Theorem mirbtwnb 27033

Description: Point inversion preserves betweenness. Theorem 7.15 of [Schwabhauser] p. 51. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
mirval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
mirval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
mirfv.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
miriso.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
miriso.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
mirbtwnb.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mirbtwnb	⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ↔ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))))

Proof of Theorem mirbtwnb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mirval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		mirval.d	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		mirval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		mirval.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		mirval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6		mirval.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7	6	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		mirval.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
9	8	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
10		mirfv.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
11		miriso.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
12	11	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
13		miriso.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
14	13	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
15		mirbtwnb.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
16	15	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
17		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
18	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 14, 16, 17	mirbtwni 27032	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍)))
19	6	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
20	8	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
21	1, 2, 3, 4, 5, 19, 20, 10	mirf 27021	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))) → 𝑀:𝑃⟶𝑃)
22	11	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))) → 𝑋 ∈ 𝑃)
23	21, 22	ffvelrnd 6962	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))) → (𝑀‘𝑋) ∈ 𝑃)
24	13	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))) → 𝑌 ∈ 𝑃)
25	21, 24	ffvelrnd 6962	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))) → (𝑀‘𝑌) ∈ 𝑃)
26	15	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))) → 𝑍 ∈ 𝑃)
27	21, 26	ffvelrnd 6962	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))) → (𝑀‘𝑍) ∈ 𝑃)
28		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))) → (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍)))
29	1, 2, 3, 4, 5, 19, 20, 10, 23, 25, 27, 28	mirbtwni 27032	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))) → (𝑀‘(𝑀‘𝑌)) ∈ ((𝑀‘(𝑀‘𝑋))𝐼(𝑀‘(𝑀‘𝑍))))
30	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 13	mirmir 27023	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘𝑌)) = 𝑌)
31	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11	mirmir 27023	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘𝑋)) = 𝑋)
32	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 15	mirmir 27023	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘𝑍)) = 𝑍)
33	31, 32	oveq12d 7293	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝑀‘𝑋))𝐼(𝑀‘(𝑀‘𝑍))) = (𝑋𝐼𝑍))
34	30, 33	eleq12d 2833	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝑀‘𝑌)) ∈ ((𝑀‘(𝑀‘𝑋))𝐼(𝑀‘(𝑀‘𝑍))) ↔ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))
35	34	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))) → ((𝑀‘(𝑀‘𝑌)) ∈ ((𝑀‘(𝑀‘𝑋))𝐼(𝑀‘(𝑀‘𝑍))) ↔ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))
36	29, 35	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
37	18, 36	impbida 798	1 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ↔ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  distcds 16971  TarskiGcstrkg 26788  Itvcitv 26794  LineGclng 26795  pInvGcmir 27013

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-er 8498  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-hash 14045  df-word 14218  df-concat 14274  df-s1 14301  df-s2 14561  df-s3 14562  df-trkgc 26809  df-trkgb 26810  df-trkgcb 26811  df-trkg 26814  df-cgrg 26872  df-mir 27014

This theorem is referenced by:  mirbtwnhl  27041