Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mirhl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mirhl 26480
 Description: If two points 𝑋 and 𝑌 are on the same half-line from 𝑍, the same applies to the mirror points. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d = (dist‘𝐺)
mirval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
mirhl.m 𝑀 = (𝑆𝐴)
mirhl.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
mirhl.a (𝜑𝐴𝑃)
mirhl.x (𝜑𝑋𝑃)
mirhl.y (𝜑𝑌𝑃)
mirhl.z (𝜑𝑍𝑃)
mirhl.1 (𝜑𝑋(𝐾𝑍)𝑌)
Assertion
Ref Expression
mirhl (𝜑 → (𝑀𝑋)(𝐾‘(𝑀𝑍))(𝑀𝑌))

Proof of Theorem mirhl
StepHypRef Expression
1 mirval.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 mirval.d . . . . 5 = (dist‘𝐺)
3 mirval.i . . . . 5 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 mirval.l . . . . 5 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5 mirval.s . . . . 5 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6 mirval.g . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
76adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑋) = (𝑀𝑍)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8 mirhl.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑃)
98adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑋) = (𝑀𝑍)) → 𝐴𝑃)
10 mirhl.m . . . . 5 𝑀 = (𝑆𝐴)
11 mirhl.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑃)
1211adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑋) = (𝑀𝑍)) → 𝑋𝑃)
13 mirhl.z . . . . . 6 (𝜑𝑍𝑃)
1413adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑋) = (𝑀𝑍)) → 𝑍𝑃)
15 simpr 488 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑋) = (𝑀𝑍)) → (𝑀𝑋) = (𝑀𝑍))
161, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 14, 15mireq 26466 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑋) = (𝑀𝑍)) → 𝑋 = 𝑍)
17 mirhl.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋(𝐾𝑍)𝑌)
18 mirhl.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (hlG‘𝐺)
19 mirhl.y . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌𝑃)
201, 3, 18, 11, 19, 13, 6ishlg 26403 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋(𝐾𝑍)𝑌 ↔ (𝑋𝑍𝑌𝑍 ∧ (𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)))))
2117, 20mpbid 235 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋𝑍𝑌𝑍 ∧ (𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋))))
2221simp1d 1139 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑍)
2322adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑋) = (𝑀𝑍)) → 𝑋𝑍)
2423neneqd 3019 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑋) = (𝑀𝑍)) → ¬ 𝑋 = 𝑍)
2516, 24pm2.65da 816 . . 3 (𝜑 → ¬ (𝑀𝑋) = (𝑀𝑍))
2625neqned 3021 . 2 (𝜑 → (𝑀𝑋) ≠ (𝑀𝑍))
276adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑌) = (𝑀𝑍)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
288adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑌) = (𝑀𝑍)) → 𝐴𝑃)
2919adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑌) = (𝑀𝑍)) → 𝑌𝑃)
3013adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑌) = (𝑀𝑍)) → 𝑍𝑃)
31 simpr 488 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑌) = (𝑀𝑍)) → (𝑀𝑌) = (𝑀𝑍))
321, 2, 3, 4, 5, 27, 28, 10, 29, 30, 31mireq 26466 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑌) = (𝑀𝑍)) → 𝑌 = 𝑍)
3321simp2d 1140 . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑍)
3433adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑌) = (𝑀𝑍)) → 𝑌𝑍)
3534neneqd 3019 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑌) = (𝑀𝑍)) → ¬ 𝑌 = 𝑍)
3632, 35pm2.65da 816 . . 3 (𝜑 → ¬ (𝑀𝑌) = (𝑀𝑍))
3736neqned 3021 . 2 (𝜑 → (𝑀𝑌) ≠ (𝑀𝑍))
3821simp3d 1141 . . 3 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)))
396adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
408adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)) → 𝐴𝑃)
4113adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)) → 𝑍𝑃)
4211adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)) → 𝑋𝑃)
4319adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)) → 𝑌𝑃)
44 simpr 488 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)) → 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌))
451, 2, 3, 4, 5, 39, 40, 10, 41, 42, 43, 44mirbtwni 26472 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)) → (𝑀𝑋) ∈ ((𝑀𝑍)𝐼(𝑀𝑌)))
4645ex 416 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) → (𝑀𝑋) ∈ ((𝑀𝑍)𝐼(𝑀𝑌))))
476adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
488adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) → 𝐴𝑃)
4913adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) → 𝑍𝑃)
5019adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) → 𝑌𝑃)
5111adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) → 𝑋𝑃)
52 simpr 488 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) → 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋))
531, 2, 3, 4, 5, 47, 48, 10, 49, 50, 51, 52mirbtwni 26472 . . . . 5 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) → (𝑀𝑌) ∈ ((𝑀𝑍)𝐼(𝑀𝑋)))
5453ex 416 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋) → (𝑀𝑌) ∈ ((𝑀𝑍)𝐼(𝑀𝑋))))
5546, 54orim12d 962 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) → ((𝑀𝑋) ∈ ((𝑀𝑍)𝐼(𝑀𝑌)) ∨ (𝑀𝑌) ∈ ((𝑀𝑍)𝐼(𝑀𝑋)))))
5638, 55mpd 15 . 2 (𝜑 → ((𝑀𝑋) ∈ ((𝑀𝑍)𝐼(𝑀𝑌)) ∨ (𝑀𝑌) ∈ ((𝑀𝑍)𝐼(𝑀𝑋))))
571, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11mircl 26462 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝑋) ∈ 𝑃)
581, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 19mircl 26462 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝑌) ∈ 𝑃)
591, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 13mircl 26462 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝑍) ∈ 𝑃)
601, 3, 18, 57, 58, 59, 6ishlg 26403 . 2 (𝜑 → ((𝑀𝑋)(𝐾‘(𝑀𝑍))(𝑀𝑌) ↔ ((𝑀𝑋) ≠ (𝑀𝑍) ∧ (𝑀𝑌) ≠ (𝑀𝑍) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ ((𝑀𝑍)𝐼(𝑀𝑌)) ∨ (𝑀𝑌) ∈ ((𝑀𝑍)𝐼(𝑀𝑋))))))
6126, 37, 56, 60mpbir3and 1339 1 (𝜑 → (𝑀𝑋)(𝐾‘(𝑀𝑍))(𝑀𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014   class class class wbr 5052  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  Basecbs 16483  distcds 16574  TarskiGcstrkg 26231  Itvcitv 26237  LineGclng 26238  hlGchlg 26401  pInvGcmir 26453 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-pm 8405  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-dju 9327  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-n0 11895  df-xnn0 11965  df-z 11979  df-uz 12241  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-hash 13696  df-word 13867  df-concat 13923  df-s1 13950  df-s2 14210  df-s3 14211  df-trkgc 26249  df-trkgb 26250  df-trkgcb 26251  df-trkg 26254  df-cgrg 26312  df-hlg 26402  df-mir 26454 This theorem is referenced by:  opphllem3  26550
 Copyright terms: Public domain W3C validator