Theorem mirbtwnb 28496

Description: Point inversion preserves betweenness. Theorem 7.15 of [Schwabhauser] p. 51. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
mirval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
mirval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
mirfv.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
miriso.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
miriso.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
mirbtwnb.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mirbtwnb	⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ↔ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))))

Proof of Theorem mirbtwnb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mirval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		mirval.d	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		mirval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		mirval.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		mirval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6		mirval.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7	6	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		mirval.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
9	8	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
10		mirfv.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
11		miriso.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
12	11	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
13		miriso.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
14	13	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
15		mirbtwnb.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
16	15	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
17		simpr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
18	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 14, 16, 17	mirbtwni 28495	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍)))
19	6	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
20	8	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
21	1, 2, 3, 4, 5, 19, 20, 10	mirf 28484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))) → 𝑀:𝑃⟶𝑃)
22	11	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))) → 𝑋 ∈ 𝑃)
23	21, 22	ffvelcdmd 7100	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))) → (𝑀‘𝑋) ∈ 𝑃)
24	13	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))) → 𝑌 ∈ 𝑃)
25	21, 24	ffvelcdmd 7100	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))) → (𝑀‘𝑌) ∈ 𝑃)
26	15	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))) → 𝑍 ∈ 𝑃)
27	21, 26	ffvelcdmd 7100	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))) → (𝑀‘𝑍) ∈ 𝑃)
28		simpr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))) → (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍)))
29	1, 2, 3, 4, 5, 19, 20, 10, 23, 25, 27, 28	mirbtwni 28495	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))) → (𝑀‘(𝑀‘𝑌)) ∈ ((𝑀‘(𝑀‘𝑋))𝐼(𝑀‘(𝑀‘𝑍))))
30	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 13	mirmir 28486	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘𝑌)) = 𝑌)
31	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11	mirmir 28486	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘𝑋)) = 𝑋)
32	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 15	mirmir 28486	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘𝑍)) = 𝑍)
33	31, 32	oveq12d 7444	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝑀‘𝑋))𝐼(𝑀‘(𝑀‘𝑍))) = (𝑋𝐼𝑍))
34	30, 33	eleq12d 2823	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝑀‘𝑌)) ∈ ((𝑀‘(𝑀‘𝑋))𝐼(𝑀‘(𝑀‘𝑍))) ↔ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))
35	34	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))) → ((𝑀‘(𝑀‘𝑌)) ∈ ((𝑀‘(𝑀‘𝑋))𝐼(𝑀‘(𝑀‘𝑍))) ↔ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))
36	29, 35	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
37	18, 36	impbida 799	1 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ↔ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  distcds 17249  TarskiGcstrkg 28251  Itvcitv 28257  LineGclng 28258  pInvGcmir 28476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-oadd 8497  df-er 8731  df-pm 8854  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-dju 9932  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-hash 14330  df-word 14505  df-concat 14561  df-s1 14586  df-s2 14839  df-s3 14840  df-trkgc 28272  df-trkgb 28273  df-trkgcb 28274  df-trkg 28277  df-cgrg 28335  df-mir 28477

This theorem is referenced by:  mirbtwnhl  28504