MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mirln2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mirln2 27928
Description: If a point and its mirror point are both on the same line, so is the center of the point inversion. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
mirval.d βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
mirval.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
mirval.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
mirval.s 𝑆 = (pInvGβ€˜πΊ)
mirval.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
mirln2.m 𝑀 = (π‘†β€˜π΄)
mirln2.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
mirln2.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
mirln2.1 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐷)
mirln2.2 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΅) ∈ 𝐷)
Assertion
Ref Expression
mirln2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐷)

Proof of Theorem mirln2
StepHypRef Expression
1 mirval.p . . . . 5 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 mirval.d . . . . 5 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
3 mirval.i . . . . 5 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
4 mirval.l . . . . 5 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
5 mirval.s . . . . 5 𝑆 = (pInvGβ€˜πΊ)
6 mirval.g . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
7 mirln2.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
8 mirln2.m . . . . 5 𝑀 = (π‘†β€˜π΄)
9 mirln2.d . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
10 mirln2.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐷)
111, 4, 3, 6, 9, 10tglnpt 27800 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11mirinv 27917 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π΅) = 𝐡 ↔ 𝐴 = 𝐡))
1312biimpa 478 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜π΅) = 𝐡) β†’ 𝐴 = 𝐡)
1410adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜π΅) = 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ 𝐷)
1513, 14eqeltrd 2834 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜π΅) = 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ 𝐷)
166adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜π΅) β‰  𝐡) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
17 mirln2.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΅) ∈ 𝐷)
181, 4, 3, 6, 9, 17tglnpt 27800 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΅) ∈ 𝑃)
1918adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜π΅) β‰  𝐡) β†’ (π‘€β€˜π΅) ∈ 𝑃)
2011adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜π΅) β‰  𝐡) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
217adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜π΅) β‰  𝐡) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
22 simpr 486 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜π΅) β‰  𝐡) β†’ (π‘€β€˜π΅) β‰  𝐡)
231, 2, 3, 4, 5, 16, 21, 8, 20mirbtwn 27909 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜π΅) β‰  𝐡) β†’ 𝐴 ∈ ((π‘€β€˜π΅)𝐼𝐡))
241, 3, 4, 16, 19, 20, 21, 22, 23btwnlng1 27870 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜π΅) β‰  𝐡) β†’ 𝐴 ∈ ((π‘€β€˜π΅)𝐿𝐡))
259adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜π΅) β‰  𝐡) β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
2617adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜π΅) β‰  𝐡) β†’ (π‘€β€˜π΅) ∈ 𝐷)
2710adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜π΅) β‰  𝐡) β†’ 𝐡 ∈ 𝐷)
281, 3, 4, 16, 19, 20, 22, 22, 25, 26, 27tglinethru 27887 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜π΅) β‰  𝐡) β†’ 𝐷 = ((π‘€β€˜π΅)𝐿𝐡))
2924, 28eleqtrrd 2837 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜π΅) β‰  𝐡) β†’ 𝐴 ∈ 𝐷)
3015, 29pm2.61dane 3030 1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  ran crn 5678  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  distcds 17206  TarskiGcstrkg 27678  Itvcitv 27684  LineGclng 27685  pInvGcmir 27903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-er 8703  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-hash 14291  df-word 14465  df-concat 14521  df-s1 14546  df-s2 14799  df-s3 14800  df-trkgc 27699  df-trkgb 27700  df-trkgcb 27701  df-trkg 27704  df-cgrg 27762  df-mir 27904
This theorem is referenced by:  opphl  28005
  Copyright terms: Public domain W3C validator