Theorem mirln2 27959

Description: If a point and its mirror point are both on the same line, so is the center of the point inversion. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
mirval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
mirln2.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
mirln2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
mirln2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
mirln2.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
mirln2.2	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
mirln2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)

Proof of Theorem mirln2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mirval.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		mirval.d	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		mirval.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		mirval.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		mirval.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6		mirval.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		mirln2.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		mirln2.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
9		mirln2.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
10		mirln2.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
11	1, 4, 3, 6, 9, 10	tglnpt 27831	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11	mirinv 27948	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐵) = 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))
13	12	biimpa 478	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
14	10	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) = 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐷)
15	13, 14	eqeltrd 2834	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) = 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐷)
16	6	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) ≠ 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
17		mirln2.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) ∈ 𝐷)
18	1, 4, 3, 6, 9, 17	tglnpt 27831	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) ∈ 𝑃)
19	18	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) ≠ 𝐵) → (𝑀‘𝐵) ∈ 𝑃)
20	11	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑃)
21	7	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑃)
22		simpr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) ≠ 𝐵) → (𝑀‘𝐵) ≠ 𝐵)
23	1, 2, 3, 4, 5, 16, 21, 8, 20	mirbtwn 27940	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ ((𝑀‘𝐵)𝐼𝐵))
24	1, 3, 4, 16, 19, 20, 21, 22, 23	btwnlng1 27901	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ ((𝑀‘𝐵)𝐿𝐵))
25	9	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) ≠ 𝐵) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
26	17	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) ≠ 𝐵) → (𝑀‘𝐵) ∈ 𝐷)
27	10	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐷)
28	1, 3, 4, 16, 19, 20, 22, 22, 25, 26, 27	tglinethru 27918	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) ≠ 𝐵) → 𝐷 = ((𝑀‘𝐵)𝐿𝐵))
29	24, 28	eleqtrrd 2837	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐷)
30	15, 29	pm2.61dane 3030	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ran crn 5678  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  distcds 17206  TarskiGcstrkg 27709  Itvcitv 27715  LineGclng 27716  pInvGcmir 27934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-er 8703  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-hash 14291  df-word 14465  df-concat 14521  df-s1 14546  df-s2 14799  df-s3 14800  df-trkgc 27730  df-trkgb 27731  df-trkgcb 27732  df-trkg 27735  df-cgrg 27793  df-mir 27935

This theorem is referenced by:  opphl  28036