Theorem mirhl 29130

Description: If two points 𝑋 and 𝑌 are on the same half-line from 𝑍, the same applies to the mirror points. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
mirval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
mirhl.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
mirhl.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
mirhl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
mirhl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
mirhl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
mirhl.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
mirhl.1	⊢ (𝜑 → 𝑋(𝐾‘𝑍)𝑌)

Assertion

Ref	Expression
mirhl	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋)(𝐾‘(𝑀‘𝑍))(𝑀‘𝑌))

Proof of Theorem mirhl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mirval.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		mirval.d	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		mirval.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		mirval.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		mirval.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6		mirval.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘𝑍)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		mirhl.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
9	8	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘𝑍)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
10		mirhl.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
11		mirhl.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
12	11	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘𝑍)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
13		mirhl.z	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
14	13	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘𝑍)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
15		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘𝑍)) → (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘𝑍))
16	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 14, 15	mireq 29116	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘𝑍)) → 𝑋 = 𝑍)
17		mirhl.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋(𝐾‘𝑍)𝑌)
18		mirhl.k	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
19		mirhl.y	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
20	1, 3, 18, 11, 19, 13, 6	ishlg 29047	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋(𝐾‘𝑍)𝑌 ↔ (𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍 ∧ (𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)))))
21	17, 20	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍 ∧ (𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋))))
22	21	simp1d 1160	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑍)
23	22	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘𝑍)) → 𝑋 ≠ 𝑍)
24	23	neneqd 2961	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘𝑍)) → ¬ 𝑋 = 𝑍)
25	16, 24	pm2.65da 829	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘𝑍))
26	25	neqned 2963	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ≠ (𝑀‘𝑍))
27	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) = (𝑀‘𝑍)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
28	8	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) = (𝑀‘𝑍)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
29	19	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) = (𝑀‘𝑍)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
30	13	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) = (𝑀‘𝑍)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
31		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) = (𝑀‘𝑍)) → (𝑀‘𝑌) = (𝑀‘𝑍))
32	1, 2, 3, 4, 5, 27, 28, 10, 29, 30, 31	mireq 29116	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) = (𝑀‘𝑍)) → 𝑌 = 𝑍)
33	21	simp2d 1161	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑍)
34	33	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) = (𝑀‘𝑍)) → 𝑌 ≠ 𝑍)
35	34	neneqd 2961	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) = (𝑀‘𝑍)) → ¬ 𝑌 = 𝑍)
36	32, 35	pm2.65da 829	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑀‘𝑌) = (𝑀‘𝑍))
37	36	neqned 2963	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑌) ≠ (𝑀‘𝑍))
38	21	simp3d 1162	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)))
39	6	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
40	8	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
41	13	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
42	11	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
43	19	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
44		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)) → 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌))
45	1, 2, 3, 4, 5, 39, 40, 10, 41, 42, 43, 44	mirbtwni 29122	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)) → (𝑀‘𝑋) ∈ ((𝑀‘𝑍)𝐼(𝑀‘𝑌)))
46	45	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) → (𝑀‘𝑋) ∈ ((𝑀‘𝑍)𝐼(𝑀‘𝑌))))
47	6	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
48	8	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
49	13	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
50	19	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
51	11	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
52		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) → 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋))
53	1, 2, 3, 4, 5, 47, 48, 10, 49, 50, 51, 52	mirbtwni 29122	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) → (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑍)𝐼(𝑀‘𝑋)))
54	53	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋) → (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑍)𝐼(𝑀‘𝑋))))
55	46, 54	orim12d 979	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) → ((𝑀‘𝑋) ∈ ((𝑀‘𝑍)𝐼(𝑀‘𝑌)) ∨ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑍)𝐼(𝑀‘𝑋)))))
56	38, 55	mpd 16	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋) ∈ ((𝑀‘𝑍)𝐼(𝑀‘𝑌)) ∨ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑍)𝐼(𝑀‘𝑋))))
57	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11	mircl 29112	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ 𝑃)
58	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 19	mircl 29112	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑌) ∈ 𝑃)
59	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 13	mircl 29112	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑍) ∈ 𝑃)
60	1, 3, 18, 57, 58, 59, 6	ishlg 29047	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋)(𝐾‘(𝑀‘𝑍))(𝑀‘𝑌) ↔ ((𝑀‘𝑋) ≠ (𝑀‘𝑍) ∧ (𝑀‘𝑌) ≠ (𝑀‘𝑍) ∧ ((𝑀‘𝑋) ∈ ((𝑀‘𝑍)𝐼(𝑀‘𝑌)) ∨ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑍)𝐼(𝑀‘𝑋))))))
61	26, 37, 56, 60	mpbir3and 1361	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋)(𝐾‘(𝑀‘𝑍))(𝑀‘𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   class class class wbr 5103  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  Basecbs 17364  distcds 17414  TarskiGcstrkg 28868  Itvcitv 28874  LineGclng 28875  hlGchlg 29042  pInvGcmir 29103

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11234  ax-resscn 11235  ax-1cn 11236  ax-icn 11237  ax-addcl 11238  ax-addrcl 11239  ax-mulcl 11240  ax-mulrcl 11241  ax-mulcom 11242  ax-addass 11243  ax-mulass 11244  ax-distr 11245  ax-i2m1 11246  ax-1ne0 11247  ax-1rid 11248  ax-rnegex 11249  ax-rrecex 11250  ax-cnre 11251  ax-pre-lttri 11252  ax-pre-lttrn 11253  ax-pre-ltadd 11254  ax-pre-mulgt0 11255

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-oadd 8464  df-er 8701  df-pm 8834  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-dju 9960  df-card 9998  df-pnf 11323  df-mnf 11324  df-xr 11325  df-ltxr 11326  df-le 11327  df-sub 11521  df-neg 11522  df-nn 12314  df-2 12383  df-3 12384  df-n0 12585  df-xnn0 12658  df-z 12672  df-uz 12944  df-fz 13618  df-fzo 13766  df-hash 14452  df-word 14636  df-concat 14693  df-s1 14720  df-s2 14976  df-s3 14977  df-trkgc 28889  df-trkgb 28890  df-trkgcb 28891  df-trkg 28894  df-cgrg 28953  df-hlg 29043  df-mir 29104

This theorem is used by:  opphllem3  29204