Theorem mirln2 28675

Description: If a point and its mirror point are both on the same line, so is the center of the point inversion. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
mirval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
mirln2.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
mirln2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
mirln2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
mirln2.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
mirln2.2	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
mirln2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)

Proof of Theorem mirln2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mirval.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		mirval.d	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		mirval.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		mirval.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		mirval.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6		mirval.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		mirln2.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		mirln2.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
9		mirln2.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
10		mirln2.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
11	1, 4, 3, 6, 9, 10	tglnpt 28547	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11	mirinv 28664	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐵) = 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))
13	12	biimpa 476	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
14	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) = 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐷)
15	13, 14	eqeltrd 2833	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) = 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐷)
16	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) ≠ 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
17		mirln2.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) ∈ 𝐷)
18	1, 4, 3, 6, 9, 17	tglnpt 28547	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) ∈ 𝑃)
19	18	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) ≠ 𝐵) → (𝑀‘𝐵) ∈ 𝑃)
20	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑃)
21	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑃)
22		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) ≠ 𝐵) → (𝑀‘𝐵) ≠ 𝐵)
23	1, 2, 3, 4, 5, 16, 21, 8, 20	mirbtwn 28656	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ ((𝑀‘𝐵)𝐼𝐵))
24	1, 3, 4, 16, 19, 20, 21, 22, 23	btwnlng1 28617	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ ((𝑀‘𝐵)𝐿𝐵))
25	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) ≠ 𝐵) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
26	17	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) ≠ 𝐵) → (𝑀‘𝐵) ∈ 𝐷)
27	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐷)
28	1, 3, 4, 16, 19, 20, 22, 22, 25, 26, 27	tglinethru 28634	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) ≠ 𝐵) → 𝐷 = ((𝑀‘𝐵)𝐿𝐵))
29	24, 28	eleqtrrd 2836	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐷)
30	15, 29	pm2.61dane 3016	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ran crn 5622  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  Basecbs 17127  distcds 17177  TarskiGcstrkg 28425  Itvcitv 28431  LineGclng 28432  pInvGcmir 28650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-oadd 8398  df-er 8631  df-pm 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-dju 9805  df-card 9843  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-n0 12393  df-xnn0 12466  df-z 12480  df-uz 12743  df-fz 13415  df-fzo 13562  df-hash 14245  df-word 14428  df-concat 14485  df-s1 14511  df-s2 14762  df-s3 14763  df-trkgc 28446  df-trkgb 28447  df-trkgcb 28448  df-trkg 28451  df-cgrg 28509  df-mir 28651

This theorem is referenced by:  opphl  28752