Theorem mirbtwnb 28756

Description: Point inversion preserves betweenness. Theorem 7.15 of [Schwabhauser] p. 51. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
mirval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
mirval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
mirfv.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
miriso.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
miriso.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
mirbtwnb.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mirbtwnb	⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ↔ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))))

Proof of Theorem mirbtwnb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mirval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		mirval.d	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		mirval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		mirval.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		mirval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6		mirval.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		mirval.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
9	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
10		mirfv.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
11		miriso.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
12	11	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
13		miriso.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
14	13	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
15		mirbtwnb.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
16	15	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
17		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
18	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 14, 16, 17	mirbtwni 28755	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍)))
19	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
20	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
21	1, 2, 3, 4, 5, 19, 20, 10	mirf 28744	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))) → 𝑀:𝑃⟶𝑃)
22	11	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))) → 𝑋 ∈ 𝑃)
23	21, 22	ffvelcdmd 7039	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))) → (𝑀‘𝑋) ∈ 𝑃)
24	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))) → 𝑌 ∈ 𝑃)
25	21, 24	ffvelcdmd 7039	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))) → (𝑀‘𝑌) ∈ 𝑃)
26	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))) → 𝑍 ∈ 𝑃)
27	21, 26	ffvelcdmd 7039	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))) → (𝑀‘𝑍) ∈ 𝑃)
28		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))) → (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍)))
29	1, 2, 3, 4, 5, 19, 20, 10, 23, 25, 27, 28	mirbtwni 28755	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))) → (𝑀‘(𝑀‘𝑌)) ∈ ((𝑀‘(𝑀‘𝑋))𝐼(𝑀‘(𝑀‘𝑍))))
30	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 13	mirmir 28746	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘𝑌)) = 𝑌)
31	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11	mirmir 28746	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘𝑋)) = 𝑋)
32	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 15	mirmir 28746	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘𝑍)) = 𝑍)
33	31, 32	oveq12d 7386	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝑀‘𝑋))𝐼(𝑀‘(𝑀‘𝑍))) = (𝑋𝐼𝑍))
34	30, 33	eleq12d 2831	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝑀‘𝑌)) ∈ ((𝑀‘(𝑀‘𝑋))𝐼(𝑀‘(𝑀‘𝑍))) ↔ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))
35	34	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))) → ((𝑀‘(𝑀‘𝑌)) ∈ ((𝑀‘(𝑀‘𝑋))𝐼(𝑀‘(𝑀‘𝑍))) ↔ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))
36	29, 35	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
37	18, 36	impbida 801	1 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ↔ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  distcds 17198  TarskiGcstrkg 28511  Itvcitv 28517  LineGclng 28518  pInvGcmir 28736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-oadd 8411  df-er 8645  df-pm 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-hash 14266  df-word 14449  df-concat 14506  df-s1 14532  df-s2 14783  df-s3 14784  df-trkgc 28532  df-trkgb 28533  df-trkgcb 28534  df-trkg 28537  df-cgrg 28595  df-mir 28737

This theorem is referenced by:  mirbtwnhl  28764