MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mirln2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mirln2 27917
Description: If a point and its mirror point are both on the same line, so is the center of the point inversion. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
mirval.d βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
mirval.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
mirval.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
mirval.s 𝑆 = (pInvGβ€˜πΊ)
mirval.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
mirln2.m 𝑀 = (π‘†β€˜π΄)
mirln2.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
mirln2.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
mirln2.1 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐷)
mirln2.2 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΅) ∈ 𝐷)
Assertion
Ref Expression
mirln2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐷)

Proof of Theorem mirln2
StepHypRef Expression
1 mirval.p . . . . 5 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 mirval.d . . . . 5 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
3 mirval.i . . . . 5 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
4 mirval.l . . . . 5 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
5 mirval.s . . . . 5 𝑆 = (pInvGβ€˜πΊ)
6 mirval.g . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
7 mirln2.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
8 mirln2.m . . . . 5 𝑀 = (π‘†β€˜π΄)
9 mirln2.d . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
10 mirln2.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐷)
111, 4, 3, 6, 9, 10tglnpt 27789 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11mirinv 27906 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π΅) = 𝐡 ↔ 𝐴 = 𝐡))
1312biimpa 477 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜π΅) = 𝐡) β†’ 𝐴 = 𝐡)
1410adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜π΅) = 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ 𝐷)
1513, 14eqeltrd 2833 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜π΅) = 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ 𝐷)
166adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜π΅) β‰  𝐡) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
17 mirln2.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΅) ∈ 𝐷)
181, 4, 3, 6, 9, 17tglnpt 27789 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΅) ∈ 𝑃)
1918adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜π΅) β‰  𝐡) β†’ (π‘€β€˜π΅) ∈ 𝑃)
2011adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜π΅) β‰  𝐡) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
217adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜π΅) β‰  𝐡) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
22 simpr 485 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜π΅) β‰  𝐡) β†’ (π‘€β€˜π΅) β‰  𝐡)
231, 2, 3, 4, 5, 16, 21, 8, 20mirbtwn 27898 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜π΅) β‰  𝐡) β†’ 𝐴 ∈ ((π‘€β€˜π΅)𝐼𝐡))
241, 3, 4, 16, 19, 20, 21, 22, 23btwnlng1 27859 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜π΅) β‰  𝐡) β†’ 𝐴 ∈ ((π‘€β€˜π΅)𝐿𝐡))
259adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜π΅) β‰  𝐡) β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
2617adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜π΅) β‰  𝐡) β†’ (π‘€β€˜π΅) ∈ 𝐷)
2710adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜π΅) β‰  𝐡) β†’ 𝐡 ∈ 𝐷)
281, 3, 4, 16, 19, 20, 22, 22, 25, 26, 27tglinethru 27876 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜π΅) β‰  𝐡) β†’ 𝐷 = ((π‘€β€˜π΅)𝐿𝐡))
2924, 28eleqtrrd 2836 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜π΅) β‰  𝐡) β†’ 𝐴 ∈ 𝐷)
3015, 29pm2.61dane 3029 1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  ran crn 5676  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  distcds 17202  TarskiGcstrkg 27667  Itvcitv 27673  LineGclng 27674  pInvGcmir 27892
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-er 8699  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-hash 14287  df-word 14461  df-concat 14517  df-s1 14542  df-s2 14795  df-s3 14796  df-trkgc 27688  df-trkgb 27689  df-trkgcb 27690  df-trkg 27693  df-cgrg 27751  df-mir 27893
This theorem is referenced by:  opphl  27994
  Copyright terms: Public domain W3C validator