Theorem mirhl 27038

Description: If two points 𝑋 and 𝑌 are on the same half-line from 𝑍, the same applies to the mirror points. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
mirval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
mirhl.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
mirhl.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
mirhl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
mirhl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
mirhl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
mirhl.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
mirhl.1	⊢ (𝜑 → 𝑋(𝐾‘𝑍)𝑌)

Assertion

Ref	Expression
mirhl	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋)(𝐾‘(𝑀‘𝑍))(𝑀‘𝑌))

Proof of Theorem mirhl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mirval.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		mirval.d	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		mirval.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		mirval.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		mirval.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6		mirval.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7	6	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘𝑍)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		mirhl.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
9	8	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘𝑍)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
10		mirhl.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
11		mirhl.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
12	11	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘𝑍)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
13		mirhl.z	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
14	13	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘𝑍)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
15		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘𝑍)) → (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘𝑍))
16	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 14, 15	mireq 27024	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘𝑍)) → 𝑋 = 𝑍)
17		mirhl.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋(𝐾‘𝑍)𝑌)
18		mirhl.k	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
19		mirhl.y	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
20	1, 3, 18, 11, 19, 13, 6	ishlg 26961	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋(𝐾‘𝑍)𝑌 ↔ (𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍 ∧ (𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)))))
21	17, 20	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍 ∧ (𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋))))
22	21	simp1d 1141	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑍)
23	22	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘𝑍)) → 𝑋 ≠ 𝑍)
24	23	neneqd 2950	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘𝑍)) → ¬ 𝑋 = 𝑍)
25	16, 24	pm2.65da 814	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘𝑍))
26	25	neqned 2952	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ≠ (𝑀‘𝑍))
27	6	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) = (𝑀‘𝑍)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
28	8	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) = (𝑀‘𝑍)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
29	19	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) = (𝑀‘𝑍)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
30	13	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) = (𝑀‘𝑍)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
31		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) = (𝑀‘𝑍)) → (𝑀‘𝑌) = (𝑀‘𝑍))
32	1, 2, 3, 4, 5, 27, 28, 10, 29, 30, 31	mireq 27024	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) = (𝑀‘𝑍)) → 𝑌 = 𝑍)
33	21	simp2d 1142	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑍)
34	33	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) = (𝑀‘𝑍)) → 𝑌 ≠ 𝑍)
35	34	neneqd 2950	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) = (𝑀‘𝑍)) → ¬ 𝑌 = 𝑍)
36	32, 35	pm2.65da 814	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑀‘𝑌) = (𝑀‘𝑍))
37	36	neqned 2952	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑌) ≠ (𝑀‘𝑍))
38	21	simp3d 1143	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)))
39	6	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
40	8	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
41	13	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
42	11	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
43	19	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
44		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)) → 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌))
45	1, 2, 3, 4, 5, 39, 40, 10, 41, 42, 43, 44	mirbtwni 27030	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)) → (𝑀‘𝑋) ∈ ((𝑀‘𝑍)𝐼(𝑀‘𝑌)))
46	45	ex 413	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) → (𝑀‘𝑋) ∈ ((𝑀‘𝑍)𝐼(𝑀‘𝑌))))
47	6	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
48	8	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
49	13	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
50	19	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
51	11	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
52		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) → 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋))
53	1, 2, 3, 4, 5, 47, 48, 10, 49, 50, 51, 52	mirbtwni 27030	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) → (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑍)𝐼(𝑀‘𝑋)))
54	53	ex 413	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋) → (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑍)𝐼(𝑀‘𝑋))))
55	46, 54	orim12d 962	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) → ((𝑀‘𝑋) ∈ ((𝑀‘𝑍)𝐼(𝑀‘𝑌)) ∨ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑍)𝐼(𝑀‘𝑋)))))
56	38, 55	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋) ∈ ((𝑀‘𝑍)𝐼(𝑀‘𝑌)) ∨ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑍)𝐼(𝑀‘𝑋))))
57	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11	mircl 27020	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ 𝑃)
58	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 19	mircl 27020	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑌) ∈ 𝑃)
59	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 13	mircl 27020	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑍) ∈ 𝑃)
60	1, 3, 18, 57, 58, 59, 6	ishlg 26961	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋)(𝐾‘(𝑀‘𝑍))(𝑀‘𝑌) ↔ ((𝑀‘𝑋) ≠ (𝑀‘𝑍) ∧ (𝑀‘𝑌) ≠ (𝑀‘𝑍) ∧ ((𝑀‘𝑋) ∈ ((𝑀‘𝑍)𝐼(𝑀‘𝑌)) ∨ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑍)𝐼(𝑀‘𝑋))))))
61	26, 37, 56, 60	mpbir3and 1341	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋)(𝐾‘(𝑀‘𝑍))(𝑀‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2945   class class class wbr 5079  ‘cfv 6432  (class class class)co 7271  Basecbs 16910  distcds 16969  TarskiGcstrkg 26786  Itvcitv 26792  LineGclng 26793  hlGchlg 26959  pInvGcmir 27011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-oadd 8292  df-er 8481  df-pm 8601  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-dju 9660  df-card 9698  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12582  df-fz 13239  df-fzo 13382  df-hash 14043  df-word 14216  df-concat 14272  df-s1 14299  df-s2 14559  df-s3 14560  df-trkgc 26807  df-trkgb 26808  df-trkgcb 26809  df-trkg 26812  df-cgrg 26870  df-hlg 26960  df-mir 27012

This theorem is referenced by:  opphllem3  27108