public domain W3C validator