Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mirhl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mirhl 26030
 Description: If two points 𝑋 and 𝑌 are on the same half-line from 𝑍, the same applies to the mirror points. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d = (dist‘𝐺)
mirval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
mirhl.m 𝑀 = (𝑆𝐴)
mirhl.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
mirhl.a (𝜑𝐴𝑃)
mirhl.x (𝜑𝑋𝑃)
mirhl.y (𝜑𝑌𝑃)
mirhl.z (𝜑𝑍𝑃)
mirhl.1 (𝜑𝑋(𝐾𝑍)𝑌)
Assertion
Ref Expression
mirhl (𝜑 → (𝑀𝑋)(𝐾‘(𝑀𝑍))(𝑀𝑌))

Proof of Theorem mirhl
StepHypRef Expression
1 mirval.p . . . . . 6 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 mirval.d . . . . . 6 = (dist‘𝐺)
3 mirval.i . . . . . 6 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 mirval.l . . . . . 6 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5 mirval.s . . . . . 6 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6 mirval.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
76adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑋) = (𝑀𝑍)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8 mirhl.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑃)
98adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑋) = (𝑀𝑍)) → 𝐴𝑃)
10 mirhl.m . . . . . 6 𝑀 = (𝑆𝐴)
11 mirhl.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑃)
1211adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑋) = (𝑀𝑍)) → 𝑋𝑃)
13 mirhl.z . . . . . . 7 (𝜑𝑍𝑃)
1413adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑋) = (𝑀𝑍)) → 𝑍𝑃)
15 simpr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑋) = (𝑀𝑍)) → (𝑀𝑋) = (𝑀𝑍))
161, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 14, 15mireq 26016 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑋) = (𝑀𝑍)) → 𝑋 = 𝑍)
17 mirhl.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋(𝐾𝑍)𝑌)
18 mirhl.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (hlG‘𝐺)
19 mirhl.y . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌𝑃)
201, 3, 18, 11, 19, 13, 6ishlg 25953 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋(𝐾𝑍)𝑌 ↔ (𝑋𝑍𝑌𝑍 ∧ (𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)))))
2117, 20mpbid 224 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋𝑍𝑌𝑍 ∧ (𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋))))
2221simp1d 1133 . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑍)
2322adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑋) = (𝑀𝑍)) → 𝑋𝑍)
2423neneqd 2974 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑋) = (𝑀𝑍)) → ¬ 𝑋 = 𝑍)
2516, 24pm2.65da 807 . . . 4 (𝜑 → ¬ (𝑀𝑋) = (𝑀𝑍))
2625neqned 2976 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝑋) ≠ (𝑀𝑍))
276adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑌) = (𝑀𝑍)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
288adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑌) = (𝑀𝑍)) → 𝐴𝑃)
2919adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑌) = (𝑀𝑍)) → 𝑌𝑃)
3013adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑌) = (𝑀𝑍)) → 𝑍𝑃)
31 simpr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑌) = (𝑀𝑍)) → (𝑀𝑌) = (𝑀𝑍))
321, 2, 3, 4, 5, 27, 28, 10, 29, 30, 31mireq 26016 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑌) = (𝑀𝑍)) → 𝑌 = 𝑍)
3321simp2d 1134 . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝑍)
3433adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑌) = (𝑀𝑍)) → 𝑌𝑍)
3534neneqd 2974 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑌) = (𝑀𝑍)) → ¬ 𝑌 = 𝑍)
3632, 35pm2.65da 807 . . . 4 (𝜑 → ¬ (𝑀𝑌) = (𝑀𝑍))
3736neqned 2976 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝑌) ≠ (𝑀𝑍))
3821simp3d 1135 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)))
396adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
408adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)) → 𝐴𝑃)
4113adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)) → 𝑍𝑃)
4211adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)) → 𝑋𝑃)
4319adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)) → 𝑌𝑃)
44 simpr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)) → 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌))
451, 2, 3, 4, 5, 39, 40, 10, 41, 42, 43, 44mirbtwni 26022 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)) → (𝑀𝑋) ∈ ((𝑀𝑍)𝐼(𝑀𝑌)))
4645ex 403 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) → (𝑀𝑋) ∈ ((𝑀𝑍)𝐼(𝑀𝑌))))
476adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
488adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) → 𝐴𝑃)
4913adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) → 𝑍𝑃)
5019adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) → 𝑌𝑃)
5111adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) → 𝑋𝑃)
52 simpr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) → 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋))
531, 2, 3, 4, 5, 47, 48, 10, 49, 50, 51, 52mirbtwni 26022 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) → (𝑀𝑌) ∈ ((𝑀𝑍)𝐼(𝑀𝑋)))
5453ex 403 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋) → (𝑀𝑌) ∈ ((𝑀𝑍)𝐼(𝑀𝑋))))
5546, 54orim12d 950 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) → ((𝑀𝑋) ∈ ((𝑀𝑍)𝐼(𝑀𝑌)) ∨ (𝑀𝑌) ∈ ((𝑀𝑍)𝐼(𝑀𝑋)))))
5638, 55mpd 15 . . 3 (𝜑 → ((𝑀𝑋) ∈ ((𝑀𝑍)𝐼(𝑀𝑌)) ∨ (𝑀𝑌) ∈ ((𝑀𝑍)𝐼(𝑀𝑋))))
5726, 37, 563jca 1119 . 2 (𝜑 → ((𝑀𝑋) ≠ (𝑀𝑍) ∧ (𝑀𝑌) ≠ (𝑀𝑍) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ ((𝑀𝑍)𝐼(𝑀𝑌)) ∨ (𝑀𝑌) ∈ ((𝑀𝑍)𝐼(𝑀𝑋)))))
581, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11mircl 26012 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝑋) ∈ 𝑃)
591, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 19mircl 26012 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝑌) ∈ 𝑃)
601, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 13mircl 26012 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝑍) ∈ 𝑃)
611, 3, 18, 58, 59, 60, 6ishlg 25953 . 2 (𝜑 → ((𝑀𝑋)(𝐾‘(𝑀𝑍))(𝑀𝑌) ↔ ((𝑀𝑋) ≠ (𝑀𝑍) ∧ (𝑀𝑌) ≠ (𝑀𝑍) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ ((𝑀𝑍)𝐼(𝑀𝑌)) ∨ (𝑀𝑌) ∈ ((𝑀𝑍)𝐼(𝑀𝑋))))))
6257, 61mpbird 249 1 (𝜑 → (𝑀𝑋)(𝐾‘(𝑀𝑍))(𝑀𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∨ wo 836   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969   class class class wbr 4886  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  Basecbs 16255  distcds 16347  TarskiGcstrkg 25781  Itvcitv 25787  LineGclng 25788  hlGchlg 25951  pInvGcmir 26003 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-pm 8143  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-card 9098  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-n0 11643  df-xnn0 11715  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-hash 13436  df-word 13600  df-concat 13661  df-s1 13686  df-s2 13999  df-s3 14000  df-trkgc 25799  df-trkgb 25800  df-trkgcb 25801  df-trkg 25804  df-cgrg 25862  df-hlg 25952  df-mir 26004 This theorem is referenced by:  opphllem3  26097
 Copyright terms: Public domain W3C validator