Theorem mirln2 26942

Description: If a point and its mirror point are both on the same line, so is the center of the point inversion. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
mirval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
mirln2.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
mirln2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
mirln2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
mirln2.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
mirln2.2	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
mirln2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)

Proof of Theorem mirln2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mirval.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		mirval.d	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		mirval.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		mirval.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		mirval.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6		mirval.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		mirln2.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		mirln2.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
9		mirln2.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
10		mirln2.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
11	1, 4, 3, 6, 9, 10	tglnpt 26814	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11	mirinv 26931	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐵) = 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))
13	12	biimpa 476	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
14	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) = 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐷)
15	13, 14	eqeltrd 2839	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) = 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐷)
16	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) ≠ 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
17		mirln2.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) ∈ 𝐷)
18	1, 4, 3, 6, 9, 17	tglnpt 26814	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) ∈ 𝑃)
19	18	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) ≠ 𝐵) → (𝑀‘𝐵) ∈ 𝑃)
20	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑃)
21	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑃)
22		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) ≠ 𝐵) → (𝑀‘𝐵) ≠ 𝐵)
23	1, 2, 3, 4, 5, 16, 21, 8, 20	mirbtwn 26923	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ ((𝑀‘𝐵)𝐼𝐵))
24	1, 3, 4, 16, 19, 20, 21, 22, 23	btwnlng1 26884	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ ((𝑀‘𝐵)𝐿𝐵))
25	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) ≠ 𝐵) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
26	17	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) ≠ 𝐵) → (𝑀‘𝐵) ∈ 𝐷)
27	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐷)
28	1, 3, 4, 16, 19, 20, 22, 22, 25, 26, 27	tglinethru 26901	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) ≠ 𝐵) → 𝐷 = ((𝑀‘𝐵)𝐿𝐵))
29	24, 28	eleqtrrd 2842	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐷)
30	15, 29	pm2.61dane 3031	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ran crn 5581  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  distcds 16897  TarskiGcstrkg 26693  Itvcitv 26699  LineGclng 26700  pInvGcmir 26917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-oadd 8271  df-er 8456  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-hash 13973  df-word 14146  df-concat 14202  df-s1 14229  df-s2 14489  df-s3 14490  df-trkgc 26713  df-trkgb 26714  df-trkgcb 26715  df-trkg 26718  df-cgrg 26776  df-mir 26918

This theorem is referenced by:  opphl  27019