MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mirhl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mirhl 28470
Description: If two points 𝑋 and 𝑌 are on the same half-line from 𝑍, the same applies to the mirror points. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d = (dist‘𝐺)
mirval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
mirhl.m 𝑀 = (𝑆𝐴)
mirhl.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
mirhl.a (𝜑𝐴𝑃)
mirhl.x (𝜑𝑋𝑃)
mirhl.y (𝜑𝑌𝑃)
mirhl.z (𝜑𝑍𝑃)
mirhl.1 (𝜑𝑋(𝐾𝑍)𝑌)
Assertion
Ref Expression
mirhl (𝜑 → (𝑀𝑋)(𝐾‘(𝑀𝑍))(𝑀𝑌))

Proof of Theorem mirhl
StepHypRef Expression
1 mirval.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 mirval.d . . . . 5 = (dist‘𝐺)
3 mirval.i . . . . 5 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 mirval.l . . . . 5 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5 mirval.s . . . . 5 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6 mirval.g . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
76adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑋) = (𝑀𝑍)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8 mirhl.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑃)
98adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑋) = (𝑀𝑍)) → 𝐴𝑃)
10 mirhl.m . . . . 5 𝑀 = (𝑆𝐴)
11 mirhl.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑃)
1211adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑋) = (𝑀𝑍)) → 𝑋𝑃)
13 mirhl.z . . . . . 6 (𝜑𝑍𝑃)
1413adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑋) = (𝑀𝑍)) → 𝑍𝑃)
15 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑋) = (𝑀𝑍)) → (𝑀𝑋) = (𝑀𝑍))
161, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 14, 15mireq 28456 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑋) = (𝑀𝑍)) → 𝑋 = 𝑍)
17 mirhl.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋(𝐾𝑍)𝑌)
18 mirhl.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (hlG‘𝐺)
19 mirhl.y . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌𝑃)
201, 3, 18, 11, 19, 13, 6ishlg 28393 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋(𝐾𝑍)𝑌 ↔ (𝑋𝑍𝑌𝑍 ∧ (𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)))))
2117, 20mpbid 231 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋𝑍𝑌𝑍 ∧ (𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋))))
2221simp1d 1140 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑍)
2322adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑋) = (𝑀𝑍)) → 𝑋𝑍)
2423neneqd 2940 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑋) = (𝑀𝑍)) → ¬ 𝑋 = 𝑍)
2516, 24pm2.65da 816 . . 3 (𝜑 → ¬ (𝑀𝑋) = (𝑀𝑍))
2625neqned 2942 . 2 (𝜑 → (𝑀𝑋) ≠ (𝑀𝑍))
276adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑌) = (𝑀𝑍)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
288adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑌) = (𝑀𝑍)) → 𝐴𝑃)
2919adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑌) = (𝑀𝑍)) → 𝑌𝑃)
3013adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑌) = (𝑀𝑍)) → 𝑍𝑃)
31 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑌) = (𝑀𝑍)) → (𝑀𝑌) = (𝑀𝑍))
321, 2, 3, 4, 5, 27, 28, 10, 29, 30, 31mireq 28456 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑌) = (𝑀𝑍)) → 𝑌 = 𝑍)
3321simp2d 1141 . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑍)
3433adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑌) = (𝑀𝑍)) → 𝑌𝑍)
3534neneqd 2940 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑌) = (𝑀𝑍)) → ¬ 𝑌 = 𝑍)
3632, 35pm2.65da 816 . . 3 (𝜑 → ¬ (𝑀𝑌) = (𝑀𝑍))
3736neqned 2942 . 2 (𝜑 → (𝑀𝑌) ≠ (𝑀𝑍))
3821simp3d 1142 . . 3 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)))
396adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
408adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)) → 𝐴𝑃)
4113adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)) → 𝑍𝑃)
4211adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)) → 𝑋𝑃)
4319adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)) → 𝑌𝑃)
44 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)) → 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌))
451, 2, 3, 4, 5, 39, 40, 10, 41, 42, 43, 44mirbtwni 28462 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)) → (𝑀𝑋) ∈ ((𝑀𝑍)𝐼(𝑀𝑌)))
4645ex 412 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) → (𝑀𝑋) ∈ ((𝑀𝑍)𝐼(𝑀𝑌))))
476adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
488adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) → 𝐴𝑃)
4913adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) → 𝑍𝑃)
5019adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) → 𝑌𝑃)
5111adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) → 𝑋𝑃)
52 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) → 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋))
531, 2, 3, 4, 5, 47, 48, 10, 49, 50, 51, 52mirbtwni 28462 . . . . 5 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) → (𝑀𝑌) ∈ ((𝑀𝑍)𝐼(𝑀𝑋)))
5453ex 412 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋) → (𝑀𝑌) ∈ ((𝑀𝑍)𝐼(𝑀𝑋))))
5546, 54orim12d 963 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) → ((𝑀𝑋) ∈ ((𝑀𝑍)𝐼(𝑀𝑌)) ∨ (𝑀𝑌) ∈ ((𝑀𝑍)𝐼(𝑀𝑋)))))
5638, 55mpd 15 . 2 (𝜑 → ((𝑀𝑋) ∈ ((𝑀𝑍)𝐼(𝑀𝑌)) ∨ (𝑀𝑌) ∈ ((𝑀𝑍)𝐼(𝑀𝑋))))
571, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11mircl 28452 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝑋) ∈ 𝑃)
581, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 19mircl 28452 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝑌) ∈ 𝑃)
591, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 13mircl 28452 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝑍) ∈ 𝑃)
601, 3, 18, 57, 58, 59, 6ishlg 28393 . 2 (𝜑 → ((𝑀𝑋)(𝐾‘(𝑀𝑍))(𝑀𝑌) ↔ ((𝑀𝑋) ≠ (𝑀𝑍) ∧ (𝑀𝑌) ≠ (𝑀𝑍) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ ((𝑀𝑍)𝐼(𝑀𝑌)) ∨ (𝑀𝑌) ∈ ((𝑀𝑍)𝐼(𝑀𝑋))))))
6126, 37, 56, 60mpbir3and 1340 1 (𝜑 → (𝑀𝑋)(𝐾‘(𝑀𝑍))(𝑀𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 846  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2935   class class class wbr 5142  cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17171  distcds 17233  TarskiGcstrkg 28218  Itvcitv 28224  LineGclng 28225  hlGchlg 28391  pInvGcmir 28443
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8718  df-pm 8839  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-dju 9916  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-xnn0 12567  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-hash 14314  df-word 14489  df-concat 14545  df-s1 14570  df-s2 14823  df-s3 14824  df-trkgc 28239  df-trkgb 28240  df-trkgcb 28241  df-trkg 28244  df-cgrg 28302  df-hlg 28392  df-mir 28444
This theorem is referenced by:  opphllem3  28540
  Copyright terms: Public domain W3C validator