MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mirhl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mirhl 26392
Description: If two points 𝑋 and 𝑌 are on the same half-line from 𝑍, the same applies to the mirror points. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d = (dist‘𝐺)
mirval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
mirhl.m 𝑀 = (𝑆𝐴)
mirhl.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
mirhl.a (𝜑𝐴𝑃)
mirhl.x (𝜑𝑋𝑃)
mirhl.y (𝜑𝑌𝑃)
mirhl.z (𝜑𝑍𝑃)
mirhl.1 (𝜑𝑋(𝐾𝑍)𝑌)
Assertion
Ref Expression
mirhl (𝜑 → (𝑀𝑋)(𝐾‘(𝑀𝑍))(𝑀𝑌))

Proof of Theorem mirhl
StepHypRef Expression
1 mirval.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 mirval.d . . . . 5 = (dist‘𝐺)
3 mirval.i . . . . 5 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 mirval.l . . . . 5 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5 mirval.s . . . . 5 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6 mirval.g . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
76adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑋) = (𝑀𝑍)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8 mirhl.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑃)
98adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑋) = (𝑀𝑍)) → 𝐴𝑃)
10 mirhl.m . . . . 5 𝑀 = (𝑆𝐴)
11 mirhl.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑃)
1211adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑋) = (𝑀𝑍)) → 𝑋𝑃)
13 mirhl.z . . . . . 6 (𝜑𝑍𝑃)
1413adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑋) = (𝑀𝑍)) → 𝑍𝑃)
15 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑋) = (𝑀𝑍)) → (𝑀𝑋) = (𝑀𝑍))
161, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 14, 15mireq 26378 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑋) = (𝑀𝑍)) → 𝑋 = 𝑍)
17 mirhl.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋(𝐾𝑍)𝑌)
18 mirhl.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (hlG‘𝐺)
19 mirhl.y . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌𝑃)
201, 3, 18, 11, 19, 13, 6ishlg 26315 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋(𝐾𝑍)𝑌 ↔ (𝑋𝑍𝑌𝑍 ∧ (𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)))))
2117, 20mpbid 233 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋𝑍𝑌𝑍 ∧ (𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋))))
2221simp1d 1134 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑍)
2322adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑋) = (𝑀𝑍)) → 𝑋𝑍)
2423neneqd 3018 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑋) = (𝑀𝑍)) → ¬ 𝑋 = 𝑍)
2516, 24pm2.65da 813 . . 3 (𝜑 → ¬ (𝑀𝑋) = (𝑀𝑍))
2625neqned 3020 . 2 (𝜑 → (𝑀𝑋) ≠ (𝑀𝑍))
276adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑌) = (𝑀𝑍)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
288adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑌) = (𝑀𝑍)) → 𝐴𝑃)
2919adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑌) = (𝑀𝑍)) → 𝑌𝑃)
3013adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑌) = (𝑀𝑍)) → 𝑍𝑃)
31 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑌) = (𝑀𝑍)) → (𝑀𝑌) = (𝑀𝑍))
321, 2, 3, 4, 5, 27, 28, 10, 29, 30, 31mireq 26378 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑌) = (𝑀𝑍)) → 𝑌 = 𝑍)
3321simp2d 1135 . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑍)
3433adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑌) = (𝑀𝑍)) → 𝑌𝑍)
3534neneqd 3018 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑌) = (𝑀𝑍)) → ¬ 𝑌 = 𝑍)
3632, 35pm2.65da 813 . . 3 (𝜑 → ¬ (𝑀𝑌) = (𝑀𝑍))
3736neqned 3020 . 2 (𝜑 → (𝑀𝑌) ≠ (𝑀𝑍))
3821simp3d 1136 . . 3 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)))
396adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
408adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)) → 𝐴𝑃)
4113adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)) → 𝑍𝑃)
4211adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)) → 𝑋𝑃)
4319adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)) → 𝑌𝑃)
44 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)) → 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌))
451, 2, 3, 4, 5, 39, 40, 10, 41, 42, 43, 44mirbtwni 26384 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)) → (𝑀𝑋) ∈ ((𝑀𝑍)𝐼(𝑀𝑌)))
4645ex 413 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) → (𝑀𝑋) ∈ ((𝑀𝑍)𝐼(𝑀𝑌))))
476adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
488adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) → 𝐴𝑃)
4913adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) → 𝑍𝑃)
5019adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) → 𝑌𝑃)
5111adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) → 𝑋𝑃)
52 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) → 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋))
531, 2, 3, 4, 5, 47, 48, 10, 49, 50, 51, 52mirbtwni 26384 . . . . 5 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) → (𝑀𝑌) ∈ ((𝑀𝑍)𝐼(𝑀𝑋)))
5453ex 413 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋) → (𝑀𝑌) ∈ ((𝑀𝑍)𝐼(𝑀𝑋))))
5546, 54orim12d 958 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) → ((𝑀𝑋) ∈ ((𝑀𝑍)𝐼(𝑀𝑌)) ∨ (𝑀𝑌) ∈ ((𝑀𝑍)𝐼(𝑀𝑋)))))
5638, 55mpd 15 . 2 (𝜑 → ((𝑀𝑋) ∈ ((𝑀𝑍)𝐼(𝑀𝑌)) ∨ (𝑀𝑌) ∈ ((𝑀𝑍)𝐼(𝑀𝑋))))
571, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11mircl 26374 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝑋) ∈ 𝑃)
581, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 19mircl 26374 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝑌) ∈ 𝑃)
591, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 13mircl 26374 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝑍) ∈ 𝑃)
601, 3, 18, 57, 58, 59, 6ishlg 26315 . 2 (𝜑 → ((𝑀𝑋)(𝐾‘(𝑀𝑍))(𝑀𝑌) ↔ ((𝑀𝑋) ≠ (𝑀𝑍) ∧ (𝑀𝑌) ≠ (𝑀𝑍) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ ((𝑀𝑍)𝐼(𝑀𝑌)) ∨ (𝑀𝑌) ∈ ((𝑀𝑍)𝐼(𝑀𝑋))))))
6126, 37, 56, 60mpbir3and 1334 1 (𝜑 → (𝑀𝑋)(𝐾‘(𝑀𝑍))(𝑀𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 841  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  distcds 16562  TarskiGcstrkg 26143  Itvcitv 26149  LineGclng 26150  hlGchlg 26313  pInvGcmir 26365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-hash 13679  df-word 13850  df-concat 13911  df-s1 13938  df-s2 14198  df-s3 14199  df-trkgc 26161  df-trkgb 26162  df-trkgcb 26163  df-trkg 26166  df-cgrg 26224  df-hlg 26314  df-mir 26366
This theorem is referenced by:  opphllem3  26462
  Copyright terms: Public domain W3C validator