Theorem mirln2 27038

Description: If a point and its mirror point are both on the same line, so is the center of the point inversion. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
mirval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
mirln2.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
mirln2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
mirln2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
mirln2.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
mirln2.2	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
mirln2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)

Proof of Theorem mirln2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mirval.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		mirval.d	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		mirval.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		mirval.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		mirval.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6		mirval.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		mirln2.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		mirln2.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
9		mirln2.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
10		mirln2.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
11	1, 4, 3, 6, 9, 10	tglnpt 26910	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11	mirinv 27027	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐵) = 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))
13	12	biimpa 477	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
14	10	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) = 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐷)
15	13, 14	eqeltrd 2839	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) = 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐷)
16	6	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) ≠ 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
17		mirln2.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) ∈ 𝐷)
18	1, 4, 3, 6, 9, 17	tglnpt 26910	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) ∈ 𝑃)
19	18	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) ≠ 𝐵) → (𝑀‘𝐵) ∈ 𝑃)
20	11	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑃)
21	7	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑃)
22		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) ≠ 𝐵) → (𝑀‘𝐵) ≠ 𝐵)
23	1, 2, 3, 4, 5, 16, 21, 8, 20	mirbtwn 27019	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ ((𝑀‘𝐵)𝐼𝐵))
24	1, 3, 4, 16, 19, 20, 21, 22, 23	btwnlng1 26980	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ ((𝑀‘𝐵)𝐿𝐵))
25	9	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) ≠ 𝐵) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
26	17	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) ≠ 𝐵) → (𝑀‘𝐵) ∈ 𝐷)
27	10	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐷)
28	1, 3, 4, 16, 19, 20, 22, 22, 25, 26, 27	tglinethru 26997	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) ≠ 𝐵) → 𝐷 = ((𝑀‘𝐵)𝐿𝐵))
29	24, 28	eleqtrrd 2842	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐷)
30	15, 29	pm2.61dane 3032	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ran crn 5590  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  distcds 16971  TarskiGcstrkg 26788  Itvcitv 26794  LineGclng 26795  pInvGcmir 27013

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-er 8498  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-hash 14045  df-word 14218  df-concat 14274  df-s1 14301  df-s2 14561  df-s3 14562  df-trkgc 26809  df-trkgb 26810  df-trkgcb 26811  df-trkg 26814  df-cgrg 26872  df-mir 27014

This theorem is referenced by:  opphl  27115