Theorem mirbtwnb 28617

Description: Point inversion preserves betweenness. Theorem 7.15 of [Schwabhauser] p. 51. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
mirval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
mirval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
mirfv.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
miriso.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
miriso.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
mirbtwnb.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mirbtwnb	⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ↔ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))))

Proof of Theorem mirbtwnb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mirval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		mirval.d	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		mirval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		mirval.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		mirval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6		mirval.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		mirval.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
9	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
10		mirfv.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
11		miriso.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
12	11	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
13		miriso.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
14	13	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
15		mirbtwnb.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
16	15	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
17		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
18	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 14, 16, 17	mirbtwni 28616	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍)))
19	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
20	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
21	1, 2, 3, 4, 5, 19, 20, 10	mirf 28605	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))) → 𝑀:𝑃⟶𝑃)
22	11	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))) → 𝑋 ∈ 𝑃)
23	21, 22	ffvelcdmd 7019	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))) → (𝑀‘𝑋) ∈ 𝑃)
24	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))) → 𝑌 ∈ 𝑃)
25	21, 24	ffvelcdmd 7019	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))) → (𝑀‘𝑌) ∈ 𝑃)
26	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))) → 𝑍 ∈ 𝑃)
27	21, 26	ffvelcdmd 7019	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))) → (𝑀‘𝑍) ∈ 𝑃)
28		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))) → (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍)))
29	1, 2, 3, 4, 5, 19, 20, 10, 23, 25, 27, 28	mirbtwni 28616	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))) → (𝑀‘(𝑀‘𝑌)) ∈ ((𝑀‘(𝑀‘𝑋))𝐼(𝑀‘(𝑀‘𝑍))))
30	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 13	mirmir 28607	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘𝑌)) = 𝑌)
31	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11	mirmir 28607	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘𝑋)) = 𝑋)
32	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 15	mirmir 28607	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘𝑍)) = 𝑍)
33	31, 32	oveq12d 7367	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝑀‘𝑋))𝐼(𝑀‘(𝑀‘𝑍))) = (𝑋𝐼𝑍))
34	30, 33	eleq12d 2822	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝑀‘𝑌)) ∈ ((𝑀‘(𝑀‘𝑋))𝐼(𝑀‘(𝑀‘𝑍))) ↔ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))
35	34	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))) → ((𝑀‘(𝑀‘𝑌)) ∈ ((𝑀‘(𝑀‘𝑋))𝐼(𝑀‘(𝑀‘𝑍))) ↔ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))
36	29, 35	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
37	18, 36	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ↔ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  Basecbs 17120  distcds 17170  TarskiGcstrkg 28372  Itvcitv 28378  LineGclng 28379  pInvGcmir 28597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-oadd 8392  df-er 8625  df-pm 8756  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-dju 9797  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-xnn0 12458  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-hash 14238  df-word 14421  df-concat 14478  df-s1 14503  df-s2 14755  df-s3 14756  df-trkgc 28393  df-trkgb 28394  df-trkgcb 28395  df-trkg 28398  df-cgrg 28456  df-mir 28598

This theorem is referenced by:  mirbtwnhl  28625