Theorem mirln2 28480

Description: If a point and its mirror point are both on the same line, so is the center of the point inversion. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
mirval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
mirln2.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
mirln2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
mirln2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
mirln2.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
mirln2.2	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
mirln2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)

Proof of Theorem mirln2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mirval.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		mirval.d	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		mirval.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		mirval.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		mirval.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6		mirval.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		mirln2.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		mirln2.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
9		mirln2.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
10		mirln2.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
11	1, 4, 3, 6, 9, 10	tglnpt 28352	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11	mirinv 28469	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐵) = 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))
13	12	biimpa 476	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
14	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) = 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐷)
15	13, 14	eqeltrd 2829	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) = 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐷)
16	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) ≠ 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
17		mirln2.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) ∈ 𝐷)
18	1, 4, 3, 6, 9, 17	tglnpt 28352	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) ∈ 𝑃)
19	18	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) ≠ 𝐵) → (𝑀‘𝐵) ∈ 𝑃)
20	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑃)
21	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑃)
22		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) ≠ 𝐵) → (𝑀‘𝐵) ≠ 𝐵)
23	1, 2, 3, 4, 5, 16, 21, 8, 20	mirbtwn 28461	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ ((𝑀‘𝐵)𝐼𝐵))
24	1, 3, 4, 16, 19, 20, 21, 22, 23	btwnlng1 28422	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ ((𝑀‘𝐵)𝐿𝐵))
25	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) ≠ 𝐵) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
26	17	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) ≠ 𝐵) → (𝑀‘𝐵) ∈ 𝐷)
27	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐷)
28	1, 3, 4, 16, 19, 20, 22, 22, 25, 26, 27	tglinethru 28439	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) ≠ 𝐵) → 𝐷 = ((𝑀‘𝐵)𝐿𝐵))
29	24, 28	eleqtrrd 2832	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐷)
30	15, 29	pm2.61dane 3026	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2937  ran crn 5679  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17179  distcds 17241  TarskiGcstrkg 28230  Itvcitv 28236  LineGclng 28237  pInvGcmir 28455

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-oadd 8490  df-er 8724  df-pm 8847  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-dju 9924  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-hash 14322  df-word 14497  df-concat 14553  df-s1 14578  df-s2 14831  df-s3 14832  df-trkgc 28251  df-trkgb 28252  df-trkgcb 28253  df-trkg 28256  df-cgrg 28314  df-mir 28456

This theorem is referenced by:  opphl  28557